3-1 透地雷達基本原理
3-1-1 透地雷達檢測原理
透地雷達法（ground-penetrating radar）簡稱GPR，以幾百伏特的電壓發射 線圈，產生頻率1 MHz至2 .3GHz，歷時幾十億分之一秒（ns）之高脈衝波（雷 達波）射入地下或結構體內，入射波經探測體內部，具不同電性物質之物質介 面與埋藏體，使雷達波反射至地表後由表面接收器接收訊號，然後將所接訊號 放大、數位化後，紀錄成原始資料，再經過電腦二維或三維資料處理後，便可 進行分析待測構件之內部結構，此外透地雷達因儀器輕便、非破壞性檢測、探 測結果解析度高、資料處理及雷達圖判斷容易等優點。
3-1-2 電磁波基本特性
電磁波波傳理論，源自於1864年的馬克斯威爾(Maxwell)所提出的麥克斯威 爾四大方程組，指電磁波在空間中任意一點的電波與磁波相互偶合後，並隨時 間變化而產生相互正交的電場與磁場形式傳遞稱之。
電磁波是電場與磁場交互作用之傳遞現象，亦即在空間上任意一點，隨時 間變化的電場將產生隨時間變化的磁場，隨時間變化的磁場將產生隨時間變化 的電場，兩者相輔相成向前傳播。
電磁波是電磁場的一種傳播型態，即Maxwell方程式[33]中提及的安培定律 與法拉第定律；簡單的說，就是在空間上任意一點，隨時間變化的電場將產生 隨時間變化的磁場，隨時間變化的磁場將產生隨時間變化的電場，兩者相輔相 成;如圖3-1所示。
圖 3-1 理想介質中平面波電場與磁場示意圖
3-1-3 電磁波波傳原理及透地雷達電磁波傳播特性
馬克斯威爾(Maxwell)於 1864 年提出四大方程式[33]，經赫茲於西元 1888 年，以精密的實驗證實電磁波之存在。
電磁波在均質且等向的介質中前進，其控制方程可由Maxwell方程式加以推 導， Maxwell方程式如下所述：
Maxwell 電磁波第一方程式，即為安培定律，式(3-1) t
J D
H ∂
+∂
=
×
∇ (3-1)
式中表示，縱使沒有電流狀態下，時變電場亦會產生磁場；
Maxwell 電磁波第二方程式，即為法拉第定律，式(3-2)
t E B
∂
−∂
=
×
∇ (3-2)
z
y
x
磁場
波傳方向
電場
式中表示，在磁通量變化的磁場會產生感應電流；
Maxwell 電磁波第三方程式，即為電場的高斯定律，式(3-3)
ρ
=
×
∇ D (3-3) 第三方程式表示在某一封閉表面的電通量和內部靜電荷數成正比；
Maxwell 電磁波第四方程式，即為磁場的高斯定律，式(3-4)；
=
0×
∇ B
(3-4) 第四方程式表示磁極不會只有單極存在，亦即不會存在只帶有N極或S極的 粒子。式中
E：電場強度(V/m) B :磁通量密度(T) H :磁場強度(A/m) J :電流密度(A/m
2)D :電通密度(C/m
2)ρ：體電荷密度(庫倫/立方公尺；C/m
3)電磁第一方程式表示，在沒有電流狀態下，時變電場將會產生磁場。式中J
為自由電子在電場作用下，移動所產生的傳導電流(conductivity current)；
t D
∂
∂ 為 時變電場作用在極性物質時，所產生的位移電流(displacement current)。第二方 程式表示，當通過導體迴路所圍的面積，其磁通量發生變化時，將在導體迴路 上產生感應電流(Faraday，於1931年發現)。第三方程式表示，在靜電場模型時的 向量基本微分方程式。第四方程式則表示，在靜磁場模型時的向量基本微分方 程式。
透地雷達天線發送電磁波穿透介質後，由於材料介電常數的差異造成電磁 波的反射，雷達天線所接收電磁波的反射能量大小，跟雷達波反射振幅大小相 關。故透地雷達電磁波傳播方式自天線中心呈圓錐體向下發射，此橢圓形的範 圍稱為菲涅耳波帶(Fresnel Zone)，如圖 3-2 所示，其深度(H)對應所涵蓋範圍橢
圓半徑(D)之關係，如式 3-5 所示，所以反射能量大小，除了與反射數有關，與 反射面積範圍亦有關，由於電磁波的入射波與反射介面接觸時，不是點的接觸，
而是近似橢圓形之接觸；如透地雷達為指向型天線，則電磁場強度是集中在某 個區域，這個區域中電磁波之傳播呈現類似長水滴形狀向下發展；因此，可得 知透地雷達在進行探測時，雷達波的行進應為一橢圓範圍向下擴散，且其涵蓋 範圍皆為反射能量之區域[34]。
圖 3-2 雷達探測之電磁波傳播方式
(3-5) 式中
r : 探測橢圓長軸半徑 λ : 雷達能量中央頻率波長
h : 地表至反射面深度
ε
: 介質中之相對介電常數3-1-4 電磁波解析能力
電磁波為電振盪時能量，以輻射的方式傳播於空間，所形成之電波和磁波之
h
r 雷達天線
涵蓋範圍
探測表面
4
+ +
1= ε
λ h
r
總稱。電磁波的直進性和繞射能力與頻率有關，關於波長與頻率之關係，如式(3-6) 所示：
f c ×
=
λ
(3-6)式中
λ：波長 c：波速 f：頻率
由此關係式得知電磁波頻率愈高時，則波長愈短，此時波具有直進性且電 磁波之衰減係數愈高；反之頻率愈低，則波長愈長，波具有很強之繞射能力，
且電磁波之衰減係數愈低，也就是說，使用高頻施測，雖然解析能力提高，但 探測深度因此受到限制。因此解析能力與探測深度間的取捨將視需要情況而 定。電磁波入射於介質時，主要反射波訊號頻率將略小於中心頻率，因此在透 地雷達施測過程中，其解析極限為中心頻率的二分之一波長，因此將透地雷達 的解析度分為兩部分來看：
(1) 垂直解析度
由於雷達波之波形是由發射脈衝波與電性界面迴旋(convolution)後所得，輸 入脈衝波之脈衝寬度(pulse width)愈短，則反射之波形愈不易混合，對解析度有 利，亦即雷達頻率愈高解析度愈佳。Sheriff (1982)根據波的理論，提出透地雷達 所能解析出之最小厚度為雷達波於該介質中波長的1/4。因此對於低耗損介質而 言，理論上能解析之最小厚度，如式(3-7)所示：
f r
R c
ε
×
×
= × 4
103
min (3-7) 式中
Rmin：可解析之最小厚度(m)
c：光速(0.3m/ns) f ：天線主頻率(MHz) εr：介質之相對介電常數 (2) 水平解析度
透地雷達的水平解析主要與第一菲涅耳波帶(first Fresnal zone)的大小有 關，若此波帶無法提供足夠的反射能量，則待測物尺度是無法解析，如圖3-3所 示。
圖 3-3 第一菲涅耳能量波帶示意圖
3-1-5 介質電性參數
透地雷達電磁波之解析能力及穿透能力，除了與雷達天線頻率高低有關，
與所施測材料介質的電性參數亦有關。對施測材料而言，材料之含水量、導電 第一菲涅耳能量波帶
透地雷達
接觸表面
介質1
介質2
度、介電常數、衰減常數、反射係數、導磁率等，都會影響透地雷達施測結果。
因此，如何求得介質材料電性參數，用來評估電磁波衰減程度、埋設物反射訊 號大小與埋設位置，是提供透地雷達圖判釋之重要參考數據。
3-1-5-1 導電度
導電度為材料介質中傳導電流能力的量度，表示在一定電場下所產生的電 流大小，導電度σ 定義為電流密度 Jc (Conductivity current)與電場 E(Electric field intensity)的比值，且為電阻率之倒數，其關係式如(3-8)所示：
σ ρ 1
=
= E J
c(3-8) 式中
σ：導電度(S/m)
J
c：電流密度(A/m
2)E：電場(V/m)
ρ：電阻率(Ω-m)
導電度與衰減常數成正比，導電度與介質中之含水量及粘土含量成正比。若 導電度越高的材料電磁波滯留損失愈高，在相同頻率波長之下電磁波穿透能力 愈低，所能探測的深度就越淺。在透地雷達的應用上，可依照雷達探測之介質 的適用程度，將導電度分為下列三個等級如下：
1. 高導電度(σ ≥10−2S/m)：不良於透地雷達之施測，會造成電磁波的迅速衰減及 干擾，而無法得知待測深度之訊號，如海水、濕頁岩和濕黏土等。
2. 中導電度(10−7 ≥σ ≥10−2S/m)：普通於透地雷達之施測，可得知待測深度之訊 號，但訊號易受介質的衰減及干擾而不清晰，如砂土、乾黏土、純水等。
3. 低導電度(σ ≤10−7S/m)：優良於透地雷達之施測，能完整呈現待測深優良於透 地雷達之施測，如瀝青、空氣、花崗岩、混凝土等。
3-1-5-2 相對介電常數
材料介電度為影響電磁波於材料介質內波傳速度快慢之最大因素，一般材 料介電度在透地雷達技術中稱為介電常數，而介電常數於透地雷達技術中所代 表是一種衡量材料可在電場中儲存多少能量的基準，其定義為電介質在空氣中 的介電常數與在真空中的電介常數的比(兩者相比之倍數)，稱為相對介電常數，
不同之電介質的媒介(Medium)具有不同之相對介電常數，則相對介電常數
ε
r可 以用下式表示：ε
0ε
r= ε
(3-9) 式中
ε
r：相對介電常數ε ：材料之介電常數(F/m，法拉/公尺)
εO：真空之介電常數(F/m，法拉/公尺)
一般常見介質之電性常數如表3-1所示[35]。表 3-1 電磁波於各種常見介質之電性參數[35]
介質 導電度 (mS/m)
相對介電常數 速度 衰減係數 (dB/m)
空氣 0 1 0.3 0
純水 0.5 81 0.003 0.1
海水 3*104 81 0.01 1000
積雪 0.001~0.01 1.4 0.25 --
永凍土 0.01~10 4~8 0.012 --
花崗岩 0.01~1 4~6 0.13 0.01
石灰岩 0.5~2 4~8 0.12 0.04
頁岩 1~100 5~15 0.09 1~100
砂(乾) 0.01 3~5 0.15 0.01
黏土 2~1000 5~40 0.06 1~300
混凝土 -- 6~11 0.10 --
瀝青 -- 3~6 0.12 --
鐵 109 1 -- --
銅 5*1010 1 -- --
3-1-5-3 衰減率
衰減率即雷達波在介質中的訊號衰減的程度，其與介質之介電常數及導電 度有關，其關係式如下：
，
ε β = ω µε
ω：角頻率(rad/sec) (3-10)µ
α σ
= 2
若電磁波在低損耗介質中傳播時(σ <<ωε)，衰減度公式可以簡化如下：
(3-11) 式中
α：衰減率(dB/m) σ：導電度(S/m) εr：相對介電常數
由(3-11)式中可以發現衰減率與導電度成正比。電磁波能量衰減原因可以分 為下列三種[36]：
(1) 電磁波能量因穿越導電介質而部分轉換成熱能。
(2) 在水中的介電衰減(dielectric relaxation)
(3) 黏土礦物化學離子的擴散(chemical diffusion)
當物質為金屬般的良導體時，電磁能量衰減非常快速，所以電磁能量是無 法在良導體中傳播的，僅在導體周圍行進。故衰減度越大表示電磁波衰減越快，
雷達波所能探測深度越淺。天線頻率 100MHz 和 1GHz 材料的衰減係數，如表 3-2 所示[37]。
表 3-2 天線頻率 100MHz 和 1GHz 材料衰減係數[37]
材料 100MHz 1GHz 濕黏土 5-300dB/m 50-3000dB/m 濕泥土 1-60dB/m 10-600dB/m
乾砂 0.01-2dB/m 0.1-20dB/m 冰 0.1-5dB/m 1-50dB/m 純水 0.1 dB/m 1dB/m 海水 100dB/m 1000dB/m 乾混凝土 0.5-2.5dB/m 5-25dB/m 磚塊 0.3-2.0dB/m 3-20dB/m
ε
rα 1635 σ
=
頻率愈高衰減常數愈大，在頻率高於100MHz時，衰減常數有急速增加的趨 勢，如圖3-4所示。
圖 3-4 衰減率和頻率關係圖[37]
3-1-5-4 反射係數及穿透係數
透地雷達發射電磁波從一個介質進入另一個介質時，一部分電磁波傳播方 向突然改變，而回到其來源之介質的現象稱為反射，另一部份則會穿透往下傳 播，其反射係數(3-12)與穿透係數(3-13)如下式所示。
1 2
1 2
η η
η η
+
= −
R (3-12)
1 2
2 2
η η
η
= +
T (3-13) 式中η1、η2分別為兩介質之阻抗一般介質的阻抗大小；
另對於相對介電常數εr、導電率σ 、角頻率ω、導磁率µ等四種參數亦有關 係。其關係式如下：
j= −1 ω 2= πf f =1GHz (3-14)
ωε σ η ωµ
j j
= +
對於絕緣體而言，導電率σ =0，假設介質 1、2 為絕緣體，且導磁率µ相同，
可得到下列公式：
(3-15) 其中εr為介質中相對介電常數
若介質並不是絕緣體，導磁率也不相同，其反射係數 R 與穿透係數 T 可得 下列關係式[36]：
(3-16)
(3-17)
式中
1
µr ：介質 1 之相對導磁率
2
µr ：介質 2 之相對導磁率
1
εr ：介質 1 之相對介電常數 εr2：介質 2 之相對介電常數
表 3-3 常見之相對介質反射係數
入射物質 空氣 塑膠 混凝土 金屬
空氣 --- 0.27 0.42〜0.54 ~1 塑膠 -0.8 --- 0.17~0.31 ~1 混凝土 -0.54〜-0.42 -0.31~-0.17 --- ~1
2 1
2 1
r r
r
R r
ε ε
ε ε
+
= −
1 1 2
2
1 1 2
2
r r
r r
r r
r r
R
ε µ ε
µ
ε µ ε
µ
+
−
=
1 1 2
2 2
2 2
r r
r r
r r
T
ε µ ε
µ ε µ
+
=
金屬 ~-1 ~-1 ~-1 --- 3-1-6 反射訊號電壓原理
透地雷達發射電磁波於介質中傳播時，其目標體反射電壓功率可用來衡量 是否產生足夠反射信號的一個指標，其大小主要受目標體與介質的阻抗特性、
電阻大小所影響。當電磁波入射介質層 A（空氣與介質交介面）之反射係數為 反射電壓與入射電壓之比值，其公式如(3-18)所示。
(3-18) 式中
) (t
rI ：為空氣至混凝土界面之反射電壓
s(t)：界面 I 入射電壓
故空氣與介質 A 中之界面 I 之反射電壓如公式(3-19)所示:
r
I(t
)= R
Ι⋅ s
(t
) (3-19) 而空氣至混凝土中之介質界面反射行為，如圖 3-5 所示。
圖 3-5 電磁波入射界面 I 之反射波波傳行為
在雙層介質時，介質 A 中之折射波於界面 II 處會產生另一反射波，如圖 3-6 所示。界面 II 之反射係數公式，如(3-20)所示：
(3-20)
界面 II 之反射電壓公式，如(3-21)所示：
air
介質 A
s(t) r
I(t)
界面 I
) (
) (
t s
t RΙ = rI
i II
II
s t w
t R r
= ⋅
) () (