在數學的推導上，當資料符合稀疏性(Sparse)與不連貫性(Incoherent )取樣樣 本(Sample)，則確認此筆資料是稀疏化(sparse)或稱為可壓縮的(compressible)。根
Compressed Data
圖 2-1 壓縮感知編碼流程圖
Compressed
Data Analysis Convex
Optimization Reconstruction
圖 2-2 壓縮感知重建流程圖
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圖 2-1 為壓縮感知重建的標準方法流程，由(2.1)式觀察可發現為一個 m x n 的數學矩陣表示式。Analysis 步驟是將壓縮數據(compressed data)初步透過線性代 數分析分析無窮解的最佳化的解。由維度定理rank(A)nullity(A)n可發現原 始資料 x 是由n-nullity (A)個坐標軸所延展(span)生成，我們也知道
(A) nullity
-n 並無法映成(onto)於原始資料並了解到 A 的值域將座落在R(AT)， 在此空間中勢必有一個最接近 x 的解為最小解(minimal solution)，Daubechiest 所提出的 MOF(Method of Frame)[3]確定 Analysis 的值。MOF 的方式為以 2-norm 長度評估 Analysis 最接近資料的結果為
Ax y x subjectto
min 2 (2.4)
則依據線性代數最小解答(minimal solution) y AA A
x *( *)1 (2.5) 由於原始資料結構以及壓縮感知在運用上的不同，Analysis 分為多種方式。以達 到最有利的重建效果．例如由 S. Mallet 和 Z. Zhang 所提出的 MP(Match Pursuit) 或是 Best Orthogonal Pursuit (BOB)[3]。亦有使用直接將壓縮數據取得所對應於
y A x A
R( T),ˆ * 延展空間的值，以加快運算的速度。
我們已經知道，R(AT)Rm，必須要使用最佳化理論統計估算原來資料 (Source data)的數值，本實驗最佳化的演算法方式為 Basis Pursuit (BP)，BP 為數 學上最佳化技巧的一種方式，然而實踐的方法隨著研究觀點有多種的方法，對於 運用於壓縮感知的重建中的凸函數最佳化(Convex Optimization)的步驟上其優異 也隨著重建資料的不同也有所差異。
利用牛頓運算子的方法尋找函數的最小位置；即 f '(x)0；時常被使用的一 個技巧．主要是用來解決以下問題：
8 重新以 Primal-dual Method 的方式規劃 LPs(Linear Programming)並利用
Log-barrier 演算 SOCP(Second Order Cone Programs)．
Primal-dual method 或稱為 PD 是將函數線性規劃(Linear program)的一個技 巧[6]-[9]，以利於演算法上的處理．主要的技巧觀念規畫建構一個可以重原點開 始積分的函數;可積分函數;並且設計一個相關的函數來決定其結果。
此建構的從原點可積分函數為:Primal Leaner Programming 另一個相關函數就稱為: Dual Leaner Programming
標準線性規劃限制為：
x
x c ,
min 0 SubjecttoA0x y, fi(x)0 (2.7)
壓縮感知的重建應用上，yRm,xRn,A0Rmxn, fi(x) ci,x di
KKT (Karush-Kuhn-Tucker conditions)[6,9]，滿足其條件為由(2.7)方程式可以觀察 到壓縮感知利用 KKT 所需要的條件，來統計與重建原來資料．接下來規劃出 Primal functional 和 Dual functional，符合線性規劃(LP)進而利用運算子設計出其 演算法。
前敘述提到，以 Primal-dual method 做線性規劃需要找出系統可以從原點積分方 程式作為 primal function，並設計可以決定其結果的 dual function。
其中的*i fi(x*)0方程式是 complementary slackness condition[9]，其中的 τ 式牛 頓運算子(Newton Iterations)，可以進一步表示為
)
9
根據 Emmanuel Candes 和 Justin Romberg 所提出的最佳化方法，主要是將(2.9) 式泰勒級數展開式的方式表示出數學方程式[6,9]。如此的話，當系統是可最佳化 的時候，可以使用 log- barrier 的技術實施演算法以實踐牛頓運算子(Newton iterator)的方法完成最佳化程序。
由 2.7 式標準線性表示式，當一個函數 fi(xk)是否為線性(LP)的判定方法，是
我們可以重寫(2.10a)和(2.10b)式使它成為 log-barrier 形式的線性標準表式式:
10 Programs (SOCP)，利用梯 g(x)矩陣以及 Hessian 矩陣 H(x)表示泰勒級數為:
x 總結 2.2 節所討論，壓縮感知壓縮數據的重建方法是透過(2.8c)式 KKT primal-dual 設計出 F 集合，其中的功能函數(functional)符合 λk>0 且 fi(xk)<0，它將符合(2.11) 式在限制條件下符合 log-barrier 二次凸函數，進而可以利用牛頓運算子(Newton Iterations)運算凸函數最佳點[6]。
(a) Min-L1 with equality constraints P1
P1 x Ax y
x 1 subjectto 0
min (2.13a)
(b) Min-L1 error approximation PA
PA y Ax Ax y
x 1 subjectto 0
min (2.13b)
(c) Min-L1 with quadratic constraints
P2 x subjectto Axb
x 1 0
min (2.13c)
(d) Min-L1 with bounded residual correlation
PD
(e) Min-Tv with equality constraints
TV1 Ax y
x TV(x) subjectto 0
min (2.13e)
(f) Min-Tv with quadratic constraints
TV2 Axb
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Compressed Sensing y
As Compressed Data
Setting Log-Barrier Iteratioin
If ii < lbtal End
Min Energy X0=inverse(A*(AA*))y
KKT Primal-Dual Setting
Back-Tracking loop
Loop-backtracking Iteration >32
Lamda2/2<newtontol Or
Niter >= newtonmax
圖 2-3 壓縮感知軟體程序流程圖
(2.13a)至(2.13g)式是 J. Romberg 所提出以 BP 數值演算法重建壓縮感知的原始資 訊的基礎方法。[6]
圖 2-3 是模擬壓縮感知的實作模擬程序，設定完成 Log-barrier 所需要的演 算參數；如 lbtal 表示 log-barrier 演算迭代的次數，若是 lbtal 的設定範圍內，則 開始執行所需要的演算。
於 Minimal Energy 的階段，即可得到系統的最小解，之後將以 KKT primal-dual condition 的技巧得到一個 SOCP 所需要的凸函數，執行 Newton-step Optimization，
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持續監看 Loop-backtracking Iteration 迭代的設定次數和 Newton-step 的迴圈次數 和最佳解所設定的值，直到符合設定就完成程序。