三維固端梁之第二次挫屈分析

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國

立

交

通

大

學

機械工程學系碩士班

碩士論文

三維固端梁之第二次挫屈分析

The secondary buckling analysis of three dimensional Fixed-end beam

研究生：許彤羽

指導教授：蕭國模博士

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三維

固端梁之第二次挫屈分析

The

secondary buckling analysis of three dimensional Fixed-end beam

研究生：許彤羽 Student： Hsu Tung Yu

指導教授：蕭國模博士 Advisor： Dr. Kuo-Mo Hsiao

國立交通大學

機械工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Mechanical Engineering August 2012

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

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三維固端梁之第二次挫屈分析

The secondary buckling analysis of three dimensional fixed end beam

研究生：許彤羽指導教授：蕭國模博士

國立交通大學機械工程學系碩士班

摘要

本研究所稱的固端梁是一端固定，另一端僅側向固定的細長直梁，若將此固端梁施加軸向壓縮位移負荷，當壓縮量到達某一臨界值時，此固端梁會發生尤拉挫屈(Euler buckling)，本文中稱其為第一次挫屈，如繼續加以軸向壓縮，則該梁會側向拱起，本文將這個挫屈後的固端梁稱為挫屈梁。若將此挫屈梁繼續施加軸向壓縮位移，則其主要平衡路徑，即原固端梁的次要平衡路徑，為一穩定的平衡路徑。當軸向壓縮位移到達某一臨界值時，該挫屈梁會發生一面外(Out of plane)的側向－扭轉挫屈，本文稱其為第二次挫屈(Secondary buckling)。本文用共旋轉有限元素法探討不同斷面之固端梁受端點軸向位移負荷的挫屈及挫屈後的行為，還有探討兩端固定之挫屈梁，中心點受側向集中位移負荷之非線性挫屈及挫屈後的行為。本文在當前的元素座標上，以尤拉梁正確的變形機制、工程應變、虛功原理與有限元素法、非線性梁理論的一致線性化（ consistent linearization），推導一個十四個自由度的梁元素。本研究採用基於牛頓法及定弧長法的增量迭代法求解非線性平衡方程式，以系統的切線剛度矩陣的行列式值是否為零作為挫屈的判斷準則。本文中用不同的數值例題比較以工程應變和 Green strain 推導之梁元

(6)

素對不同問題的影響，再以不同的數值例題探討不同斷面之固端梁的第二次挫屈、挫屈後的行為及影響固端梁第二次挫屈位移之因素，最後再探討挫屈梁中心點受側向集中位移負荷之非線性挫屈及挫屈後的行為。

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The secondary buckling analysis of three dimensional fixed end beam

Student：Hsu Tung Yu Advisor：Kuo-Mo Hsiao

Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University

ABSTRACT

The originally straight fixed-end beam is compressed axially at one end. When the axial compression is greater than a critical value, the beam will buckle in the lateral direction which has the smallest second moment of area of the beam cross section. This buckling is the so called Euler buckling and referred to as the first buckling here. The fixed-end beam after the first buckling is stable and referred to as the buckled beam. If the buckled beam is further compressed axially, it may buckle out of plane. This buckling is referred to as the secondary buckling here.

A consistent co-rotational finite element method is used to investigate the geometric nonlinear buckling and postbuckling behavior of the fixed-end beam subjected to the axial compression and the buckled beam with fixed axial compression subjected to a mid-span lateral displacement.

The beam element developed here has two nodes with seven degrees of freedom per node. The deformations of the beam element are described using the exact kinematics of the Euler beam in the current element coordinate system constructed at the current configuration of the beam element. The element nodal forces are derived using the virtual work principle, consistent second-order linearization of the fully geometrically non-linear beam theory, and engineering strains and stresses.

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An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method combined with constant arc length of incremental displacement vector is employed for the solution of nonlinear equilibrium equations. The zero value of the tangent stiffness matrix determinant of the structure is used as the criterion of the buckling state.

Numerical examples are presented to compare the results obtained by the beam elements derived using the engineering strain and the Green strain, respectively. The effects of different rigidity ratios of the beam cross section on the second dimensionless buckling displacement of the fixed-end beam subjected to the axial compression are investigated through numerical examples. The buckling modes corresponding to the first two critical points and the postbuckling behavior of the buckled beam with different fixed axial compression subjected to a mid-span lateral displacement are also investigated.

(9)

誌謝

衷心感謝指導教授蕭國模博士在這兩年期間的指導與教誨，使本論文得以順利完成，蕭老師在研究上嚴謹的態度以及對日常生活上的關懷，使我受益良多，在此致上最高的敬意及謝意。也感謝尹慶中老師及金大仁老師撥冗擔任口試委員並對本論文所提出的指正與建議，使本論文能夠更臻完善。感謝實驗室蔡明旭學長、劉峰成學長、黃楚璋學長、翁林甫學長、盧致群學長在研究上的協助與照顧以及生活上的互相照應。感謝學弟沈佳鴻、林琮棋、莊士緯、林群禮在課業上、日常生活上的幫助與鼓勵。感謝父母親、弟弟、妹妹、男友及所有關心我的親人、朋友對我的支持與鼓勵，僅以此成果與榮耀，獻給所有關心我的人。

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目錄

中文摘要 ...I 英文摘要 ... III 誌謝 ... V 目錄 ...VI 表目錄 ... VIII 圖目錄 ...IX 第一章緒言 ... 1 第二章理論推導 ... 6 2.1 基本假設 ... 6 2.2 座標系統描述 ... 6 2.3 旋轉向量 ... 8 2.4 Euler 梁的變形描述 ... 8 2.5 Euler 梁的應變及應變的變分 ... 13 2.6 元素節點內力之推導 ... 18 2.7 元素剛度矩陣之推導 ... 23 2.8 系統平衡方程式與收斂準則 ... 26 第三章數值方法 ... 27 3.1 增量迭代法 ... 27 3.2 二分法 ... 29 3.3 N 循環迭代法 ... 31 第四章數值例題之結果與討論... 32 4.1 E 元素與 G 元素的比較... 32 4.2 固端梁受端點軸向位移之挫屈及挫屈後行為 ... 33

(11)

4.3 挫屈梁受側向負荷之幾何非線性分析... 44 第五章結論 ... 49 參考文獻 ... 52 附表 ... 56 附圖 ... 71 附錄 A ... 154 附錄 B ... 156 附錄 C ... 158 附錄 D ... 160 附錄 E... 162 附錄 F... 164

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表目錄

表一例題二之挫屈負荷 ... 56 表二 Case1 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表... 57 表三 Case2 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表... 58 表四 Case3 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表... 59 表五 Case4 端點B反力(反力矩)、C點位移與軸向位移關係表... 60 表六挫屈梁受端點軸向位移負荷在主要平衡路徑的



L_T 、端點 B之反力、反力矩(例題二，Case3) ... 61 表七 Case A1-A5 之材料及斷面常數 ... 62

表八 Case A6-A8 之斷面常數(A6 正方形斷面 ,A7 十字形斷面 , A8 十字形A斷面) ... 63

表九 Case A9-A10 之斷面常數(I形斷面) ... 64

表十抑制翹曲及自由翹曲之挫屈梁受端點軸向位移負荷 之二次挫屈位移 ... 65 表十一挫屈梁受端點軸向位移負荷 之挫屈位移, 端點反力及力矩 (WR) ... 66 表十二矩形斷面之固端梁受端點軸向位移之第二次挫屈位移, 端點反力及力矩 (例題四) ... 66 表十三十字形A斷面之固端梁受端點軸向位移之第二次挫屈位移, 端點反力及力矩 (例題五) ... 67 表十四不同



與



之固端梁之第二次挫屈位移... 68 表十五挫屈梁受中心點側向位移之三種挫屈模態之挫屈位移、挫屈負荷 ... 69

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圖目錄

圖一固端梁受軸向壓縮之示意圖(a)壓縮前、(b)一次挫屈後、 (c)二次挫屈後 ... 71 圖二總體座標、元素座標與元素截面座標... 72 圖三旋轉向量... 73 圖四固端梁 B 端承受一扭轉角(例題一)... 74 圖五例題一的端點反力P /AE- 扭轉角/L_T之關係圖... 75 圖六例題一的端點反力扭矩M /GJ- 扭轉角/L_T之關係圖... 76 圖七固端梁受端點軸向壓縮位移... 77

圖八例題二 Case1(WF)之detK/detK₀ - 軸向位移/L_T曲線... 78

圖九例題二Case1(WF)之detK/detK₀ - 軸向位移/L_T曲線... 79

圖十 固端梁之端點 B 在X₁G方向之無因次反力PL /_T2 EI_y-無因次軸向位移/L_T曲線(例題二) ... 80 圖十一挫屈梁受端點軸向位移之主要平衡路徑的變形圖(例題二)... 81 圖十二例題二 Case1 第一次挫屈挫屈模態(X₃G方向的位移分量) ... 82 圖十三例題二 Case1 第二次挫屈挫屈模態(X₂G方向的位移分量) ... 83 圖十四例題二 Case1 第二次挫屈挫屈模態(繞X₁G軸方向的旋轉分量) ... 84 圖十五固端梁端點B在X₁G方向之反力矩M_BXL_T /EI_y- 軸向位移 T L /  曲線(例題二) ... 85 圖十六固端梁端點B在X₂G方向之反力矩M_BYL_T /EI_y- 軸向位移 T L /  曲線(例題二) ... 86 圖十七固端梁端點B在X₃G方向之反力矩M_BZL_T /EI_y- 軸向位移 T L /  曲線(例題二) ... 87

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圖十八梁中心點C在X₁G方向之U /_C L_T - 軸向位移/L_T曲線 (例題二) ... 88 圖十九梁中心點C在X₃G方向之側向位移



/L_T- 軸向位移/L_T曲線 (例題二) ... 89 圖二十例題二 Case1 之變形圖(前視圖) ... 90 圖二十一例題二 Case1 之變形圖(上視圖) ... 91 圖二十二例題二 Case1 之變形圖(側視圖) ... 92 圖二十三例題二 Case1 變形之立體圖(/L_T 0.75)... 93 圖二十四例題二 Case1 變形之立體圖(/L_T 0.811) ... 93 圖二十五例題二 Case3 之變形圖(前視圖) ... 94 圖二十六例題二 Case3 之變形圖(上視圖) ... 95 圖二十七例題二 Case3 之變形圖(側視圖) ... 96 圖二十八例題二 Case3 變形之立體圖(/L_T 0.8225)... 97 圖二十九例題二 Case3 變形之立體圖(/L_T 0.8307)... 97 圖三十例題二 Case3 變形之立體圖(/L_T 0.8528)... 97 圖三十一例題二 Case3 變形之立體圖(/L_T 0.9051) ... 97 圖三十二例題二 Case4 之變形圖(前視圖) ... 98 圖三十三例題二 Case4 之變形圖(上視圖) ... 99 圖三十四例題二 Case4 之變形圖(側視圖) ... 100 圖三十五 Case1 之斷面正向壓力F_xL_T2 /EI_y－梁軸X 曲線 (例題二) ... 101 圖三十六 Case1 在斷面主軸_XS方向之彎矩－曲線 2 MyLT /EIy X (例題二) ... 102 圖三十七 Case1 在斷面主軸_XS方向之彎矩－曲線 3 MzLT /EIy X

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(例題二) ... 103 圖三十八 Case1 在斷面主軸_XS方向之彎矩－曲線 1 MxLT /EIy X (例題二) ... 104 圖三十九 Case3 之斷面正向壓力F_xL_T2 /EI_y－梁軸X 曲線 (例題二) ... 105 圖四十 Case3 在斷面主軸_XS方向之彎矩－曲線 2 MyLT /EIy X (例題二) ... 106 圖四十一 Case3 在斷面主軸_XS方向之彎矩－曲線 3 MzLT /EIy X (例題二) ... 107 圖四十二 Case3 在斷面主軸_XS方向之彎矩－ 1 MxLT /EIy X 曲線 (例題二) ... 108 圖四十三不同長寬比之矩形斷面的第二次挫屈模態(V ,例題四) ... 109 圖四十四不同長寬比之矩形斷面的第二次挫屈模態(₁,例題四) ... 110 圖四十五不同



之二次挫屈所需軸向位移/L_T-剛度比



曲線圖 (例題六) ... 111 圖四十六例題六之第二次挫屈模態(V

，



2.5)... 112 圖四十七例題六之第二次挫屈模態(₁

，



2.5)... 113 圖四十八固端梁受軸向壓縮及側向挫屈示意圖... 114 圖四十九挫屈梁受中心點側向位移... 115 圖五十例題七之挫屈模態(X₁G方向的位移分量，/L_T 0.03125)... 116 圖五十一例題七之挫屈模態(X₃G方向的位移分量，/L_T 0.03125)... 117 圖五十二例題七之挫屈模態(X₂G方向的位移分量，/L_T 0.3125)... 118 圖五十三例題七之挫屈模態 (繞X₁G軸方向的旋轉分量，/L_T 0.3125)... 119

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圖五十四例題七之挫屈模態(X₂G方向的位移分量，/L_T 0.8) ... 120 圖五十五例題七之挫屈模態(繞X₁G軸方向的旋轉分量，/L_T 0.8) ... 121 圖五十六挫屈梁受側向位移負荷w_cr/L_T-軸向壓縮/L_T 曲線 (例題七) ... 122 圖五十七挫屈梁中心點C在方向反力 - 曲線 ( ，例題七) ... 123 G X₃ FL_T2 /EI_y w /L_T 03125 . 0 /   L_T 圖五十八挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.03125，例題七)... 124 圖五十九例題七/L_T 0.03125變形之立體圖(w/L_T 0.0598)... 125 圖六十挫屈梁端點 A 在方向反力 - 曲線 ( ，例題七) ... 126 G X₃ F_AZL_T2 /EI_y w/L_T 03125 . 0 /   L_T 圖六十一挫屈梁端點 A 在方向反力 - 曲線 ( ，例題七) ... 127 G X₁ F_AXL_T2 /EI_y w/L_T 03125 . 0 /   L_T 圖六十二挫屈梁端點 A 在方向反力矩 ( ，例題七) ... 128 G X₂ M_AYL_T /EI_y-w/L_T 03125 . 0 /   L_T 圖六十三挫屈梁中心點C在方向反力 - 曲線 ( ，例題七) ... 129 G X₃ FL_T2 /EI_y w /L_T 3125 . 0 /   L_T 圖六十四挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.3125，前視圖，例題七)... 130 圖六十五挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.3125，上視圖，例題七)... 131 圖六十六挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.3125，側視圖，例題七)... 132 圖六十七例題七/L_T 0.3125 變形之立體圖(w/L_T 0.0598)... 133

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圖六十八挫屈梁端點 A 在方向反力 - 曲線 ( ，例題七)... 134 G X₁ F_AXL_T2 /EI_y w /L_T 3125 . 0 /   L_T 圖六十九挫屈梁端點 A 在方向反力 - 曲線 ( ，例題七)... 135 G X₃ F_AZL_T2 /EI_y w /L_T 3125 . 0 /   L_T 圖七十挫屈梁端點 A 在方向反力矩曲線 ( G X₁ M_AXL_T /EI_y-w /L_T 3125 . 0 /   L_T ，例題七)... 136 圖七十一挫屈梁端點 A 在方向反力矩曲線 ( ，例題七)... 137 G X₂ M_AYL_T /EI_y-w /L_T 3125 . 0 /   L_T 圖七十二挫屈梁端點 A 在方向反力矩曲線 ( ，例題七)... 138 G X₃ M_AZL_T /EI_y-w /L_T 3125 . 0 /   L_T 圖七十三挫屈梁C、D、E點X₂G方向的位移-w/L_T曲線 (/L_T 0.3125，例題七)... 139 圖七十四挫屈梁C、D、E點X₃G方向位移-w/L_T曲線 (/L_T 0.3125，例題七)... 140 圖七十五挫屈梁中心點C 在方向反力 - 曲線 ( 0.8，例題七) ... 141 G X₃ FL_T2 /EI_y w /L_T  /L_T 圖七十六挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.8，前視圖，例題七)... 142 圖七十七挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.8，上視圖，例題七)... 143 圖七十八挫屈梁受側向位移負荷的變形圖(/L_T 0.8，側視圖，例題七)... 144 圖七十九例題七/L_T 0.8 變形之立體圖(w/L_T 6.8288103) ... 145

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圖八十挫屈梁端點A在方向反力 - 曲線 ( 0.8，例題七)... 146 G X₁ F_AXL_T2 /EI_y w /L_T  /L_T 圖八十一挫屈梁端點 A在方向反力 - 曲線 ( 0.8，例題七)... 147 G X₂ F_AYL_T2 /EI_y w /L_T  /L_T 圖八十二挫屈梁端點 A在方向反力 - 曲線 ( 0.8，例題七)... 148 G X₃ F_AZL_T2 /EI_y w /L_T  /L_T 圖八十三挫屈梁端點 A在方向反力矩曲線 ( 0.8，例題七)... 149 G X₁ M_AXL_T /EI_y- w /L_T  /L_T 圖八十四挫屈梁端點 A在方向反力矩曲線 ( 0.8，例題七)... 150 G X₂ M_AYL_T /EI_y- w /L_T  /L_T 圖八十五挫屈梁端點 A在方向反力矩曲線 ( 0.8，例題七)... 151 G X₃ M_AZL_T /EI_y- w /L_T  /L_T 圖八十六挫屈梁 C、D、E點X₂G方向位移-w /L_T曲線 (/L_T 0.8，例題七)... 152 圖八十七挫屈梁 C、D、E點X₃G方向位移-w /L_T曲線 (/L_T 0.8，例題七)... 153

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第一章緒言

本研究所稱的固端梁是如圖一（a）所示之細長直梁，一端固定，另一端僅側向固定，若將此固端梁施加軸向壓縮 ，當壓縮量到達某一臨界值時，此固端梁會發生一面內(In plane)的側向挫屈，即所謂的尤拉挫屈(Euler buckling)，本文中稱其為第一次挫屈，如繼續加以軸向壓縮，則該梁會如圖一（b）所示朝側向拱起，其大小可以用梁中點的側向拱起高度



表示，文獻上稱此階段的梁為挫屈梁[1,2,3]，本文亦將這個挫屈後的固端梁稱為挫屈梁。當挫屈梁拱起高度



不大時，其形狀很接近第一挫屈模態[2,4-10]。因增加很小的軸向位移或壓力，即可使挫屈梁有很大的側向位移及旋轉[9]，故挫屈梁可以用來當放大器(amplifier)或致動器(actuator)[6-9]，亦可以用來當微小力的感測器[11]。 如將圖 1-1（b）所示之挫屈梁兩端固定（clamped-clamped），則為一穩定的結構[1,2,3]。若將其施加一向下的側向位移或力負荷，則當側向位移到達某一臨界值時，該挫屈梁亦會再度挫屈[1,12,13]，其平衡路徑會受到側向拱起高度



的影響，當



較小時，其位移－負荷曲線存在極限點（limit

point)[14]，有跳躍挫屈（snap through buckling）的現象，且在在側向力為

零時存在兩個穩定平衡位置，即所謂的雙穩態（bistable）[5,14-16]，當側向

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point）[14]。探討挫屈梁受側向負荷之非線性行為的文獻很多[4-18]，但都為二維的分析，僅考慮面內(in-plane)的變形。 如將圖 1-1（b）所示之挫屈梁繼續施加軸向壓縮位移，則其主要平衡 路徑，即原固端梁的次要平衡路徑，為一穩定的平衡路徑[19,20,21]。當軸向壓縮位移到達某一臨界值時，挫屈梁會發生一面外(Out of plane)的側向－扭轉挫屈 [19,20,21] ，本文與 [19] 一樣，稱其為第二次挫屈 (Secondary buckling)。如繼續加以軸向壓縮，則該梁會形成如圖一（c）所示的三維曲

線。文獻[19-21]曾探討有相同主面積慣性矩(Principal area moment of inertia)

(即 )之挫屈梁的第二次挫屈及挫屈後的行為，由文獻[19]的分析結果可以發現梁斷面之主撓曲剛度 I I Iy  z  EI 和扭轉剛度GJ 的比值愈大，則挫屈梁發

生第二次挫屈時的壓縮量愈小。文獻[20,21]使用實驗及 Cosserat rod theory，

即假設梁不可伸縮、沒有剪應變、僅有撓曲變形，探討圓形斷面之挫屈梁的第二次挫屈及挫屈後的行為，文獻[20,21]數值的分析結果與文獻[19]的理論解相當吻合。文獻[20,21]中，挫屈梁發生第二次挫屈時之壓縮量及挫屈後之行為的實驗結果與理論解相當吻合。但文獻[19-21]都沒有探討主面積慣性矩不同(即I_y I_z)之挫屈梁的第二次挫屈及挫屈後的行為。據本人所知，文獻上沒有I_y  之挫屈梁的第二次挫屈及挫屈後的行I_z 為之分析或實驗的結果。所以本研究將以有限元素法探討之固端梁的第二次挫屈及挫屈後的行為。本研究考慮的梁為雙對稱開口薄壁梁。 z y I I 

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文獻[22]用共旋轉有限元素法、Green strain、完整的非線性梁理論、一致性的二階線性化及虛功原理，推導一個十四個自由度，含翹曲、扭曲及軸向變形間耦合效應之三維雙對稱開口薄壁梁元素，該元素可以應用到梁的挫屈分析、非線性、挫屈後分析[22,23]，該元素分析的結果與文獻上的結果相當一致。文獻[24]中採用文獻[22]的雙對稱開口薄壁梁元素，探討細長圓形斷面梁先扭轉後壓縮問題[19-21]，除了在壓縮量很小時外，其分析結果與文獻 [20,21]的分析結果相當吻合，這可能是因文獻[24]考慮了扭轉與軸向變形的耦合，所以在壓縮量很小時仍沒有側向變形，但文獻[20,21]中假設梁是不可伸縮的，所以任何壓縮量都會有側向變形；當壓縮量較大時，梁的軸向及側向變形主要都是剛體運動造成的，梁的軸向應變的貢獻可以忽略不計。雙對稱開口薄壁梁，在相同的變形假設下，用 Green strain 和工程應變求得的應變之二次項有一些差異[25]，文獻[24]發現當細長圓形斷面梁受端點扭轉角



作用，但沒由軸向位移時，用 Green strain 和工程應變求得的軸力的差異，會隨扭轉角



的增加而增加，但兩種應變求得的扭矩幾乎沒有差異。文獻[24]並沒有用工程應變推導完整的梁元素，故沒有探討用 Green strain 和工程應變求得的剛度矩陣，對薄壁梁之挫屈分析的影響，且文獻[24] 僅探討了圓形斷面梁，並未探討其他的斷面梁。文獻[25]採用與文獻[22]相同的變形機制，用工程應變、二階梁理論、

(22)

共旋轉法及虛功原理，推導雙對稱開口薄壁梁之微分平衡方程式，探討薄壁梁受彎矩的側向-扭轉挫屈負荷，文獻[25]用級數解分析的結果與文獻[23] 用文獻[22]之梁元素分析的結果很接近。由以上的討論可知文獻[22]之梁元素應適用於本研究，但文獻上仍缺乏用共旋轉法及工程應變推導的雙對稱開口薄壁梁元素，所以本研究將先採用文獻[25]推導之工程應變及文獻[22]之梁元素的推導方法，推導一雙對稱開口薄壁梁元素。本研究將以本文推導的梁元素及文獻[22]的梁元素分析具不同撓曲－扭轉剛度比EI_y GJ、撓曲－撓曲剛度比EI_y EI_z ( )之固端梁的第二次挫屈及挫屈後的行為，並比較兩種元素分析結果的差異。因文獻上仍缺乏挫屈梁受側向負荷之三維非線性分析，所以本研究亦擬探討挫屈梁受面內(in-plane)側向負荷時之面外(out of plane)挫屈負荷及挫屈後的行為。 y z I I  本研究採用基於牛頓法及定弧長法的增量迭代法[22,26]，解非線性平衡方程式，以系統的切線剛度矩陣的行列式值是否為零作為挫屈的判斷準則。為求得完整的平衡路徑，本研究以挫屈模態當作擾動位移，用擾動位移法[22,26]進入次要平衡路徑，進行平衡迭代。本文將在第二章中，以尤拉梁正確的變形機制、工程應變、虛功原理與有限元素法、非線性梁理論的一致線性化（consistent linearization），推導梁元素節點內力，再將元素節點內力對節點位移微分求得元素剛度矩陣。在

(23)

第三章中將說明本研究之幾何非線性分析與挫屈分析的數值計算方法與程

序。在第四章中將先比較工程應變和 Green strain 推導之梁元素對不同問題

的影響，再以不同的數值例題探討不同斷面之固端梁的第二次挫屈、挫屈

後的行為及影響固端梁第二次挫屈挫屈位移之因素，最後再探討挫屈梁中

(24)

第二章

理論推導

本研究採用共旋轉有限元素法(corotational finite element formulation)

探討挫屈梁之二次挫屈、挫屈後的行為及挫屈梁受側向負荷之三維非線性行為。本章中將推導一個兩節點、十四個自由度的梁元素，本文對梁變形的假設，梁變形機制的描述及元素的推導方法都和文獻[22, 27]相同，但本文的應變採用工程應變(Engineering strain)，文獻[22]的應變採用Green strain。為了方便比較本文的元素及文獻[22]的元素之差異，本文將文獻[22] 的元素節點內力及剛度矩陣放在附錄A中。為了文章的完整性，本章中將重複與文獻[22,27]中相同的部分 2.1 基本假設 本文對梁元素的推導，做如下的假設： (1)梁為細長的等斷面、雙對稱梁，且Euler-Bernoulli 假說成立。 (2)梁元素的形心軸之單位長度伸長量(unit extension)為均勻的伸長。 (3)梁元素的變形與應變皆為小變形與小應變。 (4)梁元素斷面的翹曲為梁元素的軸向扭轉率與該梁的聖維南(Saint Venant)翹曲函數的乘積。 2.2 座標系統描述本研究將梁分割成若干個兩個節點的梁元素，為了描述系統的運動、元素的變形、邊界條件，本文中共定義了三套直角座標系統：

(25)

(1) 固定總體座標系統(圖二)，X_iG(i1,2,3) 系統的節點座標方位、位移、旋轉，其他座標系統之座標軸的方向餘弦，系統的平衡方程式皆在此座標系統中定義。 (2) 元素座標系統(圖二)，x_i(i 1,2,3) 此座標系統附屬在每一梁元素上，其原點位於該元素的節點1上，軸通過該元素的兩端節點(1，2)，軸與軸在元素變形前與斷面的主軸方向一致，而元素變形後的軸與軸，可由該元素未翹曲的兩端斷面的方位來決定，是分別將位於節點 1，2 變形後的斷面繞一個與該斷面之法線及軸垂直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與軸方向一致(此時並不考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向無法定義)，然後再以兩斷面主軸方向的角平分線作為軸及軸的方向。梁元素的變形、節點內力、以及元素剛度矩陣，皆在此座標系統中建立。 1 x 2 x x 3 x x 2 3 1 x 1 x 3 2 x x (3) 元素斷面座標系統(圖二)，x_iS(i 1,2,3) 此座標系統與元素的斷面一起平移和旋轉，其原點剛接於未翹曲斷面的形心，軸為未翹曲斷面的法線方向，軸與軸分別與未翹曲斷面的主軸重合。元素的變形是由斷面座標相對於元素座標的旋轉來決定。 S x₁ x₂S x₃S 本文中以符號





代表行矩陣。總體座標系統 G  的 X ₁ 元素座標x= x₁ 素斷面座標xS x₁S 關係可表示如下: { }與 ={ } G G G _X _X X , ₂ , ₃



,x₂,x₃



,元 ,x₂S,x₃S XG A_GEx XG A_GSxS (2.2.1) 其中、分別代表元素座標、元素斷面座標對於固定總體座標系統的方向餘弦矩陣。 GE A A_GS

(26)

2.3 旋轉向量

本文中使用旋轉向量來表示一個有限旋轉，如圖三所示，一向量b受到

一旋轉向量



a的作用而轉到一個新的位置b，向量b與b之間的關係可表

示成[28]:

bcos



b(1cos



)(ab)asin



(ab) (2.3.1)

其中符號．與分別代表向量的內積與外積，



代表繞旋轉軸的旋轉角，a表旋轉軸的單位向量。 2.4 Euler梁的變形描述本文在當前的元素座標上描述梁元素的變形，由(2.1)節中的基本假設可知Euler 梁元素的變形可以由其形心軸的位移、截面的翹曲(warping)及其截面的旋轉來描述。圖二中，Q 點為梁元素中的任意點，P 點為 Q 點在同一斷面之形心軸上的對應點。在元素座標上Q 點的變形前後位置可以表示如下: r₀  xe₁ ye₂ze₃ (2.4.1) r x_pe₁ve₂ we₃ θ₁_,xωe₁S  yeS₂ ze₃S (2.4.2) 其中x、、y z 為變形前 Q 點在元素座標x_i(i 1,2,3)上的座標，x 亦為點變 形前軸的座標，、 P 1 x y z 亦同時是點在Q x₂S與x₃S軸的座標。x (_p x)、v(x)以及w(x)分別是變形後點在元素座標P x_i(i1,2,3)上的座標，v(x)、w(x)亦為點在P x₂及x₃軸方向的位移， x θ θ _,x    1 1 是梁斷面沿變形後形心軸的軸向扭轉率，θ₁(x)為形心軸的扭轉角，







(y, z)代表等斷面梁的聖維南翹曲函數，及e_i e_iS(i 1,2,3)分別為x_i與x_iS 軸的單位向量，梁變形後其形心軸的

(27)

單位切線向量可表示為 t {cos



_n,



₃,



₂} (2.4.3) o w s w





        1 2 (2.4.4) o v s v





      1 3 (2.4.5) cos



(1



₂2 



₃2)12    s x_p n (2.4.6) w_x x w w  _,     ， v_x x v v  _,     ， 1    x s o



(2.4.7) 其中



₀為形心軸的單位伸長量(unit extension)。在忽略扭轉翹曲的情況下， (2.4.4)至(2.4.7)式中，s為節點1至點P間的形心軸在變形後的弧長。由梁形心軸上的任一點P在變形後的位置向量(2.4.2) 式及 (2.4.6)與(2.4.7)式， x_p(x) 可以表示如下 x_p x u 



x  v_x w_x dx (2.4.8) 0 2 / 1 2 , 2 , 2 0 1 [(1 ) ] ) (



其中為節點1在方向的位移，由元素座標系統的定義，其值為零，但其變分並不為零。 1 u x₁ 由梁元素的變形為小變形的假設，即



₀1，v_,_x 1，，(2.4.8)式可近似成 1 ,x  w x_p x u 



x  _o  v_x w_x dx 0 2 , 2 , 1 ) 2 1 2 1 1 ( ) (



(2.4.9) 由梁之形心軸單位長度的伸長量為均勻的伸長量之假設及(2.4.9)式，形心軸單位長度伸長量



₀可表示如下



    L v_x w_x dx L L L 0 2 , 2 , 0 ( ) 2 1 



(2.4.10) _Lu₂u₁ (2.4.11)

(28)

其中_{L 為梁元素變形前的長度， 為梁元素變形後之形心軸的弦長，、} 分別為節點 1 與 2 在方向的位移。 1 u u₂ 1 x 由座標系統的定義可知，在變形前x_i軸與x_iS(i1,2,3 S 1 e 3) )軸的方向是一致的，即與的方向是一致的，而且變形後與(2.4.3)式的t方向一樣。在本文中假設變形後的單位向量的方向是由以下兩個旋轉向量連續作用於單位向量 i e eS_i (i1,2,3) 2, , 1 (i S i e i e (i1,2,3)來決定[27]： θn 



nn (2.4.12) θt 



1t (2.4.13) n_ {0,



₂ (



₂2



₃2)1/2,



₃ (



₂2



₃2)1/2}{0,n₂,n₃} (2.4.14) 其中n_為垂直於與e₁ t 之單位向量，



_n為和e₁ t 的夾角，



₁為斷面繞t 的轉 角。將旋轉向量θ_n作用在上，使其轉至一中繼位置e_i e_i，此時與重合，再將作用在e ，將其轉到。若、、以及已知，則元素斷面座標就唯一決定；反之，若與已知，則旋轉向量與亦唯一決定。 1 e t t θ _i e_iS S i e i e θ_n θ_t θ S i e i e _n θ_t e_iS與之關係可表示如下[27] e_i , ] , , [ ₁ ₂ _i _i S i t R R e Re e   (2.4.15) R1cos



1r1sin



1r2 R₂ sin



₁r₁cos



₁r₂

r₁{



₃,cos



_n (1cos



_n)n₂2,(1cos



_n)n₂n₃} } ) cos 1 ( cos , ) cos 1 ( , { ₂ ₂ ₃ ₃2 2 







n n n



n  



n n r 其中R 稱為旋轉矩陣。因 R 為



_i(i1,2,3)的函數，所以本文中稱



_i為旋轉參數。當



_i(i1,2,3)分別有一微小變化



_i時，斷面座標會旋轉到一個新的位置，此一新的位置可由元素座標繞x_i (i1,2,3)軸分別作微小旋轉



_i

(29)

(i1,2,3)而得。 {



₁,



₂,



₃}



θ 與



{



₁,



₂,



₃}之關係可表示如下[27]： θ T θ t t t t t ₁a , ₂b ]







[ , (2.4.16) } cos , cos 1 , { 1  t 2 3 2 3 3 n n



 } cos 1 , cos , { 2 



t 2 3 22 2 n n



 2 3 2 2 3(1 cos )



  _n  a ₂ 3 2 2 2(1 cos )



    b



θ n (2.4.16)式之反函數可表示如下:







 (2.4.17)



1 2 3 cos 0 0 cos 1               T n n b a 當旋轉參數



₂與



₃很小時， T1矩陣可近似如下式               T 1 0 0 1 1 2 3 2 2 1 3 2 1 1



(2.4.18) 將(2.4.15)式代入(2.4.2)式，利用近似式 ₂2 ₃2 2 1 2 1 1 cos



_n  







、



 sin 、 2 2 1 1 cos



 



並保留變形參數至二次項,則位置向量可以化簡成 r r r1e1r2e2 r3e3 (2.4.19)

(30)

r1 xp  y(



2



1



3)z(



2 



3



1)



1,x



₂



₃2



₁2



₂



₃



₁)



₁_,



₃



2 1 ( )] ( 2 1 1 [ z _x y v r        ₃



₂



₃



₁ (



₂2



₁2)]



₁_,



₂



2 1 1 [ ) 2 1 ( z _x y w r        本文中假設梁元素形心軸的側向位移v ,w與軸向扭轉角



₁皆為x的三次Hermitian 多項式，因此v , ,w 及



₁可表示成: (2.4.20) b t b t _v _v _v _v N N N N x v( ){ ₁, ₂, ₃, ₄}{ ₁, ₁, ₂, ₂}N u (2.4.21) c t c t _w _w _w _w N N N N x w( ) { ₁, ₂, ₃, ₄} { ₁, ₁, ₂, ₂}N u





t _d d t N N N N x  ₁ ₂ ₃ ₄ ₁₁ ₁ ₁₂ ₂ N u 1( ) { , , , }



,



,



,





(2.4.22) ), 1 )( 1 ( 8 ), 2 ( ) 1 ( 4 1 ), 1 )( 1 ( 8 ), 2 ( ) 1 ( 4 1 2 4 2 3 2 2 2 1                      L N N L N N (2.4.23) L x 2 1  



(2.4.24) 其中v_j與w_j( j = 1, 2)分別是v與在節點w j的節點值，v_j與w j = 1, 2)_j( 則分別是 x v   v 與 x w w     在節點 j 之節點值。



₁_j(j1,2)是



₁在節點 j 的節點 值，



_j(j1,2)則是 x x   , 1 _ 1



在節點 j 的節點值。 (i= 1－4)為形狀函數 (shape function)。 i N 由(2.4.9)式可得梁的軸向位移u(x)，並表示如下 dx w v x u x x x u _p x( _x _x) 2 1 ) ( _,2 0 2 , 0 1 



   



(2.4.25) 將(2.4.11)、(2.4.20)、(2.4.21)式代入(2.4.10)式，整理可得



₀ ) 2 1 2 1 ( 1 c t c b t b a t a L G u  G u  G u  (2.4.26)

(31)



1, 1  a G



(2.4.27) dx v G G G G_b _b _b _b _b _x b { 1, 2, 3, 4}



N , G (2.4.28) dx w G G G G_c _c _c _c _c _x c { 1, 2, 3, 4}



N , G (2.4.29) } , {u₁ u₂ a  u (2.4.30) 將(2.4.26)式代入(2.4.25)式整理可得 ) (x u Nt_au_a  L x 2 ( c) t c b t b u G u G  

_

x v _x w_x dx 0 2 , 2 , ) ( 2 1 (2.4.31) } 2 1 , 2 1 { 







 a N (2.4.32) 2.5 Euler梁的應變及應變的變分本研究用虛功原理推導梁元素的節點內力時需要梁元素的應變及變分。本文中採用工程應變(Engineering strain)來描述梁的應變。 2.5.1 梁的應變為了推導上的方便，本文中先推導出 Green Strain



_ij(i, j 1,2,3)，再由 Green Strain 求得與其對應之工程應變。假如將(2.4.1)式中的x、、y z 視為拉格蘭日座標(Lagrange coordinates) ，則Green strains



₁₁、



₁₂、



₁₃可以表示成[29]: ( 1) 2 1 1 t 1 11  g g 



， ₁₂ ₁t ₂ 2 1_g _g 



， ₁₃ ₁t ₃ 2 1_g _g 



(2.5.1)

z

y

x













r

g

r

g

r

g

₁

,

₂

,

₃ _(2.5.2)

(32)

將(2.4.9)、(2.4.19)帶回(2.5.2),可得g_i的分量g_ij(i, j1,2,3)如下 ( ) ( ) 2 1 1 _,2 _,2 11 o vx wx y 1 2,x 2 1,x 3,x g  



  











(2.5.3) z(



₁



₃_,_x 



₃



₁_,_x 



₂_,_x)



₁_,_xx











x x xx x x x x x o z y g , 3 , 1 3 , 1 , 1 , 2 3 , 3 2 , 3 3 , 1 1 3 12 ) 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 (         











x x xx x x x x x o z y θ g , 2 , 1 2 , 1 , 2 2 , 1 1 , 1 , 2 3 , 3 2 2 13 ) ( ) 2 1 2 1 ( ) 1 (           y x g₂₁ 



₁



₂ 



₃



₁_,



_, y x g 2 ₁_, ₃ _, 3 2 1 22 ( ) 2 1 1













 y x g₂₃ ₁ ₂ ₃ ₁_, ₂ _, 2 1

_

_



   z x g₃₁ 



₁



₃



₂ 



₁_,



_, z x g₃₂ ₁ ₂ ₃ ₁_, ₃ _, 2 1

_

_



    g₃₃ ( ₁2 ₂2) ₁_,_x ₂ _,_z 2 1 1













 將(2.4.4)、(2.4.5)、(2.5.2)式及(2.5.3)式代回(2.5.1)式，保留變形參數及其微分到二次項可得: 2 (2.5.4-a) 11 1 11 11



  xx xx xx o yv, zw, 1, 1 11







    2 , 1 2 , , , 1 , 1 2 , 2 , , 2 , 2 , 1 , 1 2 , 1 2 2 , , , 2 2 11 2 1 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 xx xx xx xx xx o xx xx xx xx xx xx x x x x o o zw yv w z w yzv v y v z w y z y zw yv                          

(33)



₁₂ 



₁₂1 



₁₂2 (2.5.4-b) x y z 1, , 1 12 ( ) 2 1

_

_



  ) ( 4 1 ] ) ( [ 2 1 , , , , , 1 , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 , 2 12 xx x xx x xx x y xx x y xx x y x o y v w w v z w z v y       





















₁₃ 



₁₃1 



₁₃2 (2.5.4-c) x z y 1, , 1 13 ( ) 2 1

_

_



  ) ( 4 1 ] ) ( [ 2 1 , , , , , 1 , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 , 2 13 xx x xx x xx x z xx x z xx x z x o z w v v w y v y w z       





















其中



₁k_j(j1,2,3,k 1,2)代表



₁k_j中之k次項，



₀_,_x 0。 Green Strains ₁₁ ,₁₂ ,₁₃ 與工程應變 e₁₁ ,₁₂ ,₁₃ 間的關係如下[29]： (255a) 1 ) 2 1 ( ₁₁ 1/2 11    e 2 / 1 22 2 / 1 11 12 12 ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 sin





   (255b) 2 / 1 33 2 / 1 11 13 13 ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 sin        (255c) 當應變很小時(2.5.5)式可以用下列近似式代替 2 11 11 11 2 1

_



  e (256a) 11 12 12 12 2 2     (256b) 11 13 13 13 2 2     (256c)

(34)

因(2.5.1)及 (2.5.2)式中Green strain僅保留到旋轉參數的二次項，所以本文中工程應變亦僅保留到旋轉參數的二次項。由(2.5.4)式及(2.5.6)式，並保留₀、₀_,_x、旋轉參數及其微分項到二次項可得[25] 2 11 1 11 11 e e e   (25.7a) xx xx xx yv zw e1 ₀ _, _, ₁_, 11 



  



) ( ) ( ) ( 2 1 , 1 , 0 , 0 , 1 2 2 2 , 1 2 11 x y z y wxx vxx z wxx v xx e 



  



















₀_,_x(yv_,_x zw_,_x) 2 12 1 12 12



  (25.7b) x y z _, ₁_, 1 12 (



)





   2 2 ( ₀ ₁_, _, , _, , , , 1 , , 1 2 2 12 xx x xx x x xx x xx x v w w v z v w z      











) , 1 , 1x



xx



 yz



₁_,_xv_,_xx 2 13 1 13 13



  (25.7c) x z y _, ₁_, 1 13 (



)





  2 2 ( ₀ ₁_, _, , _, , , , 1 , , 1 2 2 13 xx x xx x x xx x xx x v w w v y w v y      















₁_,_x



₁_,_xx) yz



₁_,_xw_,_xx

(35)

其中e₁₁k ,



₁₂k ,



₁₃k (k =1,2)代表e₁₁,



₁₂ ,



₁₃中之次項，因本研究假設k



₀ 為一常數，所以



₀_,_x 0，(2.5.7a)式中加底線___之項可以不考慮。 2.5.2 梁的應變的變分: 將(25.7)式中之e₁₁ ,₁₂ ,₁₃分別作變分可得到下式[25] 1 11 0 11 11 e e e



  (2.5.8a)











e0 ₀ w_,_xxz v_,_xxy ₁_,_xx 11     x x xx xx y z v y z y z w e 2 2 ₁_, , 1 1 0 , 0 1 , 1 11



(





)



(





)



( )





       ) ( _, _, 1 ywxx zvxx 







₀(zw_,_xx  yv_,_xx)



v_,_xy



₀_,_x ) ( _, _, , 0 , 0 ,xz x x yvx zwx w   







1 12 0 12 12



  (2.5.8b) ) ( _, , 1 0 12



x z



y



   ) 2 1 ( ) 2 ( 2 ₁_, , _, ₁_, _, ₁_, , 1 12 xx x x x x x xx v zw yz zv z w













      ) ( 2 _, _, ₀ ₁_, _, , 1x z wxx  vxx z  z xx  yzvxx 











xx x xx x x v zw w zv z ₁_, _, _, _, _, 0 2 1 2 1

_





   



₁_,_xx



z



₁_,_x 1 13 0 13 13



  (2.5.8c) ) ( _, , 1 0 13



x y



z



 

(36)

) 2 1 ( ) 2 1 ( ₁_, _, ₁_, _, 2 ₁_, _, , 1 13 



wxx



x  yvx  yz



x 



vxx y



x  ywx







₁_,_x(y2v_,_xx



w_,_xx y



₀ 



y



₁_,_xx  yzw_,_xx) xx x xx x x v yw w yv y ₁_, _, _, _, _, 0 2 1 2 1

_





   



₁_,_xx



y



₁_,_x 其中



e₁₁k ,



₁₂k ,



₁₃k (k =0,1) 代表



e₁₁,



₁₂,



₁₃ 中之 k 次項，因 0 , 0 x 



，所以(2.5.8a)式中含底線____之項可以不考慮。 (2.5.8a)式中之₀可將(2.4.26)式變分求得，並表示如下 ) ( 1 0 c t c b t b a t a L



u G



u G



u G



   (2.5.9) 2.6 元素節點內力之推導本文將元素的節點內力f 視為作用元素節點的外力。本文利用虛功原理 在元素座標上推導元素節點內力。若在元素當前的變形位置給元素節點 j ( j1,2 ) 一個虛位移



_j

{



₁_j,



₂_j,



₃_j} ，



u_j {



u_j,



v_j,



w_j} ，





1,



2





β ，則由虛功原理可知  













f q f q t V V t ext dV G dV e e E W W      



( ) ₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁₂ ₁₃ ₁₃ int (2.6.1) } , , , , {f₁ m₁ f₂ m₂ B f  (2.6.2) } , , , , {f₁ m₁ f₂ m₂ B f_      (2.6.3) } , , , , { u₁ ₁ u₂ ₂ β q



   (2.6.4) } , , , , { u₁ θ*₁ u₂ θ*₂ β q



_  (2.6.5)

(37)

其中



W_ext 為外力所作的虛功，



W_int 為內力所作的虛功，， } , _j j * j 



w



v



θ {



_{1 j},



q_為元素節點變形參數q_受虛位移



q作用引起的變量， f_j {f₁_j, f₂_j, f_{3 j}} 、 f_j {f₁_j, f₂_j, f₃_j} 、 m_j {m_{1 j},m₂_j,m₃_j} 、 } , ₃ 2 , { ₁    j j j  m m m _j m ( j = 1, 2)、B{B₁,B₂}，、f_ij f_ij為作用在元素節點 j ， 方向的內力，為作用在元素節點 i x m_ij j ，繞軸的力矩、x_i m 為作用在元素_ij 節點 j 的廣義力矩之分量，x_i B_j為作用在元素節點 j 的雙力矩(Bimoment)。 f 、 f_ 為梁元素對應於虛位移



q 、



q_ 的廣義元素節點內力為應力所作的虛功， e₁₁ dV G e E

_

_Ve₁₁



₁₁dV 

_

_V(



₁₂



₁₂ 



₁₃



₁₃)



、



₁₂、 13



為梁元素對應於虛位移



q_的虛應變，E 為楊氏模數，G為剪力模數， V 為梁元素變形前的體積。本文中梁元素的應變、位置向量都表示成節點變形參數q_的函數，為了推導上的方便，本文中將內力所作的虛功先表示成等效節點力f_對



q_所作的虛功，再由



q與



q_的關係求得元素的節點內力f 與f_的關係。因本文中e₁₁,₁₂ ,₁₃僅保留到變形參數到的二次項，所以f 保留到變形 參數的二次項，因文獻[22]提到



₁_,_x的三次項不能忽略，所以本文中亦將其保留。因本文採用共旋轉有限元素法，所以隨著元素數目的增加， 3) 2, 1, (i  i



都會趨近於零、



_i/L和



_i_,_x(i1,2,3)都會趨近於一個常數，文獻[30]中由數值例題發現當元素數目較多時可以將f 中含



_i(i1,2,3)的二次項忽略，因此本文中在計算元素的節點內力時，將f 中含



_i(i 1,2,3)的

(38)

二次項忽略，但保留



_i/L和



_i_,_x(i1,2,3)的二次項。由(2.4.4)、(2.4.5) 、(2.4.18) 及(2.5.9)式，



q與



q_的關係可以表示如下 q T q



_  _ (2.6.6)                    2 2 2 1 1 3 I 0 0 0 0 T 0 T 0 I 0 0 0 T T T 0 0 0 I T ₃ t t t t b a b  2 1 0 T 0 0 0 a b b (2.6.7)           0 0 0 0 3 2 L L j j bj



T   0 0 0 ，                      0 2 0 3 2 3 1 0 0 1 2 2 1









j j j j aj T ，( j  1,2) (2.6.8) 其中 0 為32的零矩陣將(2.6.1)式代入(2.6.6)式可得  f T f  t (2.6.9) 將(2.6.7)式代入(2.6.9)式，忽略含



_i(i1,2,3)的二次項可得     



32 32 31 31 22 22 21 21 12 11 12 f f _L m _L m _L m _L m f       (2.6.10)  21 22 21 f f f    31 32 31 f f f    11 12 11 m m m  

(39)





₀ ₂₁ 21 (1 )m m   



₀ ₃₁ 31 (1 )m m   



₀ ₂₂ 22 (1 )m m   



₀ ₃₂ 32 (1 )m m   26.1 等效節點變形內力f_的推導將(2.5.7)式及(2.5.8)式代入(2.6.1)式中，經整理後



W_int可寫成 int W



E



_Ve₁₁



e₁₁dV G



_V(



₁₂





₁₂ 



₁₃





₁₃)dV



   E L A I_p _x I_yw_xx I_zv _xx 0 2 , 2 , 2 , 1 0 0 ) 2 1 ( {







) ( _, _, _, _, , 0x Izvxvxx Iywxwxx 



) ( ₀_, _, ,x Iz xv xx v





  



w_,_x(I_y



₀_,_xw_,_xx)



₁(I_y I_z)v_,_xxw_,_xx ) 2 1 ( ₀ ₁_, , 1x Ip





x



  3 , 1 x I K







_{1 xx}_, (I_



_{1 xx}_, ) ] ) _, ₁ ( , , 0 ) 2 1 [( ₀ _, ,







v_xx  I_zv_xxI_z _xv _x  I_y I_z w_xx  



w_,_xx[(12



₀)I_yw_,_xxI_y



₀_,_xw_,_x (I_y I_z)



₁v_,_xx]}dx



 G _ab w_xx Jv_x _x) 2 1 ( {



_, _,



₁_, ) 2 1 ( _, ₁_, ,xx Jwx x v





 



₁_,_x[(12



₀)J



₁_,_x Jw_,_xv_,_xx 2 1  ] 2 1 , ,xwxx Jv  ) ( ₁2_, 0 J



x



  ) 2 1 ( _, ₁_, ,x Jwxx x v





  w_x Jv _xx _x)}dx 2 1 ( _, ₁_, ,





 (2.6.11) dA z I_y 



2 _，_I _y _dA _(2.6.12) z 



2 ， dA I 





2  Ip Iy Iz



     z y dA J {(



_,_y)2 (



_,_z)2}

三維固端梁之第二次挫屈分析

國

立

交

通

大

學

機械工程學系碩士班

碩 士 論 文