二、 週期性運動
2.2. 古典彈子球台
2.2.2 圓形彈子球檯
圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同，具有點 對稱的性質，故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質。
若我們改變邊界條件，改以一個圓形的彈子球檯，探討彈子球的軌 跡。則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞，即每次的碰撞不會損失能 量，可以簡單的幾何證明，彈子球在不同的初始條件下，在經過連續的 碰撞入射角及反射角維持一個定值。每次的碰撞距離也是固定的。將碰 撞距離視為圓中的一弦，可發現，每弦的圓心角α 為定值，如圖 2-7 表 示。
在此命 2 p
q 。可將 p 視為將圓心均分為 p 等分，也就是在圓周
上打上 p 個點，而 q 代表每隔幾個點畫上連線(圖 2-8)。當 q=1 時隨著 p 的增加，可以發現，畫成一個多邊形，而且其圖形越接近圓形的邊界。
引入完全剩餘系的性質，我們將圓型彈子球台的軌跡視為一個以 p 為模 的剩餘系，而所有的碰撞點組成一個完全剩餘系，則p q, 兩個為互質的 整數時，代入不同的 q 仍會是一個完全剩餘系，表現在圖形上則仍是一 個封閉且完整的路徑。
我們也可以計算當給定一個固定 q 值時，有幾種圖形的呈現，在此 我們引入尤拉函數(所謂「尤拉函數」是指設 p 為自然數 , 則( p)為「不 大於 p 與 p 互質的自然數之個數」)，計算在小於 q 的情況下，有幾個 p
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值被允許，在此因為碰撞點排列可有順時鐘、逆時鐘兩個方向，然在圖 形表現在並沒有差別。故可得n( ) 2p ，以 p=11 為例，n
11 1 2 5
，計有5 種分類。
α α
α α
圖2-7 二維圓形彈子球台
(5,1) (11,1) (4,1)
(3,1) (1,1)
(11,4) (11,5) (11,3)
(11,2) (11,1)
(5,1) (11,1) (4,1)
(3,1)
(1,1) (3,1) (4,1) (5,1) (11,1) (1,1)
(11,4) (11,5) (11,3)
(11,2)
(11,1) (11,2) (11,3) (11,4) (11,5) (11,1)
圖2-8 圓形彈子球檯軌跡
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若 p,q 的比值為無理數時(圖 2-9)，則會發現，隨著碰撞次數的增加 軌跡也會越來越密，且不形成封閉的路徑。
圖2-9 圓形彈子球檯(無理數 2:1)
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第三章 基本定義與原理
3.1 同餘與完全剩餘系
3.1.1 同餘的概念
同餘這個概念是由高斯所提出的，我們先從幾個簡單的除式問題出 發，藉此以了解什麼叫同餘。
例1：一群軍士 45 人，以一至九為一班依序報數，若某軍士番號為 28 則答數為何多少？
因每數到九就重新循環，28÷9=3…1，或寫成 28=9×3+1，所以答數是 1。
例2：若答數為 1 者為班長，則除了 28 號外，還有那些人是班長？
由第一題我們知道，計有：{1、10、19、33}
一 二 三 四 五 六 七 八 九 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
表3.1 同餘在答數上的表示
在日常生活中，類似的問題很多，例如：今天是星期一、過了15 日是 星期幾？早上八點上課，一節課45 分鐘，上了四節課是幾點幾分？這
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些問題本質上都是將總數除了一個固定的除數，求餘數的問題。因此產 生了同餘的概念，以第二題為例：{1、10、19、28、33}。這些數的共 同點為除於9 的餘數相同，皆為 1。故，同餘其實就是餘數相同的數。
不只是同餘的概念，高斯還引進了新的符號，讓許多計算有更方便 的方式，而同餘的定義為：
給定一個正整數m，如果用 m 去除 a，b 所得的餘數相同，則稱 a 與 b 對模m 同餘，記作 ，並讀作 a 同餘 b，模 m。
例： 、 。
則 ，若 a 與 b 對模 m 同餘，設 ， 得， ， 。
反之，若 ，設 ，bm q 2 r2，0r1 , r2 m 1， 則有m r| 1 r2，因|r1 r2 | m 1，故r1 r2 0，即r1 r2 。
於是得到同餘的另一等價定義。
3.1.2 完全剩餘系的性質
完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念，我們也可以從一 個簡單的例子了解完全剩餘系：
mod
a b m
10 1 3 7 3
0 3 7
10 3 mod 7 a m q 1 r b m q 2 r
1 2
a b m q q
m a | b
1 1
am q r
| m a b
15
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
表3.2 完全剩餘系在月曆上的表示
這是某個月份的日曆，我們可以將一個月分，以7 天一周作為一個 單位，可以分成數周。在表內我們可以發現。周日的日期分別為{4、11、
18、25}號，都對模 7 同餘，餘數為 4，則我們將{4、11、18、25}，稱 作模7 的一個剩餘類，即屬於周日為一個剩餘類。一周有七天，故可分 為周日、周一、周二、周三、周四、周五、周六7 個剩餘類。再將周日 至周六，各挑一個數字出來，例：{4、5、6、7、8、9、10}，則這些整 數將涵蓋周日至周六每一類。則，這樣的整數集合，我們即稱作完全剩 餘系。由此可知，若一個以m 正整數為模的完全剩餘系，具有下列特性：
(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素。
(2)完全剩餘系的元素，兩兩不同餘。
(3) ，x 為 m 的完全剩餘系，則 也是 m 的完全剩餘系。
例： ，則 為同一類， 成為一個完全剩 餘系。
a m,
1 axb7
m
1,8,15, 22 0,1, 2,3, 4,5,6
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若 ， 則發現
各剩餘類的排列不同，但仍為一個完全剩餘系。
3.2 失真效應
又稱為膺頻效應，早期用於通訊傳輸時，信號經取樣後，頻譜發生 重疊的現象。在統計、信號處理及相關科學中，當抽樣時，失真現象導 致不同的連續信號變得難以區分，故原本的信號無法被真實的重建。
3.2.1 時間取樣頻率不足所造成的失真效應
若原有一個頻率6Hz的波，當時間取樣點數不足時(例如：時間取樣 頻率為5Hz時)，重建的波形會被誤認為是頻率為 1Hz的波，
如圖3-1 所示。
圖3-1 時間取樣不足所造成的失真效應
聲音的擷取、收錄即是如此，當我們透過話筒時，由於電話的取樣頻率 約為10KHz，所以我們聽到的聲音仍然跟原音有落差，但是，當我們聽
2 0,1, 2,3, 4,5, 6 3 3,5, 7,9,11,13,15 3,5,0, 2, 4,6,1 3
b 2
a
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MP3 時，由於 MP3 的取樣頻率約為 40KHz，所以我們聽到的聲音跟原 音相似度高。取樣時我們要考慮取樣的頻率，為了達到不失真的效果，
經過科學家的證明，只要取樣頻率大於原始訊號頻率的兩倍以上，即可 減低錯誤，達到和原始聲音極真實的音訊。舉例來說，人類聽覺頻率範 圍大約是20KHz，因此我們就要以 40KHz 的取樣頻率來對聲音作取樣。
3.2.2 空間取樣頻率不足所造成的失真效應
除了在時間取樣的方式不當會造成失真效應之外，空間取樣的精細 度不夠時，亦會造成失真效應，例如：影像失真即為此例，當空間取樣 頻率不足時，會造成圖片扭曲或鋸齒狀邊緣，如圖3-2 與圖 3-3。
圖3-2 當格子畫的不夠細時，邊緣會呈現鋸齒狀
圖3-3 左圖為 622 × 756 pixels，右圖為空間的 aliasing
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3.3 渾沌現象
渾沌現象起因於物體不斷以某種規則複製前一階段的運動狀態，而 產生無法預測的隨機效果。所謂「差之毫釐，失之千里」正是此一現象 的最佳註解。渾沌現象發生於易變動的物體或系統，該物體在行動之初 極為單純，但經過一定規則的連續變動之後，卻產生始料所未及的後 果，也就是渾沌狀態。
渾沌現象是指一個週期性運動系統軌跡呈現不規則重現的狀態，這 個運動的起始條件深深地影響著這個運動系統最終的運動軌跡。我們可 以用一個最簡單的一維非線性圖the logistic map 來解釋這個現象。
首先，先給訂一個集合 V，目標是藉由集合 V 繪製出函數 f。當以 下的條件成立時，V 將會是渾沌的：
函數f 對於起始條件是敏感的
函數f 是 topologically transitive
V 裡面的週期函數點是密集的 一維圖形的定義：
一個集合V(從實數 0~1) 所以 0≦xn≦1
此一維圖形的軌跡函數xn+1= f(xn)
線性圖形：xn+1=a xn +b ，其中，a、b 為常數，線性圖形唯一解。
非線性圖形：the logistic map ，可用幾何學中的函數 f(x)= μx(1-x) 來表
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示，其中0≦x≦1 。
選定參數μ、x0 ，按照下列步驟畫出 the logistic map：
步驟一、利用圖上的x0，垂直往上找出相對應的f(x)函數的值。
步驟二、利用f(x)函數的值，水平往左對應出 y=x 的值。
步驟三、在利用新找到的x，垂直往上找出相對應的 f(x)函數的值。
步驟四、重複步驟一、二、三。
以 μ=0.8、x0=0.7 為例，當 x0=0.7 代入函數 f(x)= μx(1-x)時，得到 f(x0)=0.8*0.7(1-0.7)=0.168，將 f(x0) =0.168 當作下一個函數的起始條件，
也就是x1= f(x0) =0.168 再次帶入函數 f(x)= μx(1-x) ，不斷疊代。由圖 3-4 可以發現，疊代過後趨於收斂為某一數值，而不是混亂。
y=x
f(x)
0 0.5 1
x
ny=x
f(x)
0 0.5 1
y=x
f(x)
0 0.5 1
x
nx
n圖3-4 左圖為 he logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map
除此之外，當 μ=2.8、x0=0.2 時候，其結果如圖 3-5 所示，如同圖 3-4 一 樣是穩定在某一個數值。
20
x
f(x)
0 0. 1
5
x
nx
f(x)
0 0. 1
5
x
f(x)
0 0. 1
5
x
nx
n圖3-5 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map
但是當μ=3.4、x0=0.2 時候，由圖 3-6 可以發現，疊代過程中，不再是趨 於一個定值，反而是兩個數值，已經漸漸開始變亂。
0 0.5 1
1
0 0.5 1
1
x
n0 0.5 1
1
0 0.5 1
1
x
nx
n圖3-6 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map
最後當μ=4.0、x0=0.2 時候，透過不斷的疊代，每經過一次計算，其數 值皆不一樣，不會穩定或收斂在同一數值上，反而呈現凌亂的面貌，這 時候即可以稱為渾沌的情況，如下圖3-7。
21
0 0.5 1
1
0 0.5 1
1
x
n0 0.5 1
1
0 0.5 1
1
x
nx
n圖3-7 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map
將上述的情況整合如下圖 3-8 表示，可以發現當 μ 改變微小差異時 候，透過不斷的疊代，其結果會有著很大的差異，有時為收斂於某一數 值，有時卻會很凌亂，這種現象及稱為渾沌現象。
圖3-8 為固定 x0時，改變μ 的 the logistic map
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第四章 蛇擺 Pendulum Waves
早在1991 年﹐Richard Berg 發表一篇期刊論文：如何建立一組非 耦合的單擺 ”pendulum waves”，這個實驗的圖案令人相當驚艷，而這 個圖案似乎有它的週期存在！這個理論亦在The Video Encyclopedia of Physics Demonstrations 中出現。
這一組非耦合的單擺在擺動時，會出現像在運動中的橫波一般的 美麗圖案，而這個美麗的圖案讓我們發現了它的循環性之外，也經由 數學的連續方程式之推導，發現了失真現象。
4.1 蛇擺的組成
蛇擺的裝置是由數個非耦合單擺所組成，擺長最長的單擺設為 L，這些單擺被設計為：當第一個單擺(擺長最長的單擺)擺動整數 N 次時，下一個單擺(擺長次長的單擺)恰擺動 N+1 次，再下一個單擺(擺 長第三長的單擺)擺動 N+2 次…以此類推；當所有的單擺都回到起始 位置，這段時間稱為一個完整運動週期「Γ」。
若由上方觀察所有的單擺，發生了什麼現象？首先單擺組呈現像 是波浪，像是扭動的蛇，接著似乎變成混亂的擺動，沒多久，像是分 二邊擺動，奇數與偶數的單擺各佔一邊，最後則又會變回像是扭動的 蛇，等到「Γ」時間後，所有的單擺又再度會到起始位置，就這樣周
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而復始的擺動著。
蛇擺設置的示意圖如下圖3-1 表示，若每個單擺的橫軸距離設為 d，則單擺的橫向位置可標示為 xn= nd，其中 n 為從 0 開始的整數，
而每個單擺必須在Γ 時間內完成 N+n 次的擺動，所以每個單擺的擺 動週期可以表示為Tn = Γ/(N+n)，擺動頻率可以表示為 fn= (N+n)/ Γ。
故，每個單擺的角頻率為 ωn=2π/ Tn =2π(N+n)/ Γ，將 xn= nd 代入，
可得ωn=2π(N+( xn/d))/ Γ 。
0 d 2d 3d……… ..x軸
L
(a) (b)
圖4-1 蛇擺示意圖 (a)裝置設置圖 (b)整體示意圖
4.2 蛇擺的失真現象
利用波函數y(x,t)=Acos(kx+ωt+Φ) 模擬 pendula 擺動圖型。
其中，A：振幅(amplitude) 、
k：波數(wave number)= 2π/λ、
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ω：角頻率(angular frequency )= 2π/ T 、 Φ：相位差(phase)、
y：在位置為 x ，時間為 t 時之位移(displacement)。
當時間 t 為零時，所有之單擺一起在同一個相位出發，所以 Φ=0；
而λ、T 為固定值，所以 k、ω 也固定。將 ωn=2π(N+( xn/d))/ Γ 代回波 函數，得到：
y(x,t) A cos( t n ) A cos(0 ( )t k t xn) (4.1) 其中 0 2 N ，k t( ) 2 t
d
，又 2 k ，所以可以得到
( ) 2 t d 2t d t 。
讓我們利用數學軟體 Mathcad 來模擬單擺之擺動情形，如圖 3-2 所示，其中紅點代表單擺的擺錘位置，這些圖為從上往下看之俯視
讓我們利用數學軟體 Mathcad 來模擬單擺之擺動情形，如圖 3-2 所示，其中紅點代表單擺的擺錘位置，這些圖為從上往下看之俯視