第四章 超賣與容量限制之定價理論模型 超賣與容量限制之定價理論模型 超賣與容量限制之定價理論模型 超賣與容量限制之定價理論模型
4.1 基本 基本 基本 基本理論 理論 理論 理論模型 模型 模型 模型
本研究先以乘客與高鐵兩者之間關係，透過兩類型的效用函數進行探討，
並提供建議給高鐵公司，主要可分為兩點說明，一為乘客效用函數，二為高鐵 經營決策分析。
一、乘客效用函數
在本節中，我們首先討論簡單的模型以說明高鐵實施自由座與對號座 的成本效益以及對乘客消費者剩餘與社會福利的影響。
我們假設有nA位的 A 型乘客搭乘高鐵的效用函數如下：
=
若不搭乘高鐵 若搭乘自由座
若搭乘對號座
0
A A
A b
a
U (4.1.1)
在(4.1.1)中，aA與bA分別為 A 型乘客搭乘對號座與自由座的總搭乘基 本價值。aA >bA >0表示 A 型乘客選擇其偏好的座別(對號座)所產生的總 搭乘價值高於選擇非偏好的座別(自由座)所產生的總搭乘價值，但是後者 的搭乘價值仍然高於不搭乘高鐵的效用。
其次，我們假設有nB位的 B 型乘客搭乘高鐵的效用函數如下：
=
若不搭乘高鐵 若搭乘自由座
若搭乘對號座
0
B B
B b
a
U (4.1.2)
在(4.1.2)中，aB與bB分別是 B 型乘客搭乘對號座與自由座的總搭乘基 本價值。bB >aB >0表示 B 型乘客選擇其偏好的座別(自由座)所產生的總 搭乘價值高於選擇非偏好的座別(對號座)所產生的總搭乘價值，但是後者 的 搭 乘 價 值 仍 然 會 高 於 不 搭 乘 高 鐵 的 效 用 。 再 者 ， 我 們 假 設
>0
>
>
> B A B
A b b a
a ，亦即 A 型乘客選擇其偏好的座位(對號座)價值aA高
於 B 型乘客選擇其偏好的座位(自由座)價值bB，但是當 A 型乘客選擇非其 偏好的座位(自由座)價值bA仍高於 B 型乘客非其偏好的座位(對號座)價值 aB，此假設正符合一般乘客的基本搭乘行為。上述說明，意指現在與一般 利用產品的品質等級區隔市場的分析文獻不同的是在本研究假設高鐵將座 位品質等級區分為對號座與自由座時，就對號座的單位成本是CR >0，而 自由座的單位成本是CF >0；且CR >CF ，這是因為我們認為自由座雖然 有如「減損財」(Damaged Goods)，然而，高鐵提供自由座的相對服務成本 是低於對號座的服務成本，此種現象與 Deneckere【13】、Shapiro【22】以 及 Shy【23、24】在處理將標準財（或商用版）降級為減損財(學生版或試 用版)時，假設減損財的單位成本高於標準財的情況，原因則是因為一般業 者皆先生產成本相對低的標準財，之後再花一些額外成本以提供減損財。
因此，高鐵將座位區隔為對號座與自由座所產生的對應成本正好與前述文 獻的相反。於是，高鐵在上述的經營環境下，追求利潤極大時所面臨的決 策階段區分為二：
(一) 在既定相對較低的平均單位成本下，是否需提供自由座？
(二) 當提供自由座後，要如何針對對號座與自由座訂定票價？
二、高鐵經營決策
針對上述，高鐵經營決策中，我們令PR與PF 分別是高鐵對號座與自 由座的訂價。根據以上的經營環境，高鐵所面臨的經營決策選擇有三種，
分別為只提供對號座、只提供自由座以及提供對號座給 A 型乘客而提供自 由座給 B 型乘客三種：
(一) 只提供對號座
在此情況下，高鐵針對對號座的定價策略有兩種：
1. 訂高價PR(1)=aA，此時 B 型乘客將不會搭乘高鐵。所以高鐵的利 潤πR(1)=(aA −CR)nA−D，其中，D>0是高鐵的固定成本。
2. 訂低價PR(2)=aB，此時兩類型乘客將會搭乘高鐵。所以高鐵的利 潤πR(2)=(aB −CR)(nA+nB)−D，其中，D>0是高鐵的固定成本。
命題 2. 在高鐵只提供對號座時：(1)高鐵會訂高價PR(1)=aA，在 )
2 ( ) 1
( R
R π
π > 的條件下，且 >δ
−
−
R B
B A
C a
a
a ，參數 = >0
A B
n
δ n ，代表兩類
型乘客的市場規模，在此之下，高鐵只服務 A 型乘客；(2)高鐵會訂低 價PR(2)=aB，在πR(2)>πR(1)的條件下，且 <δ
−
−
R B
B A
C a
a
a ，在此之下，
高鐵服務兩類型乘客。
在命題 2 中，δ >1(0<δ <1)則表示 B 型乘客的市場規模相對於 高於(低於)A 型乘客的市場規模。同時，也可代表高鐵實施對號座與 自由座之間的轉換所產生的潛在 B 型乘客規模利益。再者，我們令
R B
B A
C a
a a
−
− 的比值代表高鐵只提供對號座時而且訂高價相對於訂低價所
產生的相對溢酬(Relative Premium)。因此，命題 2-(1)顯示若 B 型乘客 人數低於 A 型乘客人數(0<δ <1)，而且 A 型乘客的搭乘價值(aA)充 分大於 B 型乘客的搭乘價值(aB)，則高鐵訂高價的利潤大於訂低價的 利潤。這指出只要訂高價所產生的相對溢酬高於所放棄的潛在 B 型乘 客規模利益，高鐵就會訂高價並且只服務 A 型乘客。命題 2-(2)則指出 相反意涵，若訂價所產生相對溢酬低於潛在 B 型乘客規模利益，則高 鐵就會訂低價以服務兩類型乘客。
換言之，只要 B 型乘客的市場規模充分大，高鐵就會訂低價所得 到的利潤將可大於訂高價所得到的利潤。
(二) 只提供自由座
在此情況下，高鐵針對自由座的訂價策略有兩種：
1. 訂高價PF(1)=bB，此時只有 B 型乘客會搭乘高鐵。所以高鐵的利 潤πF(1)=(bB −CF)nB −D，其中，D>0是高鐵的固定成本。
2. 訂低價PF(2)=bA，此時兩類型乘客將會搭乘高鐵。所以高鐵的利 潤πF(2)=(bA−CF)(nA +nB)−D，其中，D>0是高鐵的固定成本。
命題 3. 在高鐵只提供自由座時，(1)高鐵會訂高價PF(1)=bB，在 )
2 ( ) 1
( F
F π
π > 的條件下，且
δ
> 1
−
−
F A
A B
C b
b
b ，在此之下，高鐵服務 B 型
乘客；(2)高鐵會訂低價PF(2)=bA，在πF(2)>πF(1)的條件下，且 δ
< 1
−
−
F A
A B
C b
b
b ，在此之下，高鐵服務兩類型乘客。
在命題 3 中，我們令
F A
A B
C b
b b
−
− 的比值代表高鐵只提供自由座而且
訂高價時相對於訂低價所產生的相對溢酬。因此，命題 3-(1)指出當 B 型乘客市場規模充分大(δ >>1)時，高鐵將訂高價以吸引 B 型乘客，
因為此時從 B 型乘客所得的相對溢酬將高於所放棄的潛在 A 型乘客規 模利益。但是，命題 3-(2)則指出相反的情況，當 B 型乘客市場規模相 對小時，並且從 B 型乘客所得的相對溢酬亦非充分大時，則高鐵將會 訂低價以服務兩類型乘客。
(三) 提供對號座給 A 型乘客以及自由座給 B 型乘客。
在 此 情 況 下 ， A 型 乘 客 將 會 選 擇 對 號 座 的 條 件 是
F A R
A P b P
a − ≥ − ，所以高鐵對對號座的訂價是PF ≥PR −(aA−bA)。同 理 ， 為 了 讓 B 型 乘 客 選 擇 自 由 座 ， 高 鐵 對 自 由 座 的 訂 價 是
F R B
B a P P
b − + ≥ ，因此，高鐵結合以上的兩個定價所得到的關係是：
) (
)
( A A R F B B
F a b P P b a
P + − ≥ ≥ − − (4.2.1) 根據(4.2.1)，我們可以繪出高鐵提供兩類座位以區隔市場的PR與
PF組合空間如下：
圖 4.4 高鐵提供兩類座位以區隔市場的PR與PF組合空間圖
根據圖 4.4 為高鐵區隔市場的PR與PF組合空間，在圖 4.4 中的 II 區是高鐵可以利用PR與PF 組合以區隔市場的定價策略區域；I 區的PR 與PF組合是高鐵只提供自由座的定價策略區域；III 區PR與PF的組合 則是高鐵只提供對號座的定價策略區域。顯然地，檢視圖 4.4，我們可 以建立下命題。
命題 4. 在假設不等式(4.2.1)成立之下，我們總是可以找到一組PR 與PF的定價組合，使得高鐵的市場區隔定價策略所產生的利潤水準皆 高於只有提供對號座或自由座下的利潤水準。
證明
在此我們只證明命題 2-(1)的部分，其餘情況的證明，我們將以數 值模擬的做說明。在命題 2-(1)中，由於PR(1)=aA導致 B 型乘客不搭 乘高鐵。但是，在市場區隔定價策略下，我們可以令PR =aA −ε >0， 其 中ε >0 以 及 PF =aB −µ >0 其 中 µ >0 。 現 在 將 PR =aA−ε 與
µ
−
= B
F a
P 分 別 代 入 (4.2.1) ， 我 們 可 得 只 要
A B B A
B b a b a
a − ≥−ε +µ ≥2 − − 就可滿足(4.2.1)的不等式要求。再將 ε
−
= A
R a
P 與PF =aB −µ所產生的利潤與命題 2-(1)中的利潤比較，只
要 δ
µ+ε +
≥ F
B C
a 就可得到在市場區隔下的利潤水準高於在命題
2-(1)的利潤水準。因此，只要aB高於臨界值
δ µ +ε
F +
C ，而且ε >µ我 們就可以得到以PR =aA−ε與PF =aB −µ的市場區隔定價策略，能使 高鐵獲得相對高於命題 2-(1)的利潤水準。
命題 4 的意涵告訴我們一項經營事實。那就是高鐵對 A 型乘客的降價幅度
(ε)應要大於 B 型乘客的降價幅度(µ)，這表示對未搭乘高鐵的 B 型乘客而言，
只要有搭乘價格低於其搭乘基本價值，B 型乘客就願意搭乘高鐵。但是對已經
搭乘高鐵的 A 型乘客而言，高鐵勢必要降價多一些才能讓他們繼續搭乘高鐵的 對號座，否則 A 型乘客有可能會改搭自由座。
在以上的討論中，我們已經知道高鐵採取市場區隔的定價策略使 A 型乘客 選擇對號座而 B 型乘客選擇自由座，可以使高鐵獲得相對較高的利潤水準，同 時，兩類型乘客的消費者剩餘亦可以提高。換言之，高鐵實施市場區隔的定價 策略是巴雷圖改善(Pareto Improvement)策略，此策略使社會福利增加。在下節，
我們以數值模擬更進一步說明在命題 3 未證明的部分以及不等式(4.2.1)所呈現 的意涵。