第三章 研究結果與分析
3.2 單雜質系統
在加入多顆雜質之前我們首先要先確認單顆非磁性雜質對系統的影響，圖 (3.6)、(3.8)、(3.9) ，為將一個雜質放入系統中央時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能
隙
△
𝑖 和交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布。可以看到𝑈 = 0和𝑈 = 2.4的狀況，摻入一個 雜質時對電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布的影響都是局域的。在遠離雜質 點處，各個序參數(order parameter)的空間分布幾乎不受雜質點的影響，但在 𝑈 = 2.4時，在雜質點附近，由於非磁性雜質的存在，導致序參數(order parameter)在每個雜質點附近都受到很強的抑制，雜質點上的磁化強度幾乎為零，圖(3.8) ， 且會提高(enhance)雜質點鄰近的反鐵磁序磁化強度 ，但整體結構及條紋週期性 未受破壞。而圖(3.7)則表明了𝑈 = 0時在最鄰近雜質點處的局域狀態密度會出現 典型的零散射峰。圖(3.10)和(3.7)明顯不同，𝑈 = 2.4時，最鄰近雜質點處的局 域狀態密度在費米能兩側的超導相干峰被明顯壓制，但費米能兩側還存在由於反 鐵磁而產生的能隙。
圖(3.6): 圖(a)、(b)為 𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的電子密度𝑛𝑖、d 波 超導能隙
△
𝑖。圖(3.7):綠線為𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，最鄰近雜質點局域狀態密度 曲線。紅線為𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，遠離雜質點局域狀態密度曲線。
圖(3.8): (a)、(b)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的交錯磁化強度𝑀𝑖空 間分布、動量空間分布。
圖(3.9): (a)、(b)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的電子密度𝑛𝑖、d 波超 導能隙
△
𝑖空間分布。圖(3.10):綠線為𝑈 = 2.4 𝑛̅ = 0.89，無雜質摻雜時的狀態密度曲線。紅線為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，最鄰近雜質點局域狀態密度曲線。
3.3 多雜質系統
接下來來研究隨著雜質摻雜濃度的增加，超導是怎樣被影響的。這裡需要注
意的是，同一雜質濃度下不同隨機分布的雜質位型對超導的影響是不同的，所以 我們在隨機分布的同時，會設定雜質與雜質之間的間距，避免過分集中在某些區 域，並且會對其作多次不同雜質位型的計算。並得出雜質位型平均的超導能隙△
關於雜質濃度𝑛𝑖𝑚𝑝的關係曲線。
在𝑈 = 0的勻相系統中，圖(3.11)、(3.12) 顯示出雜質引入對超導能隙和電 荷密度局域的抑制，可以看到隨著雜質摻雜濃度的增加，超導能隙逐漸被破壞且 局域化，且相干性越來越差。
圖(3.11):(a)、(b)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.02 %時的電子密度𝑛𝑖、d 波超 導能隙
△
𝑖空間分布。(c)、(d)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.04 %時的電子密度 𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。(e)、(f)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.95 %時 的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。圖(3.12):圖(a)、(b)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.00 %時的電子密度𝑛𝑖、d 波
超導能隙
△
𝑖和空間分布。圖(c)、(d)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 8.03 %時的電 子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。圖(e)、(f)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 9.06%時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。
為了瞭解雜質摻雜對超導能隙的影響，圖(3.13)為將不同的雜質隨機分布位 型平均後的超導能隙隨摻雜濃度的關係，可以看到平均超導能隙隨著雜質引入以 幾乎線性的趨勢衰減，在𝑈 = 0時，超導能隙∆𝑖的臨界濃度𝑛𝑖𝑚𝑝則大概在9.06%左 右。
圖(3.13):(a)為𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度的關係。
隨著雜質摻雜濃度的提高，𝑈 = 0時的狀態密度出現明顯的變化(圖 3.14)，
超導相干峰被抑制且越發不明顯，摻雜濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 = 8.03 % 到 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 9.06 %時相 干峰消失，費米面附近的超導能隙被破壞，(圖 3.15)可以看到中間費米能對應 的狀態密度逐漸上升，對照單雜質系統中最鄰近雜質點的局域狀態密度圖(3.7) 中可以得知這是由於零散射峰造成的結果。
圖(3.14): 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線。
圖(3.15): 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之費米能的狀態密度。
超流密度𝜌𝑠與磁穿透深度𝜆−2成正比，它可以表示一個超導體中超導相的相 干性的好壞，是一種非局域的響應函數，所以可以提供更多關於超導配對對稱性 的信息，所以超流密度作為系統的超導態何時消失的依據，從圖(3.16)可以看到 超流密度𝜌𝑠隨摻雜濃度的增加，迅速的趨向 0，可以看到其減小的速度比超導能 隙快。
圖 (3.16):(a) 與 (b) 分別 為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89時 和 超 導 能隙∆ 和 超 流 密 度 𝜌𝑠隨 摻雜濃度變化的關係。(虛線為外差部分)
在𝑈 = 2.4的系統中，當雜質濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 < 1.10時，由於雜質引入的電荷局域 化和強散射出現對超導能隙、電荷密度的抑制，電荷密度被影響的格點距離較短，
雜質點附近的磁化強度會被提高(enhance)。而當雜質濃度為𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10% 和 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83% 時，交錯磁化強度的條紋結構出現歪斜的狀態，呈現如 smectic phase 的樣貌，如圖(3.17)，且條紋的數量改變也反映在動量空間中的兩個最大 峰值位置在波向量𝒌 = 2𝜋/𝑎(0,0 ± ε)的位置ε = 12.796，最大峰值附近出現了 小的強度訊號，說明條紋相受到擾動，本來的準一維特性被破壞。
圖(3.17): (a)、(b)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10%時的交錯磁化強 度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。圖(c) 、(d)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83%時的交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布
隨著雜質摻雜濃度𝑛𝑖𝑚𝑝增加，圖(3.18)為𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.00 %和𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08 %時 交錯磁化強度𝑀i在空間中的分布情形。我們發現條紋結構由 smectic phase 轉變 為 nematic phase。交錯磁化強度𝑀i在動量空間上除了原有的兩個最大峰值，不 同之處在於在它們周圍出現更多的強度訊號，且更加明顯，形成類似橢圓形的區 域。
圖(3.18): (a)、(b)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.00%時的交錯磁化強 度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。(c)、(d)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08%時的交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。
摻雜濃度𝑛𝑖𝑚𝑝從2.00 %到6.05 %之間，圖(3.19)，也是類似的情況，而且相 較低濃度的雜質摻雜，交錯磁化強度的最大值升高，這也是由於非磁性雜質會提 高雜質點附近的磁化強度。圖(3.20)則為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 對應不同摻雜濃度，
在動量空間沿𝑘𝑥方向交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布(5 個不同雜質位型的平均) 。
圖(3.19): 圖(a)、(b)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.13%時的交錯磁化 強度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。圖(c)、(d)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 =
4.10%時的交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。圖(e)、(f)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.05%時交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布和動量空間分布。
圖(3.20): (a)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 對應不同摻雜濃度，在動量空間沿𝑘𝑥 方 向交錯磁化強度𝑀𝑖空間分布。
圖(3.21): (a)、(b) 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10%時的電子密度𝑛𝑖、d 波超
導能隙
△
𝑖空間分布。(c)、(d)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83%時的電子密 度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。現在來觀察雜質摻雜濃度變化時，電子密度𝑛𝑖和 d 波超導能隙
△
𝑖的空間分布 從圖(3.21)，電子密度和超導能隙在雜質濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10% 和𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83% 時，超導能隙的結構被影響的很明顯，雜質對超導的局域的抑制相當強而且較遠，另 外電子密度𝑛𝑖的條紋結構也是形同於 smectic phase 的樣貌。
圖(3.22): (a)、(b) 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.00%時的電子密度𝑛𝑖、d 波超
導能隙
△
𝑖空間分布。(c)、(d)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08%時的電子密 度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。
當雜質摻雜濃度為𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.00% 和 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08%時，圖(3.22) 。電子密 度和超導能隙在格點上的空間分布也會形成如 nematic phase 的樣貌。最後當摻 雜濃度𝑛𝑖𝑚𝑝從2.00 %到6.05 %之間，我們看到超導能隙在空間逐漸被抑制，其條 紋結構也被完全破壞，超導能隙只出現空間中零星的區域。如圖(3.23)所示。
圖(3.23): (a)、(b) 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.13%時的電子密度𝑛𝑖、d 波超
導能隙
△
𝑖空間分布。(c)、(d)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 4.10%時的電子密 度𝑛𝑖、d 波超導能隙△
𝑖空間分布。(e)、(f)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.05%時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙
△
𝑖空間分布。在圖(3.24)中，為將不同的雜質隨機分布位型平均後的超導能隙隨摻雜濃度 的關係，我們發現平均超導能隙隨著雜質的引入已幾乎線性的趨勢衰減，在𝑈 = 2.4時，超導能隙∆𝑖的臨界濃度𝑛𝑖𝑚𝑝大概在6.05%左右，可以看到相對於U = 0的 系統，超導能隙∆𝑖的臨界濃度𝑛𝑖𝑚𝑝較小。非磁性雜質對具條紋相反鐵磁序的超導 破壞性更大。
圖(3.24):(a)紅線為𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度變化關係。綠 線為𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度變化關係。
圖(3.25)(3.26)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線。
隨著雜質摻雜濃度的提高，超導相干峰被抑制，由於雜質會提高雜質點附近的磁 化強度，磁化強度的振幅提高，費米能周圍的狀態密度仍然為不對稱的”V “形，
而且展寬，表現出超導相與反鐵磁序之間的競爭關係。由圖(3.27)看到，與𝑈 = 0 的狀況不同，費米能上的狀態密度並無明顯上升，在𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08的時候有明顯 變化(相態改變至 nematic phase)，之後無明顯變化。對照圖(3.10)最鄰近點的 局域狀態密度可推知，費米能兩側的超導相干峰隨著摻雜濃度增加被抑制，但費 米能兩側存在由於反鐵磁而造成之能隙。
圖(3.25):(a)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線。
圖(3.26):(a)為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線。
圖(3.27):𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之費米能的狀態密度。
第四章 結論與未來展望
我們從計算結果發現，純 d 波超導系統和 d 波超導與條紋相共存之系統兩者 對非磁性雜質的摻雜有著相當不同的結果。我們看到反鐵磁序條紋相與 d 波超導 共存，隨著雜質摻雜濃度的提高，會出現準一維條紋相-smetic phase-nematic phase 相變，超導能隙被抑制的程度比純 d 波超導系統更大，非磁性雜質的摻雜 提高了附近格點之磁化強度，使其電子狀態密度存在反鐵磁能隙而超導相干峰被 抑制，所以其費米能上之電子狀態密度不像純 d 波超導系統那樣上升變化明顯。
而在純 d 波超導系統中，非磁性雜質摻雜，引起配對強度在空間的不均勻性，同 樣導致空間電子的不均勻性，進而導致超導的相干性變差，對超流密度的抑制程 度比超導能隙更大。
最後，我們希望將來能利用之前的結果系統之電導率，作為判斷系統隨著雜 質摻雜濃度的變化，會轉變為金屬還是絕緣體的依據，並將 d 波超導與條紋相 共存之系統隨雜質摻雜濃度提高，超流密度計算結果的變化與超導能隙做比較。
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