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第三章 結果與討論

3.3 壓力推估

3.2 節的圖顯示了孔隙間液體的流場,並不會在時間平均之後消失;也就是說,

孔隙間與自由液面液體的交換,並非是紊流驅動。本研究推測孔隙間的流場是受 壓力水頭與高度頭所驅動,此節將計算各組實驗靠近底床附近的壓力分布。

計算壓力的方法,McLean & Nikora(2006)提出以 Double-Averaging Concept 用以處理在水槽實驗中所測到在橫跨渠寬方向存在多個切頁的數據,方法如下: Navier Stokes 方程式:

∂u���k

steady state,∂u�

∂t ~0 (3-4a)

沿 x 方向積分得: Transform, FFT)近似,再代入計算。以下介紹並說明傅立葉轉換的使用方法。

傅立葉轉換可以將一資料序列F(x),x=1,2,3.…..N 拆解成不同波長正弦與餘弦 波的疊加:

FM(x) = � ansin (Nπ n x)

M n=0

+ � bncos (Nπ n x)

M

n=0 (3-8)

在使用上使用者需決定階數 M,所選用的階數越高,與原序列就越接近,藉由傅 立葉轉換,可將具有週期性波長較長的資料與波長較短的隨機震盪去除,且傅立 葉轉換有峰值較不易失真的優點。而傅立葉轉換在使用上的限制為必須是首尾相 接的重複波形,以下圖為例解說傅立葉轉換的用法:

a)

b)

圖 3-19 傅立葉轉換圖

圖 3-19a 為一 u(x)序列,為了產生符合傅立葉轉換要求頭尾相連的完整波形,取 a 圖中兩紅線中間的數據,做出鏡像反射產生一新序列如圖 3-19b 中的藍點。於此情 況便能以傅立葉轉換做出去除高頻震盪的平滑線(即圖 3-19b 中的藍線)。在各實 驗各情況 M 的選取方面如表 3-1,選取的依據為:在峰值失真(M 過小)與在局

部產生額外峰值(M 過大)之間取平衡。

表 3-1 各實驗情況所選取的 M 值 u�, w� u����� u u������ w

Exp01 7 12 12 Exp02 7 12 N.A.

Exp03 17 12 N.A.

其中因為 Exp03 的數據u�, w�在空間中具有較多個週期,故使用較高的 M 值去近似。

另外數據u������因為數據震盪過大,無法以傅立葉轉換描繪其變化,故僅以 12 階近w 似 Exp01 的u������,示範說明此項計算方法與過程。以下將以 Exp01 組別為例說明w 各項壓力詳細的計算過程:

圖 3-20 變數u�,w�之分布(Exp01)

以 Exp01 為例,要計算壓力在z = 0.175cm 線上沿 x 方向變化時,需要用到 x 方向流速u�在z = 0.275cm、z = 0.175cm與z = 0.075cm三個高程的流速分布以及w�

在z = 0.175cm的流速分布如圖 3-20,其中實驗所測量到的數據以點顯示,為了避 免在計算過程中的誤差傳遞,選用 FFT 近似的結果以「與點同顏色的連續線」顯 示。各項計算時所需要用到的變數與計算過程不一,其雷諾項以外的各項計算結 果如圖 3-21,以下依序解釋在圖中各項結果之算法:

圖 3-21 Pconvx, Pconvy,Pgx, Pvis之分布(Exp01)

 圖 3-21 中紅色點與線為Pconvx: −ρ∆12u�2在計算所需要用到的變數為u�在

z = 0.175cm的數據(圖 3-20 中的藍色點與線),此項在 x = xk的計算方法為:

Pconvx(xk, 0.175) = −ρ1

2 (u�2(xk, 0.175) − u�2(x0, 0.175)) (3-9) 其中紅色點為利用實驗原始數據直接計算出的結果,紅色線為利用 FFT 近似 後的數據計算出的結果。

 圖 3-21 中藍色點與線為 Pconvy: −ρw�∂u�∂zdx在計算所需要用到的變數為u�在 z = 0.275cm(圖 3-20 中的紅色點與線)、z = 0.175cm的數據(圖 3-20 中的 藍色點與線)與w�在z = 0.175cm的數據(圖 3-20 中的黑色點與線),計算上 需要用到累加的積分概念,此項在 x = xk的計算方法為:

Pconvy(xk, 0.175) = −ρ � w�(xn, 0.175)u�(xn, 0.275) − u�(xn, 0.175)

∆z ∆x

k

n=1 (3-10)

其中∆x、∆z為格網的長與寬,在這邊都是 1mm。藍色點為利用實驗原始數據

直接計算出的結果,藍色線為利用 FFT 近似後的數據計算出的結果。

圖 3-22 u�����, uu ������空間分布(Exp01) w

 圖 3-23 中黑色的點與線是雷諾應力u�����項對壓力的貢獻,Pu Rex: −∆�ρu������,在u 計算過程中需要用到u�����在 z=0.175cm 沿 x 的變化(圖 3-a2 中的紫色點與線)。u 此項在 x = xk的計算方法為:

PRex(xk, 0.175) = −ρ(u�����u′2(xk, 0.175) − u�����u′2(x0, 0.175)) (3-12)

黑色點為利用實驗原始數據直接計算出的結果,黑色線為利用 FFT 近似後的 數據計算出的結果。

圖 3-23 中 u����� 與 Pu Rex 沿 x 方向之變化圖(Exp01)

圖 3-24 u������ 沿 x 方向之變化圖(Exp01) w

 圖 3-24 中黑色的點與線是雷諾應力u������項對壓力的貢獻,Pw Rey: −ρ∂(u������)∂zw dx,

在計算過程中需要用到u������在 z=0.275cm(圖 3-24 中的紅色點與線)與uw ������在w z=0.175cm(圖 3-23 中的藍色點與線)沿 x 的變化。此項在 x = xk的計算方法 為:

PRey(xk, 0.175) = −ρ �u������(xw n, 0.275) − u������(xw n, 0.175)

∆z ∆x

k

n=1 (3-13)

黑色點為利用實驗原始數據直接計算出的結果,黑色線為利用 FFT 近似後的 數據計算出的結果。

從圖 3-24 可以發現u������在第一波峰下存在一較低的值,在 x>5 之後在趨勢上w 則維持一定值,但數據震盪太大,難以看出其原貌。Lennon& Hill(2006)提供在不 透水性底床的震盪型水躍第一個波峰下,u������在垂直方向詳細的分布情形,如圖w 3-25。從圖中可以發現,數據在靠近底床 3mm 內有一反折,顯示此項對離底床位 置相當敏感。然而本研究因為考量資料筆數的問題,將跨渠寬方向一倍粒徑 16mm

的資料合併在一起分析,在不同斷面中,距離壓克力球的距離都不相同,是圖 3-25 中的變化較激烈的區域,或許因此造成不同深度得資料各自都具有大幅度的震盪,

在此震盪下,掩蓋了u������在垂之方向間的變化趨勢,使以原始數據計算計算所得的w 壓力變化(黑色點)在相鄰兩格內會發生大幅度的跳動,而PRey在計算過程中會累 加路徑上的誤差,可能使計算結果越往下游誤差越大。使用 FFT 先將數據平滑化,

雖然可避免在相鄰兩格內會發生大幅度的跳動,但在原始數據本身存在著劇烈震 盪的情況下,FFT 所近似出的數據(紅線與藍線)亦會受到震盪的影響而偏移,

使後續在計算上亦會受到劇烈震盪的影響。總之,由於u������在垂直方向的變化小於w 本實驗所能測量的準確度,且此誤差在計算過程中會累積放大,故本研究僅能先 放棄此項的貢獻。

圖 3-25 震盪型水躍波峰下 Reynolds Stress(−ρu������) 之分布(Lennon & Hill, w 2006)。實驗流況:Fr =1.65。波峰水深 6cm。

圖 3-26 總壓力與水利頭分布(Exp01)

將上述各項略過PRey進行加總(dP� = Pconvx+ Pconvy+ Pgx+ Pvis + PRex),可 得壓力在 z=0.175cm 處沿 x 方向的變化如圖 3-26。若將渠道的坡度造成的高度考 量進去,可得水利水頭(壓力頭加底床高程)變化dH�如圖 3-26。其中綠色與紅色 點為利用實驗原始數據直接計算出的結果,綠色與紅色的線為利用 FFT 近似後的 數據計算出的結果。以下一併將 Exp02 與 Exp03 的結果呈現。

圖 3-27 波形與對照位置(上:Exp02,下:Exp03)

圖 3-28 變數u�,w�之分布(上:Exp02,下:Exp03)。圖中點為實測資料,實線為 利用快速傅立葉轉換近似的變數值。

圖 3-29 Pconvx, Pconvy,Pgx, Pvis之分布(上:Exp02,下:Exp03)。圖中點為代入實 測資料計算的結果,實線為代入快速傅立葉近似值計算出的結果。

圖 3-30 u’u’�����,u’w’������結構空間分布(上兩張:Exp02,下兩張:Exp03)

圖 3-31 u���� 與 Pu Rex 沿 x 方向之變化圖(上:Exp02,下:Exp03)

圖 3-32 u����� 沿 x 方向之變化圖(上:Exp02,下:Exp03) w

圖 3-33 總壓力與水利水頭分布(上:Exp02,下:Exp03)

小結: 0.5cm 高,但是計算出的水利水頭分布,Exp02 中高壓與低壓的差值為 13.2pa 較 Exp01 中的差值 23pa 小。

h. 從圖 3-33 中可以發現 Exp03 中的壓力分布在離開紊流影響後,為一穩定的週 期震盪,表示沿 x 方向釋放的位能與能量損耗大致達到平衡,為平衡態。

i. PRex僅在第一個週期內有存在一負壓,且極值在 1/4 波長處。是造成壓力分布 與波形間存在相位差的主因,使壓力分布的高壓往下游偏移。

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