三、 古典圓形彈子球檯
3.2 圓形彈子球之週期性古典軌跡之形成
週期性軌道(periodic orbits, PO)指在一封閉的邊界裡，彈子球運動 行徑隨著空間變化並作週期性的重複軌跡，在彈子球的追跡中，週期
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圖 3.2.1 一維方形彈子球邊界
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圖 3.2.3 二維方形彈子球檯邊界
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表 3.2.1 (p,q)為有理數的二維方形彈子球檯軌跡
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圖 3.2.4 二維圓形彈子球檯邊界
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表 3.2.2 圓形彈子球檯與完全剩餘系
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當 p,q 兩者互質而比值為有理數時，整個軌跡圖形成為一封閉圖形；
若 p,q 兩者間比值為無理數(表 3.2.3)，圓周角 2π無法被α等切割，
則其位置不重覆，不形成封閉路徑，隨著碰撞次數的增加，軌跡也會 越來越密，描繪多次碰撞後的軌跡形狀如同一甜甜圈，但軌跡在中央 處仍形成一禁止區域。
週期性軌跡定理將混亂或不穩定的系統以區域性等價來修正其軌 跡為更平滑，可將某些動態系統其必要特性更清晰的表達，便於我們 分析其動力系統的特性。
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表 3.2.3 (p,q)比值為無理數
(80 hits) (160 hits) (40 hits)
(20 hits)
(10 hits) (20 hits) (40 hits) (80 hits) (160 hits)
(10 hits)
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第四章 圓柱波導與 Bessel Function
4.1 圓柱波導
波導(Wave Guide, WG)是利用光從高折射率介質到低折射率介質 的界面時，入射角超過臨界角而產生的內部全反射現象，使得光束限 制在波導內部來回反射前進(圖 4.1.1)，常見有圓柱波導與矩形波導，
光纖是波導裡最普遍被應用的一種。
波導管內電磁波分佈狀況稱為模態(Mode)，分為兩類:
(1) 橫電場波(Transverse Electric Wave, TE)
電場與傳播方向垂直，傳播方向上為磁場沒有電場，稱為 TE Wave
(2) 橫磁場波(Transverse Magnetic Wave, TM)
磁場與傳播方向垂直，傳播方向上為電場沒有磁場，稱為 TM Wave 電磁波斜向入射到波導管(WG)中，因入射角度之不同，形成內部反射 波不同的相位速度變化，造成波導管不同模態之變化。圖 4.1.2 為圓 形波導示意圖，在 X 軸及 Y 軸方向之電場或磁場分佈形狀會有週期性 變化，若在 X 軸方向出現 n 個電場最大值(不論正或負)，在 Y 軸方向 出現 m 個電場最大值，若為電磁波則此模態為 TEmn模態，電磁波模 態中最簡單的為 TE10模態[5]。
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圖 4.1.1 矩形波導管結構示意圖
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圖 4.1.2 圓形波導示意圖
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4.2 Bessel Function 之歷史
18 世紀中葉，瑞士數學家丹尼爾．伯努利在研究懸鏈振動時，提 出 Bessel function 的幾個正整數階特例，丹尼爾的叔叔雅各．伯努利 及拉格朗日等數學大師都對 Bessel function 做過研究，直到 1817 年，
德國數學家 Friedrich Bessel 研究開普勒提出的三體引力系統運動問題 時，第一次有系統地提出 Bessel function 的總體理論框架，之後便以 他的名字命名，因為是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中發
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可導出 Bessel function 的關係式。而其 Bessel function 的積分式如下:
d e e
x
Jm
02 ikr im) sin
( (4.4)
利用程式模擬 Bessel function 的二維及三維圖形(圖 4.3.1)，在二 維的圖形中，當 m 慢慢增加，其波鋒會由內慢慢擴張，在三維圖形中，
當 m=0 時，圖形中央一定為亮點；m 值增加時，中心的亮點會擴張成 亮圈，m 值越大其亮圈的半徑就越大。
Bessel function 在研究波傳播及相關靜態位能的領域很有幫助，諸 如圓柱形中波導的電磁波傳播、圓柱體中的熱傳導問題與信號處理中 的調頻合成，都有很大的助益，而其特性在本實驗中也有非常重要的 共通性。
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(a)
(b)
(c)
圖 4.3.1 (a) Bessel function 的一維圖形 (b) Bessel function 的二維圖形 (c) Bessel function 的三維圖形
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4.4 從 Bessel Function 到週期性古典軌跡
Bessel function 為圓形彈子球的本徵態，具有無限的對稱性，利用 Bessel function 當做基底，可以疊加出存在於圓形彈子球檯的古典軌 跡，藉由此種線性疊加方式找出產生週期性古典軌跡圖樣的通式。 點連成一弦，其量子化條件可寫成 km,nRsin(qπ/p)=[m(q/p)+n+(3/4)]
π。
34 波導管裡電磁波的古典軌跡，也就可回歸到數個 Bessel function 疊加 的示意圖。
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圖 4.4.1 Bessel 理論模擬圖形
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圖 5.1.1 實驗架構示意圖
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圖 5.1.2 以 35cm 光纖光導管在無活動孔徑板的原始近場圖像
39 圖像隱約的佈滿如同 Bessel function 的同心圓、中心同心圓存在不明 顯的螺線旋渦、不論 p,q 比值如何皆會於中心產生一同心圓的禁止區 的佈滿如同 Bessel function 的同心圓、軌跡於靠近圓中心較亮靠近邊 界較暗、皆於中心產生一同心圓的禁止區域。Bessel 疊加模擬圖形相
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(a)
(b)
(c)
圖 5.2.1 (a)35cm 光纖光導管實驗圖形 (b) 粒子性模擬圖形 (c) 波動 性模擬圖形
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對於實驗圖形的差異較小。比較實驗與模擬的圖形，實驗所得圖形幾 乎等同於 Bessel 疊加圖形。
接下來，固定實驗裝置的位置與角度，微幅調整凸透鏡，更換不 同的傳導光導管。分別使用三個相同材質、相同直徑而長度不同的光 導管，用近乎一樣的入射角度，拍下三個光導管所產生的相同 p,q 比 圖形。以相同 p,q 比的狀態下，觀察光在不同長度光導管所得到的傳 導結果，比較其間的圖形差異。三個光導管的長度分別為 35cm、12cm 及 5cm，得到如圖 5.2.2(a)-(c)的近場圖像，p,q 比依序為(3,1)、(5,2)、
(4,1)、(5,1)、(7,3) 。圖 5.2.2(a) 為 35cm 光導管的實驗圖形；圖 5.2.2(b) 為 12cm 光導管的實驗圖形；圖 5.2.2(c) 為 5cm 光導管的實驗圖形，
以同樣入射角的角度，5cm 長度的光在 (5,1)及(7,3)模態下軌跡只有片 段，無法呈現完整的圖像，因此僅放置(3,1)、(5,2)、(4,1)三張圖像。
比較三個不同長度的光導管所產生的成像圖形，可發現一主要最 大差異，較長光導管其圖形為完整且封閉的軌跡，較短光導管則軌跡 只有片段，其圖形不完整，且不為封閉週期，由以上實驗的結果，觀 察到較短光導管，其圖形軌跡有明顯截斷的現象，而此種現象無法以 Bessel 的波疊加方式，做清楚的模擬與解釋，接著在本論文的 5-3 節，
我們將針對此類現象，更深入的探討。
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(a)
(b)
(c)
圖 5.2.2 (a) 35cm 光導實驗圖形 (b) 12cm 光導實驗圖形 (c) 5cm 光導 實驗圖形
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與 5cm 可分別得到圖 5.3.1 (b)三個圖形，比較實驗與理論圖形，明顯 看出較小 Lz則圖形軌跡出現截斷現象，雖圖形整體可識別為(3,1)模態 圖形，但其軌跡不完整且不封閉。接著繼續使用程式模擬比對於圖 5.2.2 三種光導管的(5,2)、(4,1)與(7,3)模態圖形，分別產生圖 5.3.2 至 圖 5.3.4 的模擬圖形，比對實驗圖形與理論模擬結果，皆非常符合。
由以上結果可知，當適當光導管長度時，可以使運動的軌跡成像 為一條封閉的週期圖形；但當光導管長度較短時，則成像為不完整且 不封閉的圖形；反之當光導管長度較長時，成像為多條封閉週期所疊 加的圖形，因為光導管較長，其運形軌跡較多次的疊加。由理論模擬 的結果所得的圖形與實驗圖形相比較非常吻合。
在此次的實驗，光傳導而產生的圖形，為明顯的波動性質，而利 用不同長度光導管，可觀察到圖形的截斷現象，而此現象只能以粒子 性解釋，再次的驗證，光同時具有波動與粒子二重性。
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(a)
(b)
圖 5.3.1 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(3,1)模態 (b) 理論模擬產生的相對(3,1)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.2 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(5,2)模態 (b) 理論模擬產生的相對(5,2)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.3 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(4,1)模態 (b) 理論模擬產生的相對(4,1)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.4 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(7,3)模態 (b) 理論模擬產生的相對(7,3)模態
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第六章 結論與未來展望
利用光經由光導管傳導的結果，成像圖形呈現光的波動特性，改 變光導管的長度，可觀察到截斷的圖形，而此現象只能以粒子特性的 理論模擬，這樣的實驗架構建立起古典與量子力學的關聯性。之後希 望能藉由改變其它實驗條件，以產生更多有趣的現象，如同此次實驗 所得近場到遠場的圖形(圖 6.1.1 及 6.1.2)，其成像的變化過程中，軌 跡以螺旋狀慢慢往外擴散，最後形成有數個亮點的螺旋光圈，這些現 象經由更多的參數調整與條件改變，加以配合理論模擬，可更深入的 比較與探討，期望之後得到更條理化的解釋且令人驚奇的結果。
另一方面，除了圓柱型的光導管，可利用不同形狀的光導管，觀 察不同邊界條件所傳導出不同的圖斑成像。近期，也有數個期刊發表 探討關於一樣入射角度而分別利用左旋與右旋的雷射光，所產生的成 像差異，這些有趣的現象，都是以後能在更長遠研究的方向。
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(a)
(b)
圖 6.1.1 (a)以 35cm 光導實驗所得(5,2)模態圖形 (b) 光束追跡理論模 擬圖形
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(a)
(b)
圖 6.1.2 (a)以 35cm 光導實驗所得(25,6)模態圖形 (b) 光束追跡理論模 擬圖形
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References
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Waveguide.
[2] http://profleeclub.ep.nctu.edu.tw/~wilee/proflee4/public/articles/130/index.phtm l.
[3] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E7%B2%92%E4%BA%8C%E8%
B1%A1%E6%80%A7.
[4] 李金航, 自然科學中的數學概念, 碩士論文, 國立交通大學理學院應用科 技學程, 98年.
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Waveguide_(optics).
[6] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E5%
87%BD%E6%95%B0.
[7] 李渝龍, 利用電腦輔助視覺化研究準晶格圖樣, 碩士論文, 國立交通大學理學院 應用科技學程.