第二章 文獻探討
第二節 單調性測度探討
壹、單調性測度與模糊積分之發展契機
現今最廣泛被應用之多重決策統計理論，主要建構於嚴謹優美之可加性機率 測度理論上，但是當我們欲進行預測及分類之資料具有潛在交互作用時，傳統可 加性測度分析方法雖計算方便，卻在實際應用上，會遇到情境不盡相符，無法有 效的表達主觀評估的模糊性，常有力有未逮及功效不彰之感。
在此舉一簡例說明如下：
[例]假設某國中之畢業成績中，自然學科之科目包含物理與化學、生 物、地球科學三科，三科之滿分均為 100 分，某生成績依次分別為 70,80,90 分，則表現其整合學習能力之自然科成績總分應如何加權計 分？
情況一：若三科目之重要度加權為已知，分別為 0.5 比 0.3 比 0.2，則 其加權平均為 70 0.5 80 0.3 90 0.2× + × + × =77
情況二：若三科目之重要度加權為未知，則一般可視為等加權，則其 加權分平均為 70 1 80 1 90 1 80
3 3 3
× + × + × =
然而，若以嚴謹之測度論之觀點檢視上例，則上述三科成績之重要度之直接 加權可視為一種可加性計分測度，必須滿足物理與化學、生物、地球科學三科相 互之間無交互作用之基本假設。事實上，這三科間多少會包含影響整合學習能力 之潛在重疊交互作用與互補交互作用；例如三科中均包含語文閱讀理解能力，數 式計算能力，實驗操作能力等，因未考慮學科間之重疊交互作用，可能任二科之 基本學習能力，會發生重複計算之情形，另外若未考慮學科間互補整合學習能力 則會發生偏低計算之情形，因此引發兩種待解決之測度問題。在情況一中，單科 重要度為已知，如何考慮交互作用而訂定多科聯合之非完全模糊測度及整合模糊
積分的問題，上述情形在λ測度、P 測度、m 測度、廣義 m 測度、ρ∗測度、及完 備 m 測度等已有論析；至於情況二，單科重要度或測度為未知，須與多科聯合之 測度一併訂定其單調性完全測度及整合模糊積分的問題，這是本節探討解決之主 要課題。
貳、單調性測度定義與分類
一般常見之 Lebesgue 測度及機率測度，皆為可加性測度之特例，其滿足可加 性之測度必滿足單調性，反之不必然；現在我們放寬限制，以單調性取代可加性 之測度即為單調性測度，此時可加性之測度即為單調性測度之特例，簡而言之，
單調性測度包含可加性測度與非可加性測度。單調性測度又稱模糊測度，其初始 概念首先由 Dempster （1967） 提出，完備之發展由 Shafer （1976） 提出，單 調性測度及其分類之嚴謹定義如下：
一、單調性測度
若
(
X, 2X)
為可測空間，且集合函數g: 2X →[ ]
0,1 滿足下列條件時，則稱g為(
X, 2X)
上之單調性測度（monotonous measure）或模糊測度（fuzzy measure）：（1） g
( )
φ =0 ,g X( )
=1 [正規性（regularity）]（2） ∀A B, ∈2 ,X A⊆B⇒g A
( )
≤g B( )
[單調性（monotonicity）]
二、單調性測度之分類
令g為
(
X, 2X)
上之單調性測度：（1） 若 ∀A B, ∈2 ,X A∩B= ∋φ g A
(
∪B)
=g A( )
+g B( )
時，則稱g為(
X, 2X)
上之可加性測度（additive measure） 調性測度（mixture monotonous measure）。
（5） 若g不為可加性測度，則稱為非可加性測度（non-additive measure）。
三、單調性非完全測度之分類
（1） gP
( )
φ =0 ,gP( )
X =1（3） ∀ ⊂A X, 2≤ A <n