單根檢定

進行時間序列資料分析之前，必須先確定時間數列為穩定的 狀態，若序列為不穩定即存在單根，當時間序列有單根時，若使 用 傳 統 的 迴 歸 分 析 方 法 如 最 小 平 方 法(OLS)進行迴歸分析將產 生 假性迴歸(spurious regression)的問題，導致有很高的R² 與t 統計 量 ， 但DW值卻相當小，此時迴歸的結果不具有經濟意義。至於 時間序列不穩定的問題，可以透過差分(difference)方式將非穩定 時 間 序 列 轉 化 成 恆 定 序 列 。 若 一 序 列 經 過d次差分始成為恆定，

即此序列的整合階次(integrated of order)為d，以I(d)表示。通常 總體經濟變數資料多為I(1)序列。至於I(0)則表示序列不須經過差 分，本身就是恆定序列，所以必須先確定時間數列資料為穩定的 狀態，進行的迴歸分析才具有意義。

而數列穩定的定義在於此數列須符合三條件，即一定態數列 的期望值、變異數及自我相關係數皆不會隨著時間而改變，也就 是在數列資料呈穩定時，其數列會在一個長期平均值附近波動，

會呈現迴歸平均值的情況。不僅可由單根檢定來分析，亦可由數 列波動圖形觀察。

1.E(S_t) = u 2.Var (S_t) = σ ²

3.Cov(S_t,S_t+i) =Cov(S_t−k,S_t−k+j)

滿足此三條件即符合穩定的時間數列。

以下將分別介紹 Dickey and Fuller(1979)的單根檢定、Said and Dickey(1984)之擴大修正後的單根檢定及 KPSS 單根檢定。

一、DF 單根檢定法(Dickey and Fuller)

Dickey and Fuller(1979)提出的單根檢定，經過不斷的發展後 成為大家所熟悉的 DF 檢定，DF 檢定法已成為驗證變數是否為穩 定的主要方法，主要有下列三種模式：

模式一：無截距項與趨勢項

t t

t y

y = γ +ε

Δ ₋₁ ……….3.2 模式二：有截距項與無趨勢項

t t

t y

y ⁼

α

Δ _{0 −1} ………..3.3 模式三：有截距項與趨勢項

t t

t y t

y ⁼

α

Δ _{0 −1 1} ………..3.4 上式中ε_t 為白噪音（white noise）過程，若為有單根非穩定 之數列則γ =0，但若為穩定之數列則 γ≠0。故假設檢定為：

0

0:γ =

H (具有單根), 表示時間數列不穩定。

0

1:γ ≠

H (不具有單根)，表示時間數列穩定。

當虛無假設被拒絕時表示數列已呈穩定狀態，不具有單根。

反之則不拒絕虛無假設表示數列為不穩定，有單根，此時必須對 數列進行差分之後，直到數列呈現穩定為止。

二、ADF 單根檢定(Augmented Dickey–Fuller)

在（DF）檢定法中忽略了誤差項可能具有自我相關的問題，

所以 Said and Dickey(1984)則提出在 DF 檢定中加入被解釋變數 的 落 後 期 ， 修 正 殘 差 項 自 我 相 關 的 現 象 的 ADF(Augmented

Dickey–Fuller)檢定法。因此本研究以 ADF 檢定法檢定研究資料

是否呈穩定現象。

以下對 ADF 檢定法的三種模式做一介紹: 模型如下:

模式一：無截距項與趨勢項

t p

i i t i

t

t y y

y =γ + ∑ Δβ +ε Δ − = −

1 1 ………3.5

模式二：有截距項與無趨勢項

t p

i i t i

t

t y y

y =α +γ + ∑ Δβ ⁺ε

Δ − = −

1 1

0 ………3.6

模式三：有截距項與趨勢項

t p

i i t i

t

t y t y

y =α +γ +α + ∑ Δβ ⁺ε

Δ − = −

1 1

0 1 ………...…………3.7

假設檢定為：

0

0:γ =

H (具有單根), 表示時間數列不穩定。

0

1:γ ≠

H (不具有單根)，表示時間數列穩定。

若 ADF 絕對值大於臨界值的絕對值，則拒絕 H₀表示數列已 呈穩定狀態，不具有單根。反之則拒絕 H₀ 表示數列為不穩定，

有單根，此時必須對數列進行差分之後，直到數列呈現穩定為止。

ADF 檢定法於最適落後期之選定，一般有下列兩種準則：

1、AIC 準則：Akaike(1976)提之 AIC 準則指選萬 AIC（Akaike Information Criterion）值最小者為最適落後期數。

2、SBC 準則：指選取 SC（Schwarz Bayesian Criteria）值最小者 為最適落後期數。

三、KPSS 單根檢定法(Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin) 傳 統 的 單 根 檢 定 其 虛 無 假 設 皆 以 變 數 具 有 單 根 ， 然 而 Kwiatkowski(1992)根據Phillips and Perron(1988) 提出修正的LM 檢定統計量，稱之為KPSS 單根檢定法。其虛無假設為變數為穩 定。其統

計量是以普通最小平方法來進行迴歸分析，模型如下所示：

y

= γ x

+ ε

H0：不具有單根, 表示時間序列穩定。

H1：具有單根，表示時間序列不穩定。

以經由 KPSS 檢定所得之 LM 統計量來判斷，較大的 LM 統計量 將拒絕虛無假設，則時間序列具有單根為非穩定序列。