強雜質釘扎向列相在欠摻雜d波高溫超導體的研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 指導教授：陳鴻宜博士強雜質釘扎向列相在欠摻雜 d 波高溫超導體的研究 Strong impurities freezing nematicity in underdoped d-wave high–temperarute superconductor. 研究生：陳昱佑撰中華民國一百零四年六月.

(2) 摘要雜質對銅氧化物高溫超導體物理性質的影響是當前凝態物理的研究重點之一。本文從有效平均場𝑡 − 𝑡 ′ − 𝑈 − 𝑉模型哈密頓量出發，反鐵磁序誘導出條紋相 (欠摻雜區)，並利用 Bogoliubov-de Gennes(BdG)理論對銅氧化物高溫超導體摻入單個和多個非磁性雜質，由非磁性雜質的釘扎系統將出現準一維條紋相-smetic phase-nematic phase 的相變，我們將利用自洽場方程及線性響應理論計算系統在不同雜質摻雜濃度時序參數的空間分布、狀態密度及超流密度，並與純 d 波超導系統作比較。. 關鍵詞銅氧化物高溫超導體超流密度狀態密度非磁性雜質自洽場方程線性響應理論 BdG equation. current-current function Kubo fomula. nematic Stripe. i.

(3) 目錄摘要. i. 圖目錄 iv 第一章緒論.............................................................................................1 1.1 高溫超導體材料結構、相圖及 D 波配對 ....................................1 1.2 高溫超導體中的電荷條紋序 .........................................................7 1.3 雜質摻雜系統 ............................................................................... 11 1.4 本文研究課題 ...............................................................................13 第二章理論...........................................................................................15 2.1 BCS 理論 ........................................................................................15 2.2 HUBBARD MODEL 和自洽場近似 .................................................19 2.3 BDG EQUATIONS ..................................... 21 2.4 自洽條件 .......................................... 24 2.5 狀態密度數值計算方法 ...............................................................25 2.6 超流密度 .......................................................................................27 第三章研究結果與分析 ......................................................................32 3.1 無摻雜系統 ...................................................................................32 3.2 單雜質系統 ...................................................................................35 ii.

(4) 3.3 多雜質系統 ...................................................................................39 第四章結論與未來展望 ......................................................................55 參考文獻………………………………………………………………..56. iii.

(5) 圖目錄圖 1.1 高溫超導銅氧化物家族.................................................................................... 2 圖 1.3 CuO2 平面和插入層(載流子庫層)示意圖 ........................................................ 3 圖 1.3 CuO2 平面示意圖 ................................................................................................ 3 圖 1.4 高溫超導相圖..................................................................................................... 5 圖 1.5 超導能隙函數在實空間和動量空間費米面上的相位和振幅示意圖............. 7 圖 1.6 高溫超導體中電子不均勻分布的幾個例子..................................................... 8 圖 1.7 電荷-自旋-條紋示意圖 ...................................................................................... 9 圖 1.8 各種局域條紋結構（電子液晶相）示意圖..................................................... 9 圖 1.9 非常規超導體相圖........................................................................................... 10 圖 3.1 𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布................ 31 圖 3.2 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 時交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布、動量空間分布 ........... 32 圖 3.3 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 時電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 空間分布……………33 圖 3.4 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 和𝑈=2.4、𝑛=0.89 無摻雜時的狀態密度曲線……...…..34 圖 3.5 U = 0、n̅ = 0.89 超流密度ρs 和 d 波超導能隙∆i 隨溫度的變化圖………35 圖 3.6 𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 .的空間分布....................................................................................................................36 圖 3.7 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 最鄰近雜質點及遠離雜質點局域狀態密度 .................. 37 圖 3.8 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布、動量空間分布................................................................................................................ 37 圖 3.9 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△i空間分布.................................................................................................................. 38 圖 3.10 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，最鄰近雜質點局域狀態密度曲線。 ........................................................................................................................ 38 圖 3.11 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.02 %、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.04 % 、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.95 %時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△i 空間分布 ..................................................... 39 圖 3.12 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.00 %、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 8.03 % 、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 9.06 %時的電子密度𝑛i 、d 波超導能隙△i空間分布 ..................................................... 41 圖 3.13 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度的關係 .................................. 42 圖 3.14 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線 .......................... 43 圖 3.15 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之費米能的狀態密度 .................. 43 圖 3.16 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89時超流密度𝜌𝑠 和超導能隙∆隨摻雜濃度變化的關係 .... 44 圖 3.17 𝑈 = 2.4、n̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10%、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83%時的交錯磁化強度Mi 空間分布和動量空間分布 ......................................................................... 45 圖 3.18 𝑈 = 2.4、n̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.00%、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.08%時的交錯磁化強度Mi 空間分布和動量空間分布 ......................................................................... 46 iv.

(6) 圖 3.19 𝑈 = 2.4、n̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.13%、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 4.10%、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.05 %時的交錯磁化強度Mi 空間分布和動量空間分布 ........................................... 47 圖 3.20 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 對應不同摻雜濃度，在動量空間沿𝑘𝑥 方向交錯磁化強度𝑀𝑖 ........................................................................................................... 48 圖 3.21 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10%、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83 %時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布 ............................................................................. 49 圖 3.22 𝑈=2.4、n̅=0.89、nimp =2.00%、nimp =2.08 %時的電子密度ni、d 波超導能隙△i 空間分布................................................................................................ 50 圖 3.23 𝑈=2.4、n̅=0.89、nimp =3.13%、nimp =4.10 %、nimp =6.05 %時的電子密度ni 、 d 波超導能隙△i 空間分布............................................................................. 51 圖 3.24 𝑈 = 2.4、𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度變化關係............. 52 圖 3.25 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線 ....................... 53 圖 3.26 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線 ....................... 54 圖 3.27 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89，𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之費米能的狀態密度。........................................................................................................ 54. v.

(7) 第一章緒論自從 1986 年 K.A.Muller 和 J.G.Bednorz 發現鑭鋇銅氧體系以來，銅氧化物高溫超導體一直是凝態物理學研究的重點，除了具有高度應用價值潛力(零電阻及完全抗磁性)，還有許多複雜奇妙的物理現象，吸引了眾多物理研究者投身其中‧得益於高溫超導在強關聯系統中的典型性(準二維系統)，在研究高溫超導過程中發展出的理論方法、物理概念和實驗手段，相當提高了凝態物理學的發展。本章首先簡單介紹高溫超導體材料結構及相圖、d 波超導體簡介和雜質摻雜系統，最後指出本文研究的課題。. 1.1 高溫超導體材料結構、相圖及 d 波配對高𝑇𝑐 銅氧化物超導體屬非理想化學配比化合物(或缺陷化合物)，它的性質對成分的變化十分敏感，某些成分的微小變化可導致缺陷濃度及分布的變化，從而改變物理性質，諸如贗能隙現象、相分離現象、極化子現象以及電荷密度波、d波配對等。而在高溫銅氧化合物中，缺陷問題比較突出，它與載流子濃度、樣品的均勻性有密切的關係。圖(1.1)為常見的高溫超導銅氧化物家族，整體說來，高𝑇𝑐 銅氧化物超導體有幾項結構特點。(1)高𝑇𝑐 銅氧化物超導體具層狀結構，晶體的原胞均由單層或多層CuO2 面和一些插入層組成，CuO2 面為導電層，載流子的輸運和超導電性均 1.

(8) 發生在此，對超導態和正常態運輸性質起關鍵作用。CuO2 面為完整四角結構，化學組成單純。插入層為結構不完整的載流子庫層，如圖(1.2)。(2)均為ABO3 鈣鈦礦型結構的衍生物，通常都具有以CuO2 面為主體的準二維層狀結構。如圖 (1.3)，它們的組分可通過元素替代在很寬的範圍內發生變化，結構中或多或少的存在著氧缺位和A晶位陽離子缺位。通過元素化學取代，替代陽離子或改變氧含量，向導電層提供超導電性所需的載流子，調節載流子數目、或耦合機制‧層間的電荷轉移及層間耦合都在超導中起重要作用。從圖 (1.1) 可以看到 (LaSr)2 CuO4 的導電層CuO2 面被具有體心立方結構的La2 O2 的插入層所夾，而 YBa2 Cu3 O7 的導電層由Y原子隔開的兩個CuO2 面組成，插入層是BaO-CuO-BaO。(3) 高𝑇𝑐 銅氧化物超導體結構屬正交晶系或四方晶系。(4)從超導電性考慮，高𝑇𝑐 銅氧化物超導體都可視為沿c方相兩個基本結構單元疊加而成。. 圖(1.1):高溫超導銅氧化物家族 2.

(9) 圖(1.2) CuO2 平面和插入層(載流子庫層)示意圖。. 圖(1.3) CuO2 平面示意圖，紅色代表Cu原子，藍色代表O原子。. 銅氧化物高溫超導材料絕大多數是通過部分替代絕緣的母體化合物中的化學原素得到，其主要作用就是引進自由載流子，也有一些是靠缺氧或富氧引進導電載流子，這種元素替代或缺、富氧過程就稱為摻雜。摻雜有兩種情況，一是在母體中引進空穴載流子，稱為空穴型超導體。二是在母體中引進電子型載流子，由此得到的稱為電子型超導體。高溫超導體沿CuO2 平面方向的導電性比垂直於平面的導電性強得多，一般. 3.

(10) 高2~4個數量級，CuO2 平面上的電子態是決定高溫超導體的輸運性質和低能熱激發的主要因素，這已經得到能帶計算和大量實驗測量證實，也是分析高溫超導現象的基本出發點。低維材料有兩個基本特色，其一是熱漲落和量子漲落較強，二是庫倫屏蔽差，電子間的相互作用較強，這點是高溫超導強關聯特徵的來源，也是高溫超導體中出現大量反常物理現象的根源。所以對高溫超導基理的研究，也可以讓我們更全面認識強關聯系統的物理性質。高溫超導體的型態複雜，物理性質隨著溫度和摻雜濃度會發生很大的變化。高溫超導材料的相圖通常以縱軸為溫度T，橫軸為摻雜濃度x的形式給出，如圖 (1.4) 。儘管存在不同的體系和多種結構，但其相圖具有普遍性，原因一方面是強關聯效應超乎具體、各不相同的能帶結構，另一方面是高溫超導體載流子動力學行為主要發生在CuO2 面上。和傳統超導體不同，所有的高溫超導體都是通過在反鐵磁絕緣母體中摻雜空穴或電子得到，而前者卻是金屬。而當可移動的空穴或電子摻雜入這些銅氧面時，長程反鐵磁序逐漸被破壞並被金屬和超導相所替代。從圖(1.4)中看到高溫超導材料在低摻雜時為反鐵磁絕緣體，只有當摻雜到達一定濃度後超導才會出現‧超導臨界溫度𝑇𝑐 開始時隨摻雜濃度增加而增加，達到一個最大值後，就開始隨著摻雜濃度增加而下降，在高Tc 處的摻雜稱之為最佳摻雜，之上為過摻雜，之下為欠摻雜。. 4.

(11) 圖(1.4)高溫超導相圖由於高溫超導電性是來自於對Mott絕緣體進行摻雜，因此該系統同時會出現其他競爭相，如電子條紋相、電子晶體相、電荷密度波、自旋密度波、反鐵磁序等。高溫超導體與常規超導體的顯著差別是前者在正常態，隨著溫度的變化，費米面會不斷演變，而費米面的態密度會逐漸被壓制，出現所謂的贗能隙‧傳統超導體的超導能隙只能在超導轉變溫度以下打開，而對欠摻雜的高溫超導體卻發現超導溫度以上已有能隙打開。對於高溫超導，總結來還沒有一個成熟的，大家公認的的理論，機制方面的困難主要在於氧化物超導體的複雜性，不過圍繞庫柏電子如何配對的問題，至今已提出幾十種唯象模型，如(Anderson)的共振價鍵(resonant valence bond,RVB) 模型，激子(exciton)機制、電子負𝜇中心模型、雙極化子(bipolaron)模型。銅氧化物高溫超導體的超導相來源於電子配對，是庫柏對在低溫下的玻色凝聚，但和常規超導體的s波對不同，是d波對，對於常規超導體，對的結合來源自. 5.

(12) 電聲子交互作用，但對高溫超導體，其形成機制尚不清楚。物理學家通常按照超導能隙的對稱性對不同的超導體進行分類。其中d波超導體的超導對稱性基底函數滿足 𝜙𝑘 = cos𝑘𝑥 − cos𝑘𝑦 超導電子的配對機制與庫柏對的對稱性是由超導體的電子結構和電子-電子之間的相互作用決定的。在金屬超導體中，導致電子配對的是電子-聲子交互作用，庫柏對具有s波對稱性，能隙函數在空間上基本是各向同性，而高溫超導的性質主要是由CuO2 平面上的電子決定，電子配對也極可能是在二維平面上形成的。高溫超導氧化物在沒有摻雜的時候是反鐵磁絕緣體，電子之間的反鐵磁作用非常強，導致電子配對的可能不再是電子-聲子交互作用，而是電子的磁性漲落。從圖(1.5)中可以看到，跟s波超導體相比，d波超導體的配對波函數有兩種完全不同的性質，第一，空間座標旋轉時，d波超導體的波函數每旋轉90度要變一次號，而s波超導體在空間旋轉下不變號。第二，d波超導體存在能隙節點，準粒子的態密度是線性的，其物理量在低溫下都是溫度的冪指數函數，而各向同性的s波超導體能隙函數在費米面上不為零，低能態密度為零，其物理量在低溫下都是溫度的指數函數，這兩點不同也是實驗上判斷高溫超導是d波對稱還是s波對稱的出發點。. 6.

(13) 圖(1.5):超導能隙函數在實空間和動量空間費米面上的相位和振幅示意圖. d波高溫超導體的形成，可能是相反自旋的兩個電子之間存在很強的短程庫倫排斥造成，短程庫倫排斥不利s波配對，而d波配對可通過減少兩個電子相互靠近的機率得到能量上的優勢。理論計算發現電子為𝑑𝑥 2 −𝑦 2 波配對的可能性是最大的‧尤其在單晶質量和實驗精度提高，藉由APRES實驗[ 3 ][ 4 ][ 5 ]，相位敏感測量[ 6 ]的實驗結果表明高溫超導電子具有d波對稱性，而不是s波對稱性。. 1.2 高溫超導體中的電荷條紋序近年來，大量的實驗結果和理論研究證明了在過渡金屬氧化物強關聯體系中，電子的本征非均勻分布佔著主導地位[ 7]，圖(1.6)給出了幾種高溫超導體中電子不均勻分布的例子。. 7.

(14) 圖(1.6):高溫超導體中電子不均勻分布的幾個例子。(a)理想的一維電荷條紋[ 8 ] (圓圈代表電荷，箭頭代表自旋)。(b)掃描電子顯微鏡(STM)得到的d波超導能隙的實空間分布[ 9]。(c)在Na摻雜銅氧化物中觀察到的棋盤型電荷有序態[ 10]。. Tranquada[ 11]等在La1,6−x Nd0,4 Srx CuO4 中觀察的電荷有序調制波向量是磁有序調制波向量的2倍，這表明實空間中電荷密度的調制周期是自旋調制周期的一半，且LNSCO樣品在實空間形成新的週期性的晶格和磁有序。這意味著，電荷結構單元可能是作為自旋結構單元的反向疇壁存在。基於此，Tranquada提出了電荷條紋相的模型，如圖(1.7)左圖所示，在CuO2 平面上，電荷自發聚集形成一維鏈狀結構。而在電荷條紋之間，自旋的反鐵磁關聯得以保留，並且相鄰的反鐵磁疇之間成反向分布‧當空穴濃度為1/8時，電荷條紋的周期恰好是4a，而自旋條紋的周期則為8a，按照這一圖像，在中子散射實驗中觀察到的電荷和自旋超晶格峰應該具有二重而不是四重對稱，因此，他們認為在上下相鄰的CuO2 面上，條紋的方向會產生90度的旋轉。實際上，在La2−x Srx CuO4 欠摻雜（0.02<x<0.05）的樣品中，彈性中子散射也探測到了自旋有序的散射峰[ 12][ 13][ 14]，此時條紋不是沿Ｃu-O-Cu的方向，而是沿著對角Cu-Cu的方向，如圖（1.7）右圖。而實際情況下的條紋可能不如圖 8.

(15) （1.7）所示的那樣理想，而是以很強的非公度漲落形式存在[ 15]。. 圖（1.7）:電荷-自旋-條紋示意圖，左圖為豎直條紋，右圖為對角條紋，反鐵磁絕緣區域和有電荷無自旋區域周期性間隔排列，q表示調制周期。. 而關於電荷-自旋條紋的相關機制與理論，則有兩位美國物理學家 Vic Emery 及 Steven Kivelson[ 16]以Ｍott絕緣體作為理輪出發點，然後由於微量摻雜導導致反鐵磁相關引起所謂電荷液晶相（electronic liquid-crystal phases），如圖（1.8），這種量子液體涉及的物理圖相與Fermi液體不同，即液體中存在自旋為零但電荷為e的載子聚集構成的電荷條紋河流，而不受周遭自旋為1/2，但不帶電的中性費米子所形成自旋條紋的影響。雖然這一理論說明條紋的量子漲落有助於引起超導配對，但其能否完滿解釋高Tc 氧化物的超導電性和其他物理性質，還沒有得到肯定的答案。. 9.

(16) 圖（1.8）:各種局域條紋結構（電子液晶相）示意圖強關聯電子系統中本征非均勻性存在起源於多個物理自由度(自旋、電荷、晶格(或)軌道)的相互作用。多個自由度的相互作用還導致了在強關聯系統材料中的另一顯著特徵，多種基態的相互競爭，如圖(1.9)[ 17]。研究這種多基態的相互競爭，不僅對超導配對機理的澄清有著致關重要的作用，對於強關聯材料的應用有著非常巨大的意義。. 圖(1.9):非常規超導體相圖:橫軸表示控制參數(如載流子濃度或壓力)，提高控制參數導致反鐵磁臨界溫度消失，非傳統超導相位出現在控制參數更高的區域，其臨界溫度通常是圓頂型‧中間的灰色區域聯接了反鐵磁相和超導相，稱為 intertwined phase ，有許多競爭相存在，是現在研究的重點. 10.

(17) 1.3 雜質摻雜系統高溫氧化物超導體的摻雜或元素取代效應是研究銅氧化物高溫超導體的有效手段之一，而雜質散射式材料是普遍存在而又重要的物理效應，材料的不純、缺陷、位錯等都是雜質散射的表現型式，這些有很強無序特徵的雜質散射，通常不是有意製造出來的，事實上也很難控制，所以有很強的隨機性。物理學家指出研究高溫氧化物超導材料可以引入局域雜質開始，在材料的完整性被破壞的條件下，可通過研究雜質周圍的局域狀態來得到雜質與材料內部量子激發的相干效應，進一步了解材料內量子激發的特點，幫助我們深入了解超導的內部機制。對高溫超導體元素替代效應的研究是保持晶體類型結構不變的情況下，通過替代不同格點上的離子，觀測晶體結構、電子結構、正常態和超導態性質的變化，特別是與超導轉變溫度的關聯。依據高溫超導體的結構及物理特徵以及物理機制的不同，可把高溫超導體中的摻雜分成兩大類，即CuO2 面外的摻雜和CuO2 面內的摻雜，CuO2 面內的替代主要是指CuO2 上的Cu位替代，CuO2 面外替代的範圍則很廣，包括ACuO3+δ、AO和AO2 層上A位替代，氧含量變化，甚至陰離子替代。CuO2 面內替代通常改變CuO2 面上的磁關聯，對𝑇𝑐 有強烈抑制作用，CuO2 面外替代往往改變體系的載流子濃度，進而影響𝑇𝑐 值。而CuO2 面內的摻雜在過去的十多年中，科學家們嘗試著用各種過渡金屬對 La1.85 Sr0.15 CuO4 的銅位進行摻雜研究以試圖了解超導電性的機制問題。 J.M.Tarascon等用Ni和Zn對La1.85 Sr0.15 CuO4 的銅位進行了同價替代研究[ 18]，結 11.

(18) 果表明，CuO2 面內不管是磁性元素Ni摻雜還是非磁性元素Zn摻雜，都急劇的破壞體系的超導電性，而且與傳統超導體完全不同的是，摻Zn對𝑇𝑐 的抑制比摻Ni 的要明顯。圖(1.10)為YBa2 (Cu1−z Mz )3 O7 等高溫超導體的𝑇𝑐 隨Ni或Zn雜質摻雜濃度變化的實驗曲線[ 19]，𝑇𝑐 基本是隨摻雜濃度z線性減小的，但對不同超導體，減小的速率是不一樣的，實驗結果和雜質對d波超導體𝑇𝑐 修正的理論結果基本一致。根據理論結果和掃描隧道實驗推估對於YBa2 Cu3 O7，Ni的有效散射勢強度比 Zn小得多，在YBa2 Cu4 O8 和La2−x Srx CuO4 超導體中，Ni和Zn對𝑇𝑐 壓制的差異沒有在YBa2 Cu3 O7 中大‧ 這說明對𝑇𝑐 的抑制，摻雜磁性離子並不一定比非磁性離子更為嚴重‧Zn2+ 雖然沒有磁性，但因它替代的Cu2+ 是有磁矩的，故它對超導電性的破壞比磁性元素Ni2+ 更甚，可見CuO2 面內的物理性質，才是決定超導電性的內在因素。總結CuO2 面內的Cu位元素替代，可以認為CuO2 面內替代對𝑇𝑐 的抑制作用來源於另一種機制，即破壞CuO2 面上的動態、短程反鐵磁關聯將引起拆對效應。因此，非磁性元素Zn對𝑇𝑐 的抑制就可以理解了，因為CuO2 面上的反鐵磁關聯狀態顯然要受到非磁性雜值的嚴重破壞。實際上，在磁性超導體中引入非磁性雜質同非磁性超導體中引入磁性雜質具有相似效果(拆對效應)，這種效應暗示高溫超導電性的起緣很可能和某種磁激發有關。通過元素摻雜研究，我們不僅發現了許多具有更高𝑇𝑐 的新超導體，而且發現了高溫超導體的種種奇異現象和行為，在高溫超導體的微觀機理的最終解決中，元素摻雜的研究將繼續扮演重要角色。. 12.

(19) 圖(1.10): YBa2 (Cu1−z Mz )3 O7 等高溫超導體𝑇𝑐 隨Mi=Ni或Zn摻雜濃度 z的變化曲線. 1.4 本文研究課題銅氧化物高溫超導體由於電子之間交互作用較強，是典型的強關聯系統，因此具有複雜的物理性質，而且隨著外界條件改變時(如溫度、摻雜濃度)，會產生一系列相態的變化和競爭，如圖(1.9)。本文研究主體將擺在非磁性雜質的摻雜濃度對 d 波超導體系統的相態改變，以及不同相態時之物理性質，如狀態密度和超流密度之變化，藉以對高溫超導的微觀機理有更深層的認識。第二章先介紹 BCS 理論基礎、描述本文使用的理論模型哈密頓量、BdG equation 的推導、最後是狀態密度和超流密度推導和數值計算方法。第三章引入非磁性雜質位能勢，並使之在晶格上隨機分布，基於反鐵磁序、 d 波超導能隙，非磁性雜質位能勢共存的有效哈密頓模型，本文將藉由數值求解 BdG 方程研究摻雜濃度的改變對超導能隙、電荷密度和交錯磁化強度在晶格上的數值分布，藉以觀察一系列相態之轉變。接下來，通過改變晶格點上庫倫斥能 U 13.

(20) 的大小來模擬不同材料中雜質的影響(純 d 波超導系統)。為了研究隨機分布雜質引起的無序效應，還會計算在不同相態中的狀態密度，觀察 d 波超導體受無序效應之影響。由於超流密度是描述超流響應和磁穿透深度的重要物理量，系統是否為超導態的重要依據，所以最後將計算在不同雜質濃度時的超流密度。最後第四章是我們的結論與未來展望。. 14.

(21) 第二章理論本章將會介紹BCS理論、使用的平均有效場理論模型、BdG equation 的推導、狀態密度和超流密度的數值計算方法。. 2.1 BCS 理論 BCS理論[ 2]中，超導產生機制主要經過兩個基本過程，(1)因電子與聲子間的耦和，電子間有可能存在有效的相互吸引力，導致電子配對(形成庫柏對)‧ (2)配對的電子發生相干凝聚，形成超導‧到目前為止，所有超導體都存在電子配對機制，充分顯示配對對產生超導的重要性。從電聲子交互作用哈密頓量出發，通過正則變換及二次量子化後，系統的哈密頓量可寫為 † † † 𝐻 = ∑ 𝜀𝑘 𝑐𝒌𝜎 𝑐𝒌𝜎 − 𝑉 ∑ 𝑐−𝑘+𝒒↓ 𝑐𝒌+𝒒↑ 𝑐𝒌′ +𝒒↑ 𝑐−𝒌′ +𝒒↓ 𝒌,𝜎. (2.1). 𝒌,𝒌′ ,𝒒. † 其中𝑉 > 0，𝜀𝑘 是單電子能量，𝑐𝑘𝜎 和𝑐𝑘𝜎 是電子算符，求和的限制條件是電. 子應滿足|𝜀𝒌 − 𝜀𝐹 | < ℏ𝜔𝐷 ，其中𝜀𝐹 為費米能量，𝜔𝐷 為德拜頻率。從哈密頓量(2.1)式中，可以看出出一對自旋相反的電子經過相互作用後相對動量發生改變，但是總動量2ℏ𝒒守恒，當𝒒 = 𝟎時，若一個電子的能量𝜀𝒌 滿足求和限制條件|𝜀𝒌 − 𝜀𝐹 | < ℏ𝜔𝐷，則另一個電子的能量𝜀−𝒌 必然也滿足，但是當𝒒 ≠ 0時，在某些波向量𝒌就會出現|𝜀𝒌+𝒒 − 𝜀𝐹 | < ℏ𝜔𝐷 而|𝜀−𝒌+𝒒 − 𝜀𝐹 | > ℏ𝜔𝐷 的情況，. 15.

(22) 因此當𝒒 = 𝟎時能夠配對的電子對最多，最有可能形成的系統基態，Bardeen、 Cooperc 和 Schrieffer(BCS)提出了一個更簡單的哈密頓量𝐻𝑟𝑒𝑑 來描述 † † † 𝐻𝑟𝑒𝑑 = ∑ 𝜀𝑘 𝑐𝒌𝜎 𝑐𝒌𝜎 − 𝑉 ∑ 𝑐−𝑘↓ 𝑐𝒌↑ 𝑐𝒌′ ↑ 𝑐−𝒌′ ↓ 𝒌,𝒌′. 𝒌,𝜎. 針對這個哈密頓量，(BCS)利用變分原理找到超導基態如下 † † |𝐺𝑠 ⟩ = ∏( 𝑢𝒌 + 𝑣𝒌 𝑐−𝒌↓ 𝑐𝒌↑ )|0⟩. (2.2). 𝒌. 其中|0⟩是電子的真空態，𝑢𝒌 和𝑣𝒌 是系數，滿足𝑢𝒌 2 + 𝑣𝒌 2 = 1‧在這裡我們使用更常用的平均場近似處理方法，假設電子對是相干的，產生平均場 † Δ ≡ V ∑⟨𝑐𝒌↑ 𝑐−𝒌↓ ⟩. (2.3). 𝒌. 其中Δ是一個待定的複數，在一個均勻系統中可以通過場算符的相位變換使Δ為實數，而由於在相干態中粒子數不守恒，要在巨正則系統中討論，所以在哈密頓量中要減去𝜇𝑁，其中𝜇是化學勢，𝑁是總巡遊電子數，因此得到平均場近似的有效哈密頓量. 𝐻0 = ∑(𝜀𝑘 −. † 𝜇)𝑐𝒌𝜎 𝑐𝒌𝜎. −. 𝒌,𝜎. † † Δ ∑(𝑐−𝑘↑ 𝑐𝒌↑ 𝒌,𝒌′. Δ2 + 𝑐𝑘↑ 𝑐−𝑘↓ ) + 𝑉. (2.4). 其中只有滿足求和限制的電子才受到平均場作用，上式中出現兩個電子湮沒算符和兩個電子產生算符的乘積，使用 Bogoliubov-Valatin transformation 將它進行對角化，引入準粒子湮沒算符 † 𝑎𝒌↑ = 𝑢𝒌 𝑐𝒌↑ + 𝑣𝒌 𝑐−𝒌↓. † 𝑎−𝒌↓ = 𝑢𝒌 𝑐−𝒌↓ − 𝑣𝒌 𝑐𝒌↑. 上式場算符還應滿足以下對易關係 † {𝑎𝒌𝜎 , 𝑎𝒌′ 𝜎′ } = {𝑎𝒌𝜎 , 𝑎𝒌†′ 𝜎′ } = 0. 16. (2.5).

(23) † {𝑎𝒌′ 𝜎′ , 𝑎𝒌𝜎 } = 𝛿𝑘 ′ 𝑘 𝛿 𝜎 ′ 𝜎. (2.6). 從中可得出變換系數滿足以下關係 𝑢𝒌 2 + 𝑣𝒌 2 = 1. (2.7). 接著我們將電子的場算符用準粒子的場算符表示 † 𝑐𝒌↑ = 𝑢𝒌 𝑎𝒌↑ + 𝑣𝒌 𝑎−𝒌↓ † 𝑐−𝒌↓ = 𝑢𝒌 𝑎−𝒌↓ − 𝑣𝒌 𝑎𝒌↑. (2.8). 並代入(2.4)式有效平均場哈密頓量可得 † † † 𝐻0 = ∑ 𝐸𝒌 𝑎𝒌𝜎 𝑎𝒌𝜎 ∑ 𝐴𝒌 (𝑎−𝒌↑ 𝑎𝒌↑ + 𝑎𝑘↑ 𝑎−𝑘↓ ) + 𝐶. (2.9). 𝒌,𝒌′. 𝒌,𝜎. 其中 𝐸𝒌 = (𝜀𝒌 − 𝜇)(𝑢𝒌 2 − 𝑣𝒌 2 ) + 2Δ𝑢𝒌 𝑣𝒌 𝐴𝒌 = −2(𝜀𝒌 − 𝜇)𝑢𝒌 𝑣𝒌 + Δ(𝑢𝒌 2 − 𝑣𝒌 2 ) Δ2 𝐶 = + ∑ 2 [(𝜀𝒌 − 𝜇)𝑣𝒌 2 − Δ𝑢𝒌 𝑣𝒌 ] 𝑉 𝒌. 要求變換後非對角項消失，令𝐴𝒌 = 0，並利用(2.8)式，可解出變換系數及𝐸𝒌 與𝐶 𝑢𝒌 2 =. 1 𝜀𝒌 − 𝜇 (1 + ) 2 𝐸𝒌. 𝐸𝒌 = √(𝜀𝒌 −. 𝜇)2. +. Δ2. 𝑣𝒌 2 =. 1 𝜀𝒌 − 𝜇 (1 − ) 2 𝐸𝒌. Δ2 𝐶 = + ∑[(𝜀𝒌 − 𝜇) − 𝐸𝒌 ] 𝑉. (2.10). 𝒌. 從以上結果可以看出在配對態真正的元激發式準粒子激發，它是電子與空穴的疊加，也是費米子，準粒子的能量是𝐸𝒌 ，它的最小值是Δ，因此Δ被稱為能隙，可得到能隙方程為 Δ = 𝑉∑ 𝒌. Δ 𝛽 tanh ( 𝐸𝒌 ) 2𝐸𝒌 2. 17. (2.11).

(24) 從基態 |𝐺𝑠 ⟩沒有任何準粒子，𝑎𝒌𝜎 |𝐺𝑠 ⟩ = 0，從這個條件和泡利不相容定理出發，可以得到基態的表達式 † |𝐺𝑠 ⟩ = ∏( 𝑎𝒌↑ 𝑎𝒌↓ )|0⟩. (2.12). 𝒌. 其中|0⟩是巡游電子的真空態，把準粒子場算符用電子場算符表示並且對波函數進行歸一化後可得到 † † |𝐺𝑠 ⟩ = ∏( 𝑢𝒌 + 𝑣𝒌 𝑐−𝒌↓ 𝑐𝒌↑ )|0⟩ 𝒌. 可發現與 BCS 利用變分法求得知基態吻合，從電子對場算符的平均值 ⟨𝐺𝑠 |𝑐𝒌↑ 𝑐−𝒌↓ |𝐺𝑠 ⟩ = 𝑢𝒌 𝑣𝒌 ，可以看出電子對是相位相干的，即具有同樣的相位，因此超導基態是一個對稱性破缺的態，相位和粒子數類似於一對量子力學的共軛算符，滿足測不準原理，從上是可知超導基態不是總巡游電子數的本徵態‧準粒子的狀態密度為 𝐷(𝐸) = ∑ 𝛿(𝐸 − 𝐸𝒌 ) 𝒌. = ∫ 𝛿 [𝐸 − √(𝜀𝒌 − 𝜇)2 + Δ2 ] 𝑁(𝜀)𝑑𝜖 ≈. 2𝑁(𝜇)𝐸 √𝐸 2 − Δ2. 𝜃(𝐸). (2.13). 其中𝑁(𝜀)是正常態電子的態密度，可以看出在費米面𝐸 = Δ，𝜌(𝐸)發散；當𝐸 < Δ 時，𝐷(𝐸) = 0‧由此可知準粒子激發的能隙Δ確保了在受到外界擾動時，超導體內部會輕易激發准粒子而耗散能量，因此才會出現沒有損耗的超導電流。電-聲子機制的BCS理論解釋了庫柏對電子散射晶體無能耗，呈現無熱效應的電阻(電阻為零)超導現象，給出了臨界溫度公式和能隙方程，結果也與不少的超導材料實驗結果相符。但公式和方程的給出現於弱耦合情形，所以BCS理論對弱. 18.

(25) 耦合電-聲子機制的超導體性質描述具有普遍性，但電子間交互作用很強時，任一個電子的狀態也取決於其他電子所處的瞬間狀態。. 2.2 Hubbard model 和自洽場近似在簡單的固體理論中，不僅忽略電-聲子交互作用，而且固體中電子的靜電交互作用也被忽略，不會出現在哈密頓算符中，電子被看成是獨立的存在‧但是在窄能帶的系統中，電子之間的相關能與帶寬相比很大，電子之間的關聯作用十分重要，把這一部分的能量寫入哈密頓量，得到強關聯模型(Hubbard model)，這是 Hubbard 於 1960 年代提出，現在已成為凝聚態物理中處理強關聯問題的標準模型。自洽場近似法是一種求解全同多粒子體系的定態薛丁格方程的近似方法‧它近似的用一個平均場(Mean Field)來代替其他所有粒子對任一個粒子的相互作用，從而將多粒子系的薛丁格方程轉換成單粒子波函數所滿足的非線性方程組來求解，這個方法不能得到薛丁格方程的解析解，在計算中通過迭代法逐次逼近，值到最後計算結果收斂為止(前後自洽)，也就是所謂的自洽場近似，本文中我們將採用自洽場近似法來進行求解計算。利用 Hubbard model 描述 d 波超導體在二維正方晶體的哈密頓式為. 19.

(26) † ℋ = − ∑ 𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 − 𝜇 ∑ 𝑛̂𝑖𝜎 + ∑ 𝜀𝒾𝐼′ 𝑛𝑖𝜎 + 𝑈 ∑ 𝑛𝑖↑ 𝑛𝑖↓ <𝑖,𝑗>𝜎. −. 𝑉 2. ∑. 𝑖𝜎. 𝒾′𝜎. 𝑖. 𝑛𝑖𝜎 𝑛𝑗𝜎′. (2.14). <𝑖,𝑗>𝜎𝜎′. 𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝛿𝑖±𝐱̂(𝐲̂),𝑗 + 𝑡 ′ 𝛿𝑖±(𝐱̂±𝐲̂),𝑗 其中 i 和 j 表示格點標記，⟨𝑖, 𝑗⟩表示最鄰近和次臨近格點，t 和𝑡 ′ 表示跳躍能，𝑛𝑖𝜎 = † † 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑖𝜎 為粒子數算符。𝜇為化學勢，調整𝜇可以控制電子平均密度𝑛̅ = ∑𝑖𝜎⟨𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑖𝜎 ⟩ ∕ † † (𝑁x 𝑁𝑦 ) ，電子密度𝑛𝑖 = ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ + 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ⟩ = ⟨𝑛𝑖↑ ⟩ + ⟨𝑛𝑖↓ ⟩ ‧𝜀 𝐼 為非磁性雜質位能，. 在格點上為隨機分布、𝑈為晶格點上庫倫斥能、𝑉為最鄰近交互作用勢‧通過改變參數(𝑈和𝑉) ，自洽場的解會產生不同的非常規超導體的配對對稱‧在此，d 波對稱為𝑈 > 0 且 𝑉 > 0。根據 Wick’s theorem ，並做 HF 近似 † † ⟨𝑛𝑖↑ 𝑛𝑖↓ ⟩ = ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ⟩ † † † † † = ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ ⟩⟨𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ⟩ + ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↓ ⟩⟨𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ⟩ − ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↓ ⟩⟨𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↑ ⟩. (2.15). 我們可得出有效平均場 tt’ UV 模型哈密頓量 † † † 𝓗𝑚 = − ∑ 𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 − ∑ 𝜇̃𝒾 𝜎 𝑛𝑖𝜎 + ∑ (△𝑖𝑗 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ + △∗𝑖𝑗 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↑ ) <𝑖,𝑗>𝜎. 𝑖𝜎. (2.16). <𝑖𝑗>. 其中𝜇̃𝑖↑(↓) =(𝜇 − 𝑈⟨𝑛𝑖↓(↑) ⟩ − 𝜀𝒾𝐼′ 𝛿𝒾𝒾 ′ ) ，d 波能隙函數為△𝑖𝑗 = −𝑉⟨𝑐𝒋↓ 𝑐𝒾↑ ⟩，計算中採取週期性邊界條件。. 20.

(27) 2.3 BdG equations 為了對角化有效平均場 tt’ UV 模型哈密頓量，可通過么正變換將其對角化，ℋ𝑚 的跡為零，即 tr ℋ𝑚 = 0。根據粒子空穴變換對稱性，還可證明，如果𝐸𝑛 為ℋ𝑚 的一個本徵值，則−𝐸𝑛 也是ℋ𝑚 的一個本徵值‧這種對稱性為時間反演不變性的結果。 † ℋ𝑚 = 𝐸𝑔 + ∑ 𝐸𝑛𝜎 𝛾𝑛𝜎 𝛾𝑛𝜎. (2.17). 𝑛𝜎. 其中𝐸𝑔 和𝐸𝑛𝜎 分別代表基態和激發態的能量，我們將使用 Bogoliubov-Valatin transformation 𝑛 𝑛∗ † 𝑐𝑖↑ = ∑(𝑢𝑖↑ 𝛾𝑛↑ − 𝑣𝑖↑ 𝛾𝑛↓ ). (2.18). 𝑛 𝑛 𝑛∗ † 𝑐𝑖↓ = ∑(𝑢𝑖↓ 𝛾𝑛↓ + 𝑣𝑖↓ 𝛾𝑛↑ ). (2.19). 𝑛 † 𝑐𝑖↑. 𝑛∗ † 𝑛 = ∑(𝑢𝑖↑ 𝛾𝑛↑ − 𝑣𝑖↑ 𝛾𝑛↓ ). (2.20). 𝑛 † 𝑐𝑖↓. 𝑛∗ † 𝑛 = ∑(𝑢𝑖↓ 𝛾𝑛↓ + 𝑣𝑖↓ 𝛾𝑛↑ ). (2.21). 𝑛. 準粒子算符𝛾𝑛σ 假定有下列期望值規則: † † ⟨𝛾𝑛𝜎 𝛾𝑛′𝜎′ ⟩ = ⟨𝛾𝑛𝜎 𝛾𝑛′𝜎′ ⟩ = 0 † † ⟨𝛾𝑛𝜎 𝛾𝑛′𝜎′ ⟩ = 1 − ⟨𝛾𝑛𝜎 𝛾𝑛′𝜎 ′ ⟩ = 𝑓𝑛𝜎 𝛿𝑛𝑛′ 𝛿𝜎𝜎 ′. (2.22). 其中𝑓𝑛𝜎 為 Fermi function 1. 𝑓𝑛𝜎 = 1+e𝛽𝐸𝑛𝜎. (2.23). 而且假定準粒子算符𝛾𝑛σ 和電子算符𝑐𝑖σ遵守費米子反對易關係 † † {𝛾𝑛𝜎 , 𝛾𝑛′ 𝜎′ } = 𝛿𝑛𝑛′ 𝛿𝜎𝜎′ {𝛾𝑛𝜎 , 𝛾𝑛†′ 𝜎′ } = 0 { 𝛾𝑛𝜎 , 𝛾𝑛′ 𝜎′ } = 0. 21. (2.24).

(28) † † † {𝑐𝑖𝜎 , 𝑐𝑗𝜎′ } = 𝛿𝑖𝑗 𝛿𝜎𝜎′ {𝑐𝑖𝜎 , 𝑐𝑗𝜎 { 𝑐𝑖𝜎 , 𝑐𝑗𝜎′ } = 0 ′} = 0. (2.25). 得到 completeness relation 為 𝑛 𝑛 𝑛∗ 𝑛∗ ∑(𝑢𝑖𝜎 𝑢𝑗𝜎′ + 𝜎𝜎 ′ 𝑣𝑗𝜎 ′ 𝑢𝑖𝜎 ) = 𝛿𝑖𝑗 𝛿𝜎𝜎 ′. (2.26). 𝑛. 利用(2.18)式到(2.26)式，可得到有效平均場的對角化形式(2.17)式。 𝑛 𝑛 由 BdG wavefunction (𝑢𝑖𝜎 𝑣𝑖𝜎 ′ )構成之 BdG equation 可以表達準粒子在系統. 中的色散關係，並且使有效平均場的對角化成立‧BdG equation 的推導首先由對易式[ℋ𝑚 , 𝑐𝑖σ ]開始,由(2.17)式及(2.18)式，利用(2.24)式之反對易關係化簡後，可得 𝑛 𝑛∗ † [ℋ𝑚 , 𝑐𝑖↑ ] = ∑ −𝐸𝑛↑ 𝑢𝑖↑ 𝛾𝑛↑ − 𝐸𝑛↓ 𝑣𝑖↑ 𝛾𝑛↓. (2.27). 𝑛. 接下來有效平均場由(2.2.3)式替換，可得 † † † † [ℋ𝑚 , 𝑐𝑖 ′ ↑ ] = − ∑ 𝑡𝑖𝑗 (𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ ) − ∑ 𝑡𝑖𝑗 (𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ ) <𝑖,𝑗>. <𝑖,𝑗>. † † † † − ∑ 𝜇̃𝑖↑ (𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ ) − ∑ 𝜇̃𝑖↓ (𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ) 𝑖. +. 𝑖. † † ∑ △𝑖𝑗 (𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ <𝑖,𝑗>. 𝑐𝑖 ′ ↑ −. † † 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ ). + ∑ △∗𝑖𝑗 (𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖↑ ) <𝑖,𝑗>. 其中，由(2.25)式的反對易關係，可知 † † 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ = −𝛿𝑖𝑖 ′ 𝑐𝑗↑ † † 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ = 0 † † 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ = −𝛿𝑖𝑖 ′ 𝑐𝑖↑. 22.

(29) † † 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ = 0 † † † † † 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ = −𝛿𝑖𝑖 ′ 𝑐𝑗↓. 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖 ′ ↑ − 𝑐𝑖 ′ ↑ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↑ = 0 將上列關係式帶入原式，並利用 Bogoliubov-Valatin transformation 可得到. 𝑛 𝑛 [ℋ𝑚 , 𝑐𝑖 ′ ↑ ] = ∑ [ ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑢𝑗↑ ) − 𝜇̃𝑖↑ (−𝑢𝑖𝑛′ ↑ ) − ∑ △𝑖 ′ 𝑗 𝑣𝑗↓ ] 𝛾𝑛↑ <𝑖 ′ ,𝑗>. 𝑛. <𝑖 ′ ,𝑗>. † 𝑛∗ 𝑛∗ 𝑛∗ + ∑ [ ∑ −𝑡𝑖𝑗 (𝑣𝑗↑ ) − 𝜇̃ 𝑖↑ (𝑣𝑖 ′ ↑ ) − ∑ △𝑖 ′ 𝑗 𝑢𝑗↓ ] 𝛾𝑛↓ 𝑛. <𝑖 ′ ,𝑗>. (2.28).. <𝑖 ′ ,𝑗>. 接著由對易式[ℋ𝑚 , 𝑐𝑖 ′ ↓ ]開始，同上步驟可得 † 𝑛 [ℋ𝑚 , 𝑐𝑖 ′ ↓ ] = ∑ 𝐸𝑛↑ 𝑣𝑖𝑛∗ ′ ↓ 𝛾𝑛↑ − 𝐸𝑛↓ 𝑢𝑖 ′ ↓ 𝛾𝑛↓ 𝑛 † 𝑛∗ 𝑛∗ [ℋ𝑚 , 𝑐𝑖 ′ ↓ ] = ∑ [ ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑣𝑗↓ ) − 𝜇̃𝑖↓ (−𝑣𝑖𝑛∗ ′ ↓ ) + ∑ △𝑗𝑖 ′ 𝑢𝑗↑ ] 𝛾𝑛↑ 𝑛. <𝑖 ′ ,𝑗>. <𝑖 ′ ,𝑗>. 𝑛 𝑛 + ∑ [ ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑢𝑗↓ ) − 𝜇̃𝑖↓ (−𝑢𝑖𝑛′ ↓ ) + ∑ △𝑗𝑖 ′ (−𝑣𝑗↑ )] 𝛾𝑛↓ 𝑛. <𝑖 ′ ,𝑗>. (2.29). <𝑖 ′ ,𝑗>. 從(2.27)到(2.29)式中對照準粒子算符的完整線性組合，將其分離成以下方程式 𝑛 𝑛 𝑛 𝐸𝑛↑ 𝑢𝑖↑ = ∑ −𝑡𝑖𝑗 (𝑢𝑗↑ ) + −𝜇̃𝑖↑ (𝑢𝑖𝑛′ ↑ ) − ∑ △𝑖 ′ 𝑗 𝑣𝑗↓ <𝑖 ′ ,𝑗>. <𝑖 ′ ,𝑗>. 𝑛∗ 𝑛∗ 𝐸𝑛↑ 𝑣𝑖𝑛∗ ̃𝑖↓ (−𝑣𝑖𝑛∗ ′ ↓ = ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑣𝑗↓ ) − 𝜇 ′ ↓ ) + ∑ △𝑗𝑖 ′ 𝑢𝑗↑ <𝑖 ′ ,𝑗>. <𝑖 ′ ,𝑗>. 𝑛∗ 𝑛∗ 𝑛∗ −𝐸𝑛↓ (−𝑣𝑖↑ ) = ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑣𝑗↑ ) − 𝜇̃𝑖↑ (−𝑣𝑖𝑛∗ ′ ↑ ) + ∑ △𝑖 ′ 𝑗 𝑢𝑗↓ <𝑖 ′ ,𝑗>. <𝑖 ′ ,𝑗>. 𝑛 𝑛 −𝐸𝑛↓ 𝑢𝑖𝑛′ ↓ = ∑ −𝑡𝑖𝑗 (−𝑢𝑗↓ ) − 𝜇̃𝑖↓ (−𝑢𝑖𝑛′ ↓ ) + ∑ △𝑗𝑖 ′ (−𝑣𝑗↑ ) <𝑖 ′ ,𝑗>. <𝑖 ′ ,𝑗>. 將上面四式的第二第四式取共軛複數，並設𝐻𝑖𝑗 = −𝑡𝛿𝑖±𝐱̂(𝐲̂)𝑗 − 𝑡 ′ 𝛿𝑖±(𝐱̂±𝐲̂)𝑗 − 𝜇̃𝑖↑ 𝛿𝑖𝑗 和−𝐻𝑖𝑗∗ = 𝑡𝛿𝑖±𝐱̂(𝐲̂)𝑗 +𝑡 ′ 𝛿𝑖±(𝐱̂±𝐲̂)𝑗 + 𝜇̃𝑖↓ 𝛿𝑖𝑗，x̂和ŷ為正方晶格上的單位向量(x 軸 y 軸)，. 23.

(30) 最後得到下列 BdG equation 𝐻𝑖𝑗 ∑( ∗ △𝑗𝑖. 𝑛 𝑛 △𝑖𝑗 𝑢𝑗↑ 𝑢𝑖↑ ) ( 𝑛 ) = 𝐸𝑛↑ ( 𝑛 ) −𝐻𝑖𝑗∗ 𝑣𝑖↓ 𝑣𝑗↓. (2.30). 𝐻𝑖𝑗 ∑( ∗ △𝑗𝑖. 𝑛∗ 𝑛∗ △𝑖𝑗 −𝑣𝑗↑ −𝑣𝑖↑ ) ( ) = −𝐸 ( 𝑛↓ 𝑛∗ ) 𝑛∗ −𝐻𝑖𝑗∗ 𝑢𝑖↓ 𝑢𝑗↓. (2.31). 𝑗. 𝑗. 2.4 自洽條件由(2.30)式和(2.31)式的時間反演對稱性提示，下述態是等價的， 𝑛 𝑛 𝑛∗ 𝑛∗ 𝑛 𝑛∗ (𝑢𝑖↑ ) ↔ (−𝑣𝑖↑ )，由此可引入 2𝑁𝑥 𝑁𝑦 = 2𝑁維波向量𝒖𝒏𝒊 = (𝑢𝑖↑ )和 , 𝑣𝑖↓ , 𝑢𝑖↓ , −𝑣𝑖↑ 𝑛 𝑛∗ )，運用(2.3.6)到(2.3.8)式，設𝐸𝑛 = 𝐸𝑛↑ ，則𝐸𝑛↓ = −𝐸𝑛 得到 𝒗𝒏𝒊 = (𝑣𝑖↓ , 𝑢𝑖↓. 𝑓𝑛↓ = 1 − 𝑓𝑛↑ = 1 − 𝑓𝑛. (2.32). 求其自洽條件 † † † 𝑛∗ 𝑛 𝑛 𝑛∗ ⟨𝑛𝑖↓ ⟩ = ⟨𝑐𝑖↓ 𝑐𝑖↓ ⟩ = ∑(𝑢𝑖↓ 𝑢𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ + 𝑣𝑖↓ 𝑣𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩) 𝑛 2𝑁. = ∑|𝒗𝒏𝒊 |2 [1 − 𝑓𝑛 ]. (2.33). 𝑛=1 † † † 𝑛∗ 𝑛 𝑛 𝑛∗ ⟨𝑛𝑖↑ ⟩ = ⟨𝑐𝑖↑ 𝑐𝑖↑ ⟩ = ∑(𝑢𝑖↑ 𝑢𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ + 𝑣𝑖↑ 𝑣𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩) 𝑛 2𝑁. = ∑|𝒖𝒏𝒊 |2 𝑓𝑛. (2.34). 𝑛=1 † 𝑛 𝑛∗ 𝑛 𝑛∗ † △𝑖𝑗 = −𝑉⟨ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖↑ ⟩ = 𝑉 ∑(𝑢𝑗↓ 𝑣𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ − 𝑢𝑖↑ 𝑣𝑗↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩). (2.35). 𝑛 † 𝑛 𝑛∗ 𝑛 𝑛∗ † △𝑖𝑗 = −𝑉⟨ 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↓ ⟩ = 𝑉 ∑(𝑢𝑖↑ 𝑣𝑗↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ − 𝑢𝑗↓ 𝑣𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩) 𝑛. 24. (2.36).

(31) † 𝑛 𝑛∗ 𝑛 𝑛∗ † △𝑖𝑗 = 𝑉⟨ 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↑ ⟩ = 𝑉 ∑(𝑢𝑖↓ 𝑣𝑗↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ − 𝑢𝑗↑ 𝑣𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩). (2.37). 𝑛 † 𝑛 𝑛∗ 𝑛 𝑛∗ † △𝑖𝑗 = 𝑉⟨ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖↓ ⟩ = 𝑉 ∑(𝑢𝑗↑ 𝑣𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ − 𝑢𝑖↓ 𝑣𝑗↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩). (2.38). 𝑛. 𝛽𝐸𝑛 1 − 2𝑓𝑛 = tanh ( ) 2. (2.39). 將(2.35)到(2.38)式相加後除以 4，得 2𝑁. 𝑉 𝛽𝐸𝑛 𝒏 𝒏∗ △𝑖𝑗 = ∑[𝒖𝒏𝒊 𝒗𝒏∗ ) 𝒋 + 𝒖𝒋 𝒗𝒊 ] tanh ( 4 2. (2.40). 𝑛=1. d 波超導能隙為 △𝑖 =. 1 (△ +△𝑖𝑖−𝐱̂ −△𝑖𝑖+𝐲̂ −△𝑖𝑖−𝐲̂ ) 4 𝑖𝑖+𝐱̂. (2.41). 而 SDW 的交錯磁化強度項定義為 𝑀𝑖 = (−1)𝑖 ⟨𝑛𝑖↑ − 𝑛𝑖↓ ⟩. (2.42). 2.5 狀態密度數值計算方法在前章的程式執行結束後，利用在實空間收斂的 BdG 波方程及自洽方程。採用 supercell 的擴充方式，此方法保留了平面波基底和傅立葉變換的簡潔性和效率，求出更多的 BdG 波方程，進而得到更加近似準確的局域狀態密度值。設定原始晶胞格點數𝑁 = 𝑁𝑥 × 𝑁𝑦 大小為𝑁𝑥 𝑎 × 𝑁𝑦 𝑎 (a為晶格常數)， supercell 數量為𝑀 = 𝑀𝑥 × 𝑀𝑦 (提高準確度)，平面波基底滿足週期性邊界條件，有利於消除表面和界面效應並允許使用原始晶胞模擬真實材料的行為，定義 supercell Bloch states 波向量為𝒌，根據 Bloch’s theorem， BdG 波方程可以表示. 25.

(32) 為 (. 𝑢(𝒓𝒊 ) 𝑢𝒌 (𝒓𝒊 ) ) = 𝑒 𝑖𝒌∙𝒓𝒊 ( 𝒌 ) 𝑣(𝒓𝒊 ) 𝑣 (𝒓𝒊 ). 可得到與𝒌相關之 BdG equation 如下 𝑢𝑗𝑛,𝒌 𝑢𝑖𝑛,𝒌 𝐻𝑖𝑗 (𝒌) △𝑖𝑗 (𝒌) ∑( ∗ )( ) = 𝐸𝑛,𝑘 ( 𝑛,𝒌 ) △𝑗𝑖 (𝒌) −𝐻𝑖𝑗 (𝒌) 𝑣 𝑛,,𝒌 𝑣𝑖. (2.43). 𝑗. 𝑗. 𝐻𝑖𝑗 (𝑘) = −𝑡𝑒 𝑖𝒌∙(±𝒙̂(𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±𝑥̂(𝑦̂),𝑗 − 𝑡 ′ 𝑒 𝑖𝒌∙(±(𝒙̂±𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±(𝒙̂±𝒚̂),𝑗 − 𝜇̃ 𝑖↑ 𝛿𝑖𝑗. (2.44). −𝐻𝑖𝑗 (𝒌) = 𝑡𝑒 𝑖𝒌∙(±𝒙̂(𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±𝒙̂(𝒚̂),𝑗 + 𝑡 ′ 𝑒 𝑖𝒌∙(±(𝒙̂±𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±(𝒙̂±𝒚̂),𝑗 + 𝜇̃ 𝑖↓ 𝛿𝑖𝑗. (2.45). △𝑖𝑗 (𝒌) =△𝑖𝑗 𝑒 𝑖𝒌∙(±𝒙̂(𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±𝑥̂(𝑦̂),𝑗. (2.46). △𝑗𝑖∗ (𝒌) =△𝑗𝑖∗ 𝑒 𝑖𝒌∙(±𝒙̂(𝒚̂))𝑎 𝛿𝑖±𝑥̂(𝑦̂),𝑗. (2.47). 其中𝒌 = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) ，𝑘𝑥,𝑦 = 2𝜋𝑛𝑥,𝑦 ∕ 𝑀𝑥,𝑦 𝑁𝑥,𝑦 𝑎，𝑛𝑥,𝑦 = 0,1,2, … 𝑀𝑥,𝑦 − 1，𝒖𝒏,𝒌 = 𝒊 𝑛,𝑘 𝑛∗,𝑘 𝑛,𝑘 𝑛∗,𝑘 (𝑢𝑖↑ , −𝑣𝑖↑ )， 𝒗𝒏,𝒌 = (𝑣𝑖↓ , 𝑢𝑖↓ )，其他參數定義同前章。 𝒊. 原始晶胞上求得知 BdG 波方程有 2N 組，通過 supercell 方法，可以得到 2𝑁𝑀 組。將波函數帶入局域狀態密度公式 2𝑁. 1 2 2 𝐷𝑖 (𝐸) = − ∑ [|𝑢𝑖𝑛,𝑘 | 𝑓 ′ (𝐸𝑛,𝑘 − 𝐸) + |𝑣𝑖𝑛,𝑘 | 𝑓 ′ (𝐸𝑛,𝑘 + 𝐸)] 𝑀𝑥 𝑀𝑦. (2.48). 𝑛=1. 𝑓 ′ (𝐸𝑛,𝑘 − 𝐸)為 Fermi-Dirac distribution function 的微分，為增加數值計算結果之準確性，對其做以下處理 exp(x) =. 1 + tanh(x ∕ 2) 1 − tanh(x ∕ 2). (2.49). 將(2.49)式代入 Fermi-Dirac distribution function，得到 𝑓(𝐸𝑛,𝑘 ∓ 𝐸) =. 𝛽(𝐸𝑛,𝑘 ∓ 𝐸) 1 1 − tanh ( ) 2 2 2 26. (2.50).

(33) 再對(2.50)式做微分，得到 𝛽 𝛽(𝐸𝑛,𝑘 ∓ 𝐸) 𝑓 ′ (𝐸𝑛,𝑘 ∓ 𝐸) = − [1 − tanh2 ( )] 4 2. (2.51). 將(2.51)式代回(2.48)式，得到數值計算局域狀態密度的公式 2𝑁. 1 𝛽(𝐸𝑛,𝑘 − 𝐸) 2𝛽 𝐷𝑖 (𝐸) = ∑ [|𝑢𝑖𝑛,𝑘 | [1 − tanh2 ( )] 𝑀𝑥 𝑀𝑦 4 2 𝑛=1. + |𝑣𝑖𝑛,𝑘 |. 2𝛽. 4. [1 − tanh2 (. 𝛽(𝐸𝑛,𝑘 + 𝐸) )]] 2. 接著，可以更進一步計算格點平均狀態密度 𝐷(𝐸) =. 1 ∑ 𝐷𝑖 (𝐸) 𝑁. (2.52). 𝑖. 2.6 超流密度對一個超導體施以一個外加磁場，由於超流的屏蔽，磁場會被排斥在超導體之外，這是超導體中的超流對外加電磁場的響應‧這方面的的研究是超導物理中很重要的一環‧超流密度是描述超流響應的一個重要物理量，也是連接超導微觀機制與宏觀電磁學的重要參量，超流密度反比於磁穿透深度的平方，這是倫敦方程的重要推論，超流密度大的超導體屏蔽磁場作用強，穿透深度較短。超流密度隨溫度變化的關係，也反映出超導準粒子激發的性質，不同對稱性的超導體其超流隨溫度的變化也是不一樣。一個波向量為q、頻率為ω的外加向量位勢作用到系統上，系統會產生響應電流，在線性響應理論中 [ 22] ，響應電流由久保公式 (Kubo fomula) 決定 [ 20]Error! Reference source not found.]，我們描述此Ax (r, t)為沿著 x 軸的 27.

(34) 向量位勢 𝐴𝑥 (𝒓, 𝑡) = 𝐴𝑥 (𝐪)𝑒 𝑖𝐪∙𝒓−𝑖𝛚𝑡. (2.53). 動能算符為 † † 𝐾𝑥 (𝑖, 𝑗) = − ∑(𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 + 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 ). (2.54). 𝑗𝜎. 由於現在有外加向量位勢，(2.43)式必須由 Peierls factors 修正,( 𝑒 𝑖 𝐴𝑥 (𝒓,𝑡) 對 † † 𝑐𝑖+𝑥𝜎 𝑐𝑖𝜎，𝑒 −𝑖 𝐴𝑥 (𝒓,𝑡) 對𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑖+𝑥𝜎 ) ，我們設定ℏ = c = 1‧將有外加勢場作用下的哈. 密頓式做二階展開 H = 𝐻0 + 𝐻 ′ 𝐻 ′ (𝑡) = −𝑒𝑎 ∑ 𝐴𝑥 (𝒓, 𝑡) (𝑗𝑥𝑝 (𝑟) + 𝑖. 𝑒𝑎 𝐴 (𝒓, 𝑡) 𝐾𝑥 (𝑟)) 2 𝑥. (2.55). 𝑎為晶格常數，其中𝑗𝑥𝑝 (𝑟)為 Paramagnetic current operator † † 𝑗𝑥𝑝 (𝑟) = −i ∑(𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 − 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 ). (2.56). 𝑗𝜎. 沿著 x 軸的 charge density operator 可以表示為 𝐽𝑥 (𝑟) = −. 𝛿𝐻 ′ (𝑡) = 𝑒𝑗𝑥𝑝 (𝑟) + 𝑒 2 𝐾𝑥 (𝑟)𝐴𝑥 (𝒓, 𝑡) 𝛿𝐴𝑥 (𝒓, 𝑡). (2.57). 外磁場中的抗磁響應項(Diamagnetic response)為 † † ⟨𝐾𝑥 (𝑖, 𝑗)⟩ = − ∑⟨𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 + 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 ⟩ 𝑗𝜎 † † 𝑛∗ 𝑛 𝑛 𝑛∗ = − ∑[ 𝑡𝑖𝑗 𝑢𝑖↑ 𝑢𝑗↑ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ + 𝑡𝑖𝑗 𝑣𝑖↑ 𝑣𝑗↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ 𝑛 † † † 𝑛∗ 𝑛 𝑛 𝑛∗ 𝑛∗ 𝑛 +𝑡𝑖𝑗 𝑢𝑖↓ 𝑢𝑗↓ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ + 𝑡𝑖𝑗 𝑣𝑖↓ 𝑣𝑗↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ + 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑢𝑗↑ 𝑢𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩ † † † 𝑛 𝑛∗ 𝑛∗ 𝑛 𝑛 𝑛∗ +𝑡𝑗𝑖∗ 𝑣𝑗↑ 𝑣𝑖↑ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ + 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑢𝑗↓ 𝑢𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↓ 𝛾𝑛↓ ⟩ + 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑣𝑗↓ 𝑣𝑖↓ ⟨𝛾𝑛↑ 𝛾𝑛↑ ⟩. 當𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝑗𝑖∗. 28.

(35) 2𝑁 𝒏 𝒏∗ ⟨𝐾𝑥 (𝑖, 𝑗)⟩ = −2 ∑ 𝑡𝑖𝑗 [ 𝒖𝒏𝒋↑ 𝒖𝒏∗ 𝒊↑ 𝑓(𝐸𝑛 ) + 𝒗𝒊↓ 𝒗𝒋↓ (1 − 𝑓(𝐸𝑛 ))]. (2.58). 𝑛. 順磁響應項(Paramagnetic response)由橫向流-流關聯函數(current-current function) 決定 𝛽. Λ 𝑥𝑥 (𝑟, 𝑖Ω) = ∫ 𝑑𝜏 𝑒 −𝑖Ω𝜏 ⟨𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟′, 0)⟩. (2.59). 0. 其中𝑇𝜏 為時間排序算符(time ordering operator) 由(2.45)式可知 < 𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟 ′ , 0) > † † = − ∑ ⟨𝑇𝜏 (𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 − 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 ) (𝑡𝑖 ′ 𝑗′ 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ − 𝑡𝑗∗′ 𝑖 ′ 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ )⟩ 𝜎𝜎′ † † = − ∑ ⟨𝑇𝜏 (𝑡𝑖𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 − 𝑡𝑗𝑖∗ 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 ) (𝑡𝑖 ′ 𝑗′ 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ − 𝑡𝑗∗′ 𝑖 ′ 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ )⟩ 𝜎𝜎′ † † † = − ∑ 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ ⟩ + ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ ⟩ − ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ ⟩ 𝜎𝜎′ † − ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ ⟩). (2.60) 根據威克定理(Wick's theorem) † ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖†′ ↑ 𝑐𝑗′ ↑ ⟩ = 𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ − 𝐺𝑗′ 𝑖↑↑ 𝐺𝑗𝑖 ′ ↑↑. (2.61). † ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖†′ ↓ 𝑐𝑗′ ↓ ⟩ = 𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ − 𝐺𝑖𝑗′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↓↓. (2.62). † ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖↑ 𝑐𝑗↑ 𝑐𝑖†′ ↓ 𝑐𝑗′ ↓ ⟩ = −𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ + 𝐹𝑖∗′ 𝑖 𝐹𝑗𝑗′. (2.63). † ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖↓ 𝑐𝑗↓ 𝑐𝑖†′ ↓ 𝑐𝑗′ ↓ ⟩ = −𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ + 𝐹𝑖𝑖∗ ′ 𝐹𝑗′ 𝑗. 將(2.6.9)到(2.6.11)式代回(2.6.8)式. 29. (2.64).

(36) † ∑⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ ⟩ = 𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ − 𝐺𝑗′ 𝑖↑↑ 𝐺𝑗𝑖 ′ ↑↑ + 𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ − 𝐺𝑖𝑗 ′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↓↓ 𝜎𝜎′. −𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ + 𝐹𝑖∗′ 𝑖 𝐹𝑗𝑗′ −𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ + 𝐹𝑖𝑖∗ ′ 𝐹𝑗′ 𝑗. (2.65). † ∑ ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ ⟩ = 𝐺𝑖𝑗↑↑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↑↑ − 𝐺𝑖 ′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑗′ ↑↑ + 𝐺𝑗𝑖↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↓↓ − 𝐺𝑗𝑖 ′ ↓↓ 𝐺𝑗 ′ 𝑖↓↓ 𝜎𝜎′. −𝐺𝑖𝑗↑↑ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↓↓ + 𝐹𝑗∗′ 𝑗 𝐹𝑖𝑖 ′ −𝐺𝑗𝑖↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↑↑ + 𝐹𝑗𝑗∗ ′ 𝐹𝑖 ′ 𝑖. (2.66). † ∑ ⟨𝑇𝜏 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑗†′ 𝜎′ 𝑐𝑖 ′ 𝜎′ ⟩ = 𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↑↑ − 𝐺𝑖 ′ 𝑖↑↑ 𝐺𝑗𝑗′ ↑↑ + 𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↓↓ − 𝐺𝑖𝑖 ′ ↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑗↓↓ 𝜎𝜎′. −𝐺𝑗𝑖↑↑ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↓↓ + 𝐹𝑗∗′ 𝑖 𝐹𝑗𝑖 ′ −𝐺𝑖𝑗↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↑↑ + 𝐹𝑖𝑗∗ ′ 𝐹𝑖 ′ 𝑗. (2.67). † ∑⟨𝑇𝜏 𝑐𝑗𝜎 𝑐𝑖𝜎 𝑐𝑖†′ 𝜎′ 𝑐𝑗′ 𝜎′ ⟩ = 𝐺𝑖𝑗↑↑ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ − 𝐺𝑗′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑖 ′ ↑↑ + 𝐺𝑗𝑖↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ − 𝐺𝑗𝑗′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑖↓↓ 𝜎𝜎′. −𝐺𝑖𝑗↑↑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗′ ↓↓ + 𝐹𝑖∗′ 𝑗 𝐹𝑖𝑗′ −𝐺𝑗𝑖↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑖 ′ ↑↑ + 𝐹𝑗𝑖∗ ′ 𝐹𝑗′ 𝑖. (2.68). 𝐺𝑗𝑖𝜎𝜎 = 𝐺𝑖𝑗𝜎𝜎 可得 ⟨𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟 ′ , 0)⟩ = −𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (−𝐺𝑗′ 𝑖↑↑ 𝐺𝑗𝑖 ′ ↑↑ − 𝐺𝑖𝑗′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↓↓ + 𝐹𝑖∗′ 𝑖 𝐹𝑗𝑗′ + 𝐹𝑖𝑖∗ ′ 𝐹𝑗′ 𝑗 ) −𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (−𝐺𝑖 ′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑗′ ↑↑ − 𝐺𝑗𝑖 ′ ↓↓ 𝐺𝑗 ′ 𝑖↓↓ + 𝐹𝑗∗′ 𝑗 𝐹𝑖𝑖 ′ + 𝐹𝑗𝑗∗ ′ 𝐹𝑖 ′ 𝑖 ) +𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (−𝐺𝑖 ′ 𝑖↑↑ 𝐺𝑗𝑗′ ↑↑ − 𝐺𝑖𝑖 ′ ↓↓ 𝐺𝑗′ 𝑗↓↓ + 𝐹𝑗∗′ 𝑖 𝐹𝑗𝑖 ′ + 𝐹𝑖𝑗∗ ′ 𝐹𝑖 ′ 𝑗 ) +𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (−𝐺𝑗′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑖 ′ ↑↑ − 𝐺𝑗𝑗′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑖↓↓ + 𝐹𝑖∗′ 𝑗 𝐹𝑖𝑗′ + 𝐹𝑗𝑖∗ ′ 𝐹𝑗′ 𝑖 ) 由於𝐺𝑖 ′ 𝑖↑↑ 對電流沒有貢獻，且在 d 波超導體中，𝐹𝑖𝑖 ′ = 0 ⟨𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟 ′ , 0)⟩ = −2𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ (−𝐺𝑖 ′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑗′ ↑↑ − 𝐺𝑖𝑗′ ↓↓ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↓↓ + 𝐹𝑖𝑗∗ ′ 𝐹𝑖 ′ 𝑗 + 𝐹𝑖∗′ 𝑗 𝐹𝑖𝑗′ (2.69) 𝛽. Λ 𝑥𝑥 (𝑟, 𝑖Ω) = ∫ 𝑑𝜏 𝑒 −𝑖Ω𝜏 ⟨𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟′, 0)⟩ 0. 1 = ∑⟨𝑇𝜏 𝑗𝑥𝑝 (𝑟, 𝜏) 𝑗𝑥𝑝 (𝑟′, 0)⟩ 𝛽 𝜔. 30. (2.70).

(37) ′. ′. 𝒖𝒏𝒊↑ 𝒖𝒏𝒋′↑∗ 𝒖𝒏𝒊′ ↑ 𝒖𝒏∗ 1 1 𝒋↑ ∑ ∑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑗′ ↑↑ = ∑ ∑ ∑ 𝛽 𝛽 𝑖𝜔 − 𝐸𝑛 𝑖(𝛺 + 𝜔) − 𝐸𝑛′ ′ ′ 𝜔 𝑛𝑛. 𝜔. 𝑛. 𝑛. ′. ′. 𝒏 𝒏∗ = ∑ ∑ 𝒖𝒏𝒊′ ↑ 𝒖𝒏∗ 𝒋↑ 𝒖𝒊↑ 𝒖𝒋′ ↑ 𝑛=1 𝑛′ =1. 𝑓(𝐸𝑛 ) − 𝑓(𝑖Ω + 𝐸𝑛′ ) 𝑖Ω + 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′. 當Ω = 0 ) ′) 1 𝒏′ 𝒏′ ∗ 𝑓(𝐸𝑛 − 𝑓(𝐸𝑛 ∑ ∑ 𝐺𝑖 ′ 𝑗↑↑ 𝐺𝑖𝑗′ ↑↑ = ∑ ∑ 𝒖𝒏𝒊′ ↑ 𝒖𝒏∗ 𝒋↑ 𝒖𝒊↑ 𝒖𝒋′ ↑ 𝛽 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′ ′ ′ 𝜔 𝑛𝑛. 𝑛=1 𝑛 =1. 橫向流-流關聯函數(current-current function)可表示為 ′. ′. ′. ′. 𝒏 𝒏∗ 𝒏 𝒏∗ 𝒏 𝒏 ∗ Λ 𝑥𝑥 (𝑖, 𝑗, Ω = 0) = −2𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖 ′ 𝑗′ ∑ ∑ (−𝒖𝒏𝒊′ ↑ 𝒖𝒏∗ 𝒋↑ 𝒖𝒊↑ 𝒖𝒋′ ↑ − 𝒗𝒊↓ 𝒗𝒋′ ↓ 𝒗𝒊′ ↓ 𝒗𝒋↓ 𝑛=1 𝑛′ =1 ′. ′. ′. ′. 𝒏 𝒏∗ 𝒏 𝒏∗ 𝒏 𝒏 ∗ +𝒗𝒏𝒊↓ 𝒖𝒏∗ 𝒋′ ↑ 𝒖𝒊′ ↑ 𝒗𝒋↓ + 𝒗𝒊′ ↓ 𝒖𝒋↑ 𝒖𝒊↑ 𝒗𝒋′ ↓ ). 𝑓(𝐸𝑛 ) − 𝑓(𝐸𝑛′ ) 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′. (2.71). 設 ′. ′. ′. 𝒏 𝒏 𝒏∗ Γ𝑖𝑗𝑛𝑛 = 𝑡𝑖𝑗 (𝒖𝒏∗ 𝒋↑ 𝒖𝒊↑ − 𝒗𝒊↓ 𝒗𝒋↓ ). 代入(2.6.18)式得 ′. ′. Λ 𝑥𝑥 (𝑖, 𝑗, Ω = 0) = 2 ∑ ∑ Γ𝑖𝑗𝑛𝑛 Γ𝑖𝑛𝑛 ′𝑗′ 𝑛=1 𝑛′ =1. 𝑓(𝐸𝑛 ) − 𝑓(𝐸𝑛′ ) 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′. 局域超流密度為 𝜌𝑠 (𝑖) = ⟨−𝐾𝑥 (𝑖)⟩ − Λ 𝑥𝑥 (𝑖, Ω = 0). (2.72). 其中 ′. Λ 𝑥𝑥 (𝑖, Ω = 0) = ∑ ∑ ∑ Γ𝑖𝑛𝑛 Γ𝑖𝑛𝑛 ′ 𝑖′. 𝑛=1 𝑛′ =1. 超流密度為 𝜌𝑠 ＝. 1 ∑ 𝜌𝑠 (𝑖) 𝑁 𝑖. 31. ′. 𝑓(𝐸𝑛 ) − 𝑓(𝐸𝑛′ ) 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′. (2.73).

(38) 第三章研究結果與分析這一章我們用 BdG equations 對角化自洽場計算研究有效平均場𝑡 − 𝑡 ′ − 𝑈 − 𝑉模型哈密頓量的結果。在我們的計算過程中，溫度𝑇 = 0.01，晶格大小 𝑁𝑥 𝑁𝑦 = 64 × 64，晶格常數𝑎 = 1，最鄰近躍遷動能 𝑡 = 1，𝑉 = 1，原位排斥勢 𝑈取值 2.4，0，另外增加次鄰近躍遷動能t ′ = −0.2，並在格點上加入不同濃度隨機分布的非磁性雜質位能εI = 20。而在自洽求解過程中，化學勢𝜇會相應調整使每個格點平均粒子佔據數為 0.89(欠摻雜區)。. 3.1 無摻雜系統在雜質摻雜濃度為 0 時，從圖(3.1)可以發現在𝑈 = 0的系統中，由於沒有晶格點上庫倫斥能作用， d 波超導能隙 △𝑖 、電子密度𝑛𝑖 在空間中為勻相分布，為純 d 波超導態。. 32.

(39) 圖(3.1): (a)、(b)為𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 時電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。. 圖(3.2):(a)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 時的交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布。(b)為交錯磁場𝑀𝑖 在動量空間的分布。. 圖(3.3):(a)、(b)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。. 而在增大晶格點上庫倫斥能𝑈 = 2.4時，它誘導出自旋密度波序𝑈⟨𝑛𝑖↑ − 𝑛𝑖↓ ⟩ ，使反鐵磁態和 d 波超導態共存，從圖(3.2)、(3.3)看到通過反鐵磁態初始條件的設置，可以看到 d 波超導能隙 △𝑖、電子密度𝑛𝑖 和交錯磁場𝑀𝑖 在空間中為沿𝑦方向. 33.

(40) 的條紋結構，d 波超導能隙和 CDW 具有周期8𝑎，而 SDW 周期為16𝑎。從圖(3.2.b) 可以看到兩個最大峰值位置在波向量𝒌 = 2𝜋/𝑎(0,0 ± ε)的位置，ε = 1/16。另外 d 波超導能隙△𝑖 的最大值和交錯磁化強度為 0 的空間位置一致。圖(3.4)為無摻雜時𝑈 = 0(綠線)和𝑈 = 2.4 (紅線)的狀態密度曲線，費米能 (Fermi energy)對應𝐸 = 0 處，在𝑈 = 0的勻相系統中，狀態密度是典型不對稱的”V “形，粒子-空穴對稱性被破壞，且有兩個超導相干峰值。但與𝑈 = 2.4， d 波超導態和條紋相共存的系統中卻有所不同，和純 d 波超導態相比具有因反鐵磁序條紋所形成的能隙(費米能周圍)，且峰值受到抑制，顯示出超導相和反鐵磁序之間的相互競爭。. 圖(3.4):(a)紅線為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89 無雜質摻雜時的狀態密度曲線。綠線為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 無摻雜時的狀態密度曲線。 34.

(41) 圖(3.5)為𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 無雜質摻雜時超流密度𝜌𝑠 和 d 波超導能隙∆𝑖 隨溫度的變化，超流密度𝜌𝑠 和 d 波超導能隙∆𝑖 皆隨著溫度的上升逐漸下降，直到臨界溫度而消失。. 圖(3.5):(a) 、(b)分別對應𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 無雜質摻雜時超流密度𝜌𝑠 和 d 波超導能隙∆𝑖 隨溫度的變化圖. 3.2 單雜質系統在加入多顆雜質之前我們首先要先確認單顆非磁性雜質對系統的影響，圖 (3.6)、(3.8)、(3.9) ，為將一個雜質放入系統中央時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 和交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布。可以看到𝑈 = 0和𝑈 = 2.4的狀況，摻入一個雜質時對電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 空間分布的影響都是局域的。在遠離雜質點處，各個序參數(order parameter)的空間分布幾乎不受雜質點的影響，但在 𝑈 = 2.4時，在雜質點附近，由於非磁性雜質的存在，導致序參數(order parameter). 35.

(42) 在每個雜質點附近都受到很強的抑制，雜質點上的磁化強度幾乎為零，圖(3.8) ，且會提高(enhance)雜質點鄰近的反鐵磁序磁化強度，但整體結構及條紋週期性未受破壞。而圖(3.7)則表明了𝑈 = 0時在最鄰近雜質點處的局域狀態密度會出現典型的零散射峰。圖(3.10)和(3.7)明顯不同，𝑈 = 2.4時，最鄰近雜質點處的局域狀態密度在費米能兩側的超導相干峰被明顯壓制，但費米能兩側還存在由於反鐵磁而產生的能隙。. 圖(3.6): 圖(a)、(b)為 𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 。. 36.

(43) 圖(3.7):綠線為𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，最鄰近雜質點局域狀態密度曲線。紅線為𝑈 = 0，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，遠離雜質點局域狀態密度曲線。. 圖(3.8): (a)、(b)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布、動量空間分布。. 37.

(44) 圖(3.9): (a)、(b)為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。. 圖(3.10):綠線為𝑈 = 2.4 𝑛̅ = 0.89，無雜質摻雜時的狀態密度曲線。紅線為 𝑈 = 2.4，𝑛̅ = 0.89 摻入一個雜質時，最鄰近雜質點局域狀態密度曲線。. 38.

(45) 3.3 多雜質系統接下來來研究隨著雜質摻雜濃度的增加，超導是怎樣被影響的。這裡需要注意的是，同一雜質濃度下不同隨機分布的雜質位型對超導的影響是不同的，所以我們在隨機分布的同時，會設定雜質與雜質之間的間距，避免過分集中在某些區域，並且會對其作多次不同雜質位型的計算。並得出雜質位型平均的超導能隙△ 關於雜質濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 的關係曲線。在𝑈 = 0的勻相系統中，圖(3.11)、(3.12) 顯示出雜質引入對超導能隙和電荷密度局域的抑制，可以看到隨著雜質摻雜濃度的增加，超導能隙逐漸被破壞且局域化，且相干性越來越差。. 39.

(46) 圖(3.11):(a)、(b)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.02 %時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。(c)、(d)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 2.04 %時的電子密度 𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。(e)、(f)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 3.95 %時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。. 40.

(47) 圖(3.12):圖(a)、(b)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 6.00 %時的電子密度𝑛𝑖、d 波超導能隙△𝑖 和空間分布。圖(c)、(d)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 8.03 %時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。圖(e)、(f)為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 9.06%時的電子密度𝑛𝑖 、d 波超導能隙△𝑖 空間分布。. 41.

(48) 為了瞭解雜質摻雜對超導能隙的影響，圖(3.13)為將不同的雜質隨機分布位型平均後的超導能隙隨摻雜濃度的關係，可以看到平均超導能隙隨著雜質引入以幾乎線性的趨勢衰減，在𝑈 = 0時，超導能隙∆𝑖 的臨界濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 則大概在9.06%左右。. 圖(3.13):(a)為𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89 時超導能隙∆隨摻雜濃度的關係。. 隨著雜質摻雜濃度的提高，𝑈 = 0時的狀態密度出現明顯的變化(圖 3.14)，超導相干峰被抑制且越發不明顯，摻雜濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 = 8.03 % 到 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 9.06 %時相干峰消失，費米面附近的超導能隙被破壞，(圖 3.15)可以看到中間費米能對應的狀態密度逐漸上升，對照單雜質系統中最鄰近雜質點的局域狀態密度圖(3.7) 中可以得知這是由於零散射峰造成的結果。. 42.

(49) 圖(3.14): 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之狀態密度曲線。. 圖(3.15): 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89，各個摻雜濃度對應之費米能的狀態密度。. 43.

(50) 超流密度𝜌𝑠 與磁穿透深度𝜆−2成正比，它可以表示一個超導體中超導相的相干性的好壞，是一種非局域的響應函數，所以可以提供更多關於超導配對對稱性的信息，所以超流密度作為系統的超導態何時消失的依據，從圖(3.16)可以看到超流密度𝜌𝑠 隨摻雜濃度的增加，迅速的趨向 0，可以看到其減小的速度比超導能隙快。. 圖 (3.16):(a) 與 (b) 分別為 𝑈 = 0、𝑛̅ = 0.89時和超導能隙∆ 和超流密度 𝜌𝑠 隨摻雜濃度變化的關係。(虛線為外差部分). 44.

(51) 在𝑈 = 2.4的系統中，當雜質濃度𝑛𝑖𝑚𝑝 < 1.10時，由於雜質引入的電荷局域化和強散射出現對超導能隙、電荷密度的抑制，電荷密度被影響的格點距離較短，雜質點附近的磁化強度會被提高(enhance)。而當雜質濃度為𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10% 和 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83% 時，交錯磁化強度的條紋結構出現歪斜的狀態，呈現如 smectic phase 的樣貌，如圖(3.17)，且條紋的數量改變也反映在動量空間中的兩個最大峰值位置在波向量𝒌 = 2𝜋/𝑎(0,0 ± ε)的位置ε = 12.796，最大峰值附近出現了小的強度訊號，說明條紋相受到擾動，本來的準一維特性被破壞。. 圖(3.17): (a)、(b)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.10%時的交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布和動量空間分布。圖(c) 、(d)分別為 𝑈 = 2.4、𝑛̅ = 0.89、 𝑛𝑖𝑚𝑝 = 1.83%時的交錯磁化強度𝑀𝑖 空間分布和動量空間分布 45.