本章的主旨是要針對本設計的單級全橋式交/直流變通型轉換器作線 性化的小訊號分析。圖3-1 為具有輸入電流修飾的單級全橋式交/直流轉換 器，這個電路中的昇壓電感Lin，變壓器線圈N1，三個功率二極體D2、D3 與D4，切換開關Q5，儲能電容C1，共組成具有輸入電流修飾功能的升壓 型電路。其中N1為額外加入的變壓器線圈，用來回授儲能電容電壓。另外，
四個切換開關Q1、Q2、Q3與Q4，儲能電容C1，變壓器線圈N2和N3，磁 化電感Lm，兩個功率二極體D5與D6，輸出電感Lo與輸出電容C2則組成穩 定輸出電壓的全橋式轉換電路。電路正常工作時。昇壓電感Lin操作在非連 續導通模式(DCM)，全橋轉換器則操作在連續導通模式(CCM)，此後簡稱 此單級式轉換器電路工作於DCM+CCM 模式。
本章將使用雙時間尺度平均化法(Averaging Method for Two-Time-Scale
System) [31][32]，推導操作於 DCM+CCM 模式之下，圖 3.1 之單級全橋式
交/直流轉換器的交流小訊號數學模式，以及此電路閉迴路的小訊號分析，
並且應用推導結果，針對系統設計控制器。最後利用Pspice 針對電壓轉換 器開迴路設計的增益及相位模擬電路，來驗證數學式的正確性。
3-1 單級全橋式交/直流變通型轉換器的動作流程與波形
圖3.2 在一個切換週期內的電壓與電流波形
電路區間工作原理如下：
流iQ5，此時
N3的值，使得iD6會大於iD5。由圖3.5 可得：
圖3.6 Mode 4 的電流迴路
Mode 5：轉向區間(t>t5)
又接著循環區間一，但是導通開關由 Q1、Q2變成 Q3、Q4，如圖3.7。
此時磁化電流線性減少，當磁化電流減少到零的時候，磁化電流的流向就 會開始改變。
圖3.7 Mode 5 的電流迴路
3-2 雙時間尺度平均法的簡介[30]
利用雙時間尺度平均化法，先求出快速變數的移動平均(moving average)函數，然後帶入慢速變數中，即可得到慢速變數的平均化模式。求 其直流工作點，及推導慢速子系統的小訊號模式。
具有雙時間尺度的電力轉換器，每個切換週期內可分為 n 個階段，因 此其混合型模式的狀態方程式(state equation)，可描述為
0 0 元件，則(3.16)中函數 fi與gi為片段連續(piecewise continuous)函數，因此 系統狀態方程式可寫成 方程式。對任意函數h(t)，其移動平均函數(moving average function)定義為
( ) : lim 1 t T ( )
期Ts內取平均，即 0
1 0
( ) 1 n Ti i( , , )
s i
Y X t X Y d
T ϕ τ
=
=
∑∫
，其中Ti為切換週期Ts中各個階段經歷的時間。最後，將此解代入式(3.16)，可得慢速變數平均化模式 的狀態方程式
( , , ( ))
X = ⋅ε f t X Y Xi (3.21) 如此，電壓轉換器的數學模式，已由混合模式的(3.15)轉換成(3.21)的 慢速平均化模式。使得原本具有兩種時間尺度的系統，轉換為只有慢速時 間尺度的系統。應用雙時間尺度平均法，可求電壓轉換器其交流小訊號數 學模式。
3-3 小訊號模型的建立
根據3-2 節概念，首先針對電壓轉換器在一個切換週期內平均化，可 獲得切換週期Ts下快速系統平均化模式，即各元件之電感電壓/電容電流 的平均值為各階段電感電壓/電容電流與時間軸之間的面積總和，再除以切 換週期Ts。然後再利用切換週期Ts所求得的平均化模式對線電壓週期TL
取平均。切換週期Ts的移動平均，將在符號上方加橫線表示：如電容電流 的移動平均符號為i 。c
3-3-1 切換週期 Ts的平均化模式之推導 平均化模式推導之前，做下列假設：
(1) 切換開關、二極體及變壓器視為理想元件；
(2) 線電壓頻率(120Hz)遠小於切換頻率(60kHz)，所以在一個切換週期 Ts內，可將輸入電壓vg(t)視為定值；
(3) 儲能電容C1與輸出電容C2的電壓變化率遠小於開關切換頻率，所 以vC1及vC2在一個切換週期內可視為常數。
圖3.1 中有五個儲能元件，個別是輸入電感 Lin、磁化電感Lm、輸出電 感Lo、儲能電容C1、輸出電容C2，自圖3.2 取出其電壓/電流波形示於圖 3.8。因轉換器操作於 DCM+CCM 模式，故輸入電感電流iLin不再是狀態變 數，只能屬於約束方程式(constraint equation)，實際上僅四個狀態變數。於 是列出在切換週期Ts的平均狀態方程式、約束方程式及輸出方程式如下：
平均化狀態方程式
1
圖3.8 單級全橋式交/直流變通型轉換器之電感/電容電壓/電流波形圖
{ }
而且
im可以(3.33)表示
( ) ( ) ( )
4 L
圖3.9 y=0.2763x+0.4980 與 y=tan-1x 在1.1≤ ≤x 2.26之比較
4.2004(1 ) 0.5526(1 )
2 (1 2 )
1 2
1 1 1
1
2 2
1 1 1 1
13
2 0
3-4 閉迴路系統之小訊號分析與控制器設計
Current mode control stage
Optocoupler feedback stage
18V 12V 不穩定。Fm是電流模式控制調變器(current-mode modulator)的增益，其值 由感測電流斜率Sn和斜率補償電壓斜率Se所決定，如(3.70)所示[33]。
量測到的開關電流在流經Rs電阻後產生了近似之等效取樣及保持
(sample-and-hold)的電流波形，He(s)是取樣模型[33]，其表示式如(3.72)所 示，可近似為一個二階連續函數，如(3.73)所示，Qz和ω 如(3.74)和(3.75)n CTR 是光耦合器的電流轉換率(current transfer ratio)[34]，一般會使其工作 點操作在電流轉換率接近100%。KD = RD2
+ 是分壓比，Z1、Z2、Z3是
迴路中的阻抗。
結合圖3.10 和圖 3.11 以及 3-3 節的所得到的轉換函數，可以得到圖 3.13 的迴授方塊圖。由式(3.73)可知，He(s)在 fs/2 時會產生使系統不穩定的 效應，所以一般在CCM 電流模式控制下，轉換器的增益交越頻率(crossover frequency)通常設計在甚小於 fs/2 下，如此 He(s)在實際控制器的設計過程
3-4-2 系統控制器之設計
1
5 7 4 10 3 13 2 16 17
6 4 5 7 4 10 3 13 2 15 17
( ) ( )
283.3 s + 1.733 10 s + 1.05 10 s + 7.094 10 s + 1.267 10 s + 5.021 10 s + 2.358 10 s + 2.067 10 s + 9.814 10 s + 3.375 10 s + 4.894 10 s + 1.91 10
D vc
T s =K G s
× × × × ×
= × × × × × ×
(3.87) 由(3.87)繪製T s1( )的波德圖如下
圖3.15 無頻率補償的電流模式控制迴路增益波德圖
希望補償後的迴路增益T sA( )其增益交越頻率fc=2kHz，相位餘域
m 45
φ ≈ °。由圖3.15 的波德圖之位於頻率 2kHz 附近的增益只有-25.6dB 明 顯不足，相位為-113。，因此必須設計補償器其補償增益26dB，補償相位 -22。左右。
由圖3.14 及式(3.82)、(3.83)、(3.84)可得補償器G sc( )的轉換函數
22 33 22 33
7 2 2 2 2 2
圖3.17 補償後之迴路增益T sA( )的波德圖
圖3.18 是模擬的全載/半載(負載由 15→30Ω)的暫態反應模擬波形。反 應時間約1.5m 秒，幅度約 1V。
圖3.18 全載/半載暫態反應模擬波形
3-5 應用 Pspice 驗證轉換函數之正確性
( )
1
圖3.19 直流輸入電壓導通率至輸出電壓轉換函數之波德圖
圖3.20 交流輸入電壓導通率至輸出電壓轉換函數之波德圖
由圖3.19 和圖 3.20 可以看出，在直流和交流輸入電壓下分別得到的波德 圖，僅在100Hz 以下有略有不同。為比較低頻些微的不同對系統閉迴路穩
定性的影響，迴授補償後的迴路增益T sA( )之波德圖的比較如圖3.21 所示
(a) 直流輸入電壓
(b) 交流輸入電壓
由圖3.21(a)(b)可知在迴路增益T sA( )之波德圖在直流和交流輸入電壓 下幾乎為相同，因此Pspice 在直流輸入電壓下的量測結果可近似於驗證交 流輸入電壓下所得到的轉換函數。
3-5-2 應用 Pspice 驗證直流輸入電壓下之轉換函數
藉由此 Pspice 模擬電路，可以直接由轉換器在開迴路的情況下，得到 導通率至輸出電壓轉換函數的增益以及相位。其原理方塊圖如圖3.22 所 示。
圖中有三部分電路，第一部份是小訊號擺頻信號產生器，VPWL (piecewise linear voltage source)控制頻率的擺動，在串接直流偏壓源以後，
送到Duty ratio 控制產生電路，以控制轉換器的開關。另兩部分的電路是 振幅檢知電路以檢知輸出電壓的交流信號之振幅；以及相位檢知電路，檢 測出相位角度信號。波德圖的繪製是由VPWL 的輸出當頻率軸，振幅及相 角信號做縱軸。橫軸和縱軸分別取log 及 dB 後，就可以得到波德圖的曲線。
圖3.22 Pspice 波德圖產生器的原理方塊圖
圖3.23 之等效 RLC 負載近似於單級全橋式交/直流變通型轉換器的直 /直流部分。將 Pspice 波德圖產生器應用在圖 3.23 之電路上，可以得到圖
1.25kHz 的頻率響應。VPWL 的縱座標電壓值決定頻率點，橫座標時間決 定斜率，斜率越大則擺頻弦波頻率變動的幅度越大，由圖3.24 可看出斜率 的不同對增益及相位的影響。斜率小則相角越準確，斜率大則方便看到高 頻的頻率響應。圖3.25 是在共軛複根處對應的頻率、增益及相位的刻度，
圖3.26 是在高頻 70kHz 處對應的刻度，圖中數字為在 Pspice 中所量出的 刻度。與圖3.27 Matlab 模擬結果相比較，可以看出刻度相當接近，驗證了 此Pspice 波德圖產生電路的可行性。
圖3.23 RLC 負載測試電路
圖3.24 頻率、增益及相位輸出波形
圖3.25 頻率、增益及相位在共阨複根對應刻度
圖3.26 頻率、增益及相位在高頻 70kHz 對應刻度
圖3.27 Matlab 的增益及相位模擬結果與刻度
將此電路直接使用在圖3.1 電路的控制信號至輸出電壓轉換函數之開 迴路Pspice 模擬結果，如圖 3.28 所示，為 150Hz 至 1kHz 的頻率響應。不
數極點之刻度標於圖中，由圖中可以看出與圖3.27 之 Matlab 模擬結果誤 差並不大。而在接近1kHz 的位置，由於高頻雜訊影響輸出訊號的震幅，
使得相位產生誤差。
圖3.28 開迴路 Pspice 模擬結果之頻率、增益及相位輸出波形
第四章
負載R=0.833Ω 時代入(4.1)，可得 CDE=2.7515A；負載 R=1.25Ω 時代入 (4.1)，可得 CDE=1.81A。Pspice 模擬結果如圖 4.1 所示，電感平均電流標 於圖中。R=0.833Ω 時，模擬可得 CDE=2.7039A；R=1.25Ω 時，模擬可得 CDE=1.7522A。由此可知兩個不理想的 Buck 轉換器並聯，會造成電流分 配誤差現象。