第三章 向量自我迴歸與共整合分析
3.2 單位根檢定法
時間數列資料的同條件程序與否對估計檢定的結果有很大的影響，時間數列資料之非同 條件程序性，會導致推估過程之參數不具一致性，而同條件程序分析中，兩變數需有相同的 整合級次才可進行兩變數線性組合為同條件程序時間數列的同條件程序程序。因此單位根檢 定的作用為確定時間數列的整合級次，藉以判斷時間數列的同條件程序性質。若某時間數列 整合級次為 0，亦即I(0)，表示該數列不需經過差分，本身即是一同條件程序的時間數列。
故必須對個別變數進行單位根檢定，爾後對方程式進行共整合檢定。因此本節共分二個 部分，分別為3.1.1「同條件程序過程」，3.1.2「單位根檢定與落後期數的選取」。
3.2.1 同條件程序過程
在自然現象的變化過程中，常發現有許多不規則之干擾，經研究發現這種擾動是根據機 率分配函數而變化，因此而發展出的統計理論稱為隨機過程 (Stochastic Process 或 Random Process)。例如，在通訊過程中訊息夾有自然或人為之干擾，預測經濟的變動等等問題均屬於 隨機過程之一種現象。
一個時間數列就等於一個隨機過程的特殊實現值。因此，在分析時間數列時，設定時點
t 時之觀測值 Z
t為隨機變數Z
t具有機率密度函數f(Z
t)之實現值。同理，在時點 t
1與t
2之觀測 值可認為兩個隨機變數Z
1與Z
2，具有聯合機率密度函數f(Z
1,Z
2)之實現值。一般而言，序列
觀測值Z
t1,Z
t2．．．ZtN為N 維隨機變數(Z
t1,Z
t2…ZtN)其具有機率密度函數 f(Zt1,Z
t2…ZtN)之實現 值。所謂同條件程序的時間數列 (Stationary Time Series)係指一時間數列其統計特性將不隨 時間之變化而改變者，也就是同條件程序的時間數列為一隨機過程之特殊實現值，且這種隨 機過程之統計特性係不隨時間之變化而改變。同條件程序數列對於任何外在衝擊僅會有暫時 性影響，亦即該變數受到干擾後又會返回其平均值。若經由隨機過程所產生的機率分配會隨 時間的變動而改變，則稱此一數列為非同條件程序 (Non-stationary)之時間數列。此時間數列 對外在衝擊有累積的效果，促使該變數對於時間演變過程中逐漸偏離其平均值。
假若隨機過程之統計特性不受時間起點之改變而影響者，此種過程稱為嚴密的同條件程 序 (Strictly Stationary)。嚴密的同條件程序隨機過程可以數學意義來說明其特性。也就是在任 何時點 t1
,t
2…tN時，假設 N 個隨機變數Z
t1,Z
t2…ZtN之聯合機率密度函數與另N 個隨機變數 Z
t1+k,Z
t2+k…Z
tN+k之聯合機率密度函數為恆等者，即 f(Zt1,Z
t2…Z
tN)＝ f(Zt1+k,Z
t2+k…Z
tN+k)式中 k 為任何整數，則該隨機過程被稱之為嚴密的同條件程序。因此，一隨機過程如屬於嚴密的同條件程序，係假設當任
N 個觀測值之集合，它的觀測
時間不論向前或向後移動k 個時期，其機率結構性均保持不變。隨機過程之隨機變數 Z
t1,Z
t2…Z
tN若僅其第一與第二階動差不隨時間起始點之移動而不相同，則此過程稱為衰弱的同條件程 序 (Weakly Stationary)或二階同條件程序 (Second-Order Stationary)。一同條件程序的時間數列通常滿足下列三項條件：
1. E( ) (yt =E yt−k)=µ
2. E
[
(yt −µ)2]
=E[
(yt−k −µ)2]
=σy2即Var(y
t)=Var(Yt-k)=σy23. E
[
(yt−µ)(yt−k −µ)]
=E[ (
yt−j −µ)(
yt−j−k −µ) ]
=rk即Cov(yt,yt−k)=Cov(
yt−j,yt−k−j)
第一式與第二式要求隨機過程
y
t要有固定平均數和變異數，第三式要求 y
t之共變異數
不隨時間不同而異，也就是說平均數、變異數和共變異數皆與時間獨立。一個數列y
t若經過 d 階差分後，即成為一同條件程序的數列，則稱該數列之整合級次 (Integrated Level)為 d，表
示為y
t~ I(d)。
一般而言，非同條件程序的時間數列有兩種處理方法，第一種稱為趨勢定態模型 (Trend Stationary Process)，就是在迴歸式中加入時間趨勢項 (Deterministic Time Trend)，使該數列在 減除趨勢項後即呈現同條件程序性質；另一種是單位根模型 (Unit Root Process)，即是對變數 取一階差分，以去除隨機趨勢(Stochastic Trend)，再看看該數列是否已呈同條件程序，如果不 是，則再取差分，直至數列變成同條件程序為止，而上述兩種型態是互斥的，不會同時發生。
3.2.2 單位根檢定與落後期數的選取
單位根檢定是由Fuller、Fuller and Dickey[26]所提出，爾後經由 Dickey and Fuller[26]、
Said and Dickey[37]、Phillips and Perron[34]、Sims[39]、Cochrane[36]、Kwiatkowski[36]等學 者不斷深入探討修正，已成為檢定資料同條件程序性的主要方法。若變數不具單位根，表示 該變數為同條件程序之時間數列資料；若變數具單位根，代表變數為非同條件程序之時間數 列資料。
當使用的時間序列未經過單位根檢定的步驟，而直接進行迴歸模型的建立，很有可能會 產生Granger 與 Newbold 於 1974 所提之假性迴歸 (Spurious Regression)的現象[29]，也就是 分析所得到的t 或 F 統計量非常顯著且其判定係數 R2非常的高，但DW 值卻很低，也就是表 示模型有單位根的存在，所以此時的模型表面上看起來非常顯著，但是卻沒有任何的經濟意 義。儘管迴歸式的結果表面上看起來很理想，但由於所使用的估計方式不再具有一致性 (Consistency)，因此傳統的統計推論程序皆不再適用。其中 DW 值為迴歸模式中判斷自我相 關的重要指標，當DW 值低於臨界值時，代表該組變數的數值間彼此並不獨立，亦即該組變 數間具有自我相關。
Dickey and Fuller 首先提出 DF 單位根檢定，其檢定方法要求自我相關迴歸式的殘差項需 為白噪音 (White Noise)，而所謂的白噪音其數學意義表示為 E(εt)=0，E(εt2)=σ2，E(εt,ε
τ)=0， for t≠τ。而 DF 單位根檢定又依其有無常數項或有無時間趨勢項，所用的迴歸式及 其虛無假設皆不相同，以下乃介紹其三種模式：
1. yt =β1×yt−1+εt
H0:β1
=1, H
1: β1< 12.
yt =β0+β1×yt−1+εtH0: β0
= 0, β
1=1, H
1: a≠0,β
1<13. yt =β0+β1×yt−1+rt+εt (Augmented Dickey-Fuller)檢定[37]，在原 DF 模型中加入時間數列本身落後期數的差分值，
期使殘差項符合白噪音之假設，這種方法稱為擴充型的DF 單位根檢定。此舉改進了原本 DF 檢定法只適用在一階自我相關迴歸的模型AR(1)中，以及假設殘差項 ut〜
i.i.d(0,σ
2)等缺點。此方法放寬了對殘差項的假設條件，允許其為一 ARMA 形式，以解決殘差項可能存在自我 相關的現象，將自我相關迴歸模型由AR (1)一般化至 AR (p)。將 AR (p)化為誤差修正的形式 (Error Correction Form)。模型亦有三種型式：
1.
∑
在檢驗虛無假設時，必須先進行落後期數的選取，來決定出最適當落後期數
p，Schwartz
認為若落後期數選取太短的話[38]，可能無法完全修正因移動平均項所造成臨界值會放大的 問題，則不易拒絕H0之假設；反之，若是落後期數選取太長的話又會導致過度參數的問題。因此對於最適落後期數的選取就顯得相當重要，本研究採取AIC (AkaikeInformation Criterion) 準則作為選擇的依據。AIC 選取假設一組資料為含有 n 個參數的統計模型所擬合，為評估模 型擬合的品質，AIC 是 Akaike 於 1969 年所提出的一種判定準則[23]。其計算模式為
n T
AIC= ×lnσˆk2+2 ，其中
n 為參數的數目，T 為樣本的觀察值數目
。Engle 與 Yoo 建議選取使 用AIC 或 BIC 最小值所對應的落後期數 P 為最適落後期數[28]，其圖形表示之意義如圖 3-1。AIC值
落後期數P 0 1 2 3 P
圖3-1 落後期數判斷與選取