第一章 簡介
圖形理論中古典的圖形著色問題或簡稱著色問題，要求將給定圖形(graph)中每個 頂點或稱節點著上顏色，並且滿足相鄰頂點皆不同色。著色最佳化問題(graph coloring optimization problem) 是 將 給定 一 圖著 色 並 使 用 最 少 的 顏色 數 ( 色數 , chromatic number)，此問題已被證明是一個 NP-Hard 問題 [GJ79]。而確定一圖是 否可用 k 種顏色著色則是 NP-Complete 問題，難以在多項式時間內找到最佳解 [Law76]。雖然集中式的演算法可以找到近似最佳解，但是在分散式系統中執行 集中式演算法所耗費成本太高，實作不易。
在本篇論文中，我們將古典著色問題一般化後提出了最小顏色衝突數問題，
將相鄰的兩個頂點著上相同顏色的事件視為一次顏色衝突。古典著色問題要求顏 色衝突的次數為零。我們放寬此限制，在顏色數目無法滿足相鄰頂點皆不同色時，
要求盡量減少顏色衝突的數目即可。我們另外放寬每個頂點允許著色的數目，也 就是每個頂點可以著上多個顏色。
分散式系統中的自我穩定演算法是指系統中每個行程執行個別的演算法，無 論系統初始狀態為何，演算法保證整個分散式系統最終會進入合法的狀態 (legitimate state)，並且停留在合法的狀態集合中(legitimate state set) [Dij74]。自我 穩定演算法不須初始化的特性允許行程的動態加入或退出，並且具有錯誤容忍 (fault tolerance)的優點。即使分散式系統中發生暫時性錯誤(transient fault)而導致 系統進入非法狀態(illegitimate state)，也能在無需外力的協助下在有限的時間內 回到合法狀態中運行。基於上述優點，自我穩定演算法近年來廣泛地被應用在圖 論中的各種問題。其中在古典著色問題方面，Gradinariu 與 Tixeuil [GT00] 首先 提出了適用在任意拓樸(arbitrary graph)中的自我穩定著色演算法。Hedetniemi 等 人 [HJS02] 之後也提出了兩個比 [GT00] 收斂時間更快速之古典著色演算法。
Mitton 等人 [MFL+06] 則提出了在多跳點無線網路(multi-hop wireless network)
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下的 k-distance 著色演算法，k 等於 1 時則等同於著色演算法。這些分散式自我 穩定演算法皆只適用於古典著色問題，並不適用我們所提出的最小顏色衝突問題。
本論文研究的動機是將利用賽局理論(Game theory)來分析多顏色著色的顏 色衝突問題。賽局理論或稱博奕理論起源於經濟學，是一門探討多個個體決策問 題之數理模型。賽局中的個體會預測或參考其他個體的實際行為所造成之利害衝 突下做出最適當的因應策略。起先賽局理論多用來探討一個事件的可能走向，而 近年來賽局理論被廣泛地應用在資訊領域。藉由系統化的分析方式與利益函數的 設計，在每個個體尋求自己的最大利益之際將系統狀態導向我們想要的結果。一 般賽局中的個體稱為參與者(player)，每位參與者各自擁有一個策略集合(strategy set)代表該參與者所可能選擇的策略(strategy)之集合。賽局理論即為探討參與者 在彼此不斷改變決策的影響下最終賽局之走向。賽局中的參與者雖然是自私的，
但不同於貪婪式演算法(greedy algorithm)的是賽局的參與者在做了決策之後仍有 反悔的空間，在反覆決策之下可以避免陷入區域最佳解(local optimum)的情形。
圖 1.1 與表 1.1 說明了一般貪婪式演算法(通常由分支度(degree)最大的頂點先著 色)和我們所提出賽局之差異。
我 們 利 用 了 兩 種 特 殊 的 賽 局 模 型 來 分 析 顏 色 衝 突 問 題 － 壅 塞 賽 局 (congestion game, CG)與圖形賽局(graphical game)。壅塞賽局中參與者所獲得的利 益值與其他選擇相同策略的參與者人數有關。例如在無線網路中，選擇較多人使 用的頻道，則獲得較少的頻寬。圖形賽局則是將賽局中參與者的利益影響關係利 用衝突圖(conflict graph)的方式表示，只有相鄰的參與者會影響彼此之間的利益 值。著色衝突問題剛好符合這兩個模型的特性，以頂點當作參與者、可用顏色做 為策略集合，每位參與者皆選擇較少被鄰近節點所使用的顏色。我們將提出一個 著色賽局，並證明此賽局保證會達到穩定狀態。
上述賽局屬於所謂完美資訊(perfect information)的動態賽局(dynamic game) 中，表示參與者進行決策時知道所有其他先前決策結果。在分散式系統中，每個
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節點各自進行決策，但此決策結果不能保證立即被其他節點知曉。因此有必要將 我們所設計的著色賽局改寫成分散式的演算法。我們提出了一個在區域集中式運 算模型(execution model)下的自我穩定演算法，並藉由共享變數(shared variable)來 計算參與者的利益值並且由先決條件(guard)與對應動作(command 或 action)來進 行決策。
分散式系統利用集中式運算模型的假設來模擬行程(process)的執行順序，但 現實中實施該運算模型的成本高昂。在網路分散式系統中，集中式的運算模型不 可能存在。且訊息的傳遞延遲(propagation delay)以及碰撞(collision)所造成的訊息 遺失對於系統的穩定性更是嚴重的問題。最後我們提出將分散式演算法改寫成一 個可運行於行動隨意式網路的無線網路協定。
在模擬實驗部分，我們分別模擬在 Unit Disk Graph、ER model、WS model 與 BA model 四種不同的拓樸邏輯下進行效能測試。第一個實驗是在顏色數為Δ + 1(Δ 為最大分支度)時與傳統自我穩定著色演算法做比較，結果顯示我們的方法 使用的顏色高於傳統自我穩定著色演算法 [GT00, HJS02, MST+06] 但收斂時間 較短。第二個實驗限制可用顏色數並假設每個節點可使用多個顏色，探討演算法 使用最適回應與較適回應兩種不同反應機制對收斂時間以及顏色衝突的影響。結 果顯示最適回應機制在收斂時間上較佔優勢，而較適回應機制在總顏色衝突數則 表現較優，這是因為後者較可避免陷入區域最佳解。
本章我們粗略介紹了著色問題、分散式系統中的自我穩定演算法、賽局理論 以及我們的研究成果。第二章我們將針對分散式系統以及賽局理論做更詳盡的介 紹，並對相關文獻做更詳細的探討。第三章則說明我們如何將賽局理論改寫成自 我穩定演算法，並提出我們所改寫的無線網路協定。第四章是實驗模擬以及不同 方法之間的效能做分析比較。最後一章則是整篇論文的總結。
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圖 1.1a 貪婪式著色演算法結果(result of greedy algorithm)
圖 1.1b 著色賽局結果(result of game)
表 1.1 貪婪式著色演算法與著色賽局差異
執行順序\演算法 貪婪式著色演算法 著色賽局
1 N1:黑 同左
2 N2:白 同左
3 N3:黑 同左
4 N4:黑 同左
5 N3:白
最終顏色衝突數 2 1
N1
N4 N3
N2
N1
N4 N3
N2
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