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固定光罩面積求最小邊界圖形(1/2)

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第三章 生物晶片光罩最小邊界之最佳演算法

3.3 固定光罩面積求最小邊界圖形(1/2)

A} ≥ 最小邊界值{面積 A - 1} ≥ 最小邊界值{面積 A - 2} ≥ … ≥ 最小邊界值{面 積 B + 1} ≥最小邊界值{面積 B }。所以最小邊界值{面積 A} ≥ 最小邊界值{面 積 B}。

[輔助定理五] 固定光罩面積下,最小邊界值的圖形,一定是一個區塊的凸多邊 形。

證明:首先證明會形成一個區塊。假設固定光罩面積下,最小邊界值的圖形不 只一個區塊,針對任兩個區塊上下左右任一邊互相連接,形成一個新的圖形。

則此一新圖形的光罩面積不變,但是邊界值減少了互相連接的部份。假設發生 錯誤,所以固定光罩面積下,最小邊界值的圖形,一定是一個區塊。

接著證明是一個凸多邊形。假設固定光罩面積 A 下,最小邊界值的圖形為 凹多邊形,依照定義一,針對互相正面彼此看到的邊再多加一個連接邊,形成 一個新的圖形(圖 16)。由圖可看出,新的圖形面積增加 a,邊界值減小。所以,

最小邊界值{面積 A} = 邊界值{凹多邊形} > 邊界值{新的圖形}. (6) 邊界值{新的圖形} = 邊界值{面積 A + a} ≥ 最小邊界值{面積 A + a }. (7) 利用(6)及(7),可推導出,

最小邊界值{面積 A } > 最小邊界值{面積 A + a }. (8) 上式結果違背輔助定理四,假設發生錯誤。因此固定光罩面積下,最小邊界值 的圖形不是凹多邊形,而是一個區塊的凸多邊形。

圖 16 凹多邊形與邊界的關係圖

凹多邊形,多加一個連接邊,形成一個新的圖形。面積增加,邊界值減小

在一個區塊的凸多邊形下,由輔助定理二:邊界值為 4L 或 4L + 2,L ∈ Z+

定理二:邊界值為 4L 的最大面積為 L2,L ∈ Z+;且圖形為邊長 L 的正方形;

以及定理三:邊界值為 4L + 2 的最大面積為 L2 + L,L ∈ Z+;且圖形為邊長分 別為 L 及 L + 1 的矩形。我們圖 17 在可以畫出,光罩邊界和面積的對映關係。

圖 17 光罩邊界和面積的對映關係圖

一個區塊的凸多邊形下,光罩邊界和面積的對映關係

3.4 固定光罩面積求最小邊界圖形(1/2)

[定理四]光罩面積為 L2,最小邊界值為 4L,且圖形為邊長 L 的正方形,L ∈ Z+。 證明:由圖 17 我們知道,當光罩面積為 L2,最小邊界值為 4L。而且由定理二 可得知,此圖形為邊長 L 的正方形。

[定理五]光罩面積為 L2 + L,最小邊界值為 4L + 2,且圖形為邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形,L ∈ Z+

證明:由圖 17 我們知道,當光罩面積為 L2 + L,最小邊界值為 4L + 2。而且由 定理三可得知,此圖形為邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形。

[定理六] 光罩面積為 L2 + 1 到 L2 + L 時,最小邊界值為 4L + 2,L ∈ Z+。 證明:由定理四得知,光罩面積為 L2,最小邊界值為 4L,且圖形為邊長 L 的 正方形。依序由此邊長 L 正方形的一邊,從頭到尾連續增加光罩面積從 L2 + 1 到 L2 + L(圖 18)。由圖可知,開始增加第一個點時,邊界值增加 2,變成 4L + 2。

爾後增加點時,邊界值都不變,維持 4L + 2,一直到面積增為 L2 + L,形成邊 長分別為 L 及 L + 1 的矩形。

由圖 17 我們知道,當光罩面積大於 L2,最小邊界值至少為 4L + 2。因此 光罩面積為 L2 + 1 到 L2 + L 時,最小邊界值為 4L + 2。

圖 18 光罩面積增加示意圖

光罩面積從 L2 + 1 依序增加,經由 L2 + L 到(L + 1)2

[定理七] 光罩面積為(L2 + L) + 1 到(L + 1)2時,最小邊界值為 4(L + 1),L ∈ Z+。 證明:由定理五得知,光罩面積為 L2 + L,最小邊界值為 4L + 2,且圖形為邊 長分別為 L 及 L + 1 的矩形。依序由邊長 L + 1 的一邊,從頭到尾連續增加光罩 面積從(L2 + L) + 1 到(L + 1)2 (圖 18)。由圖可知,開始增加第一個點時,邊界值 增加 2,變成 4L + 2 + 2 = 4(L + 1)。爾後增加點時,邊界值都不變,維持 4(L + 1),一直到面積增為(L + 1)2,形成邊長為 L + 1 的正方形。

由圖 17 我們知道,當光罩面積大於 L2 + L,最小邊界值至少為 4(L + 1)。

因此光罩面積為(L2 + L) + 1 到(L + 1)2時,最小邊界值為 4(L + 1)。

3.5 最佳解演算法

考慮一層探針的光罩佈局,在固定光罩遮住面積的條件下,根據定理四至 定理七,我們可以推導出擁有最小邊界值,之最佳解佈局演算法。

[演算法]

[步驟 1] 當光罩面積為 L2,L ∈ Z+時,則最小邊界值為 4L,且圖形為邊長 L 的正方形。

[步驟 2] 當光罩面積為 L2 + L,L ∈ Z+時,則最小邊界值為 4L + 2,且圖形為 邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形。

[步驟 3] 當光罩面積為 L2 + k,L ∈ Z+,k ∈ {1, 2, …, L - 1}時,則最小邊界值 為 4L + 2,且圖形為在邊長為 L 的正方形一邊,從頭到尾連續增加面 積 k。

[步驟 4] 當光罩面積為(L2 + L) + k,L ∈ Z+,k ∈ {1, 2, …, L }時,則最小邊界 值為 4(L + 1),且圖形為在邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形上,,針對邊 長為 L + 1 的一邊,從頭到尾連續增加面積 k。

因為我們只考慮一層光罩的關係,所以上面的演算法已經把生物晶片光罩 法的 Placement 跟 Embedding 都考慮進去了,比之前求生物晶片光罩最小邊界 的演算法都要簡單許多,底下我們舉出幾個例子。

[範例一]當光罩面積為 16 時,如圖 19,求光罩的最佳佈局

圖 19 光罩面積 16,邊界值 22

以上圖為例子,其光罩的面積為 16,光罩的邊界值為 22;但我們從演算法 的步驟 1 得知,當光罩面積為 L2,L ∈ Z+時,則最小邊界值為 4L,且圖形為邊 長 L 的正方形;所以面積 16 的光罩可以表示成面積為 42的光罩,其最小邊界 值為 4*4=16,而光罩應該為邊長 4 的正方形,圖 19 的光罩顯然不是最佳的佈 局方式;我們可以把圖 19 的光罩佈局方式改成圖 20 的佈局方式,其邊長界值 為 16,且邊長為 4 的正方形,可以知道圖 20 是當光罩面積為 16 時,最佳的佈 局方式。

圖 20 光罩面積 16,邊界值 16

[範例二]當光罩面積為 20 時,如圖 21,求光罩的最佳佈局

圖 21 光罩面積 20,邊界值 22

以上圖為例子,其光罩的面積為 20,光罩的邊界值為 22;但我們從演算法 的步驟 2 得知,當光罩面積為 L2 + L,L ∈ Z+時,則最小邊界值為 4L + 2,且圖 形為邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形;所以面積 20 的光罩可以表示成面積為 42+4 的光罩,其最小邊界值為 4*4+2=18,而光罩應該為邊長 4 和 4+1=5 的矩形,

圖 21 的光罩顯然不是最佳的佈局方式;我們可以把圖 21 的光罩佈局方式改成 圖 22 的佈局方式,其邊長界值為 18,且邊長為 4 和 5 的矩形,可以知道圖 22 是當光罩面積為 20 時,最佳的佈局方式。

圖 22 光罩面積 20 邊界值 18

[範例三]當光罩面積為 18 時,如圖 23,求光罩的最佳佈局

圖 23 光罩面積 18,邊界值 22

以上圖為例子,其光罩的面積為 18,光罩的邊界值為 22;但我們從演算法 的步驟 3 得知,當光罩面積為 L2 + k,L ∈ Z+,k ∈ {1, 2, …, L - 1}時,則最小 邊界值為 4L + 2,且圖形為在邊長為 L 的正方形一邊,從頭到尾連續增加面積 k;所以面積 18 的光罩可以表示成面積為 42+2 的光罩,其最小邊界值為 4*4+2=18,而光罩應該為邊長 4 的正方形,其餘剩下的面積 2 從頭到尾連續由 正方形的一邊增加,圖 23 的光罩顯然不是最佳的佈局方式;我們可以把圖 23 的光罩佈局方式改成圖 24 佈局方式,其邊長界值為 18,且剩餘 2 的面積由正 方形的一邊連續增加,可以知道圖 24 當光罩面積為 18 最佳的佈局方式。

圖 24 光罩面積 18,邊界值 18

[範例四]當光罩面積為 22 時,如圖 25,求光罩的最佳佈局

圖 25 光罩面積 22,邊界值 24

以上圖為例子,其光罩的面積為 22,光罩的邊界值為 24;但我們從演算法的步 驟 4 得知,當光罩面積為(L2 + L) + k,L ∈ Z+,k ∈ {1, 2, …, L }時,則最小邊 界值為 4(L + 1),且圖形為在邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形上,,針對邊長為 L + 1 的一邊,從頭到尾連續增加面積 k;所以面積 22 的光罩可以表示成面積為 (42+4)+2 的光罩,其最小邊界值為 4*(4+1)=20,而光罩應該為邊長 4 和 5 的矩 形,再針對邊長為 5 的一邊,從頭到尾連續增加面積 2,圖 25 的光罩顯然不是 最佳的佈局方式;我們可以把圖 25 的光罩佈局方式改成圖 26 的佈局方式,其 邊長界值為 20,且剩餘 2 的面積由矩形長的一邊從頭到尾連續增加,可以知道 圖 26 是當光罩面積為 22 時,最佳的佈局方式。

圖 26 光罩面積 22,邊界值 20

第四章 結論

4.1 研究成果

求生物晶片光罩最小邊界問題,主要是讓光罩的邊界為最小以致於光線干 擾的問題縮減到最少,好讓錯誤率下降,一開始是用銷售員旅行問題(Travel

Salesman Problem)的方法來求光罩最短邊問題,後來也有根據售貨員旅行問題改 良的幾個演算法,不過都是啟發式演算法,只能求得近似解;我們提出新的演算 法,可以在一層光罩時求得最佳解,而且這個方法簡單易懂。

4.2 未來研究方向

在本篇論文中,我們提出一個新的演算法,但是只能求得一片光罩時的最 佳演算法,並無法同時考慮所有光罩最小邊界的最佳解演算法,所以未來要做 的就是求得所有光罩最小邊界的最佳解演算法。

我們所提出的論文是求光罩的最小邊界問題,但是生物晶片上的每個核甘 酸序列都是一個一個的點,如果只考慮光罩的邊界與錯誤率發生的關聯性,並 無法完全的對應上,所以真正的問題應該是求光罩內部邊界點最少的問題,這 也是我們未來研究方向的一個重點。

參 考 文 獻

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