壅塞賽局(Congestion Games)

Rosenthal [Ros73] 首先在 1973 年將多個使用者彼此競爭資源的情形歸納成一種 特殊的非合作賽局，稱為壅塞賽局。Rosenthal 假設了 n 位參與者與 R 種資源(或 稱 primary factors)。參與者的策略屬於 R 之子集合(2^𝑅)。參與者選擇使用資源就 要付出相對應的成本。壅塞的概念即選擇同一資源上的參與者越多，選擇此資源 的參與者就要付出更多成本，也就是參與者從資源獲得的利益會跟資源壅塞程度 (congestion level)呈反比。換句話說，賽局參與者選擇某資源所獲得的利益是與選 擇此資源人數相關的非遞增函數(non-increasing function)。

範例：假設在公路網上，每位參與者從選擇從特定起點到特定終點路徑，其 成本為時間。當參與者選擇同一條路徑(資源)時，需要的時間就會隨著壅塞程度 上升。此類壅塞賽局中，每位參與者的目標就是在與人彼此競爭資源的同時，選 出使自己耗時最短的路徑。在 Rosenthal 提出壅塞賽局的概念之後，又有多位學 者依據了參與者的利益函數與策略是否相同出了各種壅塞賽局的變形與研究。此 外 Rosnethal 在文中證明了任一(general)壅塞賽局中都保證存在至少一個純策略 的納許均衡。

Theorem 2.1 (Rosenthal, 1973)

Every (general) Congestion Game possesses at least one pure Nash equilibria.

Milchtaich 證明了只有兩個策略的壅塞賽局擁有 finite improvement property，

但策略數在三個以上時不一定存在 [Mil96]。Milchtaich 後續又提出了參與者的 策略是選擇單一資源的壅塞賽局－Crowding Game，並證明此賽局可在多項式時 間 內 達到 納許 均衡 ，也 提 出參 與者 占用 資源 權 重不 同時 的賽 局 － weighted congestion game [Mil98]。

14

Southwell 與 Huang 兩位學者 [SH11] 探討了在參與者只能選擇單一個 (singleton)同質資源(homogeneous resource)且參與者擁有不同利益函數(player-specific)時的壅塞賽局，並證明其可在多項式時間內收斂至納許均衡。此處所謂 同質資源指的是資源都是同種類型，也就是參與者選擇擁擠程度相同的資源所獲 得的利益相等。

Chen 等人 [CXY+13] 利用賽局的方式解決多頻道多介面卡 (multi-radio multi-channel)無線網路中節點的頻道配置問題。此賽局模型將節點視為參與者，

頻寬視為資源，使用同頻道的參與者則均分該頻寬。雖然論文中並沒有提到壅塞 賽局的概念，不過此賽局模型本質上是一種假設異質資源(heterogeneous resource) 的壅塞賽局。

上述資源分配問題中均假設資源的壅塞程度是與賽局中使用此資源的全部 使用人數相關。例如 Chen 等人在 [CXY+13] 中考慮的是參與者在單一碰撞領域 (single collision domain)時的情境，所以參與者使用資源的壅塞程度與所有使用此 資源的人數相關。事實上，資源的壅塞程度可能僅與部分相鄰的使用者有關。例 如：無線網狀網路在分配頻道時，只有與距離自己在一定範圍之內的節點使用同 頻道時才會造成干擾，若距離夠遠則可忽略。

Bilo 等人 [BFF+08] 首先考慮參與者只知道部分資訊之下競爭資源的壅塞 賽局模型，賽局中的參與者使用相同的線性利益函數且資源全為同質的，並將此 稱為圖形壅塞賽局。圖形壅塞賽局是一般壅塞賽局的延伸，或者說一般壅塞賽局 是圖形雍賽賽局的一種特例。當圖形壅塞賽局中所有節點皆相鄰，而形成完全圖 時，圖形壅塞賽局退化(reduce)為一般壅塞賽局。一般壅塞賽局所擁有的性質並 不一定適用於圖形壅塞賽局。

Ahmad 等人 [ALT+10] 也提出與圖形壅塞賽局[BFF+08]相同概念的賽局，

並 應 用 在 感 知 無 線 電 網 路 (Cognitive Radio Network) 中 的 頻 譜 分 享 (spectrum sharing)問題，稱為 Spatial Congestion Game (SCG)。與圖形壅塞賽局一樣，此賽

15

局參與者的利益函數仍為非遞增函數。不同點是參與者可以各自擁有不同的利益 函數。作者證明了當所有的資源都是同質時，SCG 同樣存在 finite improvement property。

Southwell 等人 [SCH12] 則依據參與者的策略類型將圖形壅塞賽局分成擬 陣(matroid)以及冪集合(power set)兩種，並證明了此兩種圖形壅塞賽局在同質資 源時可以使用懶惰最適回應(lazy-best response)的策略改變方式使賽局在多項式 時間內達到納許均衡。

圖形壅塞賽局 [BFF+08] 與 SCG [ATL+10] 與我們論文採用的模型差異在 於，前兩種賽局之參與者可以自由地從所有可能的資源中選擇可以獲得利益的資 源組合，並不限制選擇的資源數目，而我們的模型則限制每位參與者只能選擇固 定數量的資源組合。以無線網路中的頻譜分享問題為例，就是使用者去選擇能夠 較少人使用(提供較多頻寬)的頻道。而對於多頻道多介面卡的頻道配置的問題，

圖形壅塞賽局與 SCG 的賽局模型允許網路節點(參與者)選擇任意數量的頻道(資 源)，而我們的模型只允許節點選擇固定數量的頻道，而此數量通常是受限於節 點配置的網路介面卡數量，但是仍須考慮節點之間存在共用頻道。若頻道數與網 路介面卡數量符合鴿籠定理十，頻道配置問題可視為圖形壅塞賽局。

我們將圖形壅塞賽局的模型應用於著色問題，其中所有顏色對使用者來說都 是同質的。我們的方法考慮了在顏色數不足以完成著色需求，允許部分節點著上 相同顏色之外。由先前的研究 [SH11] 可知，參與者只能選擇一個顏色當作策略 時，可以在有限步驟內收斂至納許均衡。在我們所假設的模型中，參與者的策略 為選擇固定數目之顏色，即所有的節點都選擇𝑘^′個顏色(𝑘^′ ≤ |𝐾|)且不能重複。許 多資源配置問題都符合這種情境，如無線網狀網路中的節點都配置相同數目的網 路卡。我們將於第三章證明我們所提出的賽局在此限制下也會在有限步驟內收斂。

16