一、 簡介/序言
1.2 論文組織
第二章概述電子的波粒二重性及多樣的圖斑，第三章先探討 基本數論的數個概念，由直線方 程式、同餘、有理數、無理 數 、 及完全剩餘系帶入圓形彈子球檯 的古典軌跡，第四章的開始 先 介 紹波導管及 Bessel function，再由 Bessel function 的疊加到圓形彈 子球檯的古典軌跡，第五章討論 實驗所觀察到的現象，以綠 光 雷 射投射於光導管中，分別傳導出 不同的週期性軌跡，再以實 驗 於 三種不同長度的光導管，比較其 間的差異，也更深入的探討 與 比 較其各種模態與現象間的差異， 第六章為結論及未來可能的 發 展 方向。
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第二章 光與粒子的雙重性及圖斑形成
一切物質都有類波的屬性，量子物理的中心理論即是非常微小的 空間中（如原子），物質的粒子（如電子）會同時兼具粒子與波的特性。
探討光是波還是粒子，從 1704 年 Newton 提出粒子性，於 1801 年 Thomas Young 雙狹縫實驗觀察到干涉條紋證實光的波動性，到 1905 年 Einstein 光電效應引入光量子概念展示出光的粒子性，此時開始意
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如何形成波前，直線傳播，但該理論於某些方面無法突破，加上不敵 Newton 的學術光環，當時仍以光為粒子，到了 1801 年 Thomas Young 以雙狹縫實驗觀察到光的干涉條紋，人們才注意到光的確實有波動性 電效應示意圖，1905 年 Einstein 引用 Planck 量子原理推算出光電效 應。Planck 發現光的能量並非連續性，並進一步假設輻射能量為少量 不停釋出的量子，每一量子有能量 E，而 E 取決於頻率，量子能量公
Einstein 提出光必定由波長有關的能量單位所組成，即為光子，此現 象說明光的粒子性，是光波的粒子，也就是光波具有粒子的性質，光 量子的個數與電磁波振幅(即電磁場強度)平方成正比。
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圖 2.1.1 雙狹縫實驗架構示意圖
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圖 2.1.2 電子的雙狹縫實驗產生的干涉條紋
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圖 2.1.3 光電效應示意圖
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從 Thomas Young 的雙狹縫實驗證實光的波動性，與 Einstein 的光 電效應證明光的粒子性，兩者充分說明光具有粒子特性也具有波動特 性，即屬於波動的電磁波具有粒子特性，而屬於粒子的電子也有波動 特性。1924 年，De Broglie 提出物質波，每種物質都有波粒二象性，
一個物質粒子也具有波動性，其能量與動量取決於物質波的頻率與波 有趣。十九世紀初期，克拉德尼(Ernst Chladni)將細砂均勻撒在一平版 上，然後以小提琴的弓在平板邊緣拉彈，使平板產生特定頻率的振動，
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圖 2.2.1 大自然圖形
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圖 2.2.2 Faraday wave
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可觀察到細砂會停留在沒有振動的結線上，產生共振圖案(圖 2.2.3)，
當平板具有均勻的密度且對稱的形狀，則共振圖案會隨著變化，呈現 各種不同的對稱圖案。
利用光學的方式可觀察到一樣的週期性圖斑(圖 2.2.4)，本論文使 用雷射經由光導管投射出週期性軌跡的圖斑，針對這些圖斑做深入的 探討，藉以雷射的同調性、穩定性與可調性，便於控制及重建此類的 圖斑，使我們更易於研究這些複雜且多變的圖形。
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圖 2.2.3 Chladni pattern
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圖 2.2.4 光學圖斑
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圖 3.1.1 直角坐標系上的直線
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3.2 圓形彈子球之週期性古典軌跡之形成
週期性軌道(periodic orbits, PO)指在一封閉的邊界裡，彈子球運動 行徑隨著空間變化並作週期性的重複軌跡，在彈子球的追跡中，週期
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圖 3.2.1 一維方形彈子球邊界
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圖 3.2.3 二維方形彈子球檯邊界
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表 3.2.1 (p,q)為有理數的二維方形彈子球檯軌跡
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圖 3.2.4 二維圓形彈子球檯邊界
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表 3.2.2 圓形彈子球檯與完全剩餘系
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當 p,q 兩者互質而比值為有理數時，整個軌跡圖形成為一封閉圖形；
若 p,q 兩者間比值為無理數(表 3.2.3)，圓周角 2π無法被α等切割，
則其位置不重覆，不形成封閉路徑，隨著碰撞次數的增加，軌跡也會 越來越密，描繪多次碰撞後的軌跡形狀如同一甜甜圈，但軌跡在中央 處仍形成一禁止區域。
週期性軌跡定理將混亂或不穩定的系統以區域性等價來修正其軌 跡為更平滑，可將某些動態系統其必要特性更清晰的表達，便於我們 分析其動力系統的特性。
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表 3.2.3 (p,q)比值為無理數
(80 hits) (160 hits) (40 hits)
(20 hits)
(10 hits) (20 hits) (40 hits) (80 hits) (160 hits)
(10 hits)
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第四章 圓柱波導與 Bessel Function
4.1 圓柱波導
波導(Wave Guide, WG)是利用光從高折射率介質到低折射率介質 的界面時，入射角超過臨界角而產生的內部全反射現象，使得光束限 制在波導內部來回反射前進(圖 4.1.1)，常見有圓柱波導與矩形波導，
光纖是波導裡最普遍被應用的一種。
波導管內電磁波分佈狀況稱為模態(Mode)，分為兩類:
(1) 橫電場波(Transverse Electric Wave, TE)
電場與傳播方向垂直，傳播方向上為磁場沒有電場，稱為 TE Wave
(2) 橫磁場波(Transverse Magnetic Wave, TM)
磁場與傳播方向垂直，傳播方向上為電場沒有磁場，稱為 TM Wave 電磁波斜向入射到波導管(WG)中，因入射角度之不同，形成內部反射 波不同的相位速度變化，造成波導管不同模態之變化。圖 4.1.2 為圓 形波導示意圖，在 X 軸及 Y 軸方向之電場或磁場分佈形狀會有週期性 變化，若在 X 軸方向出現 n 個電場最大值(不論正或負)，在 Y 軸方向 出現 m 個電場最大值，若為電磁波則此模態為 TEmn模態，電磁波模 態中最簡單的為 TE10模態[5]。
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圖 4.1.1 矩形波導管結構示意圖
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圖 4.1.2 圓形波導示意圖
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4.2 Bessel Function 之歷史
18 世紀中葉，瑞士數學家丹尼爾．伯努利在研究懸鏈振動時，提 出 Bessel function 的幾個正整數階特例，丹尼爾的叔叔雅各．伯努利 及拉格朗日等數學大師都對 Bessel function 做過研究，直到 1817 年，
德國數學家 Friedrich Bessel 研究開普勒提出的三體引力系統運動問題 時，第一次有系統地提出 Bessel function 的總體理論框架，之後便以 他的名字命名，因為是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中發
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可導出 Bessel function 的關係式。而其 Bessel function 的積分式如下:
d e e
x
Jm
02 ikr im) sin
( (4.4)
利用程式模擬 Bessel function 的二維及三維圖形(圖 4.3.1)，在二 維的圖形中，當 m 慢慢增加，其波鋒會由內慢慢擴張，在三維圖形中，
當 m=0 時，圖形中央一定為亮點；m 值增加時，中心的亮點會擴張成 亮圈，m 值越大其亮圈的半徑就越大。
Bessel function 在研究波傳播及相關靜態位能的領域很有幫助，諸 如圓柱形中波導的電磁波傳播、圓柱體中的熱傳導問題與信號處理中 的調頻合成，都有很大的助益，而其特性在本實驗中也有非常重要的 共通性。
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(a)
(b)
(c)
圖 4.3.1 (a) Bessel function 的一維圖形 (b) Bessel function 的二維圖形 (c) Bessel function 的三維圖形
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4.4 從 Bessel Function 到週期性古典軌跡
Bessel function 為圓形彈子球的本徵態，具有無限的對稱性，利用 Bessel function 當做基底，可以疊加出存在於圓形彈子球檯的古典軌 跡，藉由此種線性疊加方式找出產生週期性古典軌跡圖樣的通式。 點連成一弦，其量子化條件可寫成 km,nRsin(qπ/p)=[m(q/p)+n+(3/4)]
π。
34 波導管裡電磁波的古典軌跡，也就可回歸到數個 Bessel function 疊加 的示意圖。
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圖 4.4.1 Bessel 理論模擬圖形
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圖 5.1.1 實驗架構示意圖
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圖 5.1.2 以 35cm 光纖光導管在無活動孔徑板的原始近場圖像
39 圖像隱約的佈滿如同 Bessel function 的同心圓、中心同心圓存在不明 顯的螺線旋渦、不論 p,q 比值如何皆會於中心產生一同心圓的禁止區 的佈滿如同 Bessel function 的同心圓、軌跡於靠近圓中心較亮靠近邊 界較暗、皆於中心產生一同心圓的禁止區域。Bessel 疊加模擬圖形相
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(a)
(b)
(c)
圖 5.2.1 (a)35cm 光纖光導管實驗圖形 (b) 粒子性模擬圖形 (c) 波動 性模擬圖形
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對於實驗圖形的差異較小。比較實驗與模擬的圖形，實驗所得圖形幾 乎等同於 Bessel 疊加圖形。
接下來，固定實驗裝置的位置與角度，微幅調整凸透鏡，更換不 同的傳導光導管。分別使用三個相同材質、相同直徑而長度不同的光 導管，用近乎一樣的入射角度，拍下三個光導管所產生的相同 p,q 比 圖形。以相同 p,q 比的狀態下，觀察光在不同長度光導管所得到的傳 導結果，比較其間的圖形差異。三個光導管的長度分別為 35cm、12cm 及 5cm，得到如圖 5.2.2(a)-(c)的近場圖像，p,q 比依序為(3,1)、(5,2)、
(4,1)、(5,1)、(7,3) 。圖 5.2.2(a) 為 35cm 光導管的實驗圖形；圖 5.2.2(b) 為 12cm 光導管的實驗圖形；圖 5.2.2(c) 為 5cm 光導管的實驗圖形，
以同樣入射角的角度，5cm 長度的光在 (5,1)及(7,3)模態下軌跡只有片 段，無法呈現完整的圖像，因此僅放置(3,1)、(5,2)、(4,1)三張圖像。
比較三個不同長度的光導管所產生的成像圖形，可發現一主要最 大差異，較長光導管其圖形為完整且封閉的軌跡，較短光導管則軌跡 只有片段，其圖形不完整，且不為封閉週期，由以上實驗的結果，觀 察到較短光導管，其圖形軌跡有明顯截斷的現象，而此種現象無法以 Bessel 的波疊加方式，做清楚的模擬與解釋，接著在本論文的 5-3 節，
我們將針對此類現象，更深入的探討。
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(a)
(b)
(c)
圖 5.2.2 (a) 35cm 光導實驗圖形 (b) 12cm 光導實驗圖形 (c) 5cm 光導 實驗圖形
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與 5cm 可分別得到圖 5.3.1 (b)三個圖形，比較實驗與理論圖形，明顯 看出較小 Lz則圖形軌跡出現截斷現象，雖圖形整體可識別為(3,1)模態 圖形，但其軌跡不完整且不封閉。接著繼續使用程式模擬比對於圖 5.2.2 三種光導管的(5,2)、(4,1)與(7,3)模態圖形，分別產生圖 5.3.2 至 圖 5.3.4 的模擬圖形，比對實驗圖形與理論模擬結果，皆非常符合。
由以上結果可知，當適當光導管長度時，可以使運動的軌跡成像 為一條封閉的週期圖形；但當光導管長度較短時，則成像為不完整且 不封閉的圖形；反之當光導管長度較長時，成像為多條封閉週期所疊 加的圖形，因為光導管較長，其運形軌跡較多次的疊加。由理論模擬 的結果所得的圖形與實驗圖形相比較非常吻合。
在此次的實驗，光傳導而產生的圖形，為明顯的波動性質，而利 用不同長度光導管，可觀察到圖形的截斷現象，而此現象只能以粒子 性解釋，再次的驗證，光同時具有波動與粒子二重性。
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(a)
(b)
圖 5.3.1 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(3,1)模態 (b) 理論模擬產生的相對(3,1)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.2 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(5,2)模態 (b) 理論模擬產生的相對(5,2)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.3 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(4,1)模態 (b) 理論模擬產生的相對(4,1)模態
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(a)
(b)
圖 5.3.4 (a) 依序為 35cm、12cm 及 5cm 光導管實驗所得(7,3)模態 (b) 理論模擬產生的相對(7,3)模態
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第六章 結論與未來展望
利用光經由光導管傳導的結果，成像圖形呈現光的波動特性，改 變光導管的長度，可觀察到截斷的圖形，而此現象只能以粒子特性的 理論模擬，這樣的實驗架構建立起古典與量子力學的關聯性。之後希
利用光經由光導管傳導的結果，成像圖形呈現光的波動特性，改 變光導管的長度，可觀察到截斷的圖形，而此現象只能以粒子特性的 理論模擬，這樣的實驗架構建立起古典與量子力學的關聯性。之後希