均質材料之破壞力學理論

當裂紋承受負荷時，裂紋的變形如圖 2-1 所示[21]，可分為三種獨立的 變形模式，第一種變形模式(Mode I)稱為開裂模式(Open mode)，材料承受拉 伸外力時，裂紋上下表面對稱於裂紋前進方向分開；第二種變形模式(Mode II)稱為剪裂模式(In-plane shear mode)，裂紋上下表面在同一平面上做相反方 向之剪變形；第三種變形模式(Mode III)稱為撕裂模式(Tearing mode)，裂紋 上下面產生出平面之相對位移。

a

其中μ 為剪力模數(Shear modulus)，而 k 為由浦松比(Poisson`s ratio)組成之 常數

其中K_II為第二種破壞模式的應力強度因子，定義為 率。利用一段無窮小的裂紋虛位移伸長量 δa，Irwin[22]提出了裂紋關閉積 分法(Crack-closure integral method)，概念是當裂紋承受外力而使裂紋長度增 長了一微小量δa 時，所釋放的應變能與施ㄧ應力關閉該長度裂紋使裂紋回 到初始長度所需的能量相等。如圖2-4 所示，考慮以裂紋尖端為原點的極座 標系統，應變能釋放率G 在不同破壞模式下

∫

⁻ 與Sun[23]中更進一步提出，在裂紋虛位移增長(Virtual crack extension)前 後，近裂紋尖端之節點位移幾乎相同，故可將原本需要兩個有限元素模型 計算之改良式關閉積分法簡化為一個有限元素模型即可計算。本論文使用 在Ikeda與Sun[24]中提及的八節點元素(8-nodes element)之應變能釋放率計 算方法，如圖2-5，利用節點力與節點位移求得八節點元素之總應變能釋放 率G_T(Total strain energy release rate)

II I

T

G G

G

= + (2.1.19)

其中

[ ^{f (u u ) f (u u )} ]

⎥⎦

⎥⎦

u /

y

u

x還算準確，透過(2.2.7)與(2.2.8)兩式相除。整理後可求得K_II K_I之比

第三章 有限元素模型與分析結果

所有材料中都存有裂紋缺陷，這些裂紋缺陷將主導材料的破壞強度。

因此我們藉由線彈性破壞力學理論探討粉體複合材料不同程度的區域群聚 效應對機械性質的影響，並比較不同顆粒尺寸、體積分率、介面層厚度下 裂紋之應變能釋放率。在本章節中，我們利用有限元素法探討不同條件時 裂紋之應變能釋放率，並將分析結果與實驗結果對照比較。

3.1 複合材料有限元素模型建立.

本篇論文選擇使用的複合材料基材為乙烯基酯(Vinyl ester)，補強材料 為二氧化矽(SiO2)顆粒。乙烯基酯的材料參數可由文獻[3]得到，二氧化矽顆 粒的楊氏模數可由文獻[1]得到，而其浦松比(Poisson’s ratio)則可由文獻[26]

得知，材料參數列於表 3-1。為了透過有限元素軟體模擬球型顆粒複合材 料，我們假設補強顆粒大小相等、均勻分布且皆為圓形。此外假設半裂紋 尺寸為0.1μm，不考慮會橫跨兩顆粒長度的裂紋。採用的方法是鑲埋式模型 (Embedded Model)[18]。圖 3-1 為鑲埋式模型示意圖。在裂紋週遭建立實際 之基材與補強材料。為降低程式的計算量，在遠離裂紋處以該複合材料之 等效材料性質簡化模型。等效材料性質區域的寬度與高度為定值，分別為 1121μm 及 1680μm。等效材料性質可透過代表性體積單元(Representative

Volume Element, RVE)[27]模型來計算。圖 3-2 為代表性體積單元的示意圖，

正方形邊長L 可利用式(3.1.1)得到。

2 2 P

f

= πR L

V

_(3.1.1)

其中，V_f為補強顆粒所佔的體積分率，R_P為補強顆粒的半徑。考慮平面應 力(Plane stress)條件，以八節點平面元素Plane82 建立其有限元素網格，該 元素每個節點僅有x、y兩個方向的位移自由度。對此代表性體積單元施加 週期性邊界條件(Periodic boundary condition)，固定模型左側邊界上節點 在X方向的位移、下方邊界上節點在Y方向的位移，使模型右側邊界上節 點在X方向的位移相同、上方邊界上節點在Y方向的位移相同。於上方節 點施加單方向之均勻拉伸應力σ，。利用施加的均勻拉伸應力σ及求得的 四邊節點之位移即可求得相對的等效材料性質。林奕安[28]利用有限元素 法及線彈性破壞力學探討裂紋發生在不同位置時材料的拉伸強度，裂紋發 生的位置如圖3-3 所示。由模擬結果可知上下兩補強顆粒中間之水平方向 裂紋材料的拉伸強度最低。因此本研究延續文獻[28]之結論，將鑲埋式模 型中的水平裂紋置於上下兩補強顆粒中間。實際材料區域以裂紋上下兩補 強顆粒的中央為基準，上下長度與左右寬度分別為 4L及 5L，L為兩補強 材料圓心之間距，即為代表性體積單元的正方形邊長。

為了在有限元素模型中加入群聚的現象以探討補強材料群聚效應對

材料拉伸強度的影響，我們依照不同的群聚程度調整裂紋上下兩側的顆粒 間距。圖3-4 為群聚範圍示意圖，虛線表示產生群聚的區域。群聚時裂紋 上下兩側的顆粒逐漸向中央靠攏。圖3-5 為不同程度的區域群聚示意圖，

d為均勻分散的顆粒表面間距，d_ag為群聚後的顆粒表面間距，d_ag/d越小表 示群聚現象越嚴重。

圖 3-6(a)為裂紋在基材中之模型，長度為 2a 之裂紋在結構中央基材

內，由於結構上下及左右對稱，因此為了減少計算量可取如虛線所示之四 分之ㄧ模型。圖 3-6(b)為裂紋在介面之模型，長度同樣為 2a 之裂紋在中 央下方的顆粒上緣，由於結構左右對稱，因此為了減少計算量可取如虛線 所示之二分之ㄧ模型。模型之外力及邊界條件分別如圖3-7(a)、(b)所示。

在四分之ㄧ的模型中，考慮模型的對稱性將模型左側邊界上節點的 X 方 向自由度設定為0。模型下方邊界上裂紋範圍內的節點自由無拘束，裂紋 以外的節點Y 方向自由度設定為 0。在模型上方邊界施予 1MPa 的均勻拉 伸應力。在二分之ㄧ的模型中，考慮模型的對稱性將模型左側邊界上節點 的X 方向自由度設定為 0。在模型上方及下方邊界施予 1MPa 的 y 方向均 勻拉伸應力。圖3-8 為裂紋在基材中模型靠近裂紋處之網格，裂紋尖端附 近維持元素網格為均勻正方形，Δa 為裂紋尖端的元素尺寸(即裂紋關閉積 分法中裂紋關閉之虛位移)。圖 3-9 為裂紋在介面的模型靠近裂紋處之網 格。為利於改良式裂紋關閉積分法的運算，裂紋尖端附近維持元素網格為

均勻正方形。

為了確認實際材料區域取 4L/5L 足以消去等效材料性質交界處不連 續之影響。建立顆粒為 5μm、體積分率為 10%，實際材料範圍高/寬分別 為4L/5L 及 6L/7L 在不同群聚程度下的模型，求得的應變能釋放率及兩者 的誤差列於表3-2。由結果發現高度與寬度為 4L/5L 之結果與 6L/7L 之結 果誤差不超過 0.1%，表示實際材料區域取 4L/5L 已足以消去等效材料性 質交界處不連續所受影響。

3.2 顆粒尺寸對裂紋破壞行為的影響.

圖 3-10 為相同體積分率、不同顆粒尺寸之含裂紋複合材料示意圖。

當體積分率及裂紋長度為定值時，若縮小補強材料顆粒尺寸，則顆粒之間 距將相對縮小且顆粒半徑與裂紋長度的比值會下降。為了探討在不同群聚 現象發生時，補強材料顆粒尺寸對於含裂紋之複合材料拉伸強度的影響。

我們建立體積分率為10%、半裂紋長度 a 為 0.1μm、顆粒半徑分別為 5μm、

0.5μm、0.1μm 之鑲埋式模型。此時顆粒表面之間距 d 列於表 3-2，施加 1MPa 之 y 方向均勻拉伸應力，透過改良式裂紋關閉積分法計算裂紋之應 變能釋放率。圖 3-11 為三種顆粒尺寸在不同群聚程度時模型的應變能釋 放率，虛線代表純基材中相同長度裂紋的應變能釋放率。應變能釋放率隨 顆粒尺寸的縮小而下降，且顆粒越小在群聚發生時上升的幅度越小。換言

由於我們假設裂紋發生在基材中，因此無論顆粒尺寸的大小，當應變 能釋放率隨著外力的增加而上升達到臨界應變能釋放率G_IC時，整體材料 就會因為裂紋的成長產生破壞。因此為了更清楚的探討補強顆粒對複合材 料強度的影響，我們計算含有長度為 2a裂紋的純基材模型在承受 1MPa 拉伸外力時裂紋的應變能釋放率，然後控制施加在鑲埋式模型的拉伸外力 使得鑲埋式模型中裂紋的應變能釋放率等於純基材模型的應變能釋放 率，並且計算此時施加在模型的拉伸外力與施加在純基材上的拉伸外力之 比值，即為此模型的標準化拉伸強度(Normalized tensile strength)[4]。圖 3-12 為三種不同尺寸的顆粒在不同程度的群聚下模型的應變能釋放率。

在相同的體積分率下，縮小補強顆粒尺寸能夠改善顆粒型複合材料的拉伸 強度。在區域群聚發生時改善的幅度會更加明顯。

由上述分析結果可以得到拉伸強度隨顆粒尺寸縮小而增加的結論。將 分析結果與文獻的實驗數據做比較。Nakamula 等人[4]，發現二氧化矽/

環氧樹脂複合材料的拉伸強度隨著顆粒縮小而上升。Kiss 等人[3]由聚丙 烯/碳酸鈣複合材料中也可以發現此一趨勢，隨著補強材料顆粒的比表面 積越小，材料拉伸強度越小。換言之，複合材料中的補強顆粒尺寸越大拉 伸強度越低。當補強材料發生群聚時，整體材料的拉伸強度亦隨群聚的發 生而下降。此趨勢與文獻[12]中的結論相同，且群聚的程度越嚴重，複合 材料的拉伸強度下降的越明顯。因此我們的模型可用來解釋局部群聚所導

致材料強度降低的現象。

3.3 體積分率對裂紋破壞行為的影響.

圖 3-13 為相同體積分率、不同顆粒尺寸之含裂紋複合材料示意圖。

當顆粒尺寸及裂紋長度為定值時，若提高補強材料體積分率，則顆粒之間 距將相對縮小。為了探討在不同程度的群聚發生時，補強材料體積分率對 於含裂紋複合材料之拉伸強度的影響，我們設定顆粒尺寸為 5μm、半裂 紋長度 a 為 0.1μm，分別建立含有補強材料顆粒體積分率為 5%、10%、

20%的模型。對應於不同體積分率的顆粒間距 d 列於表 3-4。表 3-5 為利 用代表性體積單元求得在不同體積分率下的等效材料性質。在鑲埋式模型 上施加1MPa 的 y 方向均勻拉伸應力，透過改良式裂紋關閉積分法計算裂 紋之應變能釋放率。圖 3-14 為三種體積分率在不同程度群聚時模型的應 變能釋放率。應變能釋放率隨體積分率的增加而上升。換言之，在體積分 率越大的複合材料當中裂紋越容易延伸破壞。圖 3-15 為三種體積分率在 不同群聚程度時模型的標準化拉伸強度。由圖可知在相同的顆粒尺寸下，

20%的模型。對應於不同體積分率的顆粒間距 d 列於表 3-4。表 3-5 為利 用代表性體積單元求得在不同體積分率下的等效材料性質。在鑲埋式模型 上施加1MPa 的 y 方向均勻拉伸應力，透過改良式裂紋關閉積分法計算裂 紋之應變能釋放率。圖 3-14 為三種體積分率在不同程度群聚時模型的應 變能釋放率。應變能釋放率隨體積分率的增加而上升。換言之，在體積分 率越大的複合材料當中裂紋越容易延伸破壞。圖 3-15 為三種體積分率在 不同群聚程度時模型的標準化拉伸強度。由圖可知在相同的顆粒尺寸下，

在文檔中 探討粉體局部群聚效應對複合材料機械性質之影響 (頁 23-0)