第四章 模擬實驗
4.1 實驗設計與參數設定
本論文使用 C++語言來模擬分散式系統中實作最適回應與較適回應機制的自我 穩定著色演算法。兩方法皆使用集中式的運算模型，利用亂數給予每個節點一個 唯一的倒數值。每回合以倒數值最小的節點來檢查是否有先決條件被啟動，若有 則作相對應的動作，直到系統中不存在任何特權節點為止，此時系統進入合法的 穩定狀態。
模擬實驗分成三個部分。首先比較依據賽局所設計的自我穩定著色演算法在 顏色數為∆ + 1時與傳統自我穩定著色演算法在全部使用顏色數之差異。第二部 分則是我們所提出的演算法在最適回應與較適回應機制下，對於最小顏色衝突數 的效能差異。兩個部分皆是利用每個節點平均做了幾次顏色轉換來作為評斷收斂 時間快慢的效能標準。上述兩個實驗分別運作在四種不同拓樸邏輯模型，分別為 Unit Disk Graph [CCJ90]、ER model [ER60]、WS model [WS98] 、BA model [BA99]。
每個數據皆是在同模型 1000 種不同拓樸下所取的平均值。最後的部分則將我們 更改過後的無線網路協定版本模擬實作在 Unit Disk Graph 模型下，並觀察賽局 與協定的不同以及不同參數設定對於整體效能的影響。以下依序介紹四種拓樸邏 輯模型以及實驗參數設定。
Unit Disk Graph (UDG) [CCJ90]
：
我們在 1000 m × 1000 m 二維平面中隨機放置 n 個節點。每個節點使用固定的 傳輸半徑(𝑅𝑡)。若任兩節點間距離小於傳輸半徑，兩點間就會存在一條連結(邊)。
圖 4.1 即為一個 UDG。白色圓圈代表節點，虛線部分代表每個節點的傳輸範圍，
黑色實線代表邊。產生 UDG 拓樸邏輯時，若有節點的位置被分配在較偏遠的位 置而不在任何其他節點的傳輸半徑內，則此節點會成為孤立點，而使得網路拓樸
30
成為不連通。此時我們會捨棄此拓樸，直到產生連通圖為止。
圖 4.1 Unit Disk Graph 的拓樸邏輯
ER Model [ER60]
：
由60年代開始Erdős與Rényi所提出的隨機網路拓樸，是由隨機過程所產生出的。
圖形中每個節點與其它任何節點(無論遠近)是否存在邊相接都是依照一個機率 (0 < 𝑃𝑒 < 1)來決定，所建構出的網路就是ER模型的網路。實驗中我們同樣捨棄 不連通的隨機網路拓樸。隨機網路的特性是大部分節點的分支度都會接近某個平 均值，遠大於或遠小於此平均值的節點數目是較少的，屬於卜瓦松分布(Poisson distribution)。
WS Model [WS98]：
1998 年 Watts 與 Strogatz 提出了 WS 模型來解釋小世界網路。兩人假設小世界模 型是介於 regular network (圖 4.2) 和隨機網路之間的網路。模型的建構過程為：
(1) 首先建構一個 n 個節點的 regular graph。這個網路中的每個節點都與離它最 近的 2𝑘個節點相連，其中𝑘是一個遠小於 n 的正整數。圖 4.2 所示為 n = 7 且 k = 2 的 regular graph。(2) 選擇從網路中的某個節點 (稱為 1 號節點) 開始將所有節 點順時針遞增編號。再來判斷 1 號節點的第 1 條邊是否須改和其他目前還沒有與
31
此節點相連的節點重連，此重連事件的機率為𝑃𝑟(0 < 𝑃𝑟 < 1)。重連方式為保持 1 號節點這一端不變，將邊的另一端隨機連接至網路中目前還沒有邊與 1 號節點相 接的另一個節點。依上述步驟依序判斷 1 號節點的所有邊，才依序換對 2 號節點 進行判斷。若有某節點的某個邊為之前被重連過的，則不再重複進行判斷。重複 此步驟直到所有節點都被檢查過為止。最後必須檢查結果是否為連通圖。分支度 的分布為卜瓦松分布(Poisson distribution)。
圖 4.2 n = 7 且 k = 2 的 regular graph
BA Model [24]
：
Barabási 與 Albert 在 1999 年提出 BA 模型用以分析複雜網路。複雜網路反應出 現實生活中的網路拓樸，如新網頁一般會有到知名的網路站點的連接，新加入社 群的人會想與社群中的知名人士結識，新的論文傾向於引用已被廣泛引用的著名 文獻，新機場會優先考慮建立與大機場之間的航線等。
BA 模型的建構過程如下：(1) 增長: 從一個較小的網路𝐺0開始 (有𝑚0個節 點以及𝐸0條邊)，之後每次都加入一個新的節點到拓樸邏輯中。(2) 連接：當新的 節點要加入拓樸邏輯時，會向原有的𝑚0個節點連出 m 個邊 (𝑚 ≤ 𝑚0)。而邊連接 的方式會優先考慮分支度大的節點。網路中節點被接邊的機率為 Pi
(計算如 4.1
32
式，𝑑𝑖為節點 i 的分支度，分母為目前網路中所有節點的分支度總合)。
𝑃𝑖 =∑ 𝑑𝑖𝑑
𝑛 𝑖
𝑗=1 (4.1) 依據上述步驟建構出 BA model 的拓樸邏輯，必須檢查是否為連通圖，若不是則 再重覆上述步驟，直到產生連通圖為止。BA model 的特徵為大部份的節點分支 度都很小，而且只有極少的節點與非常多的節點連接，分支度分布屬於 Power-law 分布。
表 4.1 實驗 4.2 參數設定
拓樸邏輯名稱 設定參數
UDG 𝑛 = 50~100, 𝑟 = 200 ER model 𝑛 = 100，P𝑒 = 0.1~0.5 WS model 𝑛 = 100，𝑘 = 2，P𝑟 = 0~1 BA model 𝑛 = 100，𝑚0 = 5，𝑚 = 1~5