壓電纖維複材的材料係數反算與討論 - 具週期性電極之壓電纖維複材的材料性質研究

壓電纖維複材為新興的智慧型結構，雖然應用層面相當廣，但對於材料性質的掌握仍不足，因此利用其共振頻率的特性反求材料係數，以獲得完整的結構材料性質。本章以等效模型及實驗量測的材料常數為依據，採用有限元素軟體 ANSYS 結合 IMSL 函式厙進行材料係數反算，並探討反算參數的收歛性及影響。

4.1 壓電纖維複材之材料係數反算

利用壓電纖維複材軸向振動的共振頻率，進行材料係數反算。材料係數的反算是以最佳化程式，搜尋滿足實驗量測值與模型預測最小平方差的材料係數。本文以有限元素軟體 ANSYS 模擬脫層實驗的共振頻率，並利用 IMSL 函式厙中的最佳化副程式”BCONF”搜尋最可能的材料係數。

4.1.1 建立反算分析模型

由脫層試片軸向共振頻率的解析解可知，共振頻率與壓電纖維複材的脫層長度有關，分析時，只需依不同脫層比例建立分析模型，不需以完整尺寸結構進行模擬，可降低分析時的困難度與運算量。當脫層長度太短時，

容易造成共振特徵不明顯，因此選用脫層比例 40% 的第一共振頻率進行分析。ANSYS 的模擬採用 SOLID 5,3 元素，分析一長 52 mm 寬 9 mm 厚 0.4 mm 的結構，如圖 4.1 所示，所需元素為 14336。已知的材料性質則採用上一章的反算參數表 3-6 所列，進行模態分析(modal analysis)。為了模擬壓電纖維 複材黏貼於鋁板上的軸向振動情況，將分析模型一端(x3=0 處)固定，並設 定軸向位移固定於結構上下表面(x₂=0、0.4mm)，對應的第一模態共振模態如圖 4.2 所示。

4.1.2 需反算的材料係數

”BCONF”採用準牛頓法(quasi-Newton method)為運算法則，準牛頓法為改進牛頓法的缺點所建立，以下介紹其基本運作過程：

這搜尋方向稱為牛頓方向(Newton’s direction)。如果函數本身為二次式，則牛頓法可於ㄧ次迭代便找到函數的最小值。考慮一個下降搜尋方向如

k  k fk

S M ，其中矩陣M_k稱為 Metric，若M_k I，則搜尋方向為梯度方向或最陡下降方向；當M H^¹ ，則為牛頓方向，所以梯度方向與牛頓方

向為一般搜尋方向的兩個極限，如果s_k是一個下降方向，則

T T

k k k k k 0

f f f

 s  M   (4.3)

即矩陣M_k必須是正定(positive define)矩陣。但是牛頓法每次迭代的 Hessian 矩陣的反矩陣不一定是正定矩陣，可能為奇異矩陣(singular matrix)，造成數值問題。準牛頓法則是將每次迭代的M_k再加上一個更新矩陣(updating matrix)所得，如M_k_₁ M_k D_k, M_k I，其中D_k為對稱矩陣。利用前幾次迭代的一次微分資訊，建構一個近似於原目標函數的 Hessian 矩陣之反矩陣的 metric，定義出一個接近牛頓方向的搜尋方向，即為準牛頓法的基本概念。

Object Predict Experiment

d15、ε₃₃^T 當作反算的依據，於10%誤差範圍內尋求一組最佳值，各參數 13.0171kHz，並將需反算的 5 個係數在偏離目標值±10%的範圍內，以隨機亂數產生 10 組起始點，觀察其收斂情況。如表 4-1 所列，10 組起始點最後

如圖 4.4 所示，最佳化程序經 2 次迭代後即可收歛到最佳值。表 4.2 所列為最佳化的結果，由表可知反算後的最佳值與等效模型的參數值，誤差約為 7%以內。進一步尚需考慮收歛值對應的目標函數值是否為全域最小值(global minimum)，在此討論

s 、

₁₁^E

s 、

₁₂^E

s 、

₄₄^E d₁₅、ε₃₃^T 各變數對於目標函數的收斂性及影響程度：

(1) 單變數探討：

為了方便說明，先將各參數予以正規化，在最佳化收斂值中，先固定其餘 4 個變數，觀察偏離 10% 、20%、30%的單一變數能否收斂至期望的最佳值，結果整理於表 4-3。由表可知，在變動範圍內的

s 及

₁₁^E ε₃₃^T 皆收斂至原來的最佳化值，

s 、

₁₂^E

s 的收斂值則分別偏移到原最佳化值的 0.5%

₄₄^E  、

 。圖 4.55 至圖 4.9 分別為5%

s 、

₁₁^E

s 、

₁₂^E

s 、

₄₄^E d₁₅、ε₃₃^T 單變數對應的目標函數曲線，由各曲線的斜率觀察收斂速度ε₃₃^T 

s

₁₁^E

s

₁₂^E 

s 。圖

₄₄^E 4.8 所示的壓電係數d₁₅之目標函數曲線則出現發散現象，造成目標函數最低值出現在誤差範圍的上界，推測壓電係數d₁₅可能影響其他參數

s 、

₁₁^E

s 、

₁₂^E

s 、

₄₄^E ε^T₃₃造成共振頻率的偏移。

(2) 壓電係數 d15對其他參數的影響性：

壓電係數d₁₅於單變數測試時發生發散情況，因此考慮d₁₅對

s 、

₁₁^E

s 、

₁₂^E

s 、

E ε₃₃^T 的影響性，將d₁₅與其他四個參數個別搭配，如(

s ,

₁₁^E d₁₅)、(

s ,

₁₂^E d₁₅)、

(

s ,

₄₄^E d₁₅)、(ε₃₃^T ,d₁₅)，在原最佳化收斂值的 10% 誤差範圍內，代入反算程式，測試收斂性。圖 4.10 至圖 4.13 為上述參數組合對應的目標函數曲面及等高線圖，當

s 、

₁₁^E

s 、

₁₂^E ε₃₃^T 固定於原最佳化收斂值時，隨著壓電係數d₁₅變化，出現多個區域極小值(local minimum)，(

s ,

₄₄^E d₁₅)組合對應的目標函數極小值甚至偏移至原最佳化收斂值的 4% 左右，並伴隨d₁₅變化，出現數個區

域最小值。上述的目標函數最小值皆出現於d₁₅的上下邊界處。表 4-4 所列

所示，四個變數的收斂結果更加理想，僅花費 5 次迭代即收斂。

在文檔中具週期性電極之壓電纖維複材的材料性質研究 (頁 34-41)