圓球堆積類遊戲

一、堆球遊戲

（一）堆球遊戲簡介

堆球遊戲是師大數學系許志農教授在某一堂課程授課時，學生繳交的作業中 的其中一項。這名同學原先以銅版放在桌上跟玩伴互玩，可以有 10 個、15 個、

21 個等等的形式，是一個雙人對戰的遊戲，甲乙雙方輪流將球不斷的往上堆，

最後拼成正三角形的形狀。

（二）堆球遊戲規則

考慮十五顆球的情況：

1.遊戲一開始，十五顆球排成一直線，甲乙雙方輪流將球往上移動。

2.一次可將某顆球及其右方的所有球從同一層堆疊到其上的某一層，堆疊時需靠 左對齊，如下圖：

將底層的三顆球往上一層堆。

將底層的二顆球往第三層堆。

3.下層的球數必須比上層多，使每顆球呈現穩固狀態。

4.最後將球堆疊成下圖形式者即獲勝，亦即：讓對手無球可再往上堆便獲勝。

（三）堆球遊戲的致勝關鍵 以 10 顆球的情況來做說明 1.列出球所有可能的堆疊情況

2.將每種情況與下一步驟可能情況以箭號連接，如下圖

3.可以發現出現最後情況的前一步驟唯一

4.達成最後的情況即獲勝：以紅色標記，表示若達成其前一種情況必輸：以綠色 標記。

5.利用這個方法，如果下一步驟中有出現為紅色標記(獲勝)，則移動到此步驟必 輸，以綠色標記；若下一步驟全為綠色標記，則移動到此步驟必勝。

6.經沙盤推演列出所有狀況後發現：此遊戲先手必勝，但只有一種必勝方法，一 旦動錯一步，勝利就拱手讓人了。目前尚未找出必勝情況的規律，只能一步一步 慢慢往前推論。

15 顆球的勝利情況為：

球移成此六個情況之一，如此反覆輪流，則可確保勝利。

二、步步高升遊戲

（一）步步高升遊戲簡介

此遊戲是筆者與指導教授在研究堆球遊戲時，想到的另一種堆球方法。因堆 球遊戲一次可以取一顆或好幾顆球，但若將規則給為一次只能取一顆球，往上堆 時不一定要靠左對齊，那麼此規則下的堆球又有了另一種玩法了。在此因本遊戲

一次只移動一顆球，且只能往自己那一堆的上面堆積，因此取名為步步高升遊 戲。

（二）步步高升遊戲規則

1.十五顆球排成一直線，甲、乙兩人輪流移動球。

2.一次將一顆球移動到其上的某一層。

3.以最底層的球為分界，被移動的球只能在同一堆中移動。如下圖：14 號球右 邊的藍色球要往上堆時，只能堆在 12、13、14 號球上方，但不可堆在 9、10 號球的上方。

4.下層的球數必須比上層多，並且使球呈現穩固狀態。在此的穩固狀態是指：要 不球就在最底層，如果球已被往上堆了，那麼必須堆在左下、右下皆有球的位 置。

5.最後使對方無法往上移動球者即獲勝。如下圖即為一無法再往上堆的例子。

（三）步步高升遊戲的變形

因「步步高升遊戲」是研究者與指導教授研究其他遊戲時，想到的新規則玩 法，並將將此規則以 Flash 軟體實現，但在研究者於教學現場進行教學活動時，

請任教班級學生以銅板代替圓球實驗此玩法是否好玩時，發現將「步步高升遊戲」

的規則「3.以最底層的球為分界，被移動的球只能在同一堆中移動」修改為「3.

往上堆球時，不限制只能堆在通一堆」，則遊戲仍然可以順利進行。如此又變為 另一新規則且不失趣味的遊戲了。

在《刻卜勒的猜想》一書中探討了空間中的圓球如何最密堆積的問題，最後

經近代科學家證明需以「六方最密」（或「面心立方」）的方式堆積。而在本研究

中的堆球皆為平面（二維）遊戲，若能將此遊戲開發成立體（三維）遊戲，模擬 在三維空間中穩固的堆球，相信不管在同樣或改變規則的玩法下，必可玩出更不 一樣的新意。