第三章 RC 牆非線性剪力行為之探討
第三節 基本力學原理
ㄧ、平衡方程式(Equilibrium)
對於鋼筋混凝土牆之混凝土而言，圖3-1中元素應力
(
σ σ τlc, tc, ltc)
之兩主 軸方向可表示為d 與 r 方向，定義主壓應力(負值)為σ
d，主拉應力(正值)為σ
r。
(a) (b)
圖 3-1 鋼筋混凝土應力元素
若鋼筋混凝土牆之高度以h 表示，寬度或有效深度以 d 表示，且視其對 角線為拉壓桿件之方向，則介於d-axis 與 t-axis 之轉角θ 即可表示為(主軸方 向)：
tan 1 h
θ
= − ⎛ ⎞⎜ ⎟d⎝ ⎠ (3-1) 基於固定轉角之軟化桁架分析模式(Fixed Angle Softened Truss Model)理 論，混凝土後開裂之開裂角度與θ 一致，對於混凝土而言，力平衡方程式可
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由莫耳圓表示為：
τ
ltc= − ( σ
d+ σ
r) sin cos θ θ
(3-2)σ
lc= σ
dcos
2θ σ +
rsin
2θ
(3-3)σ
tc= σ
dsin
2θ σ +
rcos
2θ
(3-4) 式中
τ
ltc：混凝土之平均剪應力
σ
lc：鋼筋混凝土剪力牆體中混凝土之縱向(Longitudinal Direction, l 向) 應力
σ
tc：鋼筋混凝土剪力牆體中混凝土之橫向(Transverse Direction, t 向)應力 這三個方程式包含了六個變數，分別為τ
ltc、σ
lc、σ
tc、σ
d、σ
r、θ ， 若給定其中三個變數，則另外三個變數即可由力平衡方程式求得。若將式(3-3)與式(3-4)相加，即其中四個正向應力
σ
lc、σ
tc、σ
d與σ
r會有 一簡單的關係式，表示為：
σ
lc+ σ
tc= σ
d+ σ
r (3-5) 由此關係式可知，若欲求得任一正向應力，只須給定其他三個正向應力 值，即可求得。混凝土所承受之剪力V 可表示為： c
V
c= τ
ltc× × b
wd
(3-6) 式中b ：混凝土牆體之寬度 w d：混凝土牆體之有效深度 鋼筋所承受的剪力可表示為：
s st t
d tan
V A f
s θ
= × ×
(3-7)式中
A ：鋼筋混凝土牆體橫向鋼筋之面積 st
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f ：鋼筋混凝土牆體橫向鋼筋之應力 t
s：鋼筋混凝土剪力牆水平鋼筋之垂直向間距
因此，施加於鋼筋混凝土牆體水平向總剪力可表示為：
V = V
c+ V
s (3-8)二、諧合方程式(Compatibility)
鋼筋混凝土剪力牆腹版任一點之應變，橫向應變為ε ，縱向應變為t ε ，l 而剪應變為γ 。假設對角線主應變為it ε ，與其垂直另一主應變為d εr，諧合 方 程 式 之 推 導 可 以 混 凝 土 兩 個 方 向 之 主 應 變( , )
ε ε
d r 與l , t 方 向 應 變( , ,
ε ε γ
l t lt)之轉換關係(如圖 3-2)表示如下：
ε
l= ε
dcos
2θ ε +
rsin
2θ
(3-9)
ε
t= ε
dsin
2θ ε +
rcos
2θ
(3-10)γ
lt/ 2 ( = − + ε
dε
r)sin cos θ θ
(3-11)
圖 3- 2 鋼筋混凝土應變元素
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其中
ε
0為混凝土單軸受壓極限應力 f 'c所對應之應變一般採取為0.002。圖 3- 3 混凝土受壓應力應變曲線
混凝土軟化效應很顯然是由對角混凝土剪力破裂所引起，因此必須用一 函數以量計其破壞情形。在1986 年 Vecchio 與 Collins 在 Toronto 大學所提供 一軟化係數，如式(3-15)，但此軟化係數在應力應變曲線中僅考慮應力的軟化 效應。在1992 年 Hsu 與 Pang 在休士頓大學，由實驗結果所得到兩點重要的 結論，第一點為提出受壓混凝土應力應變曲線須同時考慮應力軟化與應變軟 化，將此考量與僅考慮應力軟化效應相比，實驗結果顯示更能接近受壓混凝 土真實之行為。第二點是將軟化係數之函數作為一簡化式，在原先的考量包 含了四個參數分別為拉應變
ε
r、壓應變ε
d、縱向鋼筋與主壓載重之夾角θ與 兩主應變之間的載重路徑，在這些參數中，最為重要之參數為拉應變ε
r，故將軟化係數簡化成僅含
ε
r為變數之公式，如式(3-16)。1 0.8 170 r
ς
= +ε
(3-15) (3-13)式(3-14)式
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0.9 1 600 r
ς
= +ε
(3-16)圖 3- 4 受壓混凝土軟化係數曲線
b. 受拉混凝土 (Concrete in tension)
Vecchio 與 Collins (Vecchio and Collins, 1986)回歸混凝土受拉之應力 應變曲線關係如圖 3-5，此曲線包含了兩種曲線型態，在開裂點前之曲線 為線性階段，但過了開裂點後，其強度極速下降，因此曲線型態呈現凹型，
相關計算式如下：
混凝土應力上升階段
σ
r =Ec rε
ε
r ≤ε
cr (3-17) 混凝土應力下降階段鋼筋混凝土建築物耐震能力評估之案例示範
c. 鋼筋應力應變關係(Stress-strain relationship of steel)
本文將鋼筋之應力應變曲線視為完全彈塑性，其曲線關係如圖 3-6，相
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圖 3-6 鋼筋應力應變曲線
四、鋼筋混凝土牆非線性容量曲線之分析流程
本文研提鋼筋混凝土牆非線性容量曲線計算流程如圖 3-7 所示，其詳細 運算簡述如下：
步驟 1：輸入鋼筋混凝土牆體斷面尺寸、混凝土強度、縱向與橫向鋼筋降伏 強度與鋼筋比。
步驟2：設定水平剪力 V，主壓應力(負值)
ε
d與主拉應力(正值)ε
r之初始值，各別對應之增量為∆ >V 0、∆ < 、
ε
d 0 ∆ > 。若鋼筋混凝土牆之高ε
r 0 度以h 表示，有效深度以 d 表示，且視其對角線為拉壓桿件之方向，則其與水平之夾角
θ
即可表為(主軸方向)計算對角線為拉壓桿件之方 向，得 tan 1 hθ = − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠d 。 步驟3：設定 V = + ∆V V
步驟4：設定
ε
d =ε
d + ∆ε
d(3-19)式 (3-20)式
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步驟9：由固定轉角之軟化桁架分析模式(Fixed Angle Softened Truss Model) 理論，混凝土後開裂之開裂角度與θ 一致，則從莫耳圓，可依力平
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0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
strain
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
0.000 0.002 strain0.004 0.006 0.008
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008
(a) (b)
0.000 0.002 0.004 0.006
strain
0.000 0.002 0.004 0.006
0.000 0.001 strain0.002 0.003 0.004
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
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-250 -200 -150 -100 -50 0
stress in compression 0
-0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0.000
(a) (b)
圖 3-9 牆體應力與應變軌跡圖
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
shear strain shear strain- shear stress
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
圖 3-10 剪應力-剪應變關係
其牆試體所對應之水平變位與水平剪力關係如圖3-11所示，虛線為混凝 土所提供之貢獻，實線為鋼筋所提供之貢獻，粗實線為混凝土與鋼筋兩貢獻 之疊加。
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得到鋼筋混凝土牆體等值斜撐之力-位移關係後，將此作為鋼筋混凝土牆 等值軸力塑性鉸設定之基準，如圖3-13所示，即為軸力塑性鉸輸入之值點。
Specimen t=3 p=0.008
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Displacement (cm)
Force (kg)
圖 3-13 軸力塑性鉸輸入之值點
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