結論

本文用共旋轉有限元素法探討不同斷面之固端梁受端點軸向位移負荷 的挫屈及挫屈後的行為，還有探討挫屈梁中心點受側向集中位移負荷之非 線性挫屈及挫屈後的行為。

本文在當前的元素座標上，以尤拉梁正確的變形機制、工程應變、虛 功 原 理 與 有 限 元 素 法 、 非 線 性 梁 理 論 的 一 致 線 性 化 （ consistent linearization），推導一梁元素。本研究採用基於牛頓法及定弧長法的增量迭 代法求解非線性平衡方程式，以系統的切線剛度矩陣的行列式值是否為零 作為挫屈的判斷準則。

由本研究推導的結果及分析例題的數值結果，可以得到以下的結論；

1. 本研究用工程應變推導的梁元素(E 元素)和文獻上用 Green strain 推導的 梁元素(G 元素)，在元素節點內力和剛度矩陣的高次項，有些微小的差 異。分析固端梁受端點扭角引起的端點軸力時，用 E 元素得到的軸力比 用 G 元素得到的軸力大，且扭角越大兩者結果的差異也越大，但何者較 接近真正的情況，需用實驗來驗證。

2. 用 E 元素和 G 元素分析固端梁端點受軸向壓縮位移的挫屈及挫屈後行為 時，兩種元素的結果差異很小，但 G 元素的數目較少時，有時不能正確 的反應出系統切線剛度之行列式值的正負。本研究主要用 E 元素分析固

3. 不同斷面的固端梁端點受軸向壓縮位移，在介於第一次挫屈後及第二次 挫屈前，具有穩定且相同的無因次次要平衡路徑。當無因次壓縮位移

85 .

0 時，固端梁在該穩定的次要平衡路徑上會互相接觸，所以大 於 0.85 的無因次挫屈位移是不存在的。在第二次挫屈後之固端梁是不穩 定的。

/ 

 L_T

4. 受軸向壓縮位移的固端梁，若翹曲－扭轉剛度比

2

GJLT

EI_



 不大時，兩端

的邊界條件為自由翹曲(Warping free)或抑制翹曲(Warping restraint)對其 第二次挫屈位移影響很小。

5. 若不同斷面之固端梁有相同的撓曲－扭轉剛度比

GJ EI_min



 及撓曲－撓

曲剛度比

max min

EI

 EI



，則其受軸向壓縮位移的無因次第二次挫屈位移

cr₂/LT ( 0.85)，可以視為相同。

 0.371_cr2 /L_T 



(0.5



)相同

時，



(0



1)越小，_cr2 /L_T越大；



相同時，



越小，_cr2/L_T越大。

本研究的_cr2/L_T －



曲線，可用來判斷第二次挫屈是否發生及決定第二 次挫屈位移的大小。

6. 受不同軸向壓縮位移 ( _{cr T})而挫屈之固端梁，即 拱起高度為

T

cr₁/LT /L  ₂ /L





的挫屈梁，中心點受到側向集中位移負荷而再度挫屈時，

_cr2 /L_T /L_T





 /L_T 0.7805，挫屈模態的形式為繞X₁^G旋轉之 面外挫屈(挫屈模態 B)，其挫屈位移w /_cr L_T 亦隨/L_T 增加而增加；當

 0.7805，挫屈模態的形式為繞通過梁中心點 C 且平行X₃^G的軸旋 轉之面外挫屈(挫屈模態C)，其挫屈位移 _cr /L_T隨 /L_T

/L_T

w  增加而減少。除

了第三種挫屈外，挫屈梁受到側向集中位移負荷時，挫屈後皆是不穩定 的。 _cr2/L_T不同的挫屈梁受到側向集中位移負荷時，亦應有類似的行 為。



參 考 文 獻

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表一 例題二之挫屈負荷

Case   (10^8)

Number of elements

Element type

T cr

L

 1

(10^5)

y cr T

EI L P ₁ ²

T cr

L

 2

y cr T

EI L P ₂ ²

1(WF) 1 1 0 50 E 2.74165 39.47959 0.67106 60.85989 G

G G

2.74175 39.47945 0.67046 60.89015 100 E 2.74165 39.47959 0.66781 60.77418 2.74175 39.47945 0.66788 60.77464 300 E 2.74165 39.47959 0.66681 60.74805 2.74175 39.47945 0.66711 60.73980 1(WR) 1 1 0 50 E 2.74164 39.47956 0.67127 60.87108 100 E 2.74164 39.47956 0.66830 60.80080 300 E 2.74164 39.47956 0.66707 60.76202 2 1 1.4250 0 300 E 2.74163 39.47953 0.55488 55.49602 3 0.25 0.9226 4.39424 200 E 0.12851 39.47834 0.81843 69.95264 G 0.12851 39.47834 0.81841 69.95627 400 E 0.12851 39.47834 0.81814 69.93985 G 0.12851 39.47834 0.81814 69.93997 4 0.1295 2.3620 15.9537 400 E 0.19036 39.47857 0.71009 63.09502

表二 Case1 端點 B 反力(反力矩)、C 點位移與軸向位移關係表 LT

/  /L_T U_C /L_T PL_T² /EI_y M_BxL/EI_y M_ByL/EI_y M_BzL/EI_y

0.110^{5 0} 0.510^{6 1.44000 0 0 0}

* 0.2741610^{4 0} 0.1370810^4 39.47956 0 0 0 0.7332810^2 0.5428810^1 0.3666410^2 39.62428 0 -1.07556 0 0.6831810^{1 0.16277} 0.3415910^1 40.88129 0 -3.32721 0 0.17619 0.25206 0.8809510^1 43.34052 0 -5.46224 0 0.27001 0.30159 0.13501 45.76915 0 -6.90184 0 0.36960 0.33940 0.18480 48.70853 0 -8.26590 0 0.47264 0.36742 0.23632 52.23651 0 -9.59628 0 0.61315 0.39163 0.30658 58.09775 0 -11.37639 0

** 0.66707 0.39724 0.33353 60.76202 0 -12.06841 0 0.66747 0.39706 0.33374 60.68796 0.27558 -12.05641 0.46128 0.71427 0.37751 0.35713 50.81136 2.97029 -10.70659 4.36101 0.72524 0.37304 0.36262 47.94680 3.31000 -10.37867 4.67407 0.76518 0.35764 0.38259 35.90109 4.33569 -9.18023 5.11996 0.82539 0.33965 0.41269 16.76837 5.42197 -7.59837 4.24817 0.87297 0.33133 0.43649 6.66617 5.91471 -6.81314 2.96799 0.90328 0.32782 0.45164 3.11010 6.09635 -6.52967 2.16297 0.91925 0.32623 0.45963 1.90765 6.16214 -6.43169 1.76368 0.92333 0.32584 0.46166 1.66065 6.17616 -6.41143 1.66490 0.92537 0.32565 0.46269 1.54473 6.18283 -6.40190 1.61569

*：第一次挫屈 **：第二次挫屈

表三 Case2 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表 LT

/  /L_T U_C /L_T PL_T² /EI_y M_BxL/EI_y M_ByL/EI_y M_BzL/EI_y

0.110^{5 0} 0.510^{6 1.44000 0 0 0}

* 0.2741610^{4 0} 0.1370810^4 39.47953 0 0 0 0.7332810^2 0.5428810^1 0.3666410^2 39.62428 0 -1.07556 0 0.6831810^{1 0.16277} 0.3415910^1 40.88129 0 -3.32721 0 0.14686 0.23248 0.7343110^1 42.63943 0 -4.95646 0 0.27001 0.30159 0.13501 45.76915 0 -6.90184 0 0.30271 0.31539 0.15136 46.68948 0 -7.36263 0 0.33593 0.32797 0.16797 47.66830 0 -7.81681 0 0.47264 0.36742 0.23632 52.23651 0 -9.59628 0

** 0.55488 0.38335 0.27744 55.49602 0 -10.63717 0 0.60894 0.36824 0.30447 48.80439 1.68990 -9.58826 4.54561 0.66217 0.35312 0.33109 39.20359 2.47265 -8.48464 5.75906 0.69554 0.34386 0.34777 31.28378 2.89681 -7.76925 5.95926 0.73479 0.33391 0.36740 20.32381 3.35237 -6.94691 5.65211 0.78743 0.32449 0.39371 6.25203 3.85475 -6.06516 4.42823 0.79431 0.32372 0.39716 4.81930 3.90701 -5.98422 4.23004 0.80132 0.32304 0.40066 3.49904 3.95657 -5.91149 4.02660 0.80846 0.32246 0.40423 2.29905 4.00332 -5.84734 3.81958 0.81574 0.32197 0.40787 1.22464 4.04719 -5.79202 3.61059 0.81667 0.32192 0.40833 1.09934 4.05247 -5.78573 3.58441

*：第一次挫屈 **：第二次挫屈

表四 Case3 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表 LT

/  /L_T U_C /L_T PL_T² /EI_y M_BxL/EI_y M_ByL/EI_y M_BzL/EI_y

* 0.1285110^{5 0} 0.6425510^{6 39.47834 0 0 0} 0.3369910^{1 0.11563} 0.1684910^1 40.15645 0 -2.32157 0 0.19770 0.26500 0.9885010^1 43.87122 0 -5.81291 0 0.26485 0.29929 0.13242 45.62749 0 -6.82789 0 0.33494 0.32762 0.16747 47.63862 0 -7.80375 0 0.46966 0.36675 0.23483 52.12687 0 -9.55867 0 0.59776 0.38968 0.29888 57.38567 0 -11.18096 0 0.71785 0.40079 0.35892 63.53656 0 -12.73254 0

** 0.81814 0.40309 0.40907 69.93985 0 -14.09608 0 0.81816 0.40308 0.40908 69.92013 0.16570 -14.09417 0.13588 0.82859 0.39635 0.41430 57.57630 3.65791 -12.90857 2.89696 0.83828 0.39209 0.41914 49.57063 4.37067 -12.22559 3.30872 0.83925 0.39173 0.41963 48.89362 4.41445 -12.17123 3.32516 0.84558 0.38965 0.42279 44.89025 4.63159 -11.86163 3.36963 0.85029 0.38833 0.42514 42.31907 4.73634 -11.67414 3.35119 0.86083 0.38592 0.43041 37.54199 4.86399 -11.35261 3.21544 0.87272 0.38387 0.43636 33.37273 4.90331 -11.10619 2.97580 0.88074 0.38277 0.44037 31.10462 4.89313 -10.98914 2.78812 0.89262 0.38146 0.44631 28.36203 4.84433 -10.86869 2.49256 0.90760 0.38018 0.45380 25.70616 4.74600 -10.78253 2.11036

*：第一次挫屈 **：第二次挫屈

LT

/  /L_T U_C /L_T PL_T² /EI_y M_BxL/EI_y M_ByL/EI_y M_BzL/EI_y

* 0.1903610^{5 0} 0.9518210^6 39.47857 0 0 0 0.4726610^{1 0.13634} 0.2363310^1 40.43691 0 -2.75667 0 0.17631 0.25215 0.8815510^1 43.34321 0 -5.46459 0 0.46034 0.36458 0.23017 51.78583 0 -9.44003 0 0.68179 0.39844 0.34090 61.53951 0 -12.25987 0

** 0.71009 0.40036 0.35505 63.09502 0 -12.63026 0 0.71239 0.39626 0.35620 57.74497 1.58832 -12.06293 2.87694 0.71987 0.38508 0.35993 43.35863 2.68366 -10.65308 4.86820 0.72615 0.37798 0.36307 34.31449 2.95202 -9.86167 5.31118 0.72935 0.37503 0.36468 30.56046 3.00723 -9.55733 5.37285 0.73111 0.37357 0.36555 28.71113 3.02373 -9.41311 5.37797 0.73298 0.37214 0.36649 26.89014 3.03326 -9.27500 5.36651 0.73497 0.37075 0.36749 25.10493 3.03620 -9.14356 5.33896 0.73709 0.36939 0.36855 23.36292 3.03291 -9.01932 5.29591 0.74986 0.36341 0.37493 15.55125 2.93683 -8.52021 4.87649 0.78432 0.35746 0.39216 6.41934 2.54160 -8.15482 3.57967 0.78772 0.35729 0.39386 5.98456 2.50324 -8.15214 3.46648 0.79092 0.35717 0.39546 5.61977 2.46752 -8.15243 3.36302 0.82252 0.35735 0.41126 3.58152 2.13243 -8.24716 2.48262 0.89221 0.36093 0.44610 3.21512 1.46772 -8.63328 1.17290

表五 Case4 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表

*：第一次挫屈 **：第二次挫屈

表六 挫屈梁受端點軸向位移負荷在主要平衡路徑的



L_T、端點B之反力、

反力矩(例題二，Case3) LT





L_T PL_T² EI_y M_BYL_T EI_y

0.1 0.19492 41.57015 4.05149 0.2 0.26632 43.92889 5.84952 0.3 0.31431 46.61165 7.32530

0.4 0.34871 49.69310 8.66430 0.5 0.37331 53.27308 9.94359 0.6 0.38997 57.48820 11.20940

0.7 0.39973 62.53031 12.49766 0.8 0.40313 68.67728 13.84303 0.85 0.40253 72.28782 14.54917

表七 Case A1-A5 之材料及斷面常數

Case A1 A2 A3 A4 A5 E(N/ mm²) 5710³ 4010³ 210⁵ 210⁵ 210⁵

G(10³ N/mm²) 20 20 * * * Iy(10^2mm⁴) 4.90874 4.90874 4.90874 4.90874 4.90874 Iz(10^2mm⁴) 4.90874 4.90874 4.90874 4.90874 4.90874 J(10^2mm⁴) 9.81748 9.81748 9.81748 9.81748 9.81748 A(10^1mm²) 7.85398 7.85398 7.85398 7.85398 7.85398 I4(10^2mm⁶) 1.4317 1.4317 1.4317 1.4317 1.4317

I(mm⁶) 0 0 0 0 0

 (yz mm⁶) 0 0 0 0 0



_{1 1 1 1 1}



1.425 1 1.501 33.61 7.245



0 0 0 0 0

* J

G EI^y





, A3 與 A6, A4 與 A7, A5 與 A8 有相同的



mm

L_T 300 ，r 0.5mm

表八 Case A6-A8 之斷面常數(A6 正方形斷面 ,A7 十字形斷面 ,A8 十 字形 A 斷面)

Case A6 A7 A8

斷面參數 a1mm mm b1

mm b7

mm d 7

mm t 0.7

mm a3.02924

mm b1

mm t 0.2

2 n

Iy(mm⁴) 0.0833333 20.1884 2.31910 Iz(mm⁴) 0.0833333 20.1884 2.31910 J(mm⁴) 0.140577 1.52063 0.810362

A(mm²) ^{1 9.31 3.82924}

I4(mm⁶) 0.0388889 297.415 11.4362 I(mm⁶) _1.34410^4 1.6332 0.130731

yz(mm⁶) 0 8.170110^{4 0.146259}



_{1 1 1}



1.501 33.61 7.245



9.4547010^10 1.0621310^6 1.5953710^7

2 5 / 10

2 N mm

E  

2

4 /

10 9 .

7 N mm G   L_T 1600mm

表九 Case A9-A10 之斷面常數(I 形斷面)



0.401433 0.347759



98.6178 129.921



_3.8411310^5 _4.6315810^5

表十 抑制翹曲及自由翹曲之挫屈梁受端點軸向位移負荷 之二次挫屈位移

T cr₂ L

 _cr2 L_T (I_ 0)

Case    WR WF WR WF

A1 1 1.425 0 0.554880 0.554691 0.554880 0.554691 A2 1 1 0 0.667070 0.666757 0.667070 0.666757 A3 1 1.501 0 0.542806 0.542630 0.542806 0.542630 A4 1 33.61 0 0.377102 0.377098 0.377102 0.377098 A5 1 7.245 0 0.399096 0.399073 0.399096 0.399073 A6 1 1.501 9.4547010^10 0.542729 0.542598 0.542729 0.542598 A7 1 33.61 1.0621310^6 0.377096 0.377084 0.377088 0.377084 A8 1 7.245 1.5953710^7 0.399082 0.399052 0.399069 0.399052 A9 0.40143 98.6178 3.8411310^5 0.475027 0.468059 0.466934 0.466464 A10 0.34776 129.921 4.6315810^5 0.473791 0.465999 0.464384 0.463867 WR: Warping restraint

WF: Warping free

表十一 挫屈梁受端點軸向位移負荷  之挫屈位移, 端點反力及力矩(WR) Case

 

_cr2 L_T P_cr^*₂ M_Ycr^* ₂

A1 1 1.425 0.554880 55.496017 10.637170 A2 1 1 0.667070 60.762019 12.068410 A3 1 1.501 0.542806 54.989076 10.484523 A4 1 33.61 0.377102 48.947346 8.3647304 A5 1 7.245 0.399073 49.662864 8.6522495 A6 1 1.501 0.542729 54.986797 10.483904 A7 1 33.61 0.377096 48.947725 8.3646816 A8 1 7.245 0.399082 49.662796 8.6523013 A9 0.40143 98.6178 0.475027 52.325646 9.6268650 A10 0.34776 129.921 0.473791 52.279780 9.6111960

y T cr

cr P L EI

P^*₂  ₂ ² , M_Ycr^* ₂  M_Ycr2L_T EI_y

表十二 矩形斷面之固端梁受端點軸向位移之第二次挫屈位移,端點反力及 力矩 (例題四)

b

a /

 

_cr2 L_T P_cr^*₂ M_Ycr^* ₂

1 1 1.5008 0.542729 54.986797 10.483904 1.01 0.9803 1.4860 0.552238 55.385181 10.604126 2 0.5 1.1209 0.739723 64.820396 13.023208 1.5 0.4444 1.0777 0.757627 65.915031 13.263634

2 0.25 0.9226 0.818136 69.939968 14.096104 2.5 0.16 0.8460 0.846596 72.028677 14.500219 2.6 0.1479 0.8353 0.850560 72.330655 14.557242

2

2 0.125 0.8143 0.858257 72.925007 14.668491 3 0.1111 0.8012 0.863059 73.301368 14.738276 10 0.01 0.6755 0.909114 77.141066 15.423142

y T cr

cr P L EI

P^*₂  ₂ ² , M_Ycr^* ₂  M_Ycr2L_T EI_y

表十三 十字形 A 斷面之固端梁受端點軸向位移之第二次挫屈位移,端點反 力及力矩 (例題五)

a(mm)

 

_cr2 L_T P_cr^*₂ M_Ycr^* ₂ 0.7 0.0147 1.0454 0.829051 70.725062 14.250047

1 0.04 1.4395 0.781862 67.463952 13.593102 1.5 0.1295 2.3620 0.710093 63.094945 12.630249

2 0.2997 3.6205 0.636072 59.199351 11.669726 2.5 0.5735 5.2094 0.546675 55.151359 10.533761

3 0.9724 7.1232 0.411019 50.061078 8.8071320 3.02924 1 7.2451 0.399081 49.662755 8.6522844 P_cr^*₂  P_cr2L_T² EI_y , M_Ycr^* ₂  M_Ycr2L_T EI_y

表十四 不同



與



之固端梁之第二次挫屈位移

cr₂/LT



 

1



0.5



0.25



0.125



0.001

0.5 1 1 1 1 1

0.6 0.914691 0.925045 0.930892 0.934401 0.935049 0.7 0.835580 0.868618 0.883983 0.892266 0.899623 0.8 0.767554 0.825634 0.849691 0.861952 0.874036 0.9 0.711761 0.792160 0.823290 0.838636 0.854149 1 0.666973 0.765478 0.802194 0.819920 0.837987 2 0.490291 0.646393 0.702282 0.728188 0.755470 3 0.444615 0.604758 0.662662 0.689514 0.719188 4 0.424200 0.582051 0.639354 0.665991 0.696958 5 0.412670 0.567143 0.623259 0.649393 0.681344 6 0.405264 0.556296 0.611128 0.636708 0.669511 7 0.400112 0.547908 0.601472 0.626507 0.660095 8 0.396320 0.541126 0.593498 0.618016 0.652333 9 0.393413 0.535474 0.586728 0.610766 0.645789 10 0.391113 0.530657 0.580863 0.604454 0.640164 20 0.381042 0.503010 0.546021 0.566667 0.608148 40 0.376172 0.480288 0.516570 0.534730 0.584428 80 0.373776 0.461195 0.492050 0.508443 0.568344 100 0.373300 0.455763 0.485173 0.501138 0.564580 500 0.371782 0.425907 0.448291 0.463015 0.550764 1000 0.371592 0.417288 0.438102 0.453184 0.548805 10000 0.371421 0.400766 0.421280 0.439457 0.546981 20000 0.371414 0.398477 0.419658 0.438405 0.546880

表十五 挫屈梁受中心點側向位移之三種挫屈模態之挫屈位移、挫屈負荷

first buckling secondary buckling

LT

/  /L_{T T}

cr L

w ₁/ (10^-3) F_cr1L_T² /EI_y Mode w_cr2/L_T(10^-2) F_cr2L_T² /EI_y Mode 6.2510^-4 0.01590 0.344543 3.23283 A - - -

0.00313 0.03555 0.743279 7.25351 A - - - 0.00625 0.05023 1.05002 10.28222 A - - - 0.03125 0.11143 2.41377 23.40152 A 0.579470 45.11482 B 0.06250 0.15601 3.55375 33.84917 A 0.600503 50.90923 B 0.09375 0.18913 4.53880 42.43243 A 0.602065 53.10910 B 0.12500 0.21611 5.47348 50.18785 A 0.602976 54.25426 B 0.14063 0.22800 5.93619 53.89100 A 0.604009 54.65270 B 0.14375 0.23027 6.02879 54.62167 A 0.604265 54.72328 B 0.14406 0.23050 6.03805 54.69479 A 0.604292 54.7305 B 0.14438 0.23072 6.04318 54.73718 B 0.604735 54.76775 A 0.14469 0.23095 6.04348 54.74425 B 0.605663 54.84063 A 0.14500 0.23117 6.04374 54.75101 B 0.606586 54.91321 A 0.18750 0.25901 6.09600 55.51325 B 0.734397 64.63855 A 0.25000 0.29239 6.21797 56.28278 B 0.934551 78.71701 A 0.31250 0.31925 6.37971 56.85441 B 1.15798 93.03945 A 0.37500 0.34113 6.57319 57.31617 B 1.41194 107.86730 A 0.43750 0.35896 6.79555 57.70556 B 1.69827 123.04641 A 0.53125 0.37931 7.18402 58.19715 B 2.13043 143.00399 A

表十五 挫屈梁受中心點側向位移之三種挫屈模態之挫屈位移、挫屈負荷(continued)

first buckling secondary buckling

LT

/  /L_{T wcr1/LT(10}^-2_{) Fcr1LT}² _{/EIy Mode wcr2/LT(10}^-2_{) Fcr2LT}² _{/EIy Mode} 0.54688 0.38203 0.725562 58.27061 B 2.18160 144.96048 A 0.56250 0.38457 0.732922 58.34197 B 2.21673 146.05684 A 0.57813 0.38694 0.740490 58.41117 B 2.23083 146.06180 A 0.59375 0.38914 0.748284 58.47873 B 2.22017 144.80006 A 0.60938 0.39117 0.756303 58.54465 B 2.18377 142.21620 A 0.62500 0.39303 0.764546 58.60829 B 2.12380 138.39835 A 0.76563 0.40266 0.850467 59.10403 B 1.14735 77.16795 C 0.78000 0.40295 0.860581 59.14589 B 0.872205 59.86758 C 0.78031 0.40295 0.860807 59.14696 B 0.865935 59.46545 C 0.78050 0.40295 0.860941 59.14758 B 0.861543 59.1836 C 0.78056 0.40295 0.860910 59.14297 C 0.860984 59.1475 B 0.78063 0.40296 0.859656 59.06241 C 0.861031 59.14789 B 0.78125 0.40297 0.847071 58.25347 C 0.861479 59.14973 B 0.80000 0.40313 0.443588 31.49471 C 0.875129 59.20172 B 0.81250 0.40313 0.144108 10.49366 C 0.852960 57.31574 A

(A)

(B)

(C)







z

y x

z

y x

z y

x

圖一 固端梁受軸向壓縮之示意圖(a)壓縮前、(b)一次挫屈後、(c)二次挫屈後

X

1

X

2

X

3

X

₁S

X

₂S

X

₃S

s

v w P

u x

1

2 P

X

₁G

X

₂G

X

₃G

X

₂S

X

₃S

Q P y X

P

z

圖二 總體座標、元素座標與元素截面座標

b a

b

圖三 旋轉向量

X₂G

A B

X₁G

 , P M

LT

X₂G 2S, X

3G,

X X₃^S r

Cross section

mm

L_T 300 , 1200mm 5

.

0

r mm

2 3 / 10

57 N mm E  

2 3 / 10

20 N mm G  

圖四 固端梁 B 端承受一扭轉角(例題一)

0 3 6 9 0

2 4 6 8

12 E element (300mm)

G element (300mm) E element (1200mm) G element (1200mm)

P/AE (10

-6

)

 L

_T

(10

^-3

rad/mm)

圖五 例題一的端點反力P /AE- 扭轉角/L_T之關係圖

0 3 6 9 0

3 6 9 12

12 E element (300mm)

G element (300mm) E element (1200mm) G element (1200mm)

M/GJ (1 0

-3

)

 L

_T

(10

^-3

rad/mm)

圖六 例題一的端點反力扭矩M /GJ- 扭轉角/L_T 之關係圖

X₂S

C M_X,₁

U X₁^G, P

, W

X₃^G,

MZ

Y G

M V

X₂ A D E B

X₃S

X₃S

X₃S

X₂S

X₂S

LT

r

b

a

X₃S

b a

X₃S

nb

X₂S

tf

t

t d t

b

tw

X₂S

b )

(a (b)

)

(c (d)

) (e

nb

d

圖七 固端梁受端點軸向壓縮位移

-2 -1 0 1 2 3 4 5 0.0

0.3 0.6 0.9 1.2

de t K /d et K

0

 L

_T

(10

^-5

)

圖八 例題二 Case1(WF)之detK/detK₀ - 軸向位移/L_T曲線

0.0 0.2 0.4 0.6

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

50 G element 50 E element 100 G element 100 E element 300 G element 300 E element de t K / det K

0

 L

_T

圖九 例題二 Case1(WF)之detK/detK₀ - 軸向位移/L_T曲線

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

20 40 60

Case1 Case2 Case3 Case4 [20 ]

P  L

T2

/ E I

y

  L

_T

圖十 固端梁之端點 B 在 方向之無因次反力 -無因次軸向位移 曲線(例題二)

X₁G



y T EI PL /²

LT

/

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0

0.1 0.2 0.3

0.4

0.85 0.8 0.7 0.6

0.5 0.4

0.3 0.2



/ L

_T

= 0.1

X

G 3

/L

T

X

^G₁

/L

_T

圖十一 挫屈梁受端點軸向位移之主要平衡路徑的變形圖(例題二)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

W

X

圖十二 例題二 Case1 第一次挫屈挫屈模態(X₃^G方向的位移分量)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.10

-0.05 0.00 0.05 0.10

V

X

圖十三 例題二 Case1 第二次挫屈挫屈模態(X₂^G方向的位移分量)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5











X

圖十四 例題二 Case1 第二次挫屈挫屈模態(繞X₁^G軸方向的旋轉分量)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

2 4 6

Case1 Case2 Case3 Case4

M

BX

L

T

/ EI

y

  L

_T

圖十五 固端梁端點B在 方向之反力矩 - 軸向位移 曲

線(例題二)

X₁G M_BXL_T /EI_y /L_T

0.0 0.4 0.8 -15

-12 -9 -6 -3 0

Case1 Case2 Case3 Case4 M

BY

L

T

/ EI

y

  L

_T

圖十六 固端梁端點 B在 方向之反力矩 - 軸向位移 曲

線(例題二)

X₂G M_BYL_T /EI_y /L_T

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

2 4 6

Case1 Case2 Case3 Case4 M

BZ

L

T

/ EI

z

  L

_T

圖十七 固端梁端點 B在 方向之反力矩 - 軸向位移 曲

線(例題二)

X₃G M_BZL_T /EI_y /L_T

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Case1 Case2 Case3 Case4 -U

C

/ L

T

  L

_T

圖十八 梁中心點C 在X₁^G方向之U_C /L_T - 軸向位移/L_T曲線(例題二)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

Case1 Case2 Case3 Case4

y    L

T

  L

_T

圖十九 梁中心點C在X₃^G方向之側向位移



/L_T- 軸向位移/L_T曲線(例題 二)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.0

0.2 0.4

0.811 0.75 0.5

L_T=0.25

XG 3 / L T

X^G₁ / L_T

圖二十 例題二 Case1 之變形圖(前視圖)

0.0 0.1 0.2 0.3 -0.12

-0.08 -0.04 0.00 0.04 0.08 0.12



/ LT 0.750 0.811

X

G 2

X

^G₁

圖二十一 例題二 Case1 之變形圖(上視圖)

-0.1 0.0 0.1 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

 / LT 0.750 0.811

X

^G₂

X

G 3

圖二十二 例題二 Case1 之變形圖(側視圖)

z y

x

圖二十三 例題二 Case1 變形之立體圖(/L_T 0.75)

z y

x

圖二十四 例題二 Case1 變形之立體圖(/L_T 0.811)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

 / L_T 0.7736 0.8225 0.8307 0.8528 0.9051

XG 3 / L T

X^G₁ / L_T

圖二十五 例題二 Case3 之變形圖(前視圖)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.10

-0.05 0.00 0.05 0.10



/ LT 0.8225 0.8307 0.8528 0.9051

X

G 2

/ L

T

X

^G₁

/ L

_T

圖二十六 例題二 Case3 之變形圖(上視圖)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

 / LT 0.8225 0.8307 0.8528 0.9051

X

G 3

/ L

T

X

^G₂

/ L

_T

圖二十七 例題二 Case3 之變形圖(側視圖)

z y

x z

y

x

圖二十八 例題二 Case3 變形 圖二十九 例題二 Case3 變形 之立體圖(/L_T 0.8225) 之立體圖(/L_T 0.8307)

z y z x

y

x

圖三十 例題二 Case3 變形 圖三十一例題二 Case3 變形 之立體圖(/L_T 0.8528) 之立體圖(/L_T 0.9051)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0

0.1 0.2 0.3

0.4 ^L_T

0.5269 0.7155 0.7350 0.8003 0.8501

XG 3 / L T

X^G₁ / L_T

圖三十二 例題二 Case4 之變形圖(前視圖)

0.0 0.1 0.2 0.3 -0.10

-0.05 0.00 0.05 0.10

LT 0.7155 0.7350 0.8003 0.8501

XG 2 / L T

X^G₁ / L_T

圖三十三 例題二 Case4 之變形圖(上視圖)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4



/ LT 0.7155 0.7350 0.8003 0.8501

X

G 3

/ L

T

X

^G₂

/ L

_T

圖三十四 例題二 Case4 之變形圖(側視圖)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -20

0 20 40 60



/ LT

0.500

0.750

0.811

F

x

L

2 T

/ EI

y

X

圖三十五 Case1 之斷面正向壓力F_xL_T² /EI_y－梁軸X 曲線(例題二)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -10

-5 0 5 10

 / LT 0.500 0.750 0.811

圖三十六 Case1 在斷面主軸X₂^S方向之彎矩M_yL_T /EI_y－X 曲線(例題二)

M

yTy

X

/ E I L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6

-4 -2 0 2 4 6

 / LT

0.750

0.811

圖三十七 Case1 在斷面主軸X₃^S方向之彎矩M_zL_T /EI_y－X 曲線(例題二)

M

zTy

X

L / E I

(a)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3.9793

-3.9792 -3.9791 -3.9790 -3.9789

 / LT 0.750

(b)

圖三十八 Case1 在斷面主軸X₁^S方向之彎矩M_xL_T /EI_y－X 曲線(例題二) M xTy

X

I / EL

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -5.2089

-5.2088 -5.2087

 / LT 0.811

M xL T / EI y

X

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -30

0 30

60

  / LT 0.7736 0.8307 0.9051

F

x

L

2

/ EI

y

X

圖三十九 Case3 之斷面正向壓力F_xL_T² /EI_y－梁軸X 曲線(例題二)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -15

-10 -5 0 5 10 15

  / LT 0.7736 0.8307 0.9051

圖四十 Case3 在斷面主軸X₂^S方向之彎矩M_yL_T /EI_y－X 曲線(例題二)

M

yTy

X

I / E L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6

-3 0 3 6

  / LT 0.8307 0.9051

圖四十一 Case3 在斷面主軸X₃^S方向之彎矩M_zL_T /EI_y－X 曲線(例題二)

M

zTy

X

/ EI L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6

-4 -2 0

  / L

_T

0.8307 0.9051

圖四十二 Case3 在斷面主軸X₁^S方向之彎矩M_xL_T /EI_y－X 曲線(例題二)

M

xTy

X

/ EI L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.10

-0.05 0.00 0.05 0.10

a/b (  )

1.0 (1.5008)

2

^0.5

( ^1.1209)

2.0 (0.9226)

2.5 (0.8460)

V

X

圖四十三 不同長寬比之矩形斷面的第二次挫屈模態(V ,例題四)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2

-1 0 1 2

a/b (  )

1.0 (1.5008)

2

^0.5

( 1.1209)

2.0 (0.9226)

2.5 (0.8460)











X

圖四十四 不同長寬比之矩形斷面的第二次挫屈模態(₁,例題四)

0 2 4 6 8 10 0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.0



[20]

1

0.5

0.25

0.125

0.001

    L

T



圖四十五 不同



之二次挫屈所需軸向位移/L_T-剛度比



曲線圖(例題六)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.10

-0.05 0.00 0.05 0.10



1

0.5

0.25

0.125

V

X

圖四十六 例題六之第二次挫屈模態(V

， 

2.5)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2

-1 0 1

2



1

0.5

0.25

0.125





(10

-4

)

X

圖四十七 例題六之第二次挫屈模態(₁

， 

2.5)

Z

X

Z

X LT

A B

C

D E

A D C E B

a

b

 MB

MA

P



圖四十八 固端梁受軸向壓縮及側向挫屈示意圖

V F_Y,

w F ,

X₁G

A B

C

D E

U F_X, W F_Z,

MZ

MX

MY

X₂G

X₃G

圖四十九 挫屈梁受中心點側向位移

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

U (10

-2

)

X

圖五十 例題七之挫屈模態 A(X₁^G方向的位移分量，/L_T 0.03125)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -8

-4 0 4 8

圖五十一 例題七之挫屈模態 A(X₃^G方向的位移分量，/L_T 0.03125)

W (10 )

X

-2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

2 4 6 8

V (10

-2

)

X

圖五十二 例題七之挫屈模態 B(X₂^G方向的位移分量，/L_T 0.3125)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -20

-15 -10 -5 0











X

圖五十三 例題七之挫屈模態 B(繞X₁^G軸方向的旋轉分量，/L_T 0.3125)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

V (10

-1

)

X

圖五十四 例題七之挫屈模態 C(X₂^G方向的位移分量，/L_T 0.8)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.2

-0.1 0.0 0.1 0.2



1

(10

-3

)

X

圖五十五 例題七之挫屈模態 C(繞X₁^G軸方向的旋轉分量，/L_T 0.8)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0

0.6 1.2 1.8 2.4

MODE A B C

w

cr

/ L

T

(1 0

-2

)

 / L

_T

圖五十六 挫屈梁受側向位移負荷w_cr/L_T-軸向壓縮/L_T 曲線(例題七)

在文檔中 三維固端梁之第二次挫屈分析 (頁 67-183)