渾沌現象

三、基本定義與原理

3.3. 渾沌現象

渾沌現象起因於物體不斷以某種規則複製前一階段的運動狀態，而產生無法預測的隨機效果。所謂「差之毫釐，失之千里」正是此一現象的最佳註解。渾沌現象發生於易變動的物體或系統，該物體在行動之初極為單純，但經過一定規則的連續變動之後，卻產生始料所未及的後果，也就是渾沌狀態。

渾沌現象是指一個週期性運動系統軌跡呈現不規則重現的狀態，這個運動的起始條件深深地影響著這個運動系統最終的運動軌跡。我們可以用一個最簡單的一維非線性圖the logistic map 來解釋這個現象。

首先，先給訂一個集合 V，目標是藉由集合 V 繪製出函數 f。當以下的條件成立時，V 將會是渾沌的：

 函數f 對於起始條件是敏感的

 函數f 是 topologically transitive

 V 裡面的週期函數點是密集的一維圖形的定義：

 一個集合V(從實數 0~1) 所以 0≦xn≦1

 此一維圖形的軌跡函數xn+1= f(xn)

線性圖形：xn+1=a xn +b ，其中，a、b 為常數，線性圖形唯一解。

非線性圖形：the logistic map ，可用幾何學中的函數 f(x)= μx(1-x) 來表

示，其中0≦x≦1 。

選定參數μ、x0 ，按照下列步驟畫出 the logistic map：

步驟一、利用圖上的x0，垂直往上找出相對應的f(x)函數的值。

步驟二、利用f(x)函數的值，水平往左對應出 y=x 的值。

步驟三、在利用新找到的x，垂直往上找出相對應的 f(x)函數的值。

步驟四、重複步驟一、二、三。

以 μ=0.8、x0=0.7 為例，當 x0=0.7 代入函數 f(x)= μx(1-x)時，得到 f(x0)=0.8*0.7(1-0.7)=0.168，將 f(x0) =0.168 當作下一個函數的起始條件，

也就是x1= f(x0) =0.168 再次帶入函數 f(x)= μx(1-x) ，不斷疊代。由圖 3-4 可以發現，疊代過後趨於收斂為某一數值，而不是混亂。

y=x

f(x)

0 0.5 1

x

y=x

f(x)

0 0.5 1

y=x

f(x)

0 0.5 1

x

圖3-4 左圖為 he logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map

除此之外，當 μ=2.8、x₀=0.2 時候，其結果如圖 3-5 所示，如同圖 3-4 一樣是穩定在某一個數值。

f(x)

0 0. 1

x

f(x)

0 0. 1

f(x)

0 0. 1

x

圖3-5 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map

但是當μ=3.4、x₀=0.2 時候，由圖 3-6 可以發現，疊代過程中，不再是趨於一個定值，反而是兩個數值，已經漸漸開始變亂。

0 0.5 1

x

0 0.5 1

x

圖3-6 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map

最後當μ=4.0、x0=0.2 時候，透過不斷的疊代，每經過一次計算，其數值皆不一樣，不會穩定或收斂在同一數值上，反而呈現凌亂的面貌，這時候即可以稱為渾沌的情況，如下圖3-7。

0 0.5 1

x

0 0.5 1

x

圖3-7 左圖為 the logistic map，右圖為 Evolution of the logistic map

將上述的情況整合如下圖 3-8 表示，可以發現當 μ 改變微小差異時候，透過不斷的疊代，其結果會有著很大的差異，有時為收斂於某一數值，有時卻會很凌亂，這種現象及稱為渾沌現象。

圖3-8 為固定 x0時，改變μ 的 the logistic map

第四章蛇擺 Pendulum Waves

早在1991 年﹐Richard Berg 發表一篇期刊論文：如何建立一組非耦合的單擺 ”pendulum waves”，這個實驗的圖案令人相當驚艷，而這個圖案似乎有它的週期存在！這個理論亦在The Video Encyclopedia of Physics Demonstrations 中出現。

這一組非耦合的單擺在擺動時，會出現像在運動中的橫波一般的美麗圖案，而這個美麗的圖案讓我們發現了它的循環性之外，也經由數學的連續方程式之推導，發現了失真現象。

4.1 蛇擺的組成

蛇擺的裝置是由數個非耦合單擺所組成，擺長最長的單擺設為 L，這些單擺被設計為：當第一個單擺(擺長最長的單擺)擺動整數 N 次時，下一個單擺(擺長次長的單擺)恰擺動 N+1 次，再下一個單擺(擺長第三長的單擺)擺動 N+2 次…以此類推；當所有的單擺都回到起始位置，這段時間稱為一個完整運動週期「Γ」。

若由上方觀察所有的單擺，發生了什麼現象？首先單擺組呈現像是波浪，像是扭動的蛇，接著似乎變成混亂的擺動，沒多久，像是分二邊擺動，奇數與偶數的單擺各佔一邊，最後則又會變回像是扭動的蛇，等到「Γ」時間後，所有的單擺又再度會到起始位置，就這樣周

而復始的擺動著。

蛇擺設置的示意圖如下圖3-1 表示，若每個單擺的橫軸距離設為 d，則單擺的橫向位置可標示為 xn= nd，其中 n 為從 0 開始的整數，

而每個單擺必須在Γ 時間內完成 N+n 次的擺動，所以每個單擺的擺動週期可以表示為Tn = Γ/(N+n)，擺動頻率可以表示為 fn= (N+n)/ Γ。

故，每個單擺的角頻率為 ωn=2π/ Tn =2π(N+n)/ Γ，將 xn= nd 代入，

可得ωn=2π(N+( xn/d))/ Γ 。

0 d 2d 3d……… ..x軸

(a) (b)

圖4-1 蛇擺示意圖 (a)裝置設置圖 (b)整體示意圖

4.2 蛇擺的失真現象

利用波函數y(x,t)=Acos(kx+ωt+Φ) 模擬 pendula 擺動圖型。

其中，A：振幅(amplitude) 、

k：波數(wave number)= 2π/λ、

ω：角頻率(angular frequency )= 2π/ T 、 Φ：相位差(phase)、

y：在位置為 x ，時間為 t 時之位移(displacement)。

當時間 t 為零時，所有之單擺一起在同一個相位出發，所以 Φ=0；

而λ、T 為固定值，所以 k、ω 也固定。將 ωn=2π(N+( xn/d))/ Γ 代回波函數，得到：

y(x,t) A cos( t  _n    ) A cos(0  ( )t k t x_n) (4.1) 其中 ₀ ² ^^N ，k t( ) ² t

 d

   ，又  2 k ，所以可以得到

 

( ) 2 t   d  2t d   t 。

讓我們利用數學軟體 Mathcad 來模擬單擺之擺動情形，如圖 3-2 所示，其中紅點代表單擺的擺錘位置，這些圖為從上往下看之俯視圖。當t=Γ/2 時，相鄰之單擺相位差洽為 π；當 t=Γ 時，所有之單擺又回到原來的位置。

由圖可以看出：在時間 t=Γ/16 與 t=15Γ/16 時，單擺擺動的位置所形成的波形圖案相同、在時間t=Γ/ 8 與 t= 7Γ/ 8 時，單擺擺動的位置所形成的波形圖案相同、在時間t=7Γ/ 16 與 t= 9Γ/16 時，單擺擺動的位置所形成的波形圖案相同、在時間t=0 與 t=Γ 時，單擺擺動的位置所形成的波形圖案相同，回到起點位置。但是其實由於每個單擺的週期將隨的不同位置的擺長不同而改變，故應表示為^

 

^x ^所以

25 0 16

t  t16 2

t 16

7 16

t  8

t 16 9

t 16

14 16

t  15

t 16 16

t 16

圖4-2 蛇擺在不同時間下所呈現的結果

 

, cos

 

y x t  A kx t ，應表示為y x t

 

,  Acos



k x0 

 

x t



，且當t=0、

k₀=0 時，( )x  g L x( )，L 為單擺之擺長。若每個單擺間隔設為 d，

則 x_n n d，每個單擺的週期Tn  



N n



，n ² Tn ²



Nn



，將 nx_n d 帶入上列式子，可得n ²



N



x dn

 

，當x 為一連續方程式時，則^

 

^x ^²^



^N ^



^{x d}

 

^{ }²^



^Nd^^x



^^d^{，這樣就可以得到}

  

 



L x g d  xNd ^ ，所以y(x,t)的表示式子如下：

 

^, ^{cos 2}

   

^{cos 2}

   

 

y x t  A   xNd d t A   t d x   N  t (4.2) 因此由式子(4.2)可以發現其波數^{k t}

 

^²^



^t ^^d



^，而波數^k^²^{ }^，所

以隨著時間的變化，蛇擺對應的波長也會跟著改變，隨著時間拉長，

所對應的波長越來越短，如下圖4-3 所呈現。

圖4-3 蛇擺在不同時間下失真的結果

由圖4-3 所知，事實上在時間 t=Γ/2 之後，有更多的波鋒跟波谷在方程式y(x,t)中，但由於單擺的個數不夠多，導致無法充分的呈現方程式y(x,t)完整的樣貌，此即為失真現象，透過這樣的結果，可以發現蛇擺可以用來介紹一為空間上的失真現象，然而除了失真的現象，蛇擺在視覺上分群的現象在4.3 中給予討論。

4.3 分群與同餘

除了4.2 介紹蛇擺的失真現象之外，蛇擺在視覺上還有一種分群的現象，這是由於此裝置是由15 個等間隔頻率的單擺所組成的，當這15 個單擺同時在同一相位出發時，可以觀察到這 15 個單擺時而混

t=Γ/16 t=2Γ/16

t=7Γ/16 t=8Γ/16 t=9Γ/16

t=14Γ/16 t=15Γ/16 t=16Γ/16

t=0Γ/16

亂，時而分群，似乎有其規則，在這小節裡將會詳細介紹。

蛇擺中，我們設定第一個單擺的周期設定為 1 秒(20/20 秒)時，

下一個單擺周期則設定為20/21 秒，第三個周期設定為 20/22 秒…以此類推。所以周期T n=20/(20+n) ，n 為從 0 開始的整數，透過週期那麼每一個單擺的擺動頻率為f n=(20+n)/20 ，Γ 為這 15 個單擺都回到起始位置的時間，在這裡設定為20 秒，F 為每個單擺都回到起始位置時擺動次數，所以Fn=fn*Γ 也就是說：

第一個單擺：n=0 、f=(20+0)/20 、F=(20/20)*20=20 第二個單擺：n=1 、f=(20+1)/20 、F=(21/20)*20=21 第三個單擺：n=2 、f=(20+2)/20 、F=(22/20)*20=22

以此類推，當時間在增加時，有些單擺的擺動次數相同，就會形成同一群，因為他們擺動到了相同的相位，下表4.1 以時間為 4 秒時為例。

表4.1 時間為 4 秒時，每個單擺的擺動情況

經由表4.1 我們發現，當 F*t/Γ 的餘數相同時，就會是同一群。也就是說：當時間經過4 秒時，這 15 個單擺會分成五群，其中餘數均是 0 的是同一群，因為它擺動了整數次，餘數均是 4 的是同一群，因為時間四秒時

單擺 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 擺動次數 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 F*t/Γ 餘數 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16

它們擺動了4.2 次、5.2 次、6.2 次，

餘數均是 8 的是同一群，因為它們擺動了 4.4 次、5.4 次、6.4 次，

餘數均是 12 的是同一群，因為它們擺動了 4.6 次、5.6 次、6.6 次，

餘數均是 16 的是同一群，因為它們擺動了 4.8 次、5.8 次、6.8 次，

由這樣分類，會發現其分為五群。

而當時間經過7 秒時，這 15 個單擺沒有分群現象，其實大部分時間都沒有分群現象，可以觀察到餘數均不相同。

表4.2 時間為 7 秒時，每個單擺的擺動情況時間七秒時

次數

7 7.35 7.7 8.05 8.4 8.75 9.1 9.45 9.8 10.15 10.5 10.85 11.2 11.55 11.9

餘數

0 7 14 1 8 15 2 9 16 3 10 17 4 11 18

當時間經過10 秒時，這 15 個單擺會分成兩群，其中餘數均是 0 的是同一群，餘數均是10 的是同一群，共兩群。

表4.3 時間為 10 秒時，每個單擺的擺動情況時間十秒時

次數 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 餘數 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0

當時間經過20 秒時，這 15 個單擺會變成同一群，因為它們都剛

好回到起始位置。

表4.4 時間為 20 秒時，每個單擺的擺動情況時間二十秒時

次數 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

餘數 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

由以上的分析可以得知，此蛇擺的一個完整的運動週期為 Γ 秒時，當 F*t/Γ 的餘數相同，即會是同一群，下圖 4-4 為以圖像表示。

(a) (b)

圖4-4 蛇擺分群的現象

第五章彈簧擺 Spring Pendulum

彈簧擺即是一個富彈性之彈簧與單擺的結合，其下方懸掛一重

Spring constant k

看起來簡單規律、有些則看似雜亂無章，下面我們將利用傅立葉轉換以及Mathcad 軟體來協助我們解開彈簧擺運動軌跡的神秘面紗。

當我們固定 u 值 (例如：u=6) ，且固定 Vxo、Vyo、Vzo (例如：

Vxo =8.44、Vyo=0 、Vzo=0 ) ，但改變起始點位置 y，觀察彈簧擺的運動軌跡、及傅立葉轉換之後的頻譜。

表5.5 u=6, V_xo 8.44時不同初始位置的二維彈簧擺軌跡與傅立葉分析 u=6

Vxo

=8.44 x=0 y=0 z= -Lo

x=0 y=0.01 z= -Lo

x=0 y=0.02 z= -Lo

x=0 y=0.03 z= -Lo 二維

軌跡

三維軌跡

當我們固定u 值 (例如：u=6) ，且固定 Vxo、Vyo、Vzo (例如：Vxo

=4、Vyo=0 、Vzo=0 ) ，但改變起始點位置 y，觀察彈簧擺的運動軌跡、及傅立葉轉換之後的頻譜。

表5.6 u=6, V_xo  時不同初始位置的二維彈簧擺軌跡與傅立葉分析 4 u=6

Vxo

x=0 y=0 z= -Lo

x=0 y=0.01 z= -Lo

x=0 y=0.4 z= -Lo

x=0 y=0.5 z= -Lo 二維

軌跡

三維軌跡

經過了傅立葉轉換，我們可以發現，當我們看到彈簧擺的運動軌跡是一個簡單規律的圖案時，其頻譜也是個簡單的頻率，甚至分析其頻率之間的比值，約略為一個簡單的整數比：

例如：

下圖為u=6、Vxo =8.44、Vyo=0 、Vzo=0 、x=0 、y=0 、z= - Lo ，其軌跡圖為x-z 平面圖，故我們分析其 fx 、fz 頻譜，發現了有趣的現象。

這個圖形的頻譜，傅立葉轉換後的頻率很純，且頻率之間呈現簡單整數比的關係！所以圖形簡單又規律！

fx¹≒3.6

fx²≒5.4

fx³≒7.2

fz¹≒3.6

fz²≒5.4

fz3≒7.2

(a) (b)

圖5-3 u=6、Vxo =8.44 (a)xy 平面軌跡 (b)傅立葉分析

另外，下圖為 u=4、Vxo =3、Vyo=0 、Vzo=0 、x=0 、y=0 、 z= - Lo 時，彈簧擺之 x-z 平面軌跡圖，並分析其 fx 、fz 頻譜。

這個圖形的頻譜，傅立葉轉換後的頻率很純，且頻率之間呈現簡單整數比的關係！所以圖形簡單又規律！

fx≒3.3

fz≒6.6

(a) (b)

圖5-4 u=4、Vxo =3 (a)xy 平面軌跡 (b)傅立葉分析

當我們看到彈簧擺的運動軌跡是一個漂亮但是看似規律的圖案時，其頻譜又是呈現何種樣貌呢？下圖5-5 為 u=6、Vxo =3.972、

在文檔中利用擺動系統研究失真與渾沌 (頁 26-0)

三、 基本定義與原理

3.3. 渾沌現象

y=x

f(x)

x

y=x

f(x)

y=x

f(x)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

第四章 蛇擺 Pendulum Waves

4.1 蛇擺的組成

4.2 蛇擺的失真現象

 

 

 

 

 



 















 

 





 





  

 



 

   

   

 

 





4.3 分群與同餘

第五章彈簧擺 Spring Pendulum

三、基本定義與原理

第四章蛇擺 Pendulum Waves