固端梁受端點軸向位移之挫屈及挫屈後行為



及

)2

2 ( 1

T p

G EI L

P





由上式可知端點軸力P與



/L_T 的平方成正比。因圓形斷面之GJ與 EI_p 2

1 相

當接近，所以本例題中 E 元素與 G 元素之軸力有相當的差異。因圓形桿件 的最大剪應變為



r



_1,x

10 3

5 ^

，圖五中之最大扭轉率約為 0.01,所以本例題的最大

剪應變為



_max  。固端梁受軸向力的挫屈應變為 ⁴ ₂²



 



_cr ，其中

I AL_T²



 為梁的細長比。由上式可知本例題L_T 300 mm 及1200 之梁

的

mm



cr分別為2.7415610^5及，1.7134710^6，所以圖五中之最大軸向拉應 變雖然很小，但其大小已超過L_T 1200 mm之梁的挫屈壓應變。由附錄 B 的(B8)式可知本例題之端點扭矩 M 可表示成

3 , 1 ,

1 2

) 1 ( )

(M _E  M _G GJ



_x  EK_I



_x

因上式中扭轉率



_1,x的三次項很小，所以圖六中採用 E 元素與 G 元素之軸 向扭矩M /GJ－



/L_T 的曲線幾乎為直線且重合應是可預期的。

4.2 固端梁受端點軸向位移之挫屈及挫屈後行為

本節中探討，如圖七所示，長度為 的梁，其 A 端為固定端，B 端只 允許軸向位移且承受 的位移負荷。當軸向壓縮位移到達某一臨界值時，

LT



會造成一面內(In plane)的挫屈，即所謂的尤拉挫屈(Euler buckling)，本文中 稱其為第一次挫屈，該臨界壓縮位移用_cr1表示。當軸向壓縮位移超過 的固端梁，文獻上稱其為挫屈梁[1,2,3]。挫屈梁受軸向壓縮位移 的主要平 衡路徑，即原固端梁的次要平衡路徑，為一穩定的平衡路徑[19,20,21]。當 軸向壓縮位移到達某一臨界值時，挫屈梁會發生一面外(Out of plane)的側向

－扭轉挫屈[19,20,21]，本文與[19]一樣，稱其為第二次挫屈(Secondary buckling)，本文中用 表示該臨界壓縮位移。本節將分析不同斷面及

WF、WR 對二次挫屈及挫屈後形為的影響，為了方便稱呼，本節令

1

cr

2

cr

GJ EI_y





表示撓曲－扭轉剛度比，

z y z y

I I EI EI 



 表示撓曲－撓曲剛度比，

2

GJLT

EI_



 表

示翹曲－扭轉剛度比，

y T

EI P^* PL

 2 ，

y T

EI

 ML

*

McrI

M ，其中 與 分別為斷面慣

性矩的最小值與最大值， 、 、 為固端梁受軸向壓縮的第 I 次挫

屈位移、挫屈負荷、端點反力矩之非線性有線元素法的數值解。

Iy

mm Iz

crI P_crI

例題二：固端梁端點受軸向壓縮位移

為了探討不同斷面二次挫屈及挫屈後行為，本例題考慮了 4 個 Case：

Case1 與 Case2 為圓形斷面(圖七之斷面(a))，L_T 300 ，r0 5. mm，Case1 之楊氏模數E4010³N/mm²，剪力模數G2010³N/mm²， Case2 之 楊氏模數E 5710³N/mm²，剪力模數G2010³N/mm²。Case3 為矩形

斷面(圖七之斷面(b))，a2mm，b1mm， Case4 為十字形 A 斷面(圖七之 斷面(d))，a1.5mm，b1mm， t0.2mm， n2。 Case3 與 Case4 之

，楊氏係數 mm

L_T 1600 E210⁵N/mm²,剪力模數G7.910⁴N/mm²。 本例題的 Case1 考慮 WF 與 WR 兩種翹曲邊界條件，Case2－4 都僅考慮 WR 一種翹曲邊界條件。本例題平衡迭代收歛的容許誤差為e_tol 110^6。 本例題分析 Case1(WF)時，使用的是 E 與 G 元素，分析 Case1(WR)時使用 的是 E 元素，Case1 使用的元素數目皆為 50、100、300 三種，分析 Case2-Case4 使用的皆是 E 元素，Case2 的元素數目為 300，Case3 使用的元素數目為 200、

400 兩種，Case4 使用的元素數目為 400。表一-表六及圖八－圖四十二為本 文分析的結果。圖八及九為 Case1(WF)之無因次切線剛度的行列式值

- 軸向位移 曲線，其中 K0

det /

det K /L_T detK和 分別為切線和線

性剛度的行列式值，表一為第一次挫屈時，端點 B 的無因次壓縮位移

及無因次反力 和第二次挫屈時，端點B的無因次壓縮位

移 及無因次反力 。因在第一次挫屈前，不同種類及數目

之元素得到的 -

K0

det

cr₁/LT



cr₂ /LT



y

EIy

LT cr LT EI P ₁ ² /

cr LT

P ₂ ²

K0

/ / det

/

det K  曲線都重合，所以圖八中沒有標示元素

的種類及數目。由圖九可發現在第一次挫屈後、第二次挫屈前，不同種類 及數目之元素得到的detK/detK₀ - /L_T 曲線有很大的差異，在第一次挫 屈後、第二次挫屈前，所有 E 元素和 300 個 G 元素的 值都是 正的，所以在第一次挫屈後、第二次挫屈前之固端梁應是穩定的，但 G 元

det 0

/ detK K

素數目為 50 和 100 時，在第一次挫屈後，其 值是由負的再轉 正，這應是元素的數目不足造成的數值上的誤差，但由表一及圖九可發現 用不同種類及數目之元素偵測到的第二次挫屈負荷都很接近。因元素數目 不夠多時，無法求得第二次挫屈後的平衡路徑，所以圖九中，在第二次挫 屈 後 僅 有 300 個 元 素 的 -

det 0

/ detK K

LT 0 /

det /

detK K  曲 線 ， 第 二 次 挫 屈 後 值是負的，所以在第二次挫屈後之固端梁是不穩定的。由表一 知 E 元素與 G 元素分析結果差異很小。由表一可知圓形斷面之 WR 與 WF 的結果差異很小。圓形斷面之翹曲函數為零，所以理論上圓形斷面應無 WR 的邊界條件，但 WR 與 WF 之有限元素法的結果似乎沒有明顯的差別。由 於 Case3 之 較大，變形較大，元素數目低於 200 時，平衡迭代時收

斂困難無法求得 。由本例題可知分析固端梁之第二次挫屈及挫屈後行

為需要 300 個以上的元素，平衡迭代時較易收斂，且結果較準確，所以本 章中以後圓形斷面的例題使用的元素數皆取 300，非圓形斷面使用的元素數 皆取 400。

det 0

/ detK K



LT

/

T EI PL² /

cr₂/LT 2

cr

y 

本 例 題 的 圖 十 － 圖 四 十 二 中 的 Case1 ， 除 非 另 有 說 明 ， 都 是 指 Case1(WR)。圖十為端點 B在 方向的無因次反力 -無因次軸 向位移 曲線，其中 Case1 及 Case2 是 300 個 E 元素的結果，Case3 及 Case4 是 400 個 E 元素的結果。圖中可以發現在第一次挫屈前，各 Case 之

反力 - 曲線幾乎為一垂直線，這是因第一次挫屈前的變形

X₁G P_cr2L_T² /EI_y

LT

/

主要是軸向壓縮變形，其值非常小；在第一次挫屈後，第二次挫屈前，各 Case 有相同的次要平衡路徑，這是可預期的結果，因第二次挫屈前的變形 主要是撓曲變形。圖中亦可發現在第一次挫屈後，第二次挫屈前，其軸力 會隨著位移的增加而增加，所以為穩定的平衡路徑；第二次挫屈後其軸力 會隨著位移的增加而減小，所以在第二次挫屈後之固端梁是不穩定的，以 上的結果與圖九的結果是一致的。由圖十還可以看出本文 Case2 的結果與 文獻[20]的結果幾乎重合，本文中將圖十曲線上一部分點的座標列於表二-表五中，由圖十及表二-表五可以發現各 Case 的 都不同，這可能是 不同 Case 的斷面剛度比

cr₂ /LT





、



及



的值都不一樣造成的，本節將在下一個

例題中進一步探討梁的斷面剛度比



、



及



對 的影響。圖十一為 挫屈梁受端點軸向位移之主要平衡路徑的變形圖，表六為與圖十一對應的 中心點 C 在 方向的位移、端點 B 之反力、反力矩，由圖中可以發現當

挫屈梁之無因次端點位移 時，挫屈梁在其主要平衡路徑上會互

相接觸，所以第二次挫屈之挫屈位移

cr₂/LT



85 . 0 X₃G

85 . 0 / 

 L_T

/ 

_cr2 L_T 的情況，在實際上應不 會發生。本文中並未考慮接觸問題，所以當/L_T 0.85時，本文之挫屈梁 在其主要平衡路徑上的分析結果應與實際情況不符。圖十二-圖十四為 Case1 之第一次挫屈挫屈模態與第二次挫屈挫屈模態，圖中X為梁軸之無因 次總體(global) Lagrange 座標。。圖十五-圖十七為端點B在總體座標軸方向 的反力矩-軸向位移/L_T 曲線，圖十八與圖十九分別為梁中心點 C 在總體

座標軸 X₁^G方向的位移 U₁/L_T 及 X₃^G方向的位移



/L_T －軸向位移 曲線。本文中將圖十五-圖十九曲線上一部分點的座標列於表二-表五 中，因在 B 點之斷面方向是固定的，所以 B 點之斷面座標軸和總體座標軸 的方向一致，故圖十與圖十五-圖十七B點在總體座標軸方向的反力(反力矩) 亦為 B 點在斷面座標軸方向之內力的合力(合力矩)，由圖十與圖十五-圖十 七及表二-表五可以看出在相同的壓縮位移下二次挫屈前 Case1-Case4 端點 B有相同的反力(反力矩)，二次挫屈後則有類似的變化趨勢。由圖十八及表

、0.8528、0.9051 時之變形圖，圖三十二-圖三十四為 Case4 在無因 次壓縮位移 、0.7350、0.8003、0.8501 時之變形圖，由圖二十 -圖三十四可看出挫屈梁在第二次挫屈後的變形對中心點C仍是對稱的。圖

總體(global) Lagrange 座標。固端梁在第一次挫屈發生時，所有梁斷面都是 承受相同的軸向壓力，由圖三十五及圖三十九可以看出在第二次挫屈前，

梁端點及中點有最大的軸向壓力，在 X = 1/4 及 3/4 處有最小的軸力；在 時，最小的軸力仍為壓力，但

5 . 0 / 

 L_T /L_T 0.7736

My

時，最小的軸力已 變為拉力，不過曲線的分佈趨勢差異不大。在第二次挫屈後，軸力分布曲 線的式樣變化不大，但整條曲線向下移動，且梁中點有最大的軸向壓力。

圖三十六及圖四十中 為斷面主軸 方向所受的力矩，由圖三十六及圖

四十可見在第二次挫屈後，梁中心部分之 的大小，隨 增加，先增

加再減小，但兩端之 的大小隨

My

My

X₂S

LT

/

LT

/

 增加而減小。圖三十七與圖四十一

中 為斷面主軸 方向所受的力矩，由圖三十七及圖四十一可見在第二

次挫屈後 分佈的式樣變化不大。圖三十八與圖四十二中 為斷面主軸

方向所受的扭矩，由圖三十八可看出 Case1 的 沿梁軸的變化非常的 微小，但由圖四十二可看出 Case3 的 沿梁軸的變化相當的大，在梁中點 有最小值，且呈類似 W 字形對稱分佈，但兩 Case 之 皆隨著 增加 而增加。Case1 的 ，若假設梁為不可伸縮的(Inextensible)，則 Case1 的 沿梁軸的分布是均勻的[20]。本研究雖考慮軸向變形，但軸向應變很 小，所以 沿梁軸的分布雖不均勻，但變化很小。Case3 的 ，所以 沿梁軸的分布是不均勻的。

Mz

M X₁S

Mx

Mx

3

X2

Iy

z Mx

y I

I  Mx

M Mx

x /LT

z

Iz



Mx

例題三：斷面剛度比



、



、



及翹曲邊界條件對第二次挫屈挫屈負荷 的影響

由例題二可發現梁的斷面剛度比



、



、



及翹曲邊界條件 WF 及翹曲 邊界條件 WF 和 WR 對固端梁之第二次挫屈挫屈負荷 有影響，但探 討的斷面種類太少，且翹曲－扭轉剛度比

cr₂ /LT





太小，無法確定不同斷面、翹

曲剛度及翹曲邊界條件對第二次挫屈挫屈負荷的影響。為了探討不同斷面 及翹曲邊界條件對固端梁之第二次挫屈挫屈負荷的影響，本例題考慮了 10 個 Case，為了說明上方便，將其稱為 A1-A10，其中 A1-A5 為圓形斷面(圖 七之斷面(a))，A6 為矩形斷面(圖七之斷面(b))，A7 為十字形斷面(圖七之斷 面(c))，A8 為十字形 A 斷面(圖七之斷面(d))，A9 與 A10 則為 I 形斷面(圖七 之斷面(e))，各 Case 的斷面性質列於表七-表九中。本例題擬探討具相同



及



之不同斷面的第二次挫屈挫屈負荷，但設計具相同



及



之不同斷面相當



之不同斷面的第二次挫屈挫屈負荷，但設計具相同



及



之不同斷面相當

在文檔中 三維固端梁之第二次挫屈分析 (頁 51-62)