同地區 同地區 同地區 同地區指定頻率 指定頻率 指定頻率 指定頻率

在本節將廣播電臺調頻頻率視為顯著差異的競標物，也就是在相同地區之下其頻率位 置不同視為不同的競標物，且假設在相同地區頻率之間為替代品關係，因在相同地區競標 者並不會需要兩個頻率。從頻率與地區分別來看，在本節將地區視為互補品而頻率視為替 代品，且邏輯上的關係是地區之間為 AND 而頻率之間為 XOR(Elusive Or)由圖 3.4 所示。

圖 3.4 頻率與地區邏輯關係

將競標組合的關係寫成式子，小括弧表示整組競標組合其中的逗號為分隔競標物與邏 輯關西，邏輯關係則有 AND 與 XOR 兩種，例如(基隆 FM95,台北 FM95, AND)或是(台北 FM93,台北 FM95, XOR)。也可以將兩關係組合((台北 FM93,台北 FM95, XOR),基隆 FM95, AND)，因競標物在頻率與地區都有所差異，所以每樣競標物都是已兩種名稱為組合—地 區 FMxx。

加入 XOR 關係後，可競標組合從原先只能選擇地區發展為可以選擇頻率。由圖 3.5 所示，左圖為甲廠商選擇地區 A, B, C 頻率為 FM1，乙廠商選擇地區 B, C 頻率為 FM2，加 入特定頻率的 XOR 的關係後，如右圖甲廠商在 B 地區選擇 FM1 或是 FM2，相同的乙廠商 也在 B 地區選擇了 FM2 或是 FM3。

圖 3.5 XOR 關係之競標組合

加入 XOR 競標邏輯，可讓競標者的組合更具有彈性與選擇權。所以接下來將會分析 若是加入 XOR 的關係到組合拍賣裡，如何計算出最佳得標者、會面臨的問題與如何選擇 競標組合結構。。

從數學上的邏輯式來看 A 與 B 為 XOR，為非 A 或非 B 為真成立則 A 和 B 為 XOR，

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將邏輯是轉化為整數不等式則為A + B ≤1。

~A3~B ≡ True (邏輯表達) 1 - A + 1 - B ≥ 1 4 A + B ≤ 1 (整數不等式)

若考慮 XOR 的拍賣則只需要將 A+B# 1的不等式加入拍賣組合當中，但因在組合拍賣 裡的決策變數為競標組合，並不是單一競標物，所以將 A 與 B 競標物分別視為一種組合，

但兩種組合最多只有一組能成立，所以加入一個虛擬競標物 D，則組合變為(A,D, AND)和 (B,D, AND)。因 D 為相同的競標物只需在可競標數量為 1 時，則可以滿足兩種競標組合不 會同時售出，可以將(A,B, XOR)的關係加入組合拍賣中。

從原組合拍賣的整數規劃模式， N = {1,2,…,n}競標物集合，C = {x  N}為可競標組合，

bC 為競價函數，Sn 競標物數量函數N→Z⁺，M 為一個 n×|P|的 0/1 矩陣，P={C}為可競 標組合集合，為一個整數規劃問題，

Max_CP b(C) xC

st Mx_C ≤ S(n) x_C  {0,1}

在這整數規劃裡可競標組合皆是 AND 的關係，加入 XOR 關係後須加入虛擬競標物，將所 有可競標組合中有 XOR 關係展開，加入虛擬競標物。修正過後的整數規劃模式為，

N^'= {1 , 2 ,…, n , d1 ,.., dk}，C^'= {x  N'}，b6C^'7為競價函數，其中展開的子競標組合其競 價函數同原競標組合，S(n')為競標數量函數N'→Z⁺，其中若競標物為虛擬競標物則S· 為1，

則M 矩陣更新為M^'=M , D為一個合成矩陣，其中D 為|N^' - N|×|P|的虛擬競標 0/1 矩陣，

P'={ C '}為可競標組合集合，其方程式與原組合拍賣一樣，但只是將各變數作定義上的修 正。

由圖 3.5 甲乙廠商的例子說明。在本節頻率為有顯著差異的競標物，因此在此例子中 有三個地區與三個頻段共有九個競標物，由圖 3.6 所示。依照圖 3.5 的說明，甲廠商的競 標組合為(A, (D, E, XOR), G, AND)，乙廠商的競標組合為((E, F, XOR), AND)。

圖 3.6 競標物代碼

依照 XOR 拍賣模式建立整數規劃。因兩個廠商競標組合中各有一個 XOR 關係，因此

須用到兩個虛擬競標物分別為 d1 與 d2。將甲廠商的競標組合拆成兩個為(A, D, G, d1)和(A,

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3.3.2 拍賣模式 拍賣模式 拍賣模式戊案 拍賣模式 戊案 戊案 戊案

對戊案來說，這就是幾何結構競標。可競標組合與不指定頻率下的乙案相同。在幾何 結構中其競標物依照地理位置排列成圓型，組成可競標組合。對業者來說，當競標地理位 置相鄰的競標物組合時，並不傾向選擇不同的頻率，最好是能夠在一區域裡擁有相同的頻 率。而對拍賣結果來說，因競標組合變動較大，很容易在相同頻率中有競標組合重疊的情 形發生。經整數規劃求解後只有綜效價值較大的競標能得標。而若反觀在不指定頻率之下，

若重疊部分皆得標時，可用抽籤的方式決定頻率，讓拍賣總價較高。因此考量到業者需求 與拍賣結果，不建議使用戊案拍賣模式。

3.3.3 拍賣模式 拍賣模式 拍賣模式己案 拍賣模式 己案 己案 己案

對己案來說，這就是數量結構競標。可競標組合為 r = 3 時，C = { |C| = 1, 2, 7, 8,…, 18}。

可競標組合的大小較為極端，分為兩部分，在小組合部分C = { |C| = 1, 2, 7, 8, 9}時，可競 標組合裡每一張執照皆可以指定頻率；在大組合部分C = { |C| = 10,…, 18}，因組合大小已 超過所有競標物的一半，若讓每張執照皆指定頻率時，易與其他組合產稱重疊情形，且因 組合較大綜效價值也相對較大，極為容易產生門檻問題。因此在大組合部分只能指定單一 頻率，並不是每張執照皆可以指定。