一、 緒論
1.1. 研究動機
第一章緒論
1.1. 研究動機
我們生活的世界存在著許多周而復始的週期性運動，其中簡諧振 盪可能是自然界中最普遍地運動形式：大海的波濤起伏、鐘擺的擺 動、心臟的跳動、樹梢隨著微風輕輕搖晃…無所不在的簡諧振盪！小 到微觀世界中的電子團繞原子核的運動，大到太空中地球和其他行星 繞太陽的運動，都是各種形式的簡諧振盪現象。
然而，在科技的日新月異發展之下，我們的 MP3、手機、示波 器、顯示器、相機…不斷的標榜高畫數、低失真。那麼，單擺、彈簧 擺是簡諧振盪中最基礎而重要的運動模式，我們能否以單擺這個簡諧 振盪中最基礎而重要的運動模式描述失真的概念，並且藉由 MathCad 電腦軟描繪出單擺的運動軌跡，更能清楚地視覺化筆者想傳達的概 念。
渾沌現象又稱蝴蝶效應，蝴蝶效應是在 1972 年，美國的氣象學 家 Lorenz 提出。90 年代以後的科學家將其現象應用在科學上才說成
「混沌理論」，曾經氣象學家 Edward Lorenz 發現，簡單的熱對流現 象居然能引起令人無法想像的氣象變化，產生所謂的「蝴蝶效應」。
亦即某地下大雪，經追根究底卻發現是受到幾個月前遠在異地的蝴蝶 拍打翅膀產生氣流所造成的。一九六零年代，美國數學家 Stephen
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Smale 發現，某些物體的行徑經過某種規則性的變化之後，隨後的發 展並無一定的軌跡可尋，呈現失序的混沌狀態。
本論文主要有兩大部分，一部分為研究透過一連串非耦合的單擺 形成一個的擺動系統，利用數學軟體不但給予視覺化的呈現，並且藉 由這個擺動系統，可以分析研究失真的現象，讓人可以清楚了解失真 的原理。另一部分為利用彈簧與單擺的結合，透過數值運算，我們可 以描繪出彈簧擺的軌跡，藉由不同參數的改變，可以觀察其軌跡的變 化，並且利用傅立葉分析，給予定量的討論。
1.2. 論文架構
本論文第二章從週期性運動出發，首先介紹簡諧振盪與單 擺、古典彈子球台等概念、第三章介紹同餘與完全剩餘系、失真 效應，並探討有關渾沌現象的涵意。第四章介紹蛇擺的組成、針 對蛇擺的失真效應與分群現象作探討。第五章討論彈簧擺的二維 運動與三維運動、並利用有限差分法和傅立葉轉換等技巧，找出 彈簧擺運動軌跡的規律與渾沌。第六章為心得及可能的發展方向。
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第二章 週期性運動
週期性運動對於科學始終是一個基礎又重要的問題：虎克發現虎克 定律：一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比。克卜勒寫 下了宇宙的秘密：敘述天體是循一個軌道的週期性運動。牛頓則發現了 萬有引力：小至蘋果大至星體，都依循著相同的規律，成功地解釋天體 間的運動狀態，更造成當時極大的振奮。
週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbits,PO) 形成特定的曲線，其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形，最為人們熟悉。在 本論文中將藉由彈子球檯及李賽羅的曲線圖形，探討渾沌與週期性軌道 的關係。
2.1. 簡諧運動與單擺
2.1.1 簡諧運動
簡諧運動指得是一個"簡"單而具"諧"和性的運動，物理系統會在一定 範圍內已某種規則不斷地來回。然而自然界很多系統只要稍微偏離平衡 狀態都是呈簡諧運動型式，如：小角度的單擺風輕吹時，樹葉呈簡諧運 動；風稍大時，樹葉不再是簡諧運動，但樹枝仍會呈簡諧運動。地震時，
地表也是呈現簡諧運動，還有水面的漣波...等也屬於簡諧運動。
要滿足這樣運動形式的條件為：物理系統的加速度和其位移的負數成正
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比，也就是a kx或x kx，唯有加速度和位移成正比，且方向相反時，
才能讓系統在位移的方向上被迫減速至零而產生折返以形成簡諧運動。
等速率圓周運動在徑向上的投影滿足簡諧運動，故我們可由等速率 圓周運動來推知簡諧運動的運動關係。最簡單的範例是彈簧繫物的運 動，物體的位移和受力成正比，但是方向相反，因此其運動就是簡諧運 動，其解正好是正弦波。
-a/2 a/2
θ
-a/2 a/2
θ
-a/2 a/2
θ
圖2-1 簡諧振盪
可知根據虎克定律F kx又F ma md x22
dt 故簡諧運動的運動關係式為：
2 2
d x k
dt mx (2.1)
所以滿足虎克定律的彈簧： F kx，亦為簡諧運動，其對應
m
k
因此彈簧的運動週期
k
T m
2
2 。
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2.1.2 單擺
在偏角不太大的情況（一般認為小於10°）下，單擺的運動可以近似 地視為簡諧運動。理論上，單擺是一個擺錘體積為零、而質量極大的質 點，並以一質量為零之擺線懸吊。如圖2-2所示，有一單擺懸掛於天花板 上一點，擺長為l，擺錘質量為m，對通過O點的鉛垂線作往復擺動。
圖2-2 單擺受力示意圖
究單擺而言，由於力矩可表示為力與其垂直力臂的乘機、或轉動慣量與 角加速度的乘積可以寫成 I，所以 mgsin
l m l2 d22dt
，因此可以
得到其動力學方程式如下：
2
2 sin
d g
dt l
(2.2)
當 1時候，sin
，方程式可以近似為：2 2
d g
dt l
(2.3)
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由(2.3)式與(2.1)比較，可以發現當單擺的角度較小時，即可視為簡諧運 動，其擺動的周期T 2 m
k
，
把l
k mg帶入，得到T 2 l
g
故，單
擺的週期僅跟擺長與重力加速度有關，而與擺的質量無關。
2.2 古典彈子球台
彈子球的模型在物理及化學中，應用的非常早，約在 16、17 世紀，
人們就有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念。而後原子、分子的 概念漸為人所接受。對於氣體溫度與壓力、體積間變化的也越發的清 楚。而此時的熱力學仍停留在觀察的階段，並沒有辦法提出具有預測 性、完整性的理論解釋。然而伯努力(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於 壁面的碰撞。克勞修斯引入統計方法、提出自由度及平均自由徑的觀 念，麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的速度分佈，將一個巨觀的系 統，視為一群粒子的整體表現。成功的解釋粒子動能、溫度與壓力之間 的關係。
由此延伸發展了：固、液、氣態變化的粒子模型，物質內電阻係數 的粒子模型，粒子能量分佈的探討。至此，大量統計技巧引入，由微觀 的粒子出發，探討眾多複雜系統的科學現象，促發了統計力學等領域的 發展。
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(設x a 2, t0時)，在第一週期，可以兩個方程式表示：
1 , 0
2 2
3 , 2 2 x vt a t T
x vt a T t T
(2.4) 一個二維的彈子球檯圖 2-5，則可以視為 x、y 二個方向垂直且獨立 的彈子球運動，則在x 方向速度為 vx，其位置和時間關係，將符合上式 的三角波函數，週期為
vx
2a，在 y 方向速度為 vy，其位置、時間關係，亦 要符合三角波函數，週期為
vy
2a。x、y 兩方向運動的合成則形成了 2 維
彈子球檯的圖形。
在此考慮 3 個參數(p, q,)，其中vy :vx p:q，而 ( )則代 表彈子球出發的起始位置(圖 2-6)。試著改變不同的參數比較 billiard 的 軌跡是否有所變化。可以看到當為0 時，彈子球由 x 軸上的原點出發；
當為 3
時，代表由 x 軸邊界的 1/3 處出發。當初始位置不是在原點且
兩者互質時，則和x 軸、y 軸碰撞的次數和p :q有關，p 為和 x 軸方向碰 撞的次數，q 為和 y 軸碰撞的次數，而p :q比值為有理數時，則整個圖 形成為一個封閉的圖形，或是結束於邊界的端點，當p :q提高至(5,13)，
可發現整個圖形會碰撞邊界更多次，但最終仍會形成一個封閉性的週期 性軌道。
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2.2.2 圓形彈子球檯
圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同，具有點 對稱的性質，故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質。
若我們改變邊界條件，改以一個圓形的彈子球檯，探討彈子球的軌 跡。則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞，即每次的碰撞不會損失能 量，可以簡單的幾何證明，彈子球在不同的初始條件下，在經過連續的 碰撞入射角及反射角維持一個定值。每次的碰撞距離也是固定的。將碰 撞距離視為圓中的一弦，可發現，每弦的圓心角α 為定值，如圖 2-7 表 示。
在此命 2 p
q 。可將 p 視為將圓心均分為 p 等分，也就是在圓周
上打上 p 個點，而 q 代表每隔幾個點畫上連線(圖 2-8)。當 q=1 時隨著 p 的增加，可以發現，畫成一個多邊形，而且其圖形越接近圓形的邊界。
引入完全剩餘系的性質，我們將圓型彈子球台的軌跡視為一個以 p 為模 的剩餘系，而所有的碰撞點組成一個完全剩餘系，則p q, 兩個為互質的 整數時，代入不同的 q 仍會是一個完全剩餘系，表現在圖形上則仍是一 個封閉且完整的路徑。
我們也可以計算當給定一個固定 q 值時，有幾種圖形的呈現，在此 我們引入尤拉函數(所謂「尤拉函數」是指設 p 為自然數 , 則( p)為「不 大於 p 與 p 互質的自然數之個數」)，計算在小於 q 的情況下，有幾個 p
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值被允許，在此因為碰撞點排列可有順時鐘、逆時鐘兩個方向，然在圖 形表現在並沒有差別。故可得n( ) 2p ，以 p=11 為例，n
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，計有5 種分類。
α α
α α
圖2-7 二維圓形彈子球台
(5,1) (11,1) (4,1)
(3,1) (1,1)
(11,4) (11,5) (11,3)
(11,2) (11,1)
(5,1) (11,1) (4,1)
(3,1)
(1,1) (3,1) (4,1) (5,1) (11,1) (1,1)
(11,4) (11,5) (11,3)
(11,2)
(11,1) (11,2) (11,3) (11,4) (11,5) (11,1)
圖2-8 圓形彈子球檯軌跡
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若 p,q 的比值為無理數時(圖 2-9)，則會發現，隨著碰撞次數的增加 軌跡也會越來越密，且不形成封閉的路徑。
圖2-9 圓形彈子球檯(無理數 2:1)
(80 hits) (160 hits) (40 hits)
(20 hits) (10 hits)
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第三章 基本定義與原理
3.1 同餘與完全剩餘系
3.1.1 同餘的概念
同餘這個概念是由高斯所提出的，我們先從幾個簡單的除式問題出 發，藉此以了解什麼叫同餘。
例1：一群軍士 45 人，以一至九為一班依序報數，若某軍士番號為 28 則答數為何多少？
因每數到九就重新循環，28÷9=3…1，或寫成 28=9×3+1，所以答數是 1。
例2：若答數為 1 者為班長，則除了 28 號外，還有那些人是班長？
由第一題我們知道，計有：{1、10、19、33}
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表3.1 同餘在答數上的表示
在日常生活中，類似的問題很多，例如：今天是星期一、過了15 日是 星期幾？早上八點上課，一節課45 分鐘，上了四節課是幾點幾分？這
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些問題本質上都是將總數除了一個固定的除數，求餘數的問題。因此產 生了同餘的概念，以第二題為例：{1、10、19、28、33}。這些數的共 同點為除於9 的餘數相同，皆為 1。故，同餘其實就是餘數相同的數。
不只是同餘的概念，高斯還引進了新的符號，讓許多計算有更方便
不只是同餘的概念，高斯還引進了新的符號，讓許多計算有更方便