目錄

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單元一：一元二次方程式及解的意義 ... 2

課文：一元二次方程式及解的意義 ... 2

單元二：因式分解法解一元二次方程式 ... 10

課文 A：利用提公因式法因式分解解一元二次方程式 ... 10

課文 B：利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 ... 16

課文 C：利用乘法公式因式分解解一元二次方程式 ... 24

單元三：利用配方法解一元二次方程式 ... 30

課文 A：利用平方根的概念解一元二次方程式 ... 30

課文 B：配成完全平方式 ... 36

課文 C：利用配方法解x 係數為 1 的一元二次方程式 ... 44 ² 課文 D：利用配方法解x 係數不為 1 的一元二次方程式... 51 ² 單元四：利用公式解解一元二次方程式 ... 55

課文 A：一元二次方程式的一般式 ... 55

課文 B：利用公式解解一元二次方程式 ... 58

課文 C：一元二次方程式的判別式 ... 65

單元五：一元二次方程式的應用問題 ... 71

課文 A：一元二次方程式的應用問題 ... 71

2

單元一：一元二次方程式及解的意義 課文：一元二次方程式及解的意義

我們在七上的時候就曾經學過「一元一次方程式」，指的是含有一個未知 數(一元)，最高次方是一次方(一次)的等式(方程式)。

而我們這單元所要討論的是「𝑥 的一元二次方程式」，什麼是一元二次方 程式呢？

例如 𝑥²+ 3𝑥 + 2 = 0 、𝑥² = 4，它們都只有一個未知數 𝑥 (一元)，而且 最高次方都是二次方(二次)的等式(方程式)，就叫「一元二次方程式」。

我們舉幾個例子來判斷看看！

例題一：判斷下列各式是不是一元二次方程式：

(1) 2𝑥 + 3 = 5 (2) 𝑥² + 3𝑥 − 5 (3) 𝑥² = 5

(4) (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

◎解題思維：

一元二次方程式包含了三個條件：「一元」是指只有一個未知數；「二 次」是指那個未知數最高次方是二次方；「方程式」代表它是一個等 式。接下來就檢驗有沒有同時符合這三個條件。

3

解：

(1) 2𝑥 + 3 = 5

這個式子只有一個未知數，但是它最高次方是一次方，而且 明顯是一個等式。「一個未知數、一次方、等式」，所以它應 該是「一元一次方程式」。

(2) 𝑥² + 3𝑥 − 5

這個式子的確只有一個未知數，它最高次方也是二次方，但 是它沒有等號，所以不是一個等式，這樣的式子就是一個「一 元二次多項式」。

(3) 𝑥² = 5

這個式子有一個未知數，最高次方也是二次方，而且明顯是 一個等式。這個式子完全符合「一個未知數、二次方、等式」， 所以它就是一個「一元二次方程式」。

(4) (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

這個式子看起來感覺不像一元二次方程式，但是這是還沒有 乘開化簡的樣子，所以我們將它乘開化簡開來看看。

乘開後是 𝑥²− 3𝑥 − 4𝑥 + 12 = 0 再整理化簡 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0

發現(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0乘開化簡後的結果是 (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

4

𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0，它只有一個未知數，最高次方也是二次 方，而且明顯是一個等式。這個式子完全符合「一個未知數、

二次方、等式」，所以它就是一個「一元二次方程式」。

認識完一元二次方程式後，接下來介紹一元二次方程式的解。

先回想一下，我們以前曾經在國七時學過一元一次方程式的解。

有一個一元一次方程式 𝑥 − 2 = 3 ，我們知道這個方程式中的 𝑥 是 一個 未知數，而當我們將 𝑥 = 5 代入𝑥 − 2 = 3 這個方程式時，會發現等式成 立，那麼我們就說「 5 是方程式 𝑥 − 2 = 3 的解」。

同樣的，一元二次方程式的解，意思就是將某個數字代入一元二次方程式 中，如果等式成立了，那麼我們就會說那個數字是一元二次方程式的解。

舉一個例子來說，一元二次方程式𝑥² − 7𝑥 + 12 = 0的解是什麼呢？

我們嘗試將 𝑥 = 1

、

𝑥 = 2

、

𝑥 = 3

、

𝑥 = 4 代入方程式，看看有什麼結果？

5

代入 𝑥

＝ 1

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

1

²− 7 ×

1

+ 12 = 1 − 7 + 12 = 6

≠ 0

代入 𝑥

＝ 2

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

2

² − 7 ×

2

+ 12 = 4 − 14 + 12 = 2

≠ 0

代入 𝑥

＝ 3

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

3

² − 7 ×

3

+ 12 = 9 − 21 + 12 = 0 = 0 代入 𝑥

＝ 4

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

4

² − 7 ×

4

+ 12 = 16 − 28 + 12 = 0 = 0

我們將 𝑥

＝

1

、

𝑥

＝

2 代入時，等式不成立，所以 𝑥

＝

1

、

𝑥

＝

2 都不是方程 式 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0 的「解」。

而當我們將 𝑥

＝

3

、

𝑥

＝

4 代入時，等式成立，所以𝑥

＝

3

、

𝑥

＝

4 都是方程式 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0 的「解」，也可以稱作「根」。

我們再看一題！

例題二：判斷 −1 是否為一元二次方程式 𝑥²− 3𝑥 = −5𝑥 + 3 的解？

6

解：我們就是要將 𝑥 =

−1 代入 𝑥

²− 3𝑥 = −5𝑥 + 3 這個方程式裡 面，看看等式會不會成立！

等號左邊：𝑥² − 3𝑥 =

(−1)

²− 3 ×

(−1)

= 1 + 3 = 4 等號右邊：−5𝑥 + 3 = (−5) ×

(−1)

+ 3 = 5 + 3 = 8

4 ≠ 8 ，左邊 ≠ 右邊，等式不成立，所以−1 不是 𝑥² − 3𝑥 = −5𝑥 + 3 的解！

☆心得筆記

7

重點提問

1. 上面的課文中提到，如果直接按照字面上的意思來翻譯，「一元二次方 程式」指的是什麼？並請你舉一個一元二次方程式的例子。

2. 依據上面的課文，請問所謂一元二次方程式的「解」，指的是什麼？並 請你舉一個例子說明一下。

8

․隨堂練習：

1. 判斷下列各式是哪種式子，填入格子內。

(A)一元一次多項式 (B)一元一次方程式 (C)二元一次式 (D)二元一次方程式 (E)一元二次多項式 (F)一元二次方程式

(1) 3𝑥 − 8 是 。 (2) 𝑥² + 5𝑥 + 6 是 。 (3) 𝑥 + 2𝑦 = 4 是 。 (4) 3𝑥 − 6 = 9 是 。 (5) 3𝑥 + 2𝑦 是 。 (6) 3𝑥²− 8 = 5𝑥 + 3 是 。

2. −2、 − 1、0、1、2 這些數中，

哪些是一元二次方程式 𝑥²− 𝑥 − 2 = 0 的解？

9

3. 𝑥 = 1 是下列哪些一元二次方程式的根？（複選）

(A) 𝑥²− 1

＝

0

(B) 𝑥²− 2𝑥 + 1 = 0 (C) 𝑥²+ 2𝑥 + 1 = 0 (D) 𝑥²− 5𝑥 − 6 = 0 (E) 3𝑥² + 5𝑥 − 2 = 0 (F) 2𝑥² − 5 = 2𝑥 − 7

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/V4KmsLaUus8

如果例題一、二還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?v

=LrT_E-qOkzM

10

單元二：因式分解法解一元二次方程式 課文 A：利用提公因式法因式分解解一元二次方程式

認識完一元二次方程式與其解的意義後，接下來就要解方程式了！

首先就是要介紹解一元二次方程式的第一個方法─因式分解法，在說明利 用因式分解法解方程式之前，先來看一個會用到的觀念！「A × B = 0」

這個式子代表著有兩個數，一個是 A 、一個是 B ，這兩個東西相乘等於 0 。 那麼這個式子什麼情況下會成立呢？仔細想一下，就可以知道這兩個數當 中至少要有一個是 0 ，換句話說，就是「 A = 0 或 B = 0 」。

所以如果我們知道「A × B = 0」，那麼就可以推論「 A = 0 或 B = 0 」。

有這個觀念後，我們就要利用這個觀念解一元二次方程式，

例如 (3𝑥 + 1) × (𝑥 + 2) = 0 ：代表「不是 (3𝑥 + 1) = 0 就是 (𝑥 + 2) = 0 」，

所以就個別解出「(3𝑥 + 1) = 0 」及「(𝑥 + 2) = 0」就可以了！

也就是說，將一元二次方程式因式分解成

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 0(A × B = 0)，就能求出方程式的解。

接下來我們介紹三種不同形式的一元二次方程式，看看要如何利用上述方 法解出𝑥。

11

例題一：解一元二次方程式 𝑥² − 2𝑥 = 0

◎解題思維：

觀察一下， 𝑥²− 2𝑥 = 0是一個一元二次方程式，等號右邊是 0 ，所 以如果把等號左邊 𝑥²− 2𝑥拆成兩個東西相乘，那麼式子就會符合

「A × B = 0」了！把等號左邊 𝑥²− 2𝑥拆成兩個東西相乘，就是我們 之前學的因式分解！

𝑥²− 2𝑥

𝑥(𝑥 − 2)

= 0

A

×

B = 0

所以 𝑥 = 0 或 𝑥 − 2 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

0 或 2

解：𝑥²− 2𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 0 或 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 0 或 2

可以同時提出公因式 𝑥 ！

𝑥²− 2𝑥 = 0的解是「 𝑥 = 0 或 2」

試著 𝑥 = 0 、 𝑥 = 2 代回去驗證看看：

𝑥²− 2𝑥 =

0

²− 2 ×

0

= 0 − 0 = 0 等式成立 𝑥²− 2𝑥 =

2

²− 2 ×

2

= 4 − 2 × 2 = 4 − 4= 0 等式成立

12

例題二：解一元二次方程式 3𝑥² = −4𝑥

◎解題思維：

這個方程式 3𝑥² = −4𝑥等號右邊不是 0 ，那麼怎麼把等號右邊變成 0 呢？

很簡單，就是將等號右邊−4𝑥 移項到等號左邊：3𝑥² + 4𝑥 = 0 接下來就可以繼續做下去了！

3𝑥²+ 4𝑥 = 0

𝑥(3𝑥 + 4)

= 0

A

×

B = 0

所以 𝑥 = 0 或 3𝑥 + 4 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

0 或 −

⁴

3

解：3𝑥² + 4𝑥 = 0 𝑥(3𝑥 + 4) = 0 𝑥 = 0 或 3𝑥 + 4 = 0 𝑥 = 0 或 −⁴

3

可以同時提出公因式 𝑥 ！

3𝑥 + 4 = 0

3𝑥 = −4 +4 移項過去變 −4 𝑥 = (−4) ÷ 3 × 3 移項過去 ÷ 3

= (−4) ×¹

3= −⁴

3

13

例題三：解一元二次方程式 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)

◎解題思維：

等號右邊不是 0 ，等號右邊 (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) 移項到等號左邊：

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) = 0

(𝑥 + 3)[(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 5)]

= 0

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2 − 2𝑥 + 5)

= 0

(𝑥 + 3)(−𝑥 + 7)

= 0

A

× B = 0

所以 𝑥 + 3 = 0 或 −𝑥 + 7 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

−3 或 7

解：

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) = 0 (𝑥 + 3)[(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 5)] = 0

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2 − 2𝑥 + 5) = 0

(𝑥 + 3)(−𝑥 + 7) = 0

𝑥 = −3 或 7

我們在利用因式分解法解一元二次方程式時，想法就是要將整個式子變成

「A × B = 0」的樣子，等號右邊要讓它為 0 ，而等號左邊要讓它變成兩個東 西相乘，也就是之前學過的多項式因式分解的方法；接下來就可以推得

「 A = 0 或 B = 0 」，把解求出來了！

可以同時提出公因式( 𝑥 + 3) ！

14

重點提問

1. 根據上面的課文，利用因式分解法解一元二次方程式需要將式子整理 成什麼樣子？整理之後就可以推得什麼？

2. 利用提公因式因式分解來解一元二次方程式 3𝑥² = 6𝑥

3. 想想看，如果一元二次方程式𝑥(𝑥 − 1) = 1，能不能推論出「𝑥 = 1或 𝑥 − 1 = 1」然後解出𝑥呢？

15

․隨堂練習：

1.

解一元二次方程式 3𝑥²− 5𝑥 = 0

2.

解一元二次方程式 𝑥²−¹

5𝑥 = 0

3.

解一元二次方程式 𝑥² = 6𝑥

4.

解一元二次方程式 (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) = −(𝑥 + 5)(𝑥 − 5)

還想多看幾題範例，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/wa tch?v=ltZpdP_98AI

例題三還不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/UBY3Uv-Vv MA

16

課文 B：利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式

接下來繼續利用因式分解法解一元二次方程式，

我們這學期剛學過的因式分解有三種方法：提公因式、乘法公式和十字交 乘法。

課文 A 是利用提公因式來因式分解，如果沒有公因式可以提出來的話，就 可以試試十字交乘法來進行因式分解。

來看一下五個利用十字交乘法解一元二次方程式的例題！

例題一：解一元二次方程式 𝑥² − 2𝑥 − 3 = 0

◎解題思維：

觀察一下 𝑥²− 2𝑥 − 3 = 0 這個一元二次方程式，發現等號右邊是 0，如 果將等號左邊 𝑥²− 2𝑥 − 3 因式分解成兩個東西相乘，那麼整個式子就 會符合「A × B = 0」了！

𝑥² − 2𝑥 − 3 沒有公因式可以提出去，可以試試十字交乘法進行 因式 分解。

17

十字交乘法有一個口訣：「拆前面、拆後面、造中間」，𝑥²− 2𝑥 − 3 前面 𝑥² 可以拆成 𝑥 乘 𝑥 ；後面−3 可以拆成 +1 乘 −3 ，交叉相乘：

等號左邊 𝑥²− 2𝑥 − 3 =

(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

整個式子就是 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0

A

× B = 0 所以 𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 3 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

−1 或 3

解：

𝑥² − 2𝑥 − 3 = 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = −1 或 3

𝑥 + 1 𝑥 − 3 +𝑥 − 3𝑥 = −2𝑥

x x

3 2

+1 3

x x x

 



 

18

例題二：解一元二次方程式 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 = 0

◎解題思維：

把3𝑥²+ 16𝑥 + 5，前面 3𝑥² 可以拆成 3𝑥 乘 𝑥 ； 後面+5 可以拆成 +1 乘+5 ，交叉相乘：

等號左邊 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 =

(3𝑥 + 1)(𝑥 + 5)

整個式子就是 (3𝑥 + 1)(𝑥 + 5) = 0

A

× B = 0 所以 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 + 5 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

−

¹

3 或 −5

解： 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 = 0

(3𝑥 + 1)(𝑥 + 5) = 0 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 + 5 = 0 𝑥 = −¹

3 或−5

3𝑥 + 1 𝑥 + 5 +𝑥 + 15𝑥 = +16𝑥

3𝑥 + 1 = 0

3𝑥 = −1 +1 移項過去變 −1 𝑥 = (−1) ÷ 3 × 3移項過去變 ÷ 3

= (−1) ×¹

3= −¹

3

3x

x

15 16

+1 5

x x x

   



19

例題三：解一元二次方程式 −3𝑥² + 14𝑥 + 5 = 0

◎解題思維：

為了好分解，我們可以先將等號兩邊同乘−1，這樣方程式就會變為 3𝑥²

－

14𝑥

－

5 = 0，前面3𝑥² 可以拆成 3𝑥 乘𝑥 ；

後面－5 可以拆成 +1 乘

－

5 ，交叉相乘：

等號左邊 3𝑥²− 14𝑥 − 5 =

(3𝑥 + 1)(𝑥 − 5)

整個式子就是 (3𝑥 + 1)(𝑥 − 5) = 0

A

× B = 0 所以 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 5 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

−

¹

3 或 5

解：−3𝑥²+ 14𝑥 + 5 = 0 等號兩邊同乘−1 ⇒ 3𝑥²− 14𝑥 − 5 = 0

(3𝑥 + 1)(𝑥 − 5) = 0 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = −¹

3 或 5

3𝑥 + 1 𝑥 －5 𝑥－15𝑥 = －14𝑥

3𝑥 + 1 𝑥 －5 𝑥－15𝑥 = －14𝑥

20

例題四：解一元二次方程式 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 = 0

◎解題思維：

把4𝑥²+ 12𝑥 + 9，前面4𝑥² 可以拆成 2𝑥 乘2𝑥 ； 後面+9 可以拆成 +3 乘+3 ，交叉相乘：

等號左邊 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 =

(2𝑥 + 3)(2𝑥 + 3)

整個式子就是 (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) = 0

A

× B = 0 所以 2𝑥 + 3 = 0 或 2𝑥 + 3 = 0

A

= 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =

−

³

2 或−³

2

同學們一定會覺得很奇怪，這兩個解不是一樣的嗎？

沒錯！這兩個解都一樣，在這種「兩個解都一樣」的特別情況，我們 叫做「重根」！

所以我們寫出來的解也可以寫成 𝑥 = −³

2 (重根)！

2𝑥 + 3 2𝑥 + 3

6𝑥 + 6𝑥 = +12𝑥

2𝑥 + 3 = 0

2𝑥 = −3 +3 移項過去變 −3 𝑥 = (−3) ÷ 2 × 2移項過去變 ÷ 2

= (−3) ×¹

2 = −³

2

21

例題五：解一元二次方程式 (2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) = 14

◎解題思維：

這個式子的等號左邊看起來像是已經因式分解好了，但是仔細看等號右 邊不是 0 ，所以必須先將等號右邊的 14 移項過去等號左邊。

(2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 = 0

這樣子等號左邊 (2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 就必須重新整理了，

(2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 = 0 2𝑥² + 8𝑥 + 5𝑥 + 20 − 14 = 0

2𝑥²+ 13𝑥 + 6 = 0 這很明顯可以使用十字交乘法：

前面2𝑥² 可以拆成 2𝑥 乘𝑥 ；後面+6 可以拆成 +1 乘+6 ， 交叉相乘：

所以 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 6) = 0

那麼 (2𝑥 + 1) = 0 或 (𝑥 + 6) = 0 移項整理得到 𝑥 =

−

¹

2 或 −6 2𝑥 + 1 𝑥 + 6

𝑥 + 12𝑥 = +13𝑥

2𝑥 + 1 = 0

2𝑥 = −1 +1 移項過去變 −1 𝑥 = (−1) ÷ 2 × 2移項過去變 ÷ 2

= (−1) ×¹

2= −¹

2

22

重點提問

1. 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 𝑥² + 7𝑥 = −12

2. 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 2

23

․隨堂練習：

1.

解一元二次方程式 𝑥²− 7𝑥 + 10 = 0

2.

解一元二次方程式 3𝑥²− 14𝑥 + 15 = 0

3.

解一元二次方程式 −3𝑥² + 17𝑥 − 10 = 0

4.

解一元二次方程式 9𝑥²− 12𝑥 + 4 = 0

5.

解一元二次方程式 (2𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 4

如果例題一、三、四 還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/wa tch?v=0FJLIDi2vlM

如果例題五還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/wa tch?v=9mncwQDUJgw

24

課文 C：利用乘法公式因式分解解一元二次方程式

因式分解還有一種方式，就是利用乘法公式來因式分解。

複習一下，乘法公式有三種：

和的平方公式：𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² 、 差的平方公式：𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)² 、 平方差公式：𝑎²− 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 。

直接來試試看練習題！

例題一：解一元二次方程式 𝑥²− 6𝑥 + 9 = 0

◎解題思維：

這個 𝑥²− 6𝑥 + 9 = 0 一元二次方程式的等號右邊為 0 ，觀察等號左 邊 𝑥²− 6𝑥 + 9 ，其中一次項係數6＝2 × 3；常數項9＝3²，

因此𝑥² − 6𝑥 + 9 可以利用公式 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)² 因式分解。

𝑥² − 6𝑥 + 9 =

𝑥

²− 2 ∙

𝑥

∙

3

+

3

² = (𝑥−

3)

²

𝑎

²− 2 𝑎 𝑏 +

𝑏

² = (𝑎−

𝑏)

² 整個式子就是 (𝑥 − 3)² = 0

這個 (𝑥 − 3)的平方 等於 0 ，其實就是 (𝑥 − 3) 會等於 0 ，所以 𝑥 就會 等於 3 。

25

但是這個一元二次方程式 𝑥²− 6𝑥 + 9 = 0 的解只有一個嗎？

仔細想一下，𝑥² − 6𝑥 + 9 = 0這個一元二次方程式可以化成 (𝑥 − 3)² = 0 ，而等號左邊 (𝑥 − 3)² = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) ； (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0 ，那麼 (𝑥 − 3) = 0 或 (𝑥 − 3) = 0 。

更準確地來說，解出來應該是兩個都一樣的，也就是「重根」。

因此解出來的解可以寫成 𝑥 = 3 (重根)！

解 1：

𝑥² − 6𝑥 + 9 = 0

𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 3² = 0 (𝑥 − 3)² = 0

(𝑥 − 3) = 0 𝑥 =3 (重根)

解 2：其實也可以用十字交乘法解

(𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0 (𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 3 (重根)

※小秘密：只要能化成(𝑎 + 𝑏)²或(𝑎 − 𝑏)²形式的一元二次方程式，都 可以用十字交乘法解喔！

𝑥 − 3 𝑥 − 3

−3𝑥 − 3𝑥 = −6𝑥

26

例題二： 想想看下列一元二次方程式可以利用哪一個乘法公式來 解？

(A) 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 = 0 (B) 4𝑥² = 9 (C) (3𝑥 − 2)² = (2𝑥 − 3)²

(A)等號左邊 4𝑥² + 12𝑥 + 9 ： 4 是 2 的平方，所以 4𝑥² = (2𝑥)²； 12𝑥 可以拆成 2 乘 2𝑥 乘 3 ，也就是 12𝑥 = 2 ∙

2𝑥

∙

3 ；而 9 = 3

²。

如下面的式子：

4𝑥²+ 12𝑥 + 9 = (2𝑥)² + 2 ∙

2𝑥

∙

3

+

3

² = (2𝑥+

3)

² 𝑎² + 2 𝑎 𝑏 +

𝑏

² = ( 𝑎 +

𝑏)

² 所以整個式子就是 (2𝑥 + 3)² = 0，𝑥 = −³

2 (重根)

利用和的平方公式：𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)²就可以解出𝑥了。

(B)看一下 4𝑥² = 9 這一個一元二次方程式，發現它等號的右邊不是 0，那 麼第一步我們當然要將等號右邊的東西移項到等號左邊去。

等號右邊的 9 移項到等號左邊去，整個式子變成 4𝑥²− 9 = 0 了！

等號左邊 4𝑥² − 9 ： 4 是 2 的平方，所以 4𝑥² = (2𝑥)²；而 9 = 3²。 如下面的式子：

4𝑥²− 9 = (2𝑥)² − 3² = (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) 𝑎 ² − 𝑏² = ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) 所以整個式子就是 (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) = 0

A

× B = 0 可求出𝑥 =

−

³

2 或 ³

2

利用平方差公式𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)就可以把𝑥解出來了。

27

(C)看這個一元二次方程式 (3𝑥 − 2)² = (2𝑥 − 3)²，發現等號右邊不為 0 ， 所以要移項到左邊變成：(3𝑥 − 2)²− (2𝑥 − 3)² = 0。

等號左邊很明顯就是可以利用平方差公式：𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (3𝑥 − 2)² − (2𝑥 − 3)² = 0

𝑎² − 𝑏²

[(3𝑥 − 2) + (2𝑥 − 3)][(3𝑥 − 2) − (2𝑥 − 3)] = 0 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)

(3𝑥 − 2 + 2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2 − 2𝑥 + 3)

= 0

(5𝑥 − 5)(𝑥 + 1)

= 0

A × B = 0 可求出x = 1 或 −1

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋「重根」的意思，並請你舉一個 例子說明一下。

28

2. 試著利用乘法公式解下列一元二次方程式，並將解該題與所用到的乘 法公式連起來。

1. 9𝑥² − 49 = 0

˙

˙

和的平方公式：

𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² 2. 𝑥² − 16𝑥 + 64 = 0

˙

˙

差的平方公式：

𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)²

3. 25𝑥²+ 20𝑥 + 4 = 0

˙ ˙

平方差公式：

𝑎²− 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

29

․隨堂練習：

1.

解一元二次方程式 𝑥²+ 8𝑥 + 16 = 0

2.

解一元二次方程式 9𝑥²− 24𝑥 + 16 = 0

3.

解一元二次方程式 9𝑥² = 4

4.

解一元二次方程式 (𝑥 − 2)² = (2𝑥 + 3)²

如果例題三還是不太懂，

請看下面影片

https://www.youtube.com/wa tch?v=1qmPo436-Us

30

單元三：利用配方法解一元二次方程式

課文 A：利用平方根的概念解一元二次方程式

上一單元我們利用因式分解法解一元二次方程式，但是所有的一元二 次方程式都可以利用因式分解法來解嗎？

試試看解一元二次方程式 𝑥²+ 6𝑥 + 2 = 0 。

要將左邊 𝑥²+ 6𝑥 + 2 因式分解，讓整個成為「A × B = 0」的形式：

𝑥²

、

6𝑥

、

+ 2 各項沒有共同的公因式，所以不能提公因式；

如果我們嘗試用十字交乘法，「拆前面、拆後面、造中間」，前面𝑥² 拆 成 𝑥 ∙ 𝑥 ，後面+2拆成(+2) × (+1)，看看造中間，也發現沒辦法成功 造中間，所以也沒辦法利用十字交乘法。

※因為無法利用十字交乘法，所以也不能用和的平方公式來解 這種沒辦法利用因式分解法來解的一元二次方程式怎麼辦？

接下來要介紹新的方法！

x x

2 3

1 2

x x x

  





31

我們先來看一些比較簡單的例子！

例題一：解下列一元二次方程式：

(1) 𝑥² = 4 (2) 𝑥² = 7

解：這兩題都是很單純一元二次方程式的題目，就其實是求平方根。

(1) 𝑥² = 4 ，指的意思是 𝑥 是 4 的平方根。

4 的平方根為 2 或 −2 ，所以 𝑥 = 2 或 −2 。 (2) 𝑥² = 7 ，指的意思是 𝑥 是 7 的平方根。

7 的平方根為 √7 或 −√7 ，所以 𝑥 = √7 或 −√7 。

再來看稍微複雜一點的題目！

32

例題二：解下列一元二次方程式：

(1) (𝑥 − 1)² = 4 (2) (𝑥 + 3)² = 7

解：

(1)這題我們可以利用因式分解的方法來解，也可以用不同方法來試 試看！

(𝑥 − 1)² = 4 ，我們先將 (𝑥 − 1) 看成一整個物件。

一整個物件的平方等於 4 ：

(𝑥 − 1)² = 4，所以 (𝑥 − 1) = 2或−2。

𝑥 − 1 = 2 或 𝑥 − 1 = −2

𝑥 = 2 + 1 或 𝑥 = −2 + 1 𝑥 = 3 或 −1

(2) (𝑥 + 3)² = 7，所以 (𝑥 + 3) = √7 或 −√7。

𝑥 + 3 = √7 或 𝑥 + 3 = −√7 𝑥 = −3 + √7 或 𝑥 = −3 − √7 𝑥 = −3 + √7 或 −3 − √7

33

在例題一、例題二中，我們都用到了平方根的觀念來解一元二次方程 式，而這個平方根的觀念就是配方法很重要的想法。

我們要利用平方根的觀念來解一元二次方程式，就需要將每一個一元 二次式變成完全平方式的樣子，像是 (𝑥 − 1)²、(𝑥 + 3)² ，於是整個 式子就變成「(𝑥 + □ )² = ◯」形式，像是 (𝑥 − 1)² = 4、(𝑥 + 3)² = 7，

接下來就可以利用平方根的觀念解出 𝑥 來了！

而變成完全平方式的過程，這個方法就是所謂的「配方法」(配成完 全平方式的方法)。

34

重點提問

1. 根據上面的課文，要利用「配方法」解一元二次方程式，會利用 到什麼樣的觀念？

2. 根據上面的課文，我們可以利用平方根的觀念解怎樣的一元二次 方程式？請舉出一個例子說明。

35

․隨堂練習：

1.

解一元二次方程式 𝑥² = 8

2.

解一元二次方程式 𝑥² = 17

3.

解一元二次方程式 (𝑥 + 2)² = 8

4.

解一元二次方程式 (𝑥 − 5)² = 17 還想多看幾題範例，

請看下面影片

https://www.youtube.com/

watch?v=-t0PTmieSB8

36

課文 B：配成完全平方式

「配方法」就是要將式子配成完全平方式的方法，

接下來我們就要先看如何配成完全平方式。

在了解如何配成完全平方式之前，

先複習一下乘法公式，主要會用到兩種公式：

1.和的平方公式：(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²

這個公式表示的意思是說 (𝑎 + 𝑏)² 展開就會變成 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² ； 反過來說就是只要集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，就可以換成 (𝑎 + 𝑏)² ， 而這就是一種完全平方式了！

2.差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²

這個公式表示的意思是說 (𝑎 − 𝑏)² 展開就會變成 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² ； 反過來說就是只要集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，就可以換成 (𝑎 − 𝑏)² ， 而這就是一種完全平方式了！

我們就是利用乘法公式的概念去配成完全平方式。

37

例題一：在空格中填入適當的數，並將下列各式變成完全平方式。

(1) 𝑥²+ 6𝑥 + □ (2) 𝑥²− 10𝑥 + □

解：

(1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式，從題目來觀察，

「𝑥² + 6𝑥 + □ 」這個式子結構跟「𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²」比較像，

所以我們只要集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」就可以換成 (𝑎 + 𝑏)²。

𝑥² + 6𝑥 + □

這裡的 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 6𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ， 想一下 6𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？

6𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 3，也就是說把 3 當成 b；

所以最後再加個 𝑏² 就集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」了。

如下面的式子：

𝑥²+ 6𝑥 + □ =

𝑥

² + 2 ∙

𝑥

∙

3

+ □ 𝑎² + 2 𝑎 𝑏+

𝑏

²

所以 □ 只要填入 3² ，就有集滿「𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，可以變成 (𝑎 + 𝑏)²。

𝑥² + 6𝑥 +3² =

𝑥

²+ 2 ∙

𝑥

∙

3

+

3

² = (𝑥+

3)

² 變成完全平方式了！

𝑎

² + 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² = (𝑎+

𝑏)

²

38

(2)「𝑥²− 10𝑥 + □ 」這個式子結構跟「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」比較像，

所以我們只要集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」就可以換成 (𝑎 − 𝑏)²。

𝑥² − 10𝑥 + □

這裡的 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 10𝑥 就是 2𝑎𝑏 ， 想一下 10𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？

10𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 5，也就是可以把 5 當成 b；

所以最後再加個 𝑏² 就集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」了。

如下面的式子：

𝑥²− 10𝑥 + □ =

𝑥

²− 2 ∙

𝑥

∙

5

+ □ 𝑎² − 2 𝑎 𝑏+

𝑏

²

所以 □ 只要填入 5² ，就有集滿「𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，可以變成 (𝑎 − 𝑏)²。

𝑥² − 10𝑥 +5² =

𝑥

²− 2 ∙

𝑥

∙

5

+

5

² = (𝑥−

5)

²變成完全平方式了！

𝑎

²− 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² = (𝑎−

𝑏)

²

39

例題二：在空格中填入適當的數，並將下列各式變成完全平方式。

(1) 𝑥²− 5𝑥 + □ (2) 𝑥²+ 7𝑥 + □

解：

(1)利用集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」就可以換成 (𝑎 − 𝑏)²。

𝑥² − 5𝑥 + □

這裡的 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那麼 5𝑥 就是 2𝑎𝑏 ， 想一下 5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？

5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙⁵

2，也就是把 ⁵

2 當成 b；

所以最後再加個 𝑏² 就集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」了。

如下面的式子：

𝑥²− 5𝑥 + □ =

𝑥

² − 2 ∙

𝑥

∙

5

2

+ □ 𝑎² − 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² 所以 □ 只要填入 (⁵

2)² ，就有集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，可以變成 (𝑎 − 𝑏)²。

𝑥² − 5𝑥 + (⁵

2)² =

𝑥

²− 2 ∙

𝑥

∙⁵

2+ (⁵

2)² = (𝑥 −⁵

2)²變成完全平方式！

𝑎

²− 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² = (𝑎−

𝑏)

²

40

(2)利用集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」就可以換成 (𝑎 + 𝑏)²。

𝑥² + 7𝑥 + □

這裡的 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那麼 7𝑥 就是 2𝑎𝑏 ， 想一下 7𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？

7𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙⁷

2，就是把 ⁷

2 當成 b；

所以最後再加個 𝑏² 就集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」了。

如下面的式子：

𝑥²+ 7𝑥 + □ =

𝑥

² + 2 ∙

𝑥

∙

7

2

+ □ 𝑎² + 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² 所以 □ 只要填入 (⁷

2)² ，就有集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，可以變成 (𝑎 + 𝑏)²。

𝑥² + 7𝑥 + (⁷

2)² =

𝑥

² + 2 ∙

𝑥

∙⁷

2+ (⁷

2)² = (𝑥+⁷

2)²變成完全平方式！

𝑎

² + 2 𝑎 𝑏+

𝑏

² = (𝑎+

𝑏)

²

41

★省思：

我們來對照一下這些例子！

甲、 𝑥²+ 6𝑥 + 3² = 𝑥² + 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 3² = (𝑥 + 3)² 乙、 𝑥²− 10𝑥 + 5² = 𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 5² = (𝑥 − 5)² 丙、 𝑥²− 5𝑥 +(⁵

2)² = 𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙⁵

2+ (⁵

2)² = (𝑥 −⁵

2)² 丁、 𝑥²+ 7𝑥 +(⁷

2)² = 𝑥²+ 2 ∙ 𝑥 ∙⁷

2+ (⁷

2)² = (𝑥 +⁷

2)²

從這 4 個例子觀察，可以看到一些特性，

𝑥² 係數都是 1 ，框框填的都是原本 𝑥前面數字一半的平方，

也就是 b 會是原本 𝑥前面數字的一半。例如：

甲、 𝑥²+ 6𝑥 的 𝑥前面數字是 6 ， b 計算出來就是 3 ， 3 就是 6 的一半。

𝑥²+ 6𝑥 再加上 3² 才集滿「𝑥²+ 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 3²」可以換成 (𝑥 + 3)² ；

乙、 𝑥²− 10𝑥 的 𝑥前面數字是 10 ， b 計算出來就是 5 ，5 就是 10 的一半。

𝑥²− 10𝑥 再加上 5² 才集滿「𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 5²」可以換成 (𝑥 − 5)²； 丙、 𝑥²− 5𝑥 的 𝑥前面數字是 5 ， b 計算出來就是 ⁵

2 ，⁵

2 就是 5 的一半。

𝑥²− 5𝑥 再加上 (⁵

2)² 才集滿「𝑥² − 2 ∙ 𝑥 ∙⁵

2+ (⁵

2)²」可以換成 (𝑥 −⁵

2)² ； 丁、 𝑥²+ 7𝑥 的 𝑥前面數字是 7 ， b 計算出來就是 ⁷

2 ，⁷

2 就是 7 的一半。

𝑥²+ 7𝑥 再加上 (⁷

2)² 才集滿「𝑥² + 2 ∙ 𝑥 ∙⁷

2+ (⁷

2)²」可以換成 (𝑥 +⁷

2)²。

42

重點提問

1. 根據上面的課文，我們可以利用哪兩個乘法公式來將式子配成完 全平方式？

2. 請在空格中填入適當的數，並變成完全平方式： 𝑥² + 𝑚𝑥 + □ 。 從題目來觀察，應該要利用和的平方公式來協助配成完全平方法。

集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」，就可以換成 (𝑎 + 𝑏)²！

將 當成 𝑎 、 當成 2𝑎𝑏，𝑚𝑥 = 2 ∙ ∙ ， 那麼 當成 𝑏，所以□ 要填入𝑏² = 。

填入之後，𝑥²+ 𝑚𝑥 + □ =

它的完全平方式就是 。

43

․隨堂練習：

1.

在空格中填入適當的數，並變成完全平方式：𝑥²+ 2𝑥 + □

2.

在空格中填入適當的數，並變成完全平方式：𝑥²− 8𝑥 + □

3.

在空格中填入適當的數，並變成完全平方式：𝑥²+ 3𝑥 + □

4. 在空格中填入適當的數，並變成完全平方式：𝑥²− 𝑥 + □

如果 Ex1、Ex2 還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=8u1fnbAymXk

還想多看幾題範例，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=tUGmuWF2rvI

44

課文 C：利用配方法解 x 係數為 1 的一元二次方程式

²

懂了利用平方根的概念解一元二次方程式，也知道如何將一個一元二 次多項式配成完全平方後，接下來就來看如何利用配方法解一般的一 元二次方程式吧！

課文 A 一開始就舉出一個例子，解一元二次方程式 𝑥²+ 6𝑥 + 2 = 0 ， 這個等號左邊的𝑥² + 6𝑥 + 2無法利用因式分解法來解。

那麼怎麼利用配方法來解呢？

如果我們可以將式子變成「 (𝑥 + □ )² = ◯ 」這個形式的話，就可 以用平方根的概念來解了。

首先，我們思考一下，是要解出什麼來？

是要解一元二次方程式 𝑥²+ 6𝑥 + 2 = 0 這個方程式的解，求出 𝑥 ， 所以主角是 𝑥 ！

那麼我們就習慣將跟 𝑥 比較有關的 𝑥²、+6𝑥 放一起，把 +2 移項到 等號右邊，那麼式子就會變成：𝑥²+ 6𝑥 = −2 。

45

根據前面的說明，就是要想辦法配出完全平方式來，要配成完全平方 式需要集滿「𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²」才可以換成 (𝑎 + 𝑏)² 。

嘗試處理 𝑥²+ 6𝑥 ，把 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 6𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ，但是還缺少 𝑏² ，再加上 𝑏² 就集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」。根據課 文 B，我們要加上𝑥前面數字的一半，也就是 𝑥²+ 6𝑥 再加上 3² ，就 可以配成完全平方了。

因為是等式，等號左邊要加上 3² ，等號右邊當然也要加上 3² ，才能 維持等式成立，所以式子就會變成：𝑥² + 6𝑥 + 3² = −2 + 3²

等式左邊：𝑥²+ 6𝑥 + 3² = 𝑥² + 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 3² = (𝑥 + 3)² 𝑎²+ 2 𝑎 𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² 所以式子可以整理成：(𝑥 + 3)² = −2 + 3²

(𝑥 + 3)² = −2 + 9 (𝑥 + 3)² = 7

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了，

整個的平方等於 7 ：(𝑥 + 3)² = 7，所以 (𝑥 + 3) = √7 或 −√7。

𝑥 + 3 = √7 或 𝑥 + 3 = −√7，也可以寫成𝑥 + 3 = ±√7 𝑥 = −3 + √7 或 𝑥 = −3 − √7

再來看一題吧！

46

例題一：利用配方法解一元二次方程式 𝑥²− 10𝑥 + 8 = 0

◎解題思維：

移項一下，式子變成：𝑥² − 10𝑥 = −8，我們就來想怎麼配成平方。

𝑥² − 10𝑥 ，我們要集滿「𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²」換成 (𝑎 − 𝑏)² 。 把 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 10𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ，

所以還缺少 𝑏² ，再加上 𝑏² 就集滿「𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²」。根據課文 B，

我們要加上𝑥前面數字的一半，也就是 𝑥²− 10𝑥 再加上 5² ，就可 以配成完全平方了。

因為是等式，等號左邊要加上 5² ，等號右邊當然也要加上 5² ， 才能維持等式成立，所以式子就會變成：𝑥² − 10𝑥 + 5² = −8 + 5² 等式左邊：𝑥² − 10𝑥 + 5² = 𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 5² = (𝑥 − 5)²

𝑎² − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)² 所以式子可以整理成：(𝑥 − 5)² = −8 + 5²

(𝑥 − 5)² = −8 + 25 (𝑥 − 5)² = 17

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。

47

解：𝑥²− 10𝑥 + 8 = 0 𝑥²− 10𝑥 = −8

𝑥²− 10𝑥 + 5² = −8 + 5² = −8 + 25 = 17 (𝑥 − 5)² = 17

(𝑥 − 5) = √17 或 (𝑥 − 5) = −√17 𝑥 = 5 + √17 或 5 − √17

再來練習看看一題比較難配方的題目！

例題二：利用配方法解一元二次方程式 𝑥²− 5𝑥 = 2

◎解題思維：

跟 𝑥 比較有關的已經一起，接下來就來想怎麼配成平方吧！

𝑥² − 5𝑥 ，我們要集滿「𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²」換成 (𝑎 − 𝑏)² 。 把 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 5𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ， 想一下 5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？

5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙⁵

2，也就是說把 ⁵

2 當成 b。

有 𝑎² 、 2𝑎𝑏 ，所以還缺少 𝑏² ，再加上 𝑏² 就集滿「𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²」。 也就是 𝑥²− 5𝑥 再加上 (⁵

2)² ，就可以配成完全平方了。

48

因為是等式，等號左邊要加上 (⁵

2)² ，等號右邊當然也要加上 (⁵

2)² ， 才能維持等式成立，所以式子就會變成：𝑥²− 5𝑥 + (⁵

2)² = 2 + (⁵

2)² 等式左邊：𝑥² − 5𝑥 + (⁵

2)² = 𝑥²− 2 ∙ 𝑥 ∙⁵

2+ (⁵

2)² = (𝑥 − ⁵

2)² 𝑎² − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)² 所以式子可以整理成：(𝑥 −⁵

2)² = 2 + (⁵

2)² (𝑥 −⁵

2)² = 2 +²⁵

4 (𝑥 −⁵

2)² =⁸

4+²⁵

4 (𝑥 −⁵

2)² =³³

4

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。

解： 𝑥²− 5𝑥 − 2 = 0 𝑥²− 5𝑥 = 2 𝑥²− 5𝑥 + (⁵

2)² = 2 + (⁵

2)² = 2 + ²⁵

4 =⁸

4+²⁵

4 = ³³

4 (𝑥 −⁵

2)² =³³

4 (𝑥 −⁵

2) = √³³

4 或 (𝑥 −⁵

2) = −√³³

4

(𝑥 −⁵

2) = ^√33

√4 或 (𝑥 −⁵

2) = −^√33

√4

(𝑥 −⁵

2) = ^√33

2 或 (𝑥 −⁵

2) = −^√33

2

𝑥 = ^√33

2 +⁵

2 或 𝑥 = −^√33

2 +⁵

2

𝑥 = ^5+√33

2 或 ^5−√33

2

49

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋一下什麼是「配方法」。

2. 請利用配方法解一元二次方程式 𝑥²+ 4𝑥 − 4 = 0

50

․隨堂練習：

1.

利用配方法解一元二次方程式 𝑥²+ 8𝑥 − 7 = 0

2.

利用配方法解一元二次方程式 𝑥²− 2𝑥 = 3

3.

利用配方法解一元二次方程式 𝑥²+ 𝑥 − 1 = 0

4. 利用配方法解一元二次方程式 𝑥²− 3𝑥 = 10

還想多看幾題範例，

請看下面影片

https://www.youtube.com/

watch?v=bdFnaAofZZ0

51

課文 D：利用配方法解 x 係數不為 1 的一元二次方程式

²

如果我們今天遇到 𝑥² 係數不為 1 的一元二次方程式，怎麼辦呢？

其實就把它變回去 𝑥² 係數為 1 的一元二次方程式就好了！

舉個例子！

我們要解 3𝑥² + 𝑥 − 1 = 0 這個一元二次方程式，它的 𝑥² 係數是 3 啊！

因為是等式，所以等號左右同除以 3 依然相等：

3𝑥² 3

+

^𝑥

3

−

¹

3

=

⁰

3

它的 𝑥² 係數變成 1 了：

𝑥

²

+

¹

3

𝑥 −

¹

3

= 0

將 −¹

3 移項到等號右邊：

𝑥

²

+

¹

3

𝑥 =

¹

3

52

𝑥

²

+

¹

3

𝑥

想要配成完全平方，我們要集滿「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」換成 (𝑎 + 𝑏)² 。

把 𝑥² 當成 𝑎² ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 ¹

3𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ，想一下

1

3𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是 ¹

3 的一半：¹

6 。

1

3𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙¹

6，也就是把 ¹

6 當成 b；所以最後再加個 (¹

6)² 就集滿

「𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²」了。

而等號左邊要加上 (¹

6)² ，等號右邊當然也要加上 (¹

6)² ，才能維持等 式成立：

𝑥²+1

3𝑥 + (1

6)² = 1 3+ (1

6)²

等號左邊： 𝑥² +¹

3𝑥 + (¹

6)² = 𝑥²+ 2 ∙ 𝑥 ∙¹

6+ (¹

6)² = (𝑥 + ¹

6)² 𝑎²+ 2 𝑎 𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² 等號右邊： ¹

3+ (¹

6)² = ¹

3+ ¹

36

= ¹²

3×12+ ¹

36

= ¹²

36+ ¹

36

= ¹³

36

整個式子：

(𝑥 +

¹

6

)

²

=

¹³

36

53

將 (𝑥 +¹

6) 看成一整個東西，利用平方根的概念：

(𝑥 +

¹

6

)

²

=

¹³

36

(𝑥 +

¹

6

) = ±√

¹³

36

𝑥 +

¹

6

=

^√13

√36

或 𝑥 +

¹

6

= −

^√13

√36

𝑥 +

¹

6

=

^√13

6

或 𝑥 +

¹

6

= −

^√13

6

將+¹

6 移項到等號右邊：

𝑥 = −

¹

6

+

^√13

6

或 𝑥 = −

¹

6

−

^√13

6

𝑥 =

^−1+√13

6

或

^−1−√13

6

重點提問

1. 請利用配方法解一元二次方程式 2𝑥²− 4𝑥 + 1 = 0

54

․隨堂練習：

1.

利用配方法解一元二次方程式 2𝑥²+ 6𝑥 + 1 = 0

2.

利用配方法解一元二次方程式 3𝑥²− 2𝑥 = 1

還想多看幾題範例，

請看下面影片

https://www.youtube.com/

watch?v=ROtxIS8Dm0M

55

單元四：利用公式解解一元二次方程式 課文 A：一元二次方程式的一般式

我們前面學過解一元二次方程式有兩種方法：因式分解法跟配方法，

接下來我們要來看最後一種解法：公式解。

在介紹這個公式之前，要先介紹「一元二次方程式的一般式」。

什麼是一元二次方程式的一般式呢？就是只要是一元二次方程式，都 一定可以寫成「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」的樣子，

「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」就是一元二次方程式的一般式！

它真的能代表所有的一元二次方程式嗎？我們舉一些例子來試試看！

3𝑥²+ 4𝑥 + 1 = 0，明顯跟一般式「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」完全符合，

再比對一下： 3𝑥² +4𝑥 +1 = 0

𝑎𝑥² +𝑏𝑥 +𝑐 = 0

會發現 3𝑥²+ 4𝑥 + 1 = 0 的 𝑎 = 3、𝑏 = 4、𝑐 = 1

那 −𝑥² + 3𝑥 = −1 呢？看起來好像不太像，但是我們可以移項一下。

等號右邊的−1 移項到等號左邊變+1 ，整個式子變成−𝑥²+ 3𝑥 + 1 = 0 ， 符合一般式「 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」了。

比對一下，：−𝑥² +3𝑥 +1 = 0 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 +𝑐 = 0

−𝑥² 代表是−1 ∙ 𝑥² ，所以 𝑎 = −1、𝑏 = 3、𝑐 = 1

56

再舉一個例子，4𝑥²− 5 = 0 ，好像不太一樣，它只有兩項，但 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 有三項，那怎麼辦？

很簡單， 4𝑥² − 5 = 0 缺了 𝑥 項，所以就補項 +0𝑥，變成：

4𝑥²+ 0𝑥 − 5 = 0。

但是要注意「 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」每一項都是加的，所以把式子變成：

4𝑥² +0𝑥 +(−5) = 0 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

比對一下，就知道 𝑎 = 4、𝑏 = 0、𝑐 = −5 。

如果你對找係數很熟悉的話，你也可以用係數來看，在一元二次方程 式的一般式 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 中， 𝑎 所代表的就是 𝑥² 的係數、𝑏 所 代表的就是 𝑥 的係數、𝑐 所代表的就是常數項。

再來看一下 4𝑥²− 5 = 0 這個一元二次方程式，𝑥² 的係數是 4 ；沒有 𝑥 項，所以代表 𝑥 項的係數是 0 ；常數項是 −5 。因此 𝑎 = 4、𝑏 = 0、

𝑐 = −5 。

不管怎麼舉例，只要是一元二次方程式，都一定可以寫成一般式

「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」的樣子，也可以找出 𝑥² 係數𝑎、𝑥 的係數 𝑏 、 常數 𝑐。

57

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的「一般式」。並舉出一個例子說明。

․隨堂練習：

1.

請將下列一元二次方程式化為一般式「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」的樣 子，並找出各式的 𝑎

、

𝑏

、

𝑐 。

(1)

3𝑥²− 2𝑥 = 1

(2)

𝑥² = 3

(3) 𝑥

²

= 3𝑥

58

課文 B：利用公式解解一元二次方程式

只要是一元二次方程式，都一定可以寫成一般式「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」 的樣子，也可以找出 𝑥² 係數𝑎、𝑥 的係數 𝑏 、常數 𝑐 ，

然後我們就可以將 𝑎 、 b 、 c 代入「𝑥 = ^−𝑏±

√𝑏²−4𝑎𝑐

2𝑎 」這個公式，

而這個公式就是所謂的「公式解」。那這個公式是怎麼來的呢？

任何的一元二次方程式，都一定可以寫成一般式「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」 的樣子，所以我們利用前面的配方法來解解看 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 這個 一元二次方程式的解會是怎樣。

我們要解一元二次方程式 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0，它的 𝑥² 係數是 𝑎 ，而 且因為它是一元二次方程式，所以 𝑎 ≠ 0 。

將它整個式子同除以 𝑎 ： ^𝑎𝑥2

𝑎

+

^𝑏𝑥

𝑎

+

^𝑐

𝑎

=

⁰

𝑎

它的 𝑥² 係數變成 1 了：

𝑥

²

+

^𝑏

𝑎

𝑥 +

^𝑐

𝑎

= 0

將 +^𝑐

𝑎 移項到等號右邊：

𝑥

²

+

^𝑏

𝑎

𝑥 = −

^𝑐

𝑎

𝑥

²

+

^𝑏

𝑎

𝑥

想要配成完全平方，我們要集滿「□²+ 2 ∙ □ ∙△ + △²」 換成 (□ +△)² 。

把 𝑥² 當成 □² ，就是把 𝑥 當成 □；那 ^𝑏

𝑎𝑥 就當成是 2□ ∙△ ， 想一下 ^𝑏

𝑎𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是 ^𝑏

𝑎 的一半：^𝑏

2𝑎 。

𝑏

𝑎𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ^𝑏

2𝑎，也就是把 ^𝑏

2𝑎 當成 △；所以最後再加個 (^𝑏

2𝑎)² 就集滿

59

「□²+ 2 ∙ □ ∙△ + △²」了。

而等號左邊要加上 (^𝑏

2𝑎)² ，等號右邊當然也要加上 (^𝑏

2𝑎)² ，才能維持 等式成立：

𝑥² +𝑏

𝑎𝑥 + ( 𝑏

2𝑎)² = −𝑐

𝑎+ ( 𝑏 2𝑎)² 等號左邊： 𝑥² +^𝑏

𝑎𝑥 + (^𝑏

2𝑎)² = 𝑥²+ 2 ∙ 𝑥 ∙ ^𝑏

2𝑎+ (^𝑏

2𝑎)² = (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)² □² + 2 ∙ □ ∙△ + △² = (□ +△)² 等號右邊：

−

^𝑐

𝑎

+ (

^𝑏

2𝑎

)

²

= −

^𝑐

𝑎

+

^𝑏2

4𝑎²

= −

^𝑐∙4𝑎

𝑎∙4𝑎

+

^𝑏2

4𝑎²

=

^−4𝑎𝑐

4𝑎²

+

^𝑏2

4𝑎²

=

^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎² 整個式子： (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²

=

^𝑏2_4𝑎^−4𝑎𝑐₂ 將 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎) 看成一整個物件，利用平方根的概念：

(𝑥 +

^𝑏

2𝑎

)

²

=

^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎²

(𝑥 +

^𝑏

2𝑎

) = ±√

^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎²

𝑥 +

^𝑏

2𝑎

= ±

^{√𝑏2−4𝑎𝑐}

√4𝑎²

𝑥 +

^𝑏

2𝑎

= ±

^{√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

將+ ^𝑏

2𝑎 移項：

𝑥 = −

^𝑏

2𝑎

±

^{√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

=

^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

60

既然知道這個「𝑥 = ^{−𝑏±√𝑏}

2−4𝑎𝑐

2𝑎 」公式，那麼我們就可以利用公式 解來解一些一元二次方程式了！

例題一：利用公式解，求出一元二次方程式 𝑥² + 6𝑥 + 2 = 0 的解。

解：一元二次方程式 𝑥² +6𝑥 +2 = 0 ，

已經是一般式「 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 +𝑐 = 0 」的樣子了，

所以可以知道 𝑎 = 1、b = 6、c = 2。

將 𝑎 = 1、b = 6、c = 2 代入 ^{−𝑏±√𝑏}

2−4𝑎𝑐 2𝑎

一次全部代入的話，計算量太大了，我們可以分批算，先算根 號裡面的東西：𝑏²− 4𝑎𝑐。

𝑏²− 4𝑎𝑐 = 6² − 4 × 1 × 2 = 36 − 8 = 28

𝑥 = ^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 =^−6±√28

2×1 = ^−6±2√7

2 = −3 ± √7

𝑥²+ 6𝑥 + 2 = 0 的解是 −3 + √7 或 −3 − √7

61

例題二：利用公式解，求出一元二次方程式 𝑥² − 5𝑥 = 2 的解。

解：我們先將𝑥²− 5𝑥 = 2換成一般式「 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 」的樣子，

將等號右邊的 2 移項：𝑥² − 5𝑥 − 2 = 0。

𝑥² 的係數是 1 ； 𝑥 項的係數是−5 ；常數項是 −2 。 所以可以知道 𝑎 = 1、b = −5、c = −2。

將 𝑎 = 1、b = −5、c = −2 代入 ^{−𝑏±√𝑏}

2−4𝑎𝑐 2𝑎

先算根號裡面的東西：𝑏²− 4𝑎𝑐。

𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−5)² − 4 × 1 × (−2) = 25 + 8 = 33

𝑥 = ^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 =^{−(−5)±√33}

2×1 = ^5±√33

2

𝑥²− 5𝑥 = 2 的解是 ^5+√33

2 或 ^5−√33

2

例題三：利用公式解，求出一元二次方程式 3𝑥²+ 𝑥 − 1 = 0 的解。

解：𝑥² 的係數是 3 ； 𝑥 項的係數是 1 ；常數項是 −1 。 所以可以知道 𝑎 = 3、b = 1、c = −1。

將 𝑎 = 3、b = 1、c = −1 代入 ^−𝑏±

√𝑏²−4𝑎𝑐 2𝑎

62

先算根號裡面的東西：𝑏²− 4𝑎𝑐。

𝑏²− 4𝑎𝑐 = 1² − 4 × 3 × (−1) = 1 + 12 = 13

𝑥 = ^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 =^−1±√13

2×3 = ^−1±√13

6

3𝑥²+ 𝑥 − 1 = 0 的解是 ^−1+√13

6 或 ^−1−√13

6

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的「公式解」。並舉出一個例子說明。

2. 整理一下，解一元二次方程式有三種方法，是哪三種？

63

․隨堂練習：

1.

解一元二次方程式 𝑥²+ 8𝑥 − 7 = 0

2.

解一元二次方程式 𝑥²− 2𝑥 = 3

3.

解一元二次方程式 𝑥²+ 𝑥 − 1 = 0

4. 解一元二次方程式 𝑥²− 3𝑥 = 10

64

5. 解一元二次方程式 2𝑥²+ 6𝑥 + 1 = 0

6.

解一元二次方程式 3𝑥²− 2𝑥 = 1

還想多看幾題範例，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=ozLjlbBfCY8 還是不太懂公式怎麼來，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=SIRrDDLsPpU

65

課文 C：一元二次方程式的判別式

接下來我們要講另一個主題－判別式。

什麼是判別式呢？我們舉一個簡單的例子來看看！

𝑥² + 2𝑥 + 3 = 0 這是一個一元二次方程式，那我們現在要來解它。

因為它沒有辦法用十字交乘做，所以我們希望用公式解。

公式解的第一步需要知道判斷 𝑎 是多少， 𝑏 是多少， 𝑐 是多少？

以這題目來看 𝑎 = 1

、

𝑏 = 2

、

𝑐 = 3， 𝑎, 𝑏, 𝑐 都判斷出來了，就可以 代公式啦！藉由公式知道

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏²− 4𝑎𝑐

2𝑎 = −2 ± √2²− 4 × 1 × 3

2 × 1 = −2 ± √4 − 12 2

= −2 ± √−8 2

各位同學，算到這裡你會覺得非常奇怪，根號裡有負的嗎？

在我們國中範圍根號裡面不能有負的。

因為 √7 代表的意思是可以找到某一個數，這個數的平方是 7 。 但萬一根號裡面是負的，像這裡 √−8 ，你要找到一個數使得它平方 等於 −8 。

可是如果這個數是正的，正的平方，正正得正，這是不可能的；那如 果這個數是負的，負的平方，負負得正，這也不可能。

所以你沒有辦法找到一個數，使得它平方等於 −8 。

很明顯地在國中的範圍沒有這樣的東西，這樣的東西是不存在的。