電磁波(Electromagnetic Wave)理論基礎源自於馬克斯威爾(Maxwell)方程組。它 解釋了電場與磁場之間，以及電磁場與電荷、電流之間的相互關係，是一切宏觀電 磁現象所遵循的普遍規律。它包含豐富的物理含義，是電磁運動規律最簡單的數學 語言。因此，馬克斯威爾方程組是電磁場的基本方程，它在電磁學中的地位等同於 力學中的牛頓定律。電磁波的傳播速度與光速相同，其反射和折射行為符合光學原 理，藉此，本論文欲開發透地雷達電磁波入射至混凝土材料強度、鋼筋混凝土構件 內含單/雙排鋼筋尺寸與鋼筋腐蝕等檢測技術。
3-1 透地雷達電磁波基本理論
透地雷達電磁波基本原理源自於馬克斯威爾(Maxwell)方程組。簡單的說，在空 間上任意一點，隨時間變化的電場將產生隨時間變化的磁場，隨時間變化的磁場將 產生隨時間變化的電場兩者相輔相成。電磁波行進的方式為磁場與電場的交互作 用，而 Maxwell 方程式可用來摸擬均質等向導體中，實際空間中電磁波的波傳路 徑，如圖3.1 所示。
圖3.1 透地雷達類比訊號與時域反射訊號圖[20]
電磁場理論首先由馬克斯威爾整合在一起，其中包含電場強度Eur
、電通量密度
（位移向量）urD、磁場強度 Huur
、磁通量密度Bur
等四個場量與電荷密度
ρ
、電流密 度J ur
等二個源場之間的相互關係。
Maxwell 方程式的表示式如下所述:
/
E B t
∇ × = −∂ ur ur ur ∂
（法拉第定律） （3.1）
/
H J D
∇ × ur uur ur = + ∂ ur ∂
t
（安培定律） （3.2）0
∇ ⋅ = ur ur B
（高斯磁場定律） （3.3）
D ρ
∇ ⋅ =
ur ur
（高斯電場定律） （3.4）
對於電磁材料各向同性的線性介質關係式如下所示:
E Dr r ε
= （3.5）
H
Br =μr （3.6）
E
Jr=σr （3.7）
式中μ 為介質之磁導率(Permeability)，
σ
為電導率(Conductivity)，ε
為介電常 數(Permittivity)。將電磁材料各向同性的線性介質關係式分別代入（3.1）至（3.4）後，可將馬克斯威爾方程式與電磁性材料之方程組可改寫為下式。
t H E=− ∂ ∂
×
∇r r μ r / （3.8）
t E E
H = + ∂ ∂
×
∇r r σr ε r/ （3.9）
=0
⋅
∇ Hr r （3.10）
ε ρ/
=
⋅
∇ Er r （3.11）
上式適用於線性、均勻且等向性介質之馬克斯威爾方程式。
3-1-1 電磁波的波動方程式
馬克斯威爾方程式描述場隨時間變化的一組耦合的電場與磁場。而透地雷達電 磁波由天線激發電磁場能量於介質中傳播方程式描述如下，對（3.8）解漩場(curl)，
得
) ( / t H
Er r
r
r×∇× =− ∂ ∂ ∇×
∇ μ
將安培定律（3.9）與（3.11）代入（3.8）後，利用向量恆等式，可得電場波動 方程式:
0 /
/ )
/
( −∇2 + ∂ ∂ + ∂2 ∂ 2 =
∇r ρ ε r Er μσ Er t με Er t （3.12）
同理，可得磁場波動方程式:
0 /
/ 2 2
2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
∇
− r Hr μσ Hr t με Hr t （3.13）
（3.12）與（3.13）兩式即為電磁場的亥姆霍茲(Helmholtz)方程。假設無電荷來 源(
ρ
=0)，且介質不導電(σ
=0)，則（3.12）與（3.13）兩式可化簡為:0 / 2
2
2 − ∂ ∂ =
∇ Er με Er t （3.14）
0 / 2
2
2 − ∂ ∂ =
∇ Hr με Hr t （3.15）
再將（3.14）與（3.15）的波動方程與標準波動方程( )比
較後，可得到電磁波在介質中的傳播速度為:
0 /
/
1 2 2 2
2 − ∂ ∂ =
∇ u V u t
με /
=1
V （3.16）
而電磁波在真空中的傳播速度可由下式表示:
0
/ 0
1 μ ε
=
C （3.17）
3-1-2 理想介質中的平面波
假設x 軸分別與 E 同向，只有 Ex 分量。則電磁波入射均勻介質時，E 在 xy 平 面內亦屬均勻平面波，且隨時間t 變化，即
0 / 2
2 ∂ =
∂ Erx x
0 / 2
2 ∂ =
∂ Ery y 將此假設條件代入（3.14），可改寫為下式
2 2
2
2Ex/∂z = ∂ Ex/∂t
∇ r με r （3.18）
在（3.18）式之解中，兩個線性的獨立解為 )
( ) ( ) ,
(z t E z Vt E z Vt
Ex = x+ − + x− + （3.19）
( )
E
x+z Vt
− 或E
x−(z Vt
+ )表示一均勻平面波在+z 軸或-z 軸方向以V 之速度移 動，稱之為電場平面波通式，係因電場向量E ur
在 xy 平面上而與傳播方向垂直。同 理，亦可解出磁場平面波通式如下所示:
) ( ) ( ) ,
(z t H z Vt H z Vt
Hy = y+ − + y− + （3.20）
+v X, 電場強度方向
Ex
均勻平面波 -v
Z
Y, 磁場強度方向 Hy
圖3.2 理想介質中電磁波之傳播方式
3-1-3 導電介質中的均勻平面波
上節說明時變電磁場是以電磁波的形式存在，本節將討論時諧情況下的電磁波 形式，在上述假設條件下， 是與z 方向有關的向量，則(3.18)的向量表達形式為齊 次亥姆霍茲方程，如下所示:
Ex
x
x z k E
Er 2 2 r
2 /∂ =
∇ （3.21）
式中， k 為介質中的波數 με
ω
=
k （3.22）
其(3.21)式為常微分方程，其解為
jkz x jkz x x
x
x E z E z E e E e
E = +( )+ −( )= + − + − （3.23）
上式為導電介質中的均勻平面波傳遞形式。
式中，Ex+是由波源強度決定的常數，若以cos( tω )為基凖，公式（3.23）右式，
所對應的瞬態表達式為:
) cos(
] Re[
) ,
(z t E e E t kz
Ex+ = x+ jωt = x+ ω − （3.24）
此式與（3.19）中的 相同，若以+z 方向行進的正弦波，振幅為 ， 其等相位面由下式表示:
) (z Vt
Ex+ − Ex+
=常數
− kz
ωt （3.25）
是一個垂直於z 軸的平面，其等相位面的行進速度為:
V k dt
dz/ = /ω = （3.26）
而波數與相速、波長的關係式可由下式表示:
λ π ω/ =2 /
= V
k (rad/m) （3.27）
3-1-4 電磁波入射與反射行為
在考慮平面波入射至兩種介質的分界面時，其介質分界具有不同的電性參數 (ε1,μ1)與(ε2,μ2)存在。由於分界處的不連續性及電性參數會使一部分電磁波入射波 被反射，另一部分繼續向下傳遞，如圖3.3 所示。
ai 法 線
Θt Θr Θi
2 2 2,μ ,n ε
1 1 1,μ,n ε
at
ar
圖3.3 均勻平面波斜入射至電介質平面上
圖中θi為入射角、θr反射角、θt折射角，在入射波由介質一( )進入介質二( ) 時，其頻率不變，但速度由 變為 ，且波長亦由
n1 n2
V1 V2 λ1變為λ2，此現象稱之為折射定 律，表達式如下所示:
2 1 2 1 1 2 2 1
12 =sinθ /sinθ =n /n =v /v =λ /λ
n （3.28）
此式亦稱為斯涅爾定律(Snells’ Rule)。因此，電磁波在自由空間的傳播速度 (光速)與介質中的傳播速度 V 的比值，稱為電磁波在介質材料中的特徵阻抗 C
ε μ η= /
=
n ，自由空間中特徵阻抗為η0 = μ0/ε0 ≈377(Ω)。在折射定律中定義 為介質中的折射率，表達示如下所示:
n
V C
n= / （3.29）
而入射波、反射波、折射波之電場與磁場之關係，如圖 3.4 所示，其關係式如 下：
2 1
1 n
E n E n
Ei r t
=
− （3.30）
由(3.30)可將反射係數 R( Reflection Coefficient）表達示如下所示:
1 2
1 2
n n
n n E R E
i r
+
= −
= （3.31）
由(3.30)可將穿透係數 T ( Transmission Coefficient )表達示如下所示:
1 2
2 2
n n
n E
T E
i t
= +
= （3.32）
Ht
法
線 Hr ar
Ei
ai
Hi
Er
1 1 1,μ ,n ε
Et
2 2 2,μ ,n ε
at
圖3.4 電磁場於分界面之入射波、反射波、折射波之關係圖
3-1-5 電磁波之基本特性
電磁波是電振盪時(Electrical Oscillation)時，部分能量以輻射的方式傳播於空間 所形成之電波和磁波之總稱。材料的主要電磁性參數包含導電度、衰減常數、相對 介電常數、導磁率等，分別敘述如下:
(1) 衰減常數
電磁波於介質中的衰減程度與介質的導電度、介電常數有關，其關係式 如下：
ε μ α σ
= 2
，β =ω με ω：角頻率(rad/sec) （3.33）若電磁波在低損耗介質中傳播時(σ <<ωε )，衰減度公式可以簡化如 下：
εr
α =1635σ （3.34）
式中α 為衰減常數(dB/m)，其大小和σ 導電率成正比。電磁波能量衰減 原因可以分為下列三種情形：
1. 電磁波能量因穿越導電介質而部分轉換成熱能。
2. 在水中的介電衰減(Dielectric Relaxation)。
3. 黏土礦物化學離子的擴散(Chemical Diffusion)。
當物質為良導體時，電磁能量衰減非常快速，且無法在良導體中傳播 的，僅能在導體周圍行徑。故衰減度越大表示電磁波衰減越快，則所能探測 厚度越淺。而天線頻率100MHz 和 1GHz 材料的衰減係數，如表 3.1 所示。
表3.1 天線頻率 100MHz 和 1GHz 材料衰減係數[20]
材料 100MHz 1GHz
濕黏土 5~300dB/m 50~3000dB/m 濕泥土 1~60dB/m 10~600dB/m
乾砂 0.01~2dB/m 0.1~20dB/m
冰 0.1~5dB/m 1~50dB/m
純水 0.1 dB/m 1dB/m
海水 100dB/m 1000dB/m
乾混凝土 0.5~2.5dB/m 5~25dB/m 磚塊 0.3~2.0dB/m 3~20dB/m (2) 導電率
導電率即物質導電能力的量度，表示在一定的電場下所產生的電流大 小，導電率σ 定義為電流密度Ｊ與電場Ｅ的比值，且和電阻率成反比，其關 係式如下：
σ = = ρ1 E
J （3.35）
式中，σ 為導電率(S/m，西門/公尺)、 為電流密度(A/m2)，安培/平方 公尺)、
J
E 為電場 (V/m，伏特/公尺)、ρ為電阻率(Ω-m，歐姆-公尺)。
導電度越高的材料電磁波滯留損失愈高，在相同頻率波長之下電磁波穿 透能力愈低，所能探測的厚度就越淺。透地雷達的應用大致將導電度分為三 等級：
a. 高導電率 / )：為不適合透地雷達探測介質。如：海水、濕頁 岩等。
10 (σ ≥ −2S m
b. 中導電率 / )：為普通的透地雷達探測介質。如：純水、乾 黏土等。
10 10
( −7 ≤ −2S m
c. 低導電率 / )：為優良的透地雷達探測介質。如：空氣、混凝 土、瀝青等。
10 (σ ≤ −7S m
(3) 相對介電常數
材料相對介電常數是影響電磁波在材料介質內波傳速度快慢的最大因 素，而相對介電常數是代表一種衡量材料在電場中所能儲存能量的基準，其 定義為有電介質在空氣中的介電常數與在真空中的介電常數之比值，稱為相 對介電常數。不同之介質電的媒介(Medium)具有不同之相對介電常數，則相 對介電常數εr（Relative Dielectric Constant）關係式如下所示：
ε0
εr = ε （3.36）
式中，εr：相對介電常數、ε ：材料之介電常數(F/m，法拉/公尺)、
ε0：真空中介電常數≅8.854187817×10−12(F/m，法拉/公尺)。
電磁波在各種介質中會有不同的相對介電常數，如表3.2 所示。
表3.2 電磁波在各種物質中之相對介電常數[20]
介質 導電率(Sm-1) 相對介電常數 衰減常數(dB m-1)
空氣 0 1 0
瀝青(乾) 10-2~10-1 2~4 2~15
瀝青(濕) 10-3~10-1 6~12 2~20
粘土(乾) 10-1~10-0 2~6 10~50
粘土(濕) 10-1~10-0 5~40 20~100
煤(乾) 10-3~10-2 3.5 1~10
煤(濕) 10-3~10-1 8 2~20
混凝土(乾) 10-3~10-2 4~10 2~12
混凝土(濕) 10-2~10-1 10~20 10~25
淡水 10-6~10-2 81 0.01
冰水 10-4~10-3 4 0.1~2
花崗岩(乾) 10-8~10-6 5 0.5~3
花崗岩(濕) 10-3~10-2 7 2~5
石灰石(乾) 10-8~10-6 7 0.5~10
石灰石(濕) 10-2~10-1 8 1~20
凍土 10-5~10-2 4~8 0.1~5
鹽岩 10-4~10-2 4~7 0.01~1
沙(乾) 10-7~10-3 2~6 0.01~1
沙(濕) 10-3~10-2 10~30 0.5~5
砂岩(乾) 10-6~10-5 2~5 2~10
砂岩(濕) 10-4~10-2 5~10 4~20
海水 102 81 100
海水(冰) 10-2~10-1 4~8 1~30
頁岩(乾) 10-3~10-2 4~9 1~10
飽和頁岩 10-3~10-1 9~16 5~30
積雪 10-6~10-5 6~12 0.1~2
土壤粘土(乾) 10-2~10-1 4~10 0.3~3
土壤粘土(濕) 10-3~10-0 10~30 5~50
土壤(乾) 10-4~10-3 4~10 0.5~3
土壤(濕) 10-2~10-1 10~30 1~6
沙質土壤 10-4~10-2 4~10 0.1~2
沙質土壤 10-2~10-1 10~30 1~5
(4) 相對導磁率
材料的導磁率 μ 為材料導磁性能好壞程度的物理量，導磁率的數值越 大，材料的導磁性能越好。導磁率又稱為導磁係數(Permeability)。真空的導 磁率為常數，空氣的導磁率與真空導磁率非常接近，其他材料的導磁率μ與
真 空 中 導 磁 率 μ0 的 比 值 ， 稱 為 該 材 料 的 相 對 導 磁 率 μr (Relative Permeability Constant)，其關係式如下所示：
μ0
μr = μ （3.37）
式中μ為材料中導磁率、真空中導磁率μ0 =4π×10−7[H/m]。 一般介質材料的相對導磁率μr為一個無單位的物理量近似1。
3-1-6 電磁波之解析能力
電磁波的直進性和繞射能力與頻率有關，關於波長與頻率之關係，如下式所示:
f C×
λ= （3.38）
式中λ為波長、 C 為光速(3×108m /s)、 為頻率。 f
當電磁波頻率愈高時，則波長愈短，此時波具有直進性且電磁波之衰減係數愈 高；反之頻率愈低，則波長愈長，波具有很強之繞射能力，且電磁波之衰減係數愈 低，也就是說，使用高頻施測，雖然解析能力提高，但探測厚度因此受到限制。因 此，解析能力與探測厚度間的取捨將視所需厚度與檢測物大小情況而定。電磁波入 射於介質時，主要反射波訊號頻率將略小於中心頻率，因此在透地雷達施測過程 中，其解析極限為中心頻率的二分之一波長。而電磁波的解析度分為(垂直、水平) 兩部分來看：
(1) 垂直解析度
Sheriff (1982)根據波傳理論，提出透地雷達所能解析出之最小厚度為雷 達波於該介質中波長的 1/4。因此對於低耗損介質而言，理論上能解析之最 小厚度，公式如下所示：
f r
R C
ε
×
×
= × 4
103
min （3.39）
式中 為可解析之最小厚度、 為光速( )、 為天線主頻
率、
Rmin C 3×108m /s f
εr介質之相對介電常數。
(2) 水平解析度
水平解析度與第一菲涅耳(First Fresnal Zone)波帶的能量大小有關，待測
物的水平尺寸為入射介質材料波長 1/4 時，仍能接收到清晰的反射波，如圖 3.5 所示。當兩個水平待測物的間距小於第一夫瑞奈波帶直徑時，則不易把 兩個目標體區分開。其第一菲涅耳波帶反射能量公式如下所示:
4 1
2 = + +
r
D E
ε
λ （3.40）
式中 E 為投影橢圓長軸半徑、λ為介質中之波長、 為地表至反射面厚 度、
D
εr為介質中之相對介電常數。
第一菲涅耳波帶 透地雷達
接觸表面
電性界面
D
探測表面
涵蓋範圍
E/2
1/4 波長
圖3.5 第一菲涅耳波帶示意圖