第三章 FISCHER 及GINZINGER 演算法
3.2 啟發式演算法
Fischer 及 Ginzinger 演算法中根據斷點圖之紅色線與藍色線分別組成四種型 態，圖 3.2 中 Type 1 初始字元可能為獨立字元或左邊終端點之相連區塊，反轉藍 色線並連接到目標字元；Type 2 初始字元為獨立字元或右邊終端點之相連區塊，
反轉藍色線並連接到目標字元；Type 3 初始字元為獨立字元或右邊終端點之相連 區塊，反轉藍色線之前的字元；最後，Type 4 初始字元為獨立字元或左邊終端點 之相連區塊，並不反轉，若排列π中，初始型態為 Type 2，終點型態為 Type 1，
中間區段皆為 Type 4，則需要再利用字首反轉 2b(π)-2 個動作。
圖 3.2 : 斷點與目標線之四種情況
根據斷點圖所示，即利用字首反轉最多只要 2 次便可以消去一個斷點。給定 一段排列π＝（1, 2,…, n）和連接斷點圖，以下三種情況（Condition），在排列 中最多二個字首反轉動作ψ（r）和ψ（s）可以消去一個斷點：
Condition 1. Type 1 中斷點圖包含一藍色線（πi, πj），且 i＝1。
Condition 2. Type 2 中斷點圖包含一藍色線（πi, πj），且 i≠0。
Condition 3. Type 3 中斷點圖包含一藍色線（πi, πj）。
根據以上三種情況，藍色線（πi, πj）為πj＝πi± 1，即πi必須連續到πj， 其中πi 和πj 之間增加一個相鄰點並消去一個斷點數，而不會增加額外的斷點 數。圖 3.3 中舉例來表示三種條件（Case）：
Case 1. 圖 3.3-(a)即為 Type 1 也可以被稱有效藍色線段（Good blue edge）， 利用字首反轉，在位置ψ（j－1）反轉，π1和πj 之間增加一個相 鄰點，且不會增加額外的斷點數。
Case 2. 圖 3.3-(b)(c)即為 Type 2 也可以被稱有效藍色線段（Good blue edge），利用字首反轉，在位置ψ（j）和ψ（j－i）反轉，第一次 字首反轉ψ（j）後不會增加相鄰點也不會消去斷點數，更不會額 外增加斷點數，但是形成 Type 1。而第二次字首反轉ψ（j－i）後，
增加一個相鄰點和消去一個斷點數。
Case 3. 圖 3.3-(d) (e) (f)即為 Type 3 也可以被稱有效藍色線段（Good blue edge），利用字首反轉，在位置ψ（i）和ψ（j－1）反轉，第一次 字首反轉ψ（i）後不會增加相鄰點也不會消去斷點數，更不會額 外增加斷點數，但是形成 Type 1。而第二次字首反轉ψ（j－1）後，
增加一個相鄰點和消去一個斷點數。
根據 Fischer 及 Ginzinger 演算法我們利用字首反轉排序分別說明前三種情 況：
首先，斷點和目標線構成斷點圖，圖 3.3-(a)為 Type 1，在ψ（3）的位置利 用字首反轉，藍色線從π1＝3 到π4＝2，將 3 連接到 2，增加一個相鄰點和 消去一個斷點數，即為 Condition 1，。
圖 3.3-(b)為 Type 2，在ψ（7）的位置利用字首反轉，藍色線從π2＝3 到π7
＝2，先將 2 反轉至初始位置之後，不會增加相鄰點也不會消去斷點數，更
不會額外增加斷點數，但是形成 Type 1，此情況即為 Condition 2。接著再將 2 連接到 3，增加一個相鄰點和消去一個斷點數，即為 Condition 1。
圖 3.3-(c)為 Type 3，在ψ（3）的位置利用字首反轉，藍色線從π3＝3 到π6
＝2，先將 3 反轉至初始位置之後，不會增加相鄰點也不會消去斷點數，更 不會額外增加斷點數，但是形成 Type 1，此情況即為 Condition 3。接著再將 3 連接到 2，增加一個相鄰點和消去一個斷點數，即為 Condition 1。當演算 法中三種情況皆無法滿足時，要轉成ι，則需要考慮第四種情況。
圖 3.3 : Fischer 及 Ginzinger 演算法之三種情況範例
當排列π≠ι，且演算法中三種情況皆無法滿足，此時斷點圖為獨特循環結 構，其斷點圖第一條藍色線是由 Type 2 所構成，最後一條藍色線是由 Type 1 所 構成，而中間區段至少要二個 Type 4 以上所構成，且不為其它 Type。
下列為獨特循環結構所構成的排列π≠ι，由斷點數＝2 以上（b(π)≧2）
和遞減片段（Descending strips）長度＝2 以上所組成，其中斷點與斷點之間的排 列由遞減片段 所構成，而遞減片段個數和斷點個數相同。
l
π = ( p
1,..., 1 , p
2,..., p
1+ 1 ,..., n ,..., p
b( )
π −1+ 1 )
圖 3.4 中，以藍色目標線和紅色斷點線來表示獨特循環結構所形成之斷點 圖，（πi , πj）為第一條藍色線，和紅色線形成 Type 2；（πn-1 , πn+1）為最後 一條藍色線，和紅色線形成 Type 1；而中間區段藍色線和紅色線全部皆構成 Type 4。
圖 3.4 : Fischer 及 Ginzinger 演算法之獨特循環結構
根據 Fischer 及 Ginzinger 演算法中，給定一段排列π。當排列形成獨特循環 結構時，其演算法之三種情況皆無法滿足，其斷點圖第一條藍色線和紅色線是由 Type 2 所構成，最後一條藍色線和紅色線是由 Type 1 所構成，而中間區段至少 要二個 Type 4 以上所構成，且不為其它 Type。圖 3.5 為獨特循環結構，利用字 首反轉排序將排列π反轉至ι。
圖 3.5 : 獨特循環結構之字首反轉排序