在熟練一元二次方程式的解法後，我們要開始學習解一元二次方程式 的應用問題。解應用問題和解一元二次方程式大同小異，比較不同的 是式子必須要自己列出來，那麼怎麼自己列出式子呢？
有四個重要的步驟：
步驟一：理解題目並假設未知數。
步驟二：利用題目裡面所提供的「數量間關係」，列出等式。
步驟三：解一元二次方程式。
步驟四：檢查答案是否符合題意。
下面有五道題，每一題都是常見並且有趣的問題，接下來就來試試看 吧！
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例題一：兩個連續的正整數，其平方和是 85 ，則此兩數分別為何？
解：
兩個連續的正整數就可以假設成 𝑥
、
𝑥 + 1 ，而且 𝑥 > 0。再來找一下題目當中有關於這兩個正整數的關係：其平方和是 85 ， 這句話的意思就是說它們平方後相加會得到 85 。
我們就可以根據前述關係列出一個等式，兩個連續的正整數 𝑥
、
𝑥 + 1， 平方分別會是 𝑥2、
(𝑥 + 1)2，相加會等於 85 ，式子就可 以列成：𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = 85。接下來就是解這個一元二次方程式 了！(𝑥 + 1)2 就是 𝑥2+ 2𝑥 + 1 ，
所以展開得到：𝑥2 + (𝑥2+ 2𝑥 + 1) = 85 整理一下：2𝑥2+ 2𝑥 + 1 = 85
85 移項變成 −85 ：2𝑥2+ 2𝑥 + 1 − 85 = 0 整理一下：2𝑥2+ 2𝑥 − 84 = 0
2𝑥2、2𝑥
、
− 84 有公因數 2 ，而且是等式，所以可以一起除以 2 ：𝑥2+ 𝑥 − 42 = 0
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前面 𝑥2 可以拆成 𝑥 乘 𝑥 ；後面−42 可以拆成 +7 乘 −6 ，交叉相乘：
等號左邊 𝑥2+ 𝑥 − 42 = (𝑥 + 7)(𝑥 − 6)
整個式子就是 (𝑥 + 7)(𝑥 − 6) = 0 所以 𝑥 + 7 = 0 或 𝑥 − 6 = 0 移項整理得到 𝑥 = −7 或 6
這樣子的解解出來有兩個，但是要回去檢驗一下符不符合題意，
如果 𝑥 = −7 ，那麼這兩個數會是 −7、 − 6 ，並不符合題意，因為 題目說的是正整數，正整數必須要是正的，所以不合。
如果 𝑥 = 6 ，那麼這兩個數會是 6、7 ，符合題意，平方相加試試看，
62+ 72 = 36 + 49 = 85，與題意相符合，所以這兩個數就是 6、7 。 𝑥 + 7
𝑥 − 6 +7𝑥 − 6𝑥 = +𝑥
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例題二：有一個長方形面積為 108 平方公分，若長比寬多 3 公分，
請問這個長方形的長寬各為多少公分？
解：
假設寬是 𝑥 公分，長比寬多 3 公分，所以長是 𝑥 + 3 公分。
接下來要找關係，可以畫圖幫助理解一下，
我們知道長方形的面積算法就是長乘以寬，長是 𝑥 + 3 、寬是 𝑥 ， 所以面積算法就是 𝑥(𝑥 + 3) ，從題目可以知道，面積也就是 108 。 所以可以列式：𝑥(𝑥 + 3) = 108 。接下來就解這個一元二次方程式 了！
展開 𝑥(𝑥 + 3) = 𝑥2+ 3𝑥，所以展開式子成：𝑥2+ 3𝑥 = 108 108 移項變成 −108 ：𝑥2+ 3𝑥 − 108 = 0
前面 𝑥2 可以拆成 𝑥 乘 𝑥 ；後面−108 可以怎麼拆呢？
−108 是負的，會拆成一正乘一負，中間是+3 ，所以拆出來的兩數，
𝑥
𝑥 + 3
108
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正數的絕對值會負數的絕對值還要多 3 ；發現 108 = 9 × 12 ，−108 可 以拆成 −9 乘+12。
交叉相乘：
等號左邊 𝑥2+ 3𝑥 − 108 = (𝑥 − 9)(𝑥 + 12)
整個式子就是 (𝑥 − 9)(𝑥 + 12) = 0 所以 𝑥 − 9 = 0 或 𝑥 + 12 = 0 移項整理得到 𝑥 = 9 或 −12
這樣子的解解出來有兩個，但是要回去檢驗一下符不符合題意，
如果 𝑥 = 9 ，那麼寬會是 9、長會是 12 ，長寬可以是正的。
如果 𝑥 = −12 ，長寬會是−12、 − 9 ，長寬不可以是負的，所以不 合。
所以這個長方形的長是 12 (公分)、寬是 9 (公分)。
𝑥 − 9 𝑥 + 12
−9𝑥 + 12𝑥 = +3𝑥
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例題三：有一個直角三角形，兩股長度差 4 公分，斜邊長 20 公分，
求這個直角三角形面積為何？
解：從題目我們知道，兩股長度差 4 公分，所以如果把比較短的股 當底，假設為 𝑥 公分，那麼比較長的股就可以當高，假設成 (𝑥 + 4) 公 分。從題目知道斜邊長是 20 公分。
畫個圖幫助理解一下！
接下來要利用關係來列式，這個關係是什麼呢？
看一下題目：直角三角形，兩股長差 4，斜邊長 20 。
從圖中可以看到，𝑥
、
𝑥 + 4、
20 ，這三個是直角三角形的三邊，在 直角三角形中有一個很重要的三邊關係(畢氏定理)：兩股平方和等 於斜邊平方。所以式子可以列成：𝑥2 + (𝑥 + 4)2 = 202，接下來就是解這個一元 二次方程式了！
𝑥 𝑥 + 4 20
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(𝑥 + 4)2 就是 𝑥2+ 8𝑥 + 16 ，
所以展開得到：𝑥2 + (𝑥2+ 8𝑥 + 16) = 400 整理一下：2𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 400
400 移項變成 −400 ：2𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 400 = 0 整理一下：2𝑥2 + 8𝑥 − 384 = 0
2𝑥2、8𝑥
、
− 384 有公因數 2 ，而且是等式，所以可以一起除以 2 ：𝑥2 + 4𝑥 − 192 = 0
前面 𝑥2 可以拆成 𝑥 乘 𝑥 ；後面−192 可以怎麼拆呢？
−192 是負的，會拆成一正乘一負，中間是+4 ，所以拆出來的兩數，
正數的絕對值會比負數的絕對值還要多 4 ；發現 192 = 16 × 12 ，
−192 可以拆成 −12 乘+16。
交叉相乘：
整個式子就是 (𝑥 − 12)(𝑥 + 16) = 0 所以 𝑥 − 12 = 0 或 𝑥 + 16 = 0 移項整理得到 𝑥 = 12 或−16
𝑥 − 12 𝑥 + 16
−12𝑥 + 16𝑥 = +4𝑥
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這樣子的解解出來有兩個，還是要回去檢驗一下符不符合題意，
如果 𝑥 = 12 ，那麼一股會是 12、另一股會是 16，兩股可以是正數。
如果 𝑥 = −16 ，那麼一股會是−16、另一股會是−12，但是兩股不 可以是負數，所以不合。
短的股（底）會是 12(公分)、長的股（高）會是 16 (公分)，三角 形面積會是 12×16
2 = 96 (平方公分)。
例題四：平安旅行社舉辦旅遊活動，預計人數 30 人，每人收費 5000 元，當人數達到 30 人後，每多 1 人，每人收費就便宜 100 元。若 已知這次活動，平安旅行社總收入為 160000 元，請問共有多少人 參加？
解：先理解一下題目的意思：旅行社舉辦旅遊活動，預計人數 30 人，
每人收費 5000 元，所以預計總收入會是 30 × 5000 = 150000 元。
但實際上總收入是 160000 元，不是 150000 元，所以不可能是 30 人 參加旅遊活動！
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因為題目中有提到：當人數達到 30 人後，每多 1 人，每人收費就便 宜 100 元，這是很重要條件！這個條件是什麼意思呢？
當人數達到 30 人後，每多 1 人，每人收費就便宜 100 元，就是說如果 有 (30 + 1) 人參加旅遊活動，每人就收費(5000 − 100 × 1) 元；
有 (30 + 2) 人參加旅遊活動，每人就收費 (5000 − 100 × 2) 元；
有 (30 + 3) 人參加旅遊，每人就收費 (5000 − 100 × 3) 元；以此類推。
可是我們不知道有多少人參加啊，所以我們就可以假設成有 (30 + 𝑥) 人參加，那麼每人收費就會是 (5000 − 100𝑥) 元。
假設完後，利用關係來列式，題目當中有提到總收入為 160000 元，
總收入的算法就是「 人數 × 每人收的費用」，所以 (30 + 𝑥) 人參加，
每人收費是 (5000 − 100𝑥) 元，總收入就是 (30 + 𝑥)(5000 − 100𝑥) 元，式子就可以列成：(30 + 𝑥)(5000 − 100𝑥) = 160000 。
展開 (30 + 𝑥)(5000 − 100𝑥) = 150000 − 3000𝑥 + 5000𝑥 − 100𝑥2，
= 150000 + 2000𝑥 − 100𝑥2 所以展開式子成：150000 + 2000𝑥 − 100𝑥2 = 160000
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150000
、
2000、
− 100、
160000 有公因數 100 ，而且是等式，所以可以一起除以 100 ：1500 + 20𝑥 − 𝑥2 = 1600 1600 移項變成 −1600 ：1500 + 20𝑥 − 𝑥2− 1600 = 0
整理一下：−𝑥2 + 20𝑥 − 100 = 0
習慣上會希望一元二次方程式的 𝑥2 項係數為正，所以可以同乘−1 ： 𝑥2 − 20𝑥 + 100 = 0
這個方程式可以利用差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 來 解，𝑥 當成 𝑎 ，20𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 10 ，10 當成 𝑏 ， 102 = 100 ，符合乘 法公式，故式子可以化成 (𝑥 − 10)2 = 0 。
𝑥 − 10 = 0
所以 𝑥 = 10 ，所以這次旅遊活動有 30 + 10 = 40 人參與，每人收 費 5000 − 100 × 10 = 4000 元。
例題五：一塊長方形農地，長比寬多 4 公尺，預計 農地內部四周圍開闢一條寬 2 公尺的道路，
剩下部分作果園，如圖。若果園面積是農地 面積的 5
6 ，則原來農地的長、寬各是多少？
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展開 (𝑥 − 4)𝑥 = 5
6𝑥(𝑥 + 4)
𝑥2− 4𝑥 = 5
6𝑥2+10 3 𝑥
習慣上，讓式子變成是整數的會比較好計算，所以同乘以 6 ： 6𝑥2− 24𝑥 = 5𝑥2+ 20𝑥
移項整理： 6𝑥2 − 24𝑥 − 5𝑥2− 20𝑥 = 0 𝑥2− 44𝑥 = 0
可以提公因式 𝑥 ： 𝑥(𝑥 − 44) = 0
所以 𝑥 = 0 或 𝑥 − 44 = 0 移項整理得到 𝑥 = 0 或 44
這樣子的解解出來有兩個，但是要回去檢驗一下符不符合題意，
如果 𝑥 = 0 ，長度不可能是零，所以不合。
如果 𝑥 = 44 ，原來農地的長就是 48 公尺、寬就是 44 公尺。
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重點提問
1. 從上面第 75 頁的課文中我們可以知道，解一元二次方程式應用 題有四個重要的步驟，請你依序把它些出來。
步驟一：______________________________________________
步驟二：_______________________________________________
步驟三：_______________________________________________
步驟四：_______________________________________________
2. 解一元二次方程式應用題在假設完未知數後，接著我們要去找題 目中「數量間的關係」，請問找題目中「數量間的關係」是為了 作什麼？
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․隨堂練習：
1.
兩個連續的正整數，其平方和是 181 ，則此兩數分別為何？2.
有一個長方形面積為 84 平方公分，若長比寬多 5 公分，請問這 個長方形的長寬各為多少公分？3.
有一個直角三角形，兩股長度差 7 公分，斜邊長 13 公分，求這 個直角三角形面積為何？85
4. 安平旅行社為招攬乘客到花蓮遊玩，訂定為每人收費 2000 元，
但是如果一團的人數超過 12 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元。已知某一團總共收到了 25500 元，請問這一團共有多少人參 加？
5. 小湘的房間是一個長方形，而且長比寬多 3 公 尺，她在房間的中間擺了一塊長方形地毯，地 毯邊緣與牆邊的垂直距離都是 1.5 公尺，如圖 所示。如果地毯面積是房間的 1
4 倍，則小湘房 間的長、寬各是多少公尺？
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想看例題四、五的類似題，
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=rj0jLfKTezk
還想看進階題，
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=UWDCQXi9pss
還想看進階題，
請看下面影片(5)
https://www.youtube.com/
watch?v=BVE5X0kg2Os
還想看進階題，
請看下面影片(4)
https://www.youtube.com/w atch?v=AQA8nUkeNXk
例題三還不太懂 請看下面影片(3)
https://youtu.be/htGo1lj Nqwg