懂了利用平方根的概念解一元二次方程式，也知道如何將一個一元二 次多項式配成完全平方後，接下來就來看如何利用配方法解一般的一 元二次方程式吧！
課文 A 一開始就舉出一個例子，解一元二次方程式 𝑥2+ 6𝑥 + 2 = 0 ， 這個等號左邊的𝑥2 + 6𝑥 + 2無法利用因式分解法來解。
那麼怎麼利用配方法來解呢？
如果我們可以將式子變成「 (𝑥 + □ )2 = ◯ 」這個形式的話，就可 以用平方根的概念來解了。
首先，我們思考一下，是要解出什麼來？
是要解一元二次方程式 𝑥2+ 6𝑥 + 2 = 0 這個方程式的解，求出 𝑥 ， 所以主角是 𝑥 ！
那麼我們就習慣將跟 𝑥 比較有關的 𝑥2、+6𝑥 放一起，把 +2 移項到 等號右邊，那麼式子就會變成：𝑥2+ 6𝑥 = −2 。
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根據前面的說明，就是要想辦法配出完全平方式來，要配成完全平方 式需要集滿「𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2」才可以換成 (𝑎 + 𝑏)2 。
嘗試處理 𝑥2+ 6𝑥 ，把 𝑥2 當成 𝑎2 ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 6𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ，但是還缺少 𝑏2 ，再加上 𝑏2 就集滿「𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2」。根據課 文 B，我們要加上𝑥前面數字的一半，也就是 𝑥2+ 6𝑥 再加上 32 ，就 可以配成完全平方了。
因為是等式，等號左邊要加上 32 ，等號右邊當然也要加上 32 ，才能 維持等式成立，所以式子就會變成：𝑥2 + 6𝑥 + 32 = −2 + 32
等式左邊：𝑥2+ 6𝑥 + 32 = 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 32 = (𝑥 + 3)2 𝑎2+ 2 𝑎 𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 所以式子可以整理成：(𝑥 + 3)2 = −2 + 32
(𝑥 + 3)2 = −2 + 9 (𝑥 + 3)2 = 7
這時候我們就可以利用平方根的概念來解了，
整個的平方等於 7 ：(𝑥 + 3)2 = 7，所以 (𝑥 + 3) = √7 或 −√7。
𝑥 + 3 = √7 或 𝑥 + 3 = −√7，也可以寫成𝑥 + 3 = ±√7 𝑥 = −3 + √7 或 𝑥 = −3 − √7
再來看一題吧！
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例題一：利用配方法解一元二次方程式 𝑥2− 10𝑥 + 8 = 0
◎解題思維：
移項一下，式子變成：𝑥2 − 10𝑥 = −8，我們就來想怎麼配成平方。
𝑥2 − 10𝑥 ，我們要集滿「𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2」換成 (𝑎 − 𝑏)2 。 把 𝑥2 當成 𝑎2 ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 10𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ，
所以還缺少 𝑏2 ，再加上 𝑏2 就集滿「𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2」。根據課文 B，
我們要加上𝑥前面數字的一半，也就是 𝑥2− 10𝑥 再加上 52 ，就可 以配成完全平方了。
因為是等式，等號左邊要加上 52 ，等號右邊當然也要加上 52 ， 才能維持等式成立，所以式子就會變成：𝑥2 − 10𝑥 + 52 = −8 + 52 等式左邊：𝑥2 − 10𝑥 + 52 = 𝑥2− 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 52 = (𝑥 − 5)2
𝑎2 − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 所以式子可以整理成：(𝑥 − 5)2 = −8 + 52
(𝑥 − 5)2 = −8 + 25 (𝑥 − 5)2 = 17
這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。
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解：𝑥2− 10𝑥 + 8 = 0 𝑥2− 10𝑥 = −8
𝑥2− 10𝑥 + 52 = −8 + 52 = −8 + 25 = 17 (𝑥 − 5)2 = 17
(𝑥 − 5) = √17 或 (𝑥 − 5) = −√17 𝑥 = 5 + √17 或 5 − √17
再來練習看看一題比較難配方的題目！
例題二：利用配方法解一元二次方程式 𝑥2− 5𝑥 = 2
◎解題思維：
跟 𝑥 比較有關的已經一起，接下來就來想怎麼配成平方吧！
𝑥2 − 5𝑥 ，我們要集滿「𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2」換成 (𝑎 − 𝑏)2 。 把 𝑥2 當成 𝑎2 ，就是把 𝑥 當成 𝑎；那 5𝑥 就當成是 2𝑎𝑏 ， 想一下 5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙ ? ，問號會是多少？
5𝑥 = 2 ∙ 𝑥 ∙5
2，也就是說把 5
2 當成 b。
有 𝑎2 、 2𝑎𝑏 ，所以還缺少 𝑏2 ，再加上 𝑏2 就集滿「𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2」。 也就是 𝑥2− 5𝑥 再加上 (5
2)2 ，就可以配成完全平方了。
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重點提問
1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋一下什麼是「配方法」。
2. 請利用配方法解一元二次方程式 𝑥2+ 4𝑥 − 4 = 0
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․隨堂練習：
1.
利用配方法解一元二次方程式 𝑥2+ 8𝑥 − 7 = 02.
利用配方法解一元二次方程式 𝑥2− 2𝑥 = 33.
利用配方法解一元二次方程式 𝑥2+ 𝑥 − 1 = 04. 利用配方法解一元二次方程式 𝑥2− 3𝑥 = 10
還想多看幾題範例，
請看下面影片
https://www.youtube.com/
watch?v=bdFnaAofZZ0
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