具週期性電極之壓電纖維複材的材料性質研究

具週期性電極之壓電纖維複材的材料性質研究

研究生：蔡汶志

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指導教授：尹慶中 博士

國立交通大學機械工程學系碩士班

摘

要

以上下對稱之指差電極驅動的壓電纖維複材是一種新興的智慧型材 料，具有高變形與制動能力，壓電纖維複材的可撓性高，適宜貼合於具有 曲率的結構表面。可作為功能性材料，應用於結構健康監測、航空結構等。 本研究依據混合律，將壓電纖維複材模擬成一種等效均質材料。部份材料 常數 ₃₃E s 、s 與₁₃E d₃₃、d₃₁在單軸拉伸試驗及高電壓負載試驗中，可以直接藉 應變規量測獲得，其餘的材料常數則以準牛頓法為基礎之反算程序決定。 本研究採用有限元素套裝軟體 ANSYS，計算壓電纖維複材軸向共振頻率， 反算的二次目標函數是懸空壓電纖維複材軸向振動最低共振頻率之量測值 與理論值的差值平方和。 根據偏光顯微鏡的觀察，壓電纖維複材的纖維與指差電極排列並非均 勻，會導致材料常數量測的偏差。壓電常數d₁₅對於軸向振動的共振頻率影 響較小，並在參數的敏感度研究中呈現發散特性，不適合以本研究的反算 方法求得。反算所得的材料常數大多與混合律估算的等效常數吻合。 關鍵字：壓電纖維複材、指差電極、等效材料係數、軸向共振、反算

Material Characterization of Piezoelectric Fiber

Composites under Periodic Electrodes

Student: Wen-Chih Tsai Advisor: Dr. Ching-Chung Yin

Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University

ABSTARCT

Piezoelectric fiber composite (PFC) actuated by symmetrically aligned interdigital electrodes on its opposite surfaces is an emerging smart material developed in recent years. The PFC is capable of providing large deformation and stiff exciting force. The flexibility of PFC makes it possible to conform to curved surfaces of the host structures. These properties make PFC possess great potential to become a functional material in applications of structural health monitoring, aerospace structures, etc. The effective material constants of PFC are estimated by rule of mixtures. Some material constants,

33 E

s , s₁₃E and d ,₃₃ d , are directly measured by stain gauges through uniaxial₃₁ tensile test and applying high voltage to its opposite electrodes. The remaining constants are determined by an inverse scheme based on quasi-Newton method. The quadratic objective function is defined by the sum of squares of deviations between the measured resonant frequencies of the lowest extensional vibration modes for the finite-length overhung PFC and those calculated by a commercial finite element code ANSYS.

It is observed by a polar light microscope that the piezoelectric fibers and interdigital electrodes are not uniformly aligned in some specimens. The deviation found in measured material constants is caused by the inhomogeneous material properties. The piezoelectric constant d₁₅ is not

suitable to be determined by the present method since it has weak influence on resonant frequency of extensional mode and divergent properties in seneitivity study of parameters. Most material constants are in agreement with those obtained by effective model estimated by mixture rule.

Keywords: Piezoelectric fiber composites, interdigital electrodes, effective material constants, extensional resonance, inverse

誌 謝

在此論文定稿之際，感謝指導教授 尹慶中博士兩年來的悉心指 導，使學生論文得以順利完成，在此致上由衷的謝意。同時感謝馬劍 清教授、蕭國模教授及何旭川教授撥冗擔任學生口試委員，給予學生 指教與指正。此外，也謝謝學長王多聞、許世明、游泰和給予汶志生 活與學業上的幫助，加上同學嚴承侯、潘權文兩年來的互相扶持與幫 助，使研究的過程更加順利。以及學弟妹鍾重光、張逸涵、黃康哲、 吳昱瑾、賴佑年、蔡慶芳謝謝你們過去一年的陪伴，讓汶志的研究所 生涯增色許多，也祝福你們論文順利。還有女友小 Q，謝謝妳這兩年 來在我身旁的陪伴，也因為妳的鼓勵，汶志才能順利完成研究所學業。 汶志最感謝的是偉大的雙親，蔡庚錫先生與周素香女士，你們是 汶志精神上最大的支柱，求學之路有你們的支持、呵護與寬容，讓汶 志在無後顧之憂下完成碩士學位，還有許多不及備載曾幫助汶志的朋 友，衷心感謝外，汶志僅以此論文獻給我摯愛的雙親、家人、及好友。

目錄

中文摘要 i 英文摘要 ii 誌謝 iv 目錄 v 表目錄 vii 圖目錄 viii 第一章 緒論 1 1.1 研究背景 1 1.2 文獻回顧 1 1.3 內容簡述 4 第二章 理論與分析 6 2.1 壓電纖維複材的等效材料常數 6 2.1.1 壓電纖維複材試片之尺寸 6 2.1.2 壓電與基材的材料本構方程式 7 2.1.3 等效材料模型之建立 10 2.1.4 等效材料模型之分析 10 2.2 單元體分析 14 第三章 量測與討論 15 3.1 阻抗響應量測 15 3.1.1 邊界無拘束之阻抗量測 15 3.1.2 一端固定之試片阻抗量測 16 3.1.3 軸向振動的解析解 16 3.2 壓電纖維複材的材料特性試驗 18

3.2.1 實驗試片準備 19 3.2.2 壓電係數 d31、d33量測 20 3.2.3 拉伸試驗 20 3.2.4 實驗與等效模型結果比較 22 第四章 壓電纖維複材的材料係數反算與討論 23 4.1 壓電纖維複材之材料係數反算 23 4.1.1 建立反算分析模型 23 4.1.2 需反算的材料係數 24 4.1.3 最佳化副程式 BCONF 24 4.1.4 目標函數 25 4.1.5 最佳化流程 25 4.1.6 最佳化程式收斂測試 26 4.2 反算結果與討論 26 第五章 結論與展望 30 5.1 結論 30 5.1.1 實驗量測與等效分析 30 5.1.2 反算結果 30 5.2 未來展望 31 參考文獻 32 附表 34 附圖 47

表目錄

表 2-1a PZT-5A 的材料係數理論值 34 表 2-1b 樹脂(epoxy)及聚醯亞胺薄膜 kapton 的材料係數理論值 34 表 2-2 等效模型之邊界條件 35 表 2-3a 等效材料之彈性係數 36 表 2-3b 等效材料之壓電及介電係數 36 表 3-1 不同脫層比例實驗數據 37 表 3-2 Kyowa 雙軸應變規的規格 37 表 3-3a 壓電係數 d31、d33實驗數據 38 表 3-3b 萬能試驗機 MTS 的拉伸結果 38 表 3-3c 柔性常數 38 表 3-4 實驗條件及結果 39 表 3-5 實驗數據與等效模型預測值 39 表 3-6 反算材料係數的已知參考值 40 表 4-1 最佳化程式收斂測試 41 表 4-2 最佳化程式的收斂結果 43 表 4-3 以單變數探討目標函數的結果 43 表 4-4 d15之影響結果 44 表 4-5 不考慮壓電係數d₁₅的最佳化結果 44 表 4-6 多起始點之收斂測試 45

圖目錄

圖 1.1 壓電纖維複合材料製作示意圖 47 圖 1.2 壓電纖維複材結構軸向致動 47 圖 1.3 指叉電極之電力線示意圖 48 圖 2.1 壓電纖維複材試片 49 圖 2.2 冷鑲埋試片模型 49 圖 2.3 硬化劑、壓克力粉及冷鑲埋模具 50 圖 2.4 濕式研磨機 50 圖 2.5 偏光顯微鏡 51 圖 2.6 壓電纖維複合材料截面照片，壓電纖維排列不均勻 51 圖 2.7 壓電纖維複合材料截面照片，壓電纖維排列均勻 52 圖 2.8 壓電纖維複合材料截面照片，邊緣呈現緊縮 52 圖 2.9 截面示意圖 52 圖 2.10 壓電纖維複合材料之表面指叉電極照片 53 圖 2.11 壓電纖維複材之體積代表元素 53 圖 2.12 等效模型之體積代表元素 54 圖 2.13 等效模型之邊界說明圖 54 圖 2.14 ANSYS 等效分析模型元素圖 55 圖 2.15 純壓電塊材單元之電力線側視圖 55 圖 2.16 純壓電塊材單元之電位圖 56 圖 2.17 純壓電塊材單元之變形側視圖 56 圖 2.18 壓電纖維複材單元之電力線側視圖 57 圖 2.19 壓電纖維複材單元之電位圖 57 圖 2.20 壓電纖維複材單元之變形側視圖 58

圖 2.21 等效模型單元之電力線側面圖 58 圖 2.22 等效模型單元之電位圖 59 圖 2.23 等效模型單元之變形側面圖 59 圖 3.1 壓電纖維複材之阻抗量測示意圖 60 圖 3.2 自由邊界壓電纖維複材 60 圖 3.3 自由邊界壓電纖維複材之頻率響應圖(0~50kHz) 61 圖 3.4 自由邊界壓電纖維複材之頻率響應圖(50~100kHz) 61 圖 3.5 自由邊界壓電纖維複材之頻率響應圖(100~150kHz) 62 圖 3.6 自由邊界壓電纖維複材之頻率響應圖(150~200kHz) 62 圖 3.7 壓電纖維複材之脫層實驗阻抗量測 63 圖 3.8 脫層示意圖 63 圖 3.9 30% 脫層實驗之頻率響應圖 64 圖 3.10 40% 脫層實驗之頻率響應圖 64 圖 3.11 50% 脫層實驗之頻率響應圖 65 圖 3.12 60% 脫層實驗之頻率響應圖 65 圖 3.13 實驗試片製作流程 66 圖 3.14 量測壓電係數 d31、d33裝置圖 67 圖 3.15 d31實驗曲線圖 1 67 圖 3.16 d31實驗曲線圖 2 68 圖 3.17 d31實驗曲線圖 3 68 圖 3.18 d31實驗曲線圖 4 69 圖 3.19 d33實驗曲線圖 1 69 圖 3.20 d33實驗曲線圖 2 70 圖 3.21 d33實驗曲線圖 3 70 圖 3.22 d33實驗曲線圖 4 71

圖 3.23 萬能試驗機(MTS)拉伸裝置圖 71 圖 3.24 試片斷裂之力對應變曲線圖 72 圖 3.25 試片斷裂之應力對應變曲線圖 72 圖 3.26 萬能拉伸試驗機(MTS)之軸向應力對軸向應變曲線圖 1 73 圖 3.27 萬能拉伸試驗機(MTS)之軸向應力對軸向應變曲線圖 2 73 圖 3.28 萬能拉伸試驗機(MTS)之軸向應力對軸向應變曲線圖 3 74 圖 3.29 萬能拉伸試驗機(MTS)之側向應變對軸向應變曲線圖 1 74 圖 3.30 萬能拉伸試驗機(MTS)之側向應變對軸向應變曲線圖 2 75 圖 3.31 萬能拉伸試驗機(MTS)之側向應變對軸向應變曲線圖 3 75 圖 3.32 電腦伺服控制材料試驗機(HT-2102)拉伸照 76 圖 3.33 電腦伺服控制材料試驗機之軸向應力對軸向應變曲線圖 1 76 圖 3.34 電腦伺服控制材料試驗機之軸向應力對軸向應變曲線圖 2 77 圖 3.35 電腦伺服控制材料試驗機之側向應變對軸向應變曲線圖 1 77 圖 3.36 電腦伺服控制材料試驗機之側向應變對軸向應變曲線圖 2 78 圖 4.1 反算分析模型元素圖 79 圖 4.2 模擬 40 %脫層之結構振動 79 圖 4.3 反算流程圖 80 圖 4.4 最佳化迭代圖 81 圖 4.5 單變數 ₁₁E s 對應的目標函數 81 圖 4.6 單變數 ₁₂E s 對應的目標函數 82 圖 4.7 單變數 ₄₄E s 對應的目標函數 82 圖 4.8 單變數d₁₅對應的目標函數 83 圖 4.9 單變數ε₃₃T _{對應的目標函數} 83 圖 4.10 雙變數 ₁₁E s ,d₁₅對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 84 圖 4.11 雙變數 ₁₂E s ,d₁₅對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 85

圖 4.12 雙變數 ₄₄E s ,d₁₅對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 86 圖 4.13 雙變數ε₃₃T ,d₁₅對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 87 圖 4.14 雙變數 ₁₁E s , 12 E s 對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 88 圖 4.15 雙變數 ₁₂E s , 44 E s 對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 89 圖 4.16 雙變數 ₁₁E s , 44 E s 對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 90 圖 4.17 雙變數 ₁₁E s ,ε33 T _{對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖} 91 圖 4.18 雙變數 ₁₂E s ,ε₃₃T 對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 92 圖 4.19 雙變數 ₄₄E s ,ε₃₃T 對應的目標函數(a)透視圖及(b)等高線圖 93 圖 4.20 不考慮壓電係數d15的最佳化迭代圖 94 圖 4.21 多起始點測試 94 圖 5.1 寬扁型試片 95 圖 5.2 電場與極化方向垂直的壓電纖維複材試片 95

第一章 緒論

1.1 研究背景

壓電複合材料是將壓電陶瓷與聚合物按固定的體積或質量比，以固定的 空間幾何分佈製作而成的功能性材料，因為加入環氧樹脂等高分子材料， 壓電複合材料具有聲阻(acoustic impedence)低、柔性好等其他優點，擴充了 傳統壓電材料的實用性。Bent 與 Hagood [7]將此種複合材料中的壓電材料 製作成纖維狀，結合指叉電極，發展出一種有別於傳統的壓電致動器，稱 為壓電纖維複合材料(Piezoelectric Fiber Composites, 簡稱 PFC)，具有高形 變能力與可撓曲性，可應用於健康監測、水下探頭、結構阻尼、抖動抑制 與噪音防制等方面。 壓電纖維複合材料是多種不同材質的複合體，為了掌握其材料特性， 本研究利用混合律(mixture rule)概念之視為等效均質材料，探討其振動特 性。以結構的靜態變形及振動實驗數據，反算出材料係數。

1.2 文獻回顧

(1) 壓電複合材料 Gururaja et al [1]，將關聯性的概念應用於壓電複合材料結構的命名，因 為此複合材料由兩種相(phase)組成，各相以 0、1、2、3 維的方式相連通， 可組合成 10 種型態，如 0-0、0-1、0-2、0-3、1-1、1-3、2-1、2-2、2-3、 3-3，其中前後的數字分別代表壓電相及聚合物相的維度，以物理方式製作 出壓電複合材料。並在 1980 年以此觀念發展出 3-3、1-3 等類型的壓電複材 換能器。 Auld et al 於 1983 利用 Floquet 理論[2]及 1984 週期性複材板理論[3]， 將壓電複材換能器結構模擬成二維的平板結構，予以分析。週期性壓電複

材結構容易耦合平板的振動模態，理論模型將週期性系統轉換至傳統連續 線性系統，使原本無窮板理論轉換成有限幾何尺寸的板理論，增進應用方 面的精確度。 壓電複材應用於水下探頭的工作頻寬大約在40kHz以下，無法延伸至其 他應用面。Gururaja與Schulze [4]於1985年，將傳統壓電陶瓷(PZT)材料製作 成單一方向柱狀體，與高分子結合成1-3型的壓電複材換能器，改善傳統壓 電塊材換能器在水中僅有較低的壓電係數d_h(=d332d31)，增大工作頻寬 (1-10MHz)，使其可應用於醫療及非破壞性檢測。文獻[4]還改變PZT柱的位 置，量測頻率響應圖，以不同的共振頻激發出不同的模態。 (2) 指叉電極應用於壓電材料 Shimizu et al [5]曾於 1983 年探討不同方向指叉電極的佈置，對於雙壓 電晶片所組成的諧振器之軸向、側向機電耦合係數 k33、k31 的影響，並提 出電極寬度、間距及諧振器厚度與電容比之間的關係。

Hagood et al [6]在 1993 年曾發展出應用指叉電極(interdigitated electrode)

將傳統壓電材料的d₃₁型位移改為d₃₃型位移，再分別以 Rayleigh-Ritz method

及有限元素法(finite element method) 預測裝置的致動能力，探討電極厚度 與間距對致動的影響。指叉電極驅動所產生的應變大約是傳統電極的 2 倍，當電極間距/電極厚度的比值大於 5 時，可忽略電極附近不均勻電場所 造成的誤差。 (3) 壓電纖維複合材料 Bent 與 Hagood [7]於 1997 年首度將壓電纖維複合材料及指叉電極結合 成新興的壓電複合材料，建立一均勻材料模型，探討壓電相與聚合物相之 間不同體積比與材料係數間的關係。初步討論指叉電極尺寸對結構振動的 影響，並描述壓電纖維複材的製作步驟，如圖 1.1 所示。

Bent [8]於 1999 年將此種由壓電纖維及聚合物組成，應用指叉電極驅動 的結構稱為 Active Fiber Composites (AFCs)，並說明優點如下：

(1) 強度比傳統整塊壓電材料高，能避免使用時所造成的破壞。結構平薄， 可撓性大，適合與各種曲面的結構結合。 (2) 在軸向致動能力比傳統壓電塊材強，如圖 1.2。 (3) 多層且大面積的 AFC 致動器製造簡單，成本降低。 Bent 指出 AFCs 除了可以應用在健康監測、致動器、感測器之外，也可以 利用正壓電效應，將振動能轉成電能，使其成為類似電池裝置。 Beckert 與 Kreher [9]曾於 2003 年利用指叉電極作為壓電塊材與壓電纖 維複材的驅動源，說明此種電極所產生的電場分佈對結構有 3 種不同影 響，如圖 1.3 所示。3 種影響分別為 (1) 作用區(active zone)：影響結構變形最大因素。 (2) 無效區(ineffective zone)：為上下電極間，電力線不作用區，不影響結 構變形。 (3) 過渡區(transition zone)：電力線集中的區域，容易造成結構故障。 Bowen et al [10]曾於 2006 年探討指叉電極寬度、間距及壓電纖維複材 結構厚度對於致動能力的影響，結果顯示電極寬度若為基材厚度的一半 時，會有最大的應變產生，縮短電極間距可降低驅動電壓，當電極間距與 基材厚度的比值大於 4 時，可有效提高最大d₃₃模態的效益，其中d₃₃指結構 變形與電場極化皆在 3 方向。雖然採用指叉電極可使壓電材料d₃₃的響應提 高，但若電極間距過小，則會激發出其他振動模態而使d₃₃模態效益變低。 Huber et al [11]曾探討壓電纖維複材極化製程的參數條件最佳化，如電壓、 溫度、時間等。 Bent 等人[7]-[8]所研發出的壓電纖維複材採用圓形壓電纖維，圓形截 面受到指叉電極電場影響不如矩形截面均勻，圓形纖維在製造時，經過燒

結等程序造成壓電性效果不是很穩定。有鑑於此，美國太空總署 NASA 研 發出一種改善上述缺點的新型智慧型複合材料 Macro-Fiber Composite (MFC)[12]，其組態為矩形斷面的壓電纖維、母材與指叉電極構成。實際應 用上，已有將 MFC 結構設計組裝成尾翼拍擊緩和器，應用於 F18 戰鬥機尾 翼，克服高攻角時承受的風壓衝擊等。 (4) 等效材料模擬 Berger et al [13]-[14]利用單一元素模型預測橫向等向性壓電複材的等 效材料性質，分析的方法是利用有限元素法，可針對不同幾何尺寸外型的 結構進行等效性質的模擬，最後分析的結果與另一種預測方法(asymptotic homogeneous method)進行不同體積比(volume fraction)的比較；因為壓電纖 維複合材料為週期性結構，可利用一體積代表元素(representative volume element, RVE)結合線性耦合壓電理論，描述整體結構的性質。分析方法採 用有限元素套裝軟體 ANSYS 配合壓電理論，設計各種邊界條件，求出等 效的材料係數。 Lenglet et al [15]則利用體積代表元素配合邊界條件與波傳法(wave propagation method)，以有限元素軟體分析壓電複材的等效均質材料係數， 針對較難假設邊界條件的材料係數

c

₄₄E 、

e

₁₅，提供更合適的評估方法。

1.3 內容簡述

本研究以壓電纖維複材為對象，探討結構共振與等效材料係數兩者的 關係，內容分為四章。第二章根據混合律概念，進行壓電纖維複材的等效 材料常數模擬；分析壓電纖維結構的振動行為，作為材料係數反算的參考。 第三章以網路分析儀量測壓電纖維複材的阻抗，再以拉伸試驗機、應 變量測儀及高電壓供應器量測材料性質。第四章應用有限元素軟體 ANSYS

第二章 理論與分析

2.1 壓電纖維複材的等效材料常數

壓電纖維複合材料由纖維狀的壓電材料、樹脂基材、指叉電極與表面 的聚醯亞胺(kapton)薄膜組成，為了簡化模擬與避免複雜的運算，依結構中 不同相的不同比例，以混合律將之等效成均質(homogeneous)壓電材料，提 供日後應用分析之需。

2.1.1 壓電纖維複材試片之尺寸

本文探討的壓電纖維複材試片是由 Advanced Materials Technology 公 司(Lambertville, New Jersey, USA)製造，試片長 130mm、寬 9mm、厚 0.4mm， 如圖 2.1 所示。為了瞭解試片內部壓電纖維與樹脂基材混合情形，建立等 效模型及實驗所需資料，遂進行試片的冷鑲埋搭配 Zeiss 公司的偏光顯微鏡 (Axioskop 40)，拍攝截面實照及壓電纖維複材試片表面指叉電極的佈置圖。 試片的鑲埋： 因為試片相當薄小不易握持，欲觀察試片截面組織時，就需要將試片 鑲埋固定，鑲埋可分成熱鑲埋和冷鑲埋兩種，前者是利用高壓(50 kgf/mm2) 和高溫(170~180℃)將試片嵌入與酚樹脂形成圓柱體。考慮高壓、高溫會造 成內部壓電纖維與樹脂性質或分佈發生改變，於是採用較低溫(約 20~30℃) 的冷鑲埋，製作拍攝截面所需的試片。冷鑲埋是先將塑膠管內壁塗上一層 凡士林(或黃油)作為脫模劑，將壓電纖維複材試片以刀具裁剪成一小段，以 夾子固定，放入塑膠管中。然後將事先混合好的壓克力粉及硬化劑倒入塑 膠管內，大約 10 ~ 20 分鐘後硬化，再從管中頂出鑲有試片的透明圓柱體， 如圖 2.2，壓克力粉和硬化劑混合時，重量比為 2：1，所需材料如圖 2.3 所 示。

試體的研磨： 取出鑲埋好的試片模型，利用圖 2.4 所示的濕式研磨機，將欲觀察的 那一面先磨平、再磨光，研磨器上分別裝有#300、#400、#600 等不同種粗 糙度的耐水砂紙，研磨機附有給水裝置，使砂紙形成一層薄的水膜，增進 研磨效率，縮短研磨時間。研磨時先用粒度較粗的砂紙，研磨完畢後，改 用較細砂紙時，須將試片轉動九十度再進行研磨，使舊的磨痕可被完全磨 除，形成新的磨痕，如此可清楚看出舊磨痕是否已經全部被磨掉。研磨時， 施加之壓力要適度，太輕則浪費時間，太重則產生深淺不規則的磨痕。 顯微鏡觀察： 先以酒精擦拭研磨好的鑲埋圓柱體之待觀察表面，再將其置放於偏光 顯微鏡下，分別以50x、200x倍率觀察截面狀況。偏光顯微鏡如圖2.5所示， 利用CCD影像擷取系統拍攝試片截面，觀察結果如圖2.6~2.8所示，試片內 壓電纖維的分布不很均勻，可能會影響材料及制動的均質性。壓電纖維的 直徑約250 μm，樹脂厚度約255 μm，試片上下表面覆蓋的聚醯亞胺薄膜各 約70 μm，指叉電極分布於樹脂與聚醯亞胺薄膜處，厚度相當薄，不易觀察， 在分析上可忽略。在試片兩側邊緣處，因為製作時封裝造成緊縮現象，可 藉由圖2.9之示意圖呈現。利用圖2.9的尺寸關係，建立拉伸實驗所需的截面 積資料，壓電纖維複材試片的截面積約為4.44 mm2_{。另外，也針對試片表} 面的指叉電極進行顯微鏡觀察，由圖2.10可知，指叉電極之間距約為800 μm。配合公式   ，可得沿軸方向的電場強度，其中/ x E  為電壓變 化量， x 為兩電極之間距。

2.1.2 壓電與基材的本構方程式

為了瞭解經由混合律獲得的等效的均質材料性質，先探討壓電材料與基

材部分的材料特性，壓電材料具有機電能量轉換特性，壓電材料受電場或 機械力作用時，本構方程式如下： E ij ijkl kl kij k T i ikl kl ik k S s T d E D d T ε E     (2.1) 其中，T 、_ij S_kl為應力張量及應變張量， E ijkl s 是彈性柔度張量(elastic compliance

matrix)，dikl是壓電常數(piezoelectric constants)張量，Di是電位移，Ek是電

場強度， T ik ε 是固定應力(constant stress)下的介電(dielectric)常數張量。將(2.1) 式的下標依 Voigt 表示法簡化，可改寫為 E p pq q kp k T i iq q ik k S s T d E D d T ε E     (2.2a) 或     E T S s T d E D dT ε E (2.2b) 壓電陶瓷纖維經纖維方向(x3方向)高壓極化處理後，具有橫向等向性 質，其材料矩陣分別表示如下： 彈性勁度矩陣為 11 12 13 12 11 13 13 13 33 44 44 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E E E E E E E E E E E E E s s s s s s s s s s s s                     ( 2 . 3 ) 壓電常數矩陣為

15 15 31 31 33 0 0 0 0 d 0 d 0 0 0 d 0 0 d d d 0 0 0           (2.4) 固定應力之介電常數矩陣為 11 11 33 0 0 ε 0 0 0 0 T T T T              (2.5) 基材部份不具有壓電性質，為了與壓電材料的本構方程式區分，同樣依 Voigt 表示法簡化，可改寫如下： E p pq q i iq q S s T D d S   (2.6a) 或  T S s T D ε E (2.6b) 壓電方程式主要涉及的場變數(field variables)有四種，其中兩種為機械 彈性量，即應力 T 及應變 S，而另兩種為介電量，即電場 E 及電位移 D， 根據選擇的自變數及應變數之不同，有四種不同的型態，除了上述的 d 型 態外，在此也引入 e 型態的壓電方程式，以供分析及實驗的說明，表示如 下： E S     T c S e E D e S ε E (2.7) 其中T、 S 為應力張量及應變張量，c 是彈性剛度張量E (elastic stiffence

matrix)，e 也稱為壓電常數(piezoelectric constants)張量，D是電位移，E是

2.1.3 等效材料模型之建立

指叉電極在壓電纖維複材上呈現對稱且週期性分佈，因此可將此視為 週期性結構。配合截面示意圖中各種材料的比例，採用一對正負電極所組 成的體積代表元素結構描述整體的性質，如圖 2.11 所示。圖中 x1、x2、x3 方向的長度分別為每根壓電纖維平均佔有的寬度 0.3 mm、總試片厚度 0.4 mm 及指叉電極間距 0.8 mm。壓電纖維複材結構由纖維狀的壓電材料 PZT-5A、樹脂基材(epoxy)及聚醯亞胺薄膜組成，各材料的材料參數列於表 2-1。壓電纖維 PZT-5A 為橫向等向性材料，樹脂及聚醯亞胺薄膜則為等向 性(isotropic)材料，藉由混合律所建立的等效模型，可假設壓電纖維複材為 橫向等向性的均質壓電材料。聚醯亞胺薄膜與樹脂基材的材料性質相近， 為了簡化分析，將其視為樹脂基材。參考圖 2.12 所示，壓電纖維與樹脂基 材的體積比(volume fraction)v 、_f v_m分別為 0.409 及 0.591。

2.1.4 等效材料模型之分析

利用圖 2.13 所示的體積代表元素，配合應力與應變關係及壓電方程式 中機電耦合關係，可設計出估算不同材料參數所需要的邊界條件，以有限 元素套裝軟體 ANSYS 進行分析。所討論的均質壓電材料為橫向等向性， 有 10 個待求的材料參數。針對不同參數所對應的邊界條件先建立關係表， 如表 2-2 所列，以下將配合邊界說明圖中的體積代表元素模型，分成兩部 分說明。 (1) 彈性係數： 執行 ANSYS 分析時，選用 SOLID 5,2 元素模擬壓電材料與樹脂基材， 排除壓電耦合關係的電場條件。SOLID 5,2 元素具有 8 個節點，每個節點有 3 個方向位移 (Ux、Uy、Uz)的自由度。在建立模型上，原始試片的軸向長

度相對於此體積代表元素模型的軸向長度而言，可視為無窮大，因此在軸 向方向(x3方向)只需單一元素進行分析，模型的全部元素數為 1408，如圖 2.14 所示。依據應力與應變線性關係 σ Eε (2.8a) τ Gγ (2.8b) ε / ε ij j i   (2.8c) 進行材料試驗的模擬，其中σ 為正向應力，E為等效楊氏模數，ε 為等效 正向應變，τ 為剪應力， G 為等效剪力模數， γ為等效剪應變，為等效泊 松比。以下針對邊界條件表中各彈性係數的估算方式逐一說明： (i)  、₂₁  、₂₃ E₂ 模擬一外力施於分析模型的x₂方向，根據各方向產生的應變量，求得 21  、 、23 E 。分析的作法為施加一均勻應力2 σ0於 B  上，將分析模型之 A、B、C面各點的位移保持定值，並將 A、B、C面上法線方向位移固 定，目的是使變形前後各面維持為平面，求得均勻的應變量。將分析獲得 的應變ε₁、ε₂、ε₃，代入公式E₂ σ / ε_{0 2}、₂₁ε / ε_{1 2}及₂₃ε / ε_{3 2}，求出 21  、 、₂₃ E 。₂ (ii)  、31 E3 模擬一外力作用於分析模型的x₃方向，由各面所產生的應變量，求得 31  、E 。分析的作法為施一均勻應力₃ σ₀於 C上，將分析模型 A、B、C 面各點的位移維持均勻，並將 A、B、C面各點位移的法線分量設為零， 目的也是為了保持變形前後各面都為平面，求得均勻的應變量。將分析獲 得的應變ε₁、ε₃，代入公式E₃ σ / ε_{0 3}及31ε / ε1 3，可求出 、31 E 。3

(iii) G₃₁ 模擬一沿x₃方向施加的水平外力，作用於分析模型的 B面，由變形後 產生的應變量，求得G 。分析的作法是施一均勻且沿₃₁ x3方向的應力σ0於 B面，假設 B面固定，為了使 B面變形後無x2位移量，令 B  面法線方向 位移固定，另外假設 C、C面保持一致的變形，獲得等值的剪應變量γ₃₁。 將其代入G₃₁σ / γ_{0 31}，求出G 。₃₁ 分析結果為工程常數(engineering constants)，還需利用下列公式將其轉換成 彈性係數， 22 2 1 E E s  (2.9a) 21 12 2 E E s  (2.9b) 33 3 1 E E s  (2.9c) 31 13 3 E E s  (2.9d) 55 31 1 G E s  (2.9e) 因為結構為橫向等向性材料，所以 ₁₁E ₂₂E s  、s s₁₂E  、s₂₁E s₁₃E    、s₂₃E s₃₁E s₃₂E 44 55 E E s  、s s₆₆E 2(s₁₁E s₁₂E)，並將結果整理如表 2-3a 所示。 (2) 壓電係數、介電係數： 本文以 ANSYS 模擬壓電材料與樹脂基材時，採用 SOLID 5,3 元素進行 分析。SOLID 5,3 元素是 3-D 壓電、電與結構互相耦合的元素，具有 8 個 節點，每個節點具有 4 個自由度。利用 e 型態的壓電方程式，假設其邊界 條件，獲得e₃₁、e33、e15、ε11 S 、ε₃₃S ，以下針對不同的參數的邊界條件進行

說明。 (i) e31、e33、ε33 S 為了確保分析模型於電場作用後不產生應變量，固定各面的法線方向 位移，接著在 C及 C面上設計一組電壓差 ，獲得沿 x₃方向電場E₃，電 場強度可由電位差與空間間距的比值決定，即E_i   x_i 。模型經電場 作用後，得到正向應力值T₁、T₃，配合公式e₃₁T E₁/ ₃及e₃₃ T E₃/ ₃，可求 出e31、e33。x3方向面的電位移D3是依壓電纖維與樹脂基材的體積比率， 以混合律計算獲得，即D₃ D_3f_f D_{3m m}，其中D 、_{3 f} D_{3 m}分別代表壓電纖 維及樹脂基材的電位移。由公式ε₃₃S D E₃/ ₃，獲得介電常數ε₃₃S _。 (ii) ε₁₁S 假設各面的法線方向位移固定，在 A及 A面上施予一組電壓差 ， 獲得沿x₁方向的電場E₁，將x₁方向產生的電位移D₁，以公式ε₁₁S D E₁/ ₁求 出介電常數ε11 S 。 (iii) e15 為確保x₁方向無電場作用，在 A及 A面上設定電壓差為 0，將 A、 A面沿x₃方向與 C、C面沿x₁方向，分別設定一單位的位移差，假設 B、 B面無x₂方向變形，形成x x_{1 3}面的剪應變。求出x₁方向的電位移D₁後，以 公式e₁₅D₁/S₅求得壓電係數e15，應變S5及工程應變γ13。 為了與實驗結果進行比較，利用 E d = e s 及εT  εS de壓電轉換公式， 將e₃₁、e₃₃、e₁₅、ε₁₁S 、ε₃₃S 轉換成d₃₁、d₃₃、d₁₅、ε₁₁T 、ε₃₃T ，分析結果如表 2-3b 所列。

2.2 單元體分析

純壓電塊材、壓電纖維複材及等效結構受到表面上下對稱的指叉電極 的交流電場作用，會產生時諧振動(time harmonic vibration)，本節將以套裝 軟體 ANSYS 分析電場強度與變形。為清楚呈現電場分佈，將以具箭頭的 電力線表示。 (1) 純壓電塊材： 純壓電均質塊材 PZT 5A 受到表面指叉電極電場作用，如圖 2.15 所示， 正負電極之間的電場分佈呈現均勻連續變化。圖 2.16 所示為正負電場間的 電位分佈，成上下對稱分佈。圖 2.17 則顯示塊材受到正、負電極間的電場 作用，沿著材料的極化方向產生膨脹、收縮的變形。 (2) 壓電纖維複材： 圖 2.18 及圖 2.19 顯示壓電纖維複材在正負指叉電極間的電場及電位分 佈，電力線從高電位流向低電位，符合預期。壓電纖維與聚合物基材間的 介電性質差別很大，壓電纖維相對於基材類似導體，聚合物基材本身不導 電，限制了電力線的均勻分佈。圖 2.20 所示的材料變形，也符合電場分佈 所產生的機械變形。 (3) 等效結構： 以混合律求得的壓電纖維複材的均質等效材料性質，再進行動態分 析，圖 2.21 顯示混合後的等效結構之介電效應降低，造成電力線的分佈呈 現較疏離的現象。圖 2.22 所示的正負電位分佈明顯比壓電纖維複材更集中 於結構上下表面。圖 2.23 所示為等效模型單元的結構變形，沿軸向呈現伸 縮狀態，但變形並不均勻，推測是因為壓電係數與純壓電塊材差異增大所 造成。

第三章 量測與討論

本章以實驗量測壓電纖維複材的靜態材料性質及動態共振頻率，作為 材料係數定量評估的依據。動態試驗以 HP 8751A 網路分析儀量測壓電纖維 複材的阻抗頻率響應，阻抗頻譜的極小值對應軸向模態的共振頻率，量測 條件為兩端邊界自由及一端自由、另一端固定。靜態試驗採用萬能拉伸試 驗 機 (MTS 810 system) 及 弘 達 公 司 製 造 的 電 腦 伺 服 控 制 材 料 試 驗 機 (HT-2102) ， 後 者 搭配 的 荷 重 元 (Load cell) 為 20 公 斤 。此 外 ， 利 用 Measurement Group P-3500 應變量測儀搭配高電壓供應器量測材料的壓電 係數。

3.1 阻抗響應的量測

在共振頻率量測上，採用 HP 8751A 網路分析儀量測壓電纖維複材的阻 抗曲線圖，HP 8751A 具有函數產生器、訊號擷取及分析的功能，量測時依 照需求調整對應的共振頻率範圍，HP 8751A 輸出 1V 的正弦波至待測裝置 的驅動電極端，再由感測電極端感應壓電纖維複材阻抗變化產生的電流， 圖 3.1 為阻抗響應量測的示意圖，在此討論兩種不同情況的阻抗量測。

3.1.1 邊界無拘束之試片阻抗量測

為了近似壓電纖維複材試片未使用前的狀況，避免邊界拘束條件造成 的影響，本實驗將壓電纖維複材試片置於泡棉上，如圖 3.2 所示，再以網 路分析儀量測其頻率響應。實驗的結果依掃描頻段分別如圖 3.3 至圖 3.6 所 示，壓電纖維複材的共振頻在 0 到 100kHz 範圍，呈現奇數倍的現象。這都 是屬於試片的軸向共振，因為指叉電極在試片的表面上下對稱分佈，試片 部會發生扭轉或撓曲振動。超過 100kHz 後共振頻的振幅變得不明顯，推測 是壓電纖維複材內部的阻尼影響所致。

3.1.2 一端固定之試片阻抗量測

將壓電纖維複材試片根據總長度不同百分比，黏貼於一長 600 mm 寬 600 mm 厚 5 mm 的鋁板，如圖 3.7 所示，模擬壓電纖維複材黏貼於大型結 構物時，可能產生不同的比例脫層。如圖 3.8 所示，懸於鋁板上的 PFC 長 度與其總長比值分別為 10%，20%，…，80%。利用 HP 8751A 網路分析儀 量測其阻抗曲線，不同脫層長度比值的結果，如圖 3.9 至圖 3.12 所示，並 將結果整理於表 3-1。試片軸向振動之第一模態的共振頻率隨脫層長度比例 增加而降低，當脫層長度比例達 30以上時，前三模態以 1、3、5 等奇數 倍頻呈現，此特性可應用於結構健康監測。下節將以解析解說明實驗觀察 到的現象。

3.1.3 軸向振動的解析解

應用結構軸向振動的解析解可說明脫層試片具有的共振頻率特性。假 設結構只受軸向(x3方向)正應力影響，側向正應力為零，則依據由壓電方程 式，可獲得側向正應變S1，S2與軸向正應變S3、軸向電場強度E3的關係。 1 11 1 12 2 13 3 31 3 0 E E E T c S c S c S e E  (3.1) 2 12 1 11 2 13 3 31 3 0 E E E T c S c S c S e E  (3. 2) 3 13 1 13 2 33 3 33 3 3 E E E T c S c S c S e E  (3.3) 其中為軸向應力，並將(3.1) (3.2) (3.3)式代入運動方程式，可得₃ 2 2 2 3 3 33 2 33 2 2 3 3 ρ E u u c e x x t   _  _     (3.4) 其中 2 33 33 2( 13) ( 11 12) E E E E E c  c c c c 、e₃₃ e₃₃ 2c e_{13 31}E (c₁₁Ec₁₂E)，軸向電場強度 3 E 與電位滿足關係E₃   x₃再由壓電方程式中的側向電位移可表示

1 15 5 ε11 1 S D e S  E (3.5) 2 15 4 ε22 2 S D e S  E (3.6) 壓電纖維複材表面的指叉電極激發的電場主要為軸向，結構的軸向變形較 大，所以x x_{1 3}面及x x_{2 3}面上的剪變形可忽略。側向方向電位移D₁、D₂可忽 略，軸向電位移為 3 31 1 2 33 3 33 3 31 3 3 13 31 33 33 11 12 3 3 3 3 2 31 13 3 31 33 33 11 12 3 11 12 3 ( ) ε 2 ε 2 2 ε S E S E E E S E E E E D e S S e S E e u u c e e c c x x x x e c u e e c c x c c x                    _{ } _ _ _ _{ } _ _  _{ }  _{ } _{  } _  _     _  _ _  _         將 D3代入靜電方程式Dk k, 0，得 2 2 33 3 2 2 3 ε33 3 S e u x x       (3.7) 再將(3.7)式代入(3.4)式，可得壓電纖維複材的運動方程式為 2 2 2 33 3 3 33 2 2 33 3 ρ ε E S e u u c x t  _{ }    _{ }   (3.8) 其中 ₃₃E c 、e₃₃及ε₃₃S 2 31 33 11 12 2 ( εS _E e _E ) c c    分別代表有效的彈性剛度、壓電及介電常 數。為方便說明，以下將以E取代₃ c₃₃Ee₃₃2 ε₃₃S 。 假設 L 為脫層長度，結構於脫層情況下的邊界條件一端(x₃ 0)為彈性 支撐，另一端(x₃ L)為自由無曳力狀態 3 3 3 33 3 ₀ (0) E 0 x u ku Ac x _     (3.9a)

3 3 3 0 x L u x _  _  (3.9b) 其中 A 為結構斷面積、k 為黏著端的彈簧常數。將(3.8)式的一般解代入 邊界條件，可得頻率方程式 33 1 tan(β ) β E kL L Ac L  (3.10) 其中參數 2 1 2 3 β   。倘若黏著端為固定，彈簧常數 k 值將趨近於無窮大。ρEω 因此頻率方程式(3.10)退化成 cos(β ) 0L  ，共振頻率 fn變成 3 2 , 4 ρ n n E f L   n=1,3,5, (3.11) 由(3.11)式可說明壓電纖維複材於脫層情況時，其共振頻率呈現奇數倍頻， 當脫層長度 L 愈長時，共振頻率會降低。

3.2 壓電纖維複材的材料特性試驗

為了避免過多未定的材料常數造成反算程式無法收斂，盡量以實驗量 測材料係數。首先在壓電纖維複材試片上黏貼 KYOWA 公司的雙軸應變 規，型號為 KFG-2-120-D16-11L1M2S，規格如表 3-2 所列。以萬能拉伸試 驗機(MTS 810 system)及弘達公司所生產的電腦伺服控制材料試驗機 (HT-2102)進行拉伸試驗，後者搭配 20 公斤附和的荷重元。此外，利用 Measurement Group P-3500 應變量測儀 (包含惠斯登電橋)及高電壓供應器 進行靜態的壓電係數量測。依據壓電材料的本構方程式 E t S = s T + d E，其中 S 為應變張量，sE為固定電場的柔性常數，T 為應力張量，dt為壓電係數張 量，E 為電場強度，量得結構軸向方向的楊氏模數E₃、泊松比 及壓電係₃₁ 數 d31、d33。

3.2.1 實驗試片準備

應變規的黏貼： (1) 黏貼應變規前，先以酒精清除黏貼位置的表面油污，用棉花布作單向擦 拭，將表面小心擦乾，不要做來回擦拭。接著以 HB 鉛筆在試片表面欲量 測應力、應變的位置，畫一十字線，以酒精再次清除表面油污。 (2) 將一枚應變規排列於一個乾淨的塑膠片上，以一段適當長度之透明膠帶 黏貼於其上。然後將透明膠帶連同應變規及端子以₄₅o_{角掀起，以透明膠帶} 調整應變規邊緣的三角形對準標記，與先前畫的十字對正。然後將透明膠 帶連同應變規及端子以 o 45 角掀起，使其底部朝上。透明膠帶最好選用長度 不易拉伸者，以免對準的位置移動。 (3) 將準備好的瞬間接著劑，迅速塗抹於應變規及端子的底部，然後將透明 膠帶連同應變規壓合於預定黏貼的位置。注意接著劑不宜塗抹過多，以免 溢出於膠帶上，造成之後移除透明膠帶的困難，並避免將應變規及端子黏 成一體。 (4) 以手指隔著軟質的橡皮或矽膠片，施壓於應變規上方約 1 至 2 分鐘，直 到應變規與試片表面完全黏合。然後將透明膠帶與應變規撕離開。 上述步驟製成的試片，將使用於量測壓電係數 d31、d33，稱為試片(I)。 製作拉伸試驗試片的製作： (1) 將玻纖板裁剪成四片長 2cm 寬 1.8cm 的墊片，並用砂紙或剉刀在其上 磨出粗糙度，以增加黏著時的附著力。 (2) 使用樂泰 (LOCTITE)公司出產的型號 E-120HP 型 AB 膠，將上述玻纖 墊片黏著於試片(I)兩端，以長尾夾或重物固定 1~2 小時。 (3) 裁剪兩段電線，以銀膠黏著於壓電纖維複材試片的正負電極末端，將電 線前端導電處用焊接方式形成短路狀態(short circuit)，此目的是避免試片受

力作用產生正壓電效應，影響拉伸試驗的應變值結果。 本文之壓電纖維複材不是標準試片，結構本身的厚度相當薄(約 0.4 mm)，試片是由樹脂與壓電纖維所構成，為了避免拉伸試驗機的夾頭直接 作用於試片(I)上，造成試片內部材料的損毀，挾持端加上玻纖墊片，一方 面保護材料，另ㄧ方面也降低夾頭挾持時的困難，製作流程如圖 3.13 所示。

3.2.2 壓電係數

d31、d33

量測

在量測壓電係數 d31、d33時，為了確保結構處於無曳力狀態，將試片(I)

置於泡棉上，以高電壓供應器 Stanford Research Systems, Model PS325 (最大 電壓 2500V，功率 25W)，由低至高施以正電壓施於試片(I)的正負極上，由 應變量測儀觀察軸向及側向應變，每施以電壓增量 20V，紀錄一次應變讀 數，實驗裝置如圖 3.14 所示。壓電根據材料的本構方程式S = s T + d E ，E t 在無曳力狀態下，由軸向(3 方向)電場激發的軸向及側向應變，可求得壓電 係數 d31、d33，實驗量測結果如圖 3.15~圖 3.22 所示。表 3-3a 所列為各次實 驗數據，d31與 d33量測的平均值約為 156.66 及 324.39(×10 -12 cl/N)。

3.2.3 拉伸試驗

本文研究的壓電纖維複材為非標準試片，材料拉伸規範的資料短缺， 為了量測E₃、 ，並建立此種新型結構可供參考的拉伸條件，依序進行以₃₁ 下試驗，並逐一討論。 為了清楚壓電纖維複材試片的最大容許拉伸力量，首先進行拉伸強度 測試，使用萬能拉伸試驗機(MTS 810 system)以 0.01 mm/s 的速度，將製作 好的試片拉伸至破壞。應用惠斯通電橋量測應變規上電阻值變化數據，輸 送至資料擷取系統進行分析，實驗裝置如圖 3.23 所示。圖 3.24 所示為拉伸 力對軸向應變ε3的曲線圖，當拉伸力量約 225 N 時，試片發生斷裂。依試

片的截面尺寸，求得軸向應力對軸向應變的關係如圖 3.25 所示，當軸向應 變超過 3000μ 時，對應的拉伸力約為 65N，曲線開始呈現非線性，由此次 試驗可歸納出初步拉伸條件。 由上述經驗，採用 MTS 萬能拉伸試驗機以 0.01(mm/s)速度進行拉伸， 設定試驗機於 65N 時停止，可得軸向應力對軸向應變、側向應變對軸向應 變的關係圖 3.26~圖 3.31，實驗數據如表 3-3b 所列。軸向應變小於 250μ 時， 應力應變曲線的斜率皆呈現上昇，量測壓電係數時，所記錄的應變讀數皆 不超過 200μ，懷疑拉伸力達 65N 時，試片已經發生塑性變形。因此選擇圖 中軸向應變 250μ 所對應的拉伸力約 35N，作為下次拉伸試驗的負載上限。 所使用的 MTS 萬能拉伸試驗機之荷重元最小讀數為 100N，在此限度 以下的實驗數據將有明顯的偏差，因此選用弘達公司製造的電腦伺服控制 材料試驗機(HT-2102)，搭配較小的荷重元，極限為 20kg (約 200N)，進行 拉伸試驗，以期獲得較精準的數值。另外將試片的正負極末端牽引出的電 線，接觸拉伸試驗機的機台，形成共地的短路狀態，如圖 3.32 所示，避免 壓電纖維複材試片受到拉伸產生的正壓電效應影響應變規電阻值變化。並 設計一開路(open circuit)的對照組，進行相同條件的拉伸試驗，量測軸向楊 氏係數E₃、泊松比 。如圖 3.33 至圖 3.36 所示，兩種情況的楊氏模數及31

泊松比分別為 22.516GPa、0.298 (short circuit)及 21.641GPa、0.302 (open circuit)，兩者間存在些微差異。推測具有以下幾種可能。 (1) 實驗誤差，因為拉伸的範圍在儀器的最低限度附近，造成應變值發生跳 動情形。 (2) 因為拉伸力的範圍相當小(上限約 35N)，造成壓電效應不顯著，因此兩 種情況 E3值僅有些微變化。 (3) 由壓電材料的本構方程式S = s T + d E 可知，若應力固定時，應變與電E t 場強度呈現正比關係，因此軸向電場的開路試片的應變會大於短路情況的

應變。 (4) 泊松比(ν31)在兩種情況下，受限拉伸的範圍，實驗數據差異不大。 實驗量測的楊氏係數E 及泊松比₃  為工程常數(engineering₃₁ constant)，利用公式s₃₃E 1/ E₃、s₃₁E ₃₁/ E₃可求得柔性常數 ₃₃E s 、s ，實₃₁E 驗數據整理如表 3-3c 所列。為了方便檢閱，將上述量測壓電係數及拉伸試 驗的實驗步驟及結果歸納成表 3-4。

3.2.4 實驗與等效模型結果比較

為了確定實驗結果的正確性，比較實驗數據、等效模型及 Advanced Materials Technology 公司的產品附錄所提供的工程常數E 、₃  及壓電係數₃₁ 31 d 、d33，如表 3-5 所列。表中所列實驗量測的楊氏係數及泊松比為開路、 短路兩種情況的平均值。因為製程上的不同，造成產品間性質的誤差，因 此產品附錄的結果在此只供參考。 等效模型與實驗量測的楊氏係數E 值的相對誤差為₃ 5.5 % ，彼此差異 微小，確定實驗結果的可信度。產品附錄的相對誤差雖增大為 13.2 %，但 仍是可接受範圍。實驗量測的泊松比 較模擬結果小，推測可能因為拉伸₃₁ 試片較窄，應變規對於側向應變較不靈敏所致，也可能是受到真實試片表 面的聚醯亞胺薄膜影響。 等效模型的壓電係數d₃₁、d₃₃值均大於實驗量測值，因為模擬假設的電 場條件較理想化，真實試片受到指叉電極提供的電場不均勻，纖維排列不 均勻等因素都可能造成實驗量測值略低於等效模擬值。產品型錄的d₃₃值為 260 (10-12cl/N)，明顯低於模擬及實驗值。型錄上試片的指叉電極寬度為 0.5mm，與本研究實際量測的 0.8mm 也不一致。因為實驗與等效模擬結果 相當吻合，實驗量測的楊氏係數E₃、泊松比 及壓電係數₃₁ d₃₁、d₃₃取代等 效模型的數值，如表 3-6 所列，作為反算壓電纖維複材的材料係數之依據。

第四章 壓電纖維複材的材料係數反算與討論

壓電纖維複材為新興的智慧型結構，雖然應用層面相當廣，但對於材 料性質的掌握仍不足，因此利用其共振頻率的特性反求材料係數，以獲得 完整的結構材料性質。本章以等效模型及實驗量測的材料常數為依據，採 用有限元素軟體 ANSYS 結合 IMSL 函式厙進行材料係數反算，並探討反算 參數的收歛性及影響。

4.1 壓電纖維複材之材料係數反算

利用壓電纖維複材軸向振動的共振頻率，進行材料係數反算。材料係 數的反算是以最佳化程式，搜尋滿足實驗量測值與模型預測最小平方差的 材料係數。本文以有限元素軟體 ANSYS 模擬脫層實驗的共振頻率，並利 用 IMSL 函式厙中的最佳化副程式”BCONF”搜尋最可能的材料係數。

4.1.1 建立反算分析模型

由脫層試片軸向共振頻率的解析解可知，共振頻率與壓電纖維複材的 脫層長度有關，分析時，只需依不同脫層比例建立分析模型，不需以完整 尺寸結構進行模擬，可降低分析時的困難度與運算量。當脫層長度太短時， 容易造成共振特徵不明顯，因此選用脫層比例 40% 的第一共振頻率進行分 析。ANSYS 的模擬採用 SOLID 5,3 元素，分析一長 52 mm 寬 9 mm 厚 0.4 mm 的結構，如圖 4.1 所示，所需元素為 14336。已知的材料性質則採用上一章 的反算參數表 3-6 所列，進行模態分析(modal analysis)。為了模擬壓電纖維 複材黏貼於鋁板上的軸向振動情況，將分析模型一端(x3=0 處)固定，並設 定軸向位移固定於結構上下表面(x2=0、0.4mm)，對應的第一模態共振模態 如圖 4.2 所示。

4.1.2 需反算的材料係數

壓電纖維複材為橫向等向性材料，以實驗量測獲得彈性係數 13 E s 、 33 E s 及 壓電係數d₃₁、d₃₃。根據表 3.6 所列的反算係數參考表，尚需反算的材料係 數包括彈性係數 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 。壓電係數₄₄E d₁₅與介電係數ε₁₁T _、 33 εT _{，由脫層試} 片軸向共振的解析解得知，介電常數εT_{33對共振頻率的影響程度比} 11 εT _大。因 此最後需利用數值方式反算的材料係數為 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 、₄₄E d₁₅、εT_{33，並討論} 這五個變數對共振頻率的影響。

4.1.3 最佳化副程式 BCONF

”BCONF”採用準牛頓法(quasi-Newton method)為運算法則，準牛頓法 為改進牛頓法的缺點所建立，以下介紹其基本運作過程： 考慮一多變數函數，利用泰勒展開式可表示為 T 1 T ( ) ( ) ( ) ( ) 2 k k k f x f x f x x x H x x (4.1) 牛頓法是利用如(4.1)式的二次函數近似原函數 ( )f x ，以此二次函數的最小 點為下一次迭代點，其中H x( _k)為 Hessian 矩陣且 1 1 [ ( )] ( ) k k k f k        x x x H x x (4.2a) 因此牛頓法在第 k 次迭代的搜尋方向為 1 [ ( )] ( ) k k f k    s H x x (4.2b) 這搜尋方向稱為牛頓方向(Newton’s direction)。如果函數本身為二次式，則 牛頓法可於ㄧ次迭代便找到函數的最小值。考慮一個下降搜尋方向如 k  k fk S M ，其中矩陣M_k稱為 Metric，若M_k I，則搜尋方向為梯度方 向或最陡下降方向；當  1 M H ，則為牛頓方向，所以梯度方向與牛頓方

向為一般搜尋方向的兩個極限，如果s_k是一個下降方向，則 T T 0 k k k k k f f f  s  M   (4.3)

即矩陣M_k必須是正定(positive define)矩陣。但是牛頓法每次迭代的 Hessian

矩陣的反矩陣不一定是正定矩陣，可能為奇異矩陣(singular matrix)，造成 數值問題。準牛頓法則是將每次迭代的Mk再加上一個更新矩陣(updating matrix)所得，如M_k1 M_k D_k, M_k I，其中D_k為對稱矩陣。利用前幾次 迭代的一次微分資訊，建構一個近似於原目標函數的 Hessian 矩陣之反矩陣 的 metric，定義出一個接近牛頓方向的搜尋方向，即為準牛頓法的基本概 念。

4.1.4 目標函數

材料參數的反算過程中，最重要的是定義目標函數，好的目標函數除了 可以提高反算的精確度之外，還可節省運算的時間。通常目標函數的設定 是以實驗值與數值模型結果之間的差值為基準，找出滿足最小誤差的參 數。本文定義目標函數為各脫層比例試片第一模態對應的軸向共振頻率預 測與實驗值相對的誤差平方和，表示如下： 2 1 1 (1 ) M i i

Object Predict Experiment i F f f M  



 (4.4) 其中，F_Object為目標函數， fExperimenti 為各脫層比例試片第一模態所對應的共 振頻率實驗值，

f

_Predicti 為各脫層比例試片第一模態所對應的共振頻率模擬 值，M 為不同脫層比例試片的數目。

4.1.5 最佳化流程

最佳化過程以 FORTRAN 程式撰寫，以等效模型所建立的 ₁₁E s 、 12 E s 、 44 E s 、

15 d 、ε₃₃T _{當作反算的依據，於}



10

%

誤差範圍內尋求一組最佳值，各參數 的初始猜測值為等效模型值1 亂數



 (0.0 ~ 0.1)



，以有限元素軟體 ANSYS 計算脫層結構軸向振動的共振頻率。將各種參數組合對應之共振頻率預測 值，代入目標函數值，再以最佳化副程式的迭代過程，搜尋出一組最佳值， 反算收斂條件定義如下： 10 10 Object F   (4.5) 其中F_Object代表最佳化結果所對應的目標函數，圖 4.3 所示搜尋最佳值的流 程。

4.1.6 最佳化程式收斂測試

為了確定最佳化程式的可行性，將表 3-6 中反算材料係數的已知參考 值代入有限元素軟體 ANSYS，求出 40%脫層反算模型的第一共振頻率為 13.0171kHz，並將需反算的 5 個係數在偏離目標值±10%的範圍內，以隨機 亂數產生 10 組起始點，觀察其收斂情況。如表 4-1 所列，10 組起始點最後 的收斂值，與已知參考值的偏差約在 3%以內。收斂偏差定義為 1 2 2 2 2 2 2 _T 11 12 44 15 33 T 11 12 44 15 33 1 d ε deviation 5 d ε E E E E E E s s s s s s _{         } _{ } _{   } _{ } __{  } _{ } _{         } _{ }   (4.6) 其中 ₁₁E ₁₁E ₁₁E s s s    ， ₁₂E ₁₂E ₁₂E s s s    ， ₄₄E ₄₄E ₄₄E s s s    ，   ，d₁₅ d₁₅ d₁₅ 33 33 33 εT εT εT    。此處，各分母上方加“”，代表表 3-6 所列的參考值。上 述 10 組收斂值對應的共振頻率皆落在 13.0171 kHz 附近，因此可判定此最 佳化程式的運作流程無誤。

4.2 反算結果與討論

如圖 4.4 所示，最佳化程序經 2 次迭代後即可收歛到最佳值。表 4.2 所 列為最佳化的結果，由表可知反算後的最佳值與等效模型的參數值，誤差 約為 7

%

以內。進一步尚需考慮收歛值對應的目標函數值是否為全域最小 值(global minimum)，在此討論 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 、₄₄E d₁₅、ε₃₃T _{各變數對於目標函數} 的收斂性及影響程度： (1) 單變數探討： 為了方便說明，先將各參數予以正規化，在最佳化收斂值中，先固定 其餘 4 個變數，觀察偏離 10% 、20%、30%的單一變數能否收斂至期望 的最佳值，結果整理於表 4-3。由表可知，在變動範圍內的 11 E s 及ε33 T _皆收斂 至原來的最佳化值， ₁₂E s 、s 的收斂值則分別偏移到原最佳化值的 0.5%₄₄E  、 5%  。圖 4.55 至圖 4.9 分別為 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 、₄₄E d₁₅、ε₃₃T _{單變數對應的目標函} 數曲線，由各曲線的斜率觀察收斂速度ε₃₃T  11 E s s₁₂E s 。圖₄₄E 4.8 所示的壓 電係數d₁₅之目標函數曲線則出現發散現象，造成目標函數最低值出現在誤 差範圍的上界，推測壓電係數d₁₅可能影響其他參數 11 E s 、 12 E s 、 44 E s 、ε33 T _造成 共振頻率的偏移。 (2) 壓電係數 d15對其他參數的影響性： 壓電係數d15於單變數測試時發生發散情況，因此考慮d15對 11 E s 、 12 E s 、 44 E s 、ε33 T _{的影響性，將} 15 d 與其他四個參數個別搭配，如( 11 E s ,d15)、( 12 E s ,d15)、 ( 44 E s ,d15)、(ε33 T _, 15 d )，在原最佳化收斂值的 10% 誤差範圍內，代入反算程 式，測試收斂性。圖 4.10 至圖 4.13 為上述參數組合對應的目標函數曲面及 等高線圖，當 ₁₁E s 、s 、₁₂E ε₃₃T 固定於原最佳化收斂值時，隨著壓電係數d₁₅變 化，出現多個區域極小值(local minimum)，( ₄₄E s ,d₁₅)組合對應的目標函數極 小值甚至偏移至原最佳化收斂值的 4% 左右，並伴隨d15變化，出現數個區

域最小值。上述的目標函數最小值皆出現於d₁₅的上下邊界處。表 4-4 所列 為誤差範圍 10% 、 20% 中，目標函數最小值所對應的參數。雖然d₁₅會造 成目標函數出現多個區域極小值，然而頻率的影響性小於其他變數，各參 數 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 、₄₄E ε₃₃T 出現目標函數極小值的區域與單變數分析一致。 (3) 不考慮壓電係數 d15的雙變數探討： 根據(3.10)式，壓電係數d15對於壓電纖維複材試片軸向共振頻率沒有 影響。故僅討論 11 E s 、12 E s 、 44 E s 、ε33 T _{各係數兩兩組合，在原最佳化收斂值的 10%} 誤差範圍，討論對目標函數的收斂與否，測試結果如圖 4.14 至圖 4.19 所示。 圖 4.16 所示的雙變數( ₁₁E s ,s₄₄E )組合中，若s 維持在原最佳化收斂值約 2%₁₁E  左右，隨著 ₄₄E s 的變化，出現多個區域最小值，可推測s 對共振頻率的影響₁₁E 大於 44 E s 。參考圖4.14 及圖 4.15 所示，雙變數組合( 11 E s , 12 E s )及( 12 E s , 44 E s )中， 區域最小值的位置出現比較大的偏斜，但仍可觀察出對共振頻率的影響為 11 12 E E s  及s s₁₂E  。綜合上述結果，各個參數對於目標函數的影響程度為s₄₄E 11 E s s₁₂E s 。另外，在圖₄₄E 4.17、圖 4.18、圖 4.19 所示雙變數組合(s ,₁₁E ε₃₃T )、 (s ,₁₂E ε₃₃T )、(s ,₄₄E ε₃₃T )對於目標函數的影響，其區域最小值皆出現在εT₃₃的原 最佳化收斂值處，可知係數ε₃₃T _{在此誤差範圍內對共振頻率的影響大於其他} 材料係數，所以可歸納出反算參數對目標函數的影響程度依序為 T 33 11 12 44 ε E E E s s s    。 (4) 不考慮壓電係數 d15的最佳化分析 雖然壓電係數d₁₅對於試片的軸向共振頻率影響小，在反算的過程中仍 會對結果造成一定的誤差。在此以 10% 的誤差範圍對 ₁₁E s 、 12 E s 、 44 E s 、ε33 T _四 個變數進行最佳化反算，其餘材料係數則採用表 3-6 所列的反算參考值。 最佳化收斂結果如表 4-5 所列，迭代過程的目標函數及參數值則如圖 4.20

所示，四個變數的收斂結果更加理想，僅花費 5 次迭代即收斂。 (5) 多起始點測試 為了確定表 4-5 所列四個變數的最佳化結果為全域最小值，以圖 4.20 中起始點的 5% 誤差範圍隨機產生 10 組起始點，測試其是否收斂至表 4-5 所列的結果。如表 4-6 所列，10 組起始點最後的收斂值，與表 4-5 所列的 最佳化值之偏差皆在 3%以內，可判定四個變數的最佳化收斂值為全域最小 值。收斂偏差定義為 1 2 2 2 2 2 _T 11 12 44 33 T 11 12 44 33 1 ε deviation 4 ε E E E E E E s s s s s s  _{       }  _{ } _{   } _{ } __{  }          _{ }       (4.7) 其中 11 11 11 E E E s s s   ， 12 12 12 E E E s s s   ， 44 44 44 E E E s s s    ， ε33 ε33 ε33 T T T    。 此處，各分母上方加“～”，代表表 4-5 所列的四個變數最佳化收斂值。 另外，將 10 組測試之收斂值對應的目標函數值，整理於圖 4.21 所示。

第五章 結論與展望

本文以混合率概念，應用 ANSYS 套裝軟體模擬壓電纖維複材的等效 材料性質。實驗方面採用拉伸試驗機、應變規與高電壓電源供應器，分別 量測試片的軸向楊氏係數、泊松比及壓電係數，實驗數據與等效模型估算 的結果吻合。另外，使用網路分析儀量測壓電纖維複材的軸向共振頻率， 以共振頻率量測值與模擬值的最小平方差為目標函數，應用準牛頓法的最 佳化程式，反算出材料係數 ₁₁E s 、s 、₁₂E s 、₄₄E ε₃₃T 。本章總結實驗量測、等效 分析與反算結果，提供日後相關研究的參考。

5.1 結論

5.1.1 實驗量測與等效分析

(1) 由於製程上的因素，試片內的壓電纖維及表面上下佈置的指叉電極並非 均勻排列，造成各試片的性質具有 5%差異。 (2) 等效模型與實驗量測獲得的軸向彈性係數s 、₁₃E s 及壓電係數₃₃E d₃₁、d₃₃間 存有誤差，是因為模擬時所加諸的負載條件，如電場分布、拉伸試驗的受 力狀態等因素較理想化所引起。 (3) 網路分析儀量測的脫層試片共振頻率對應的位移模態屬於軸向振動，隨 著脫層長度比例增加，第一共振頻率逐漸降低。

5.1.2 反算結果

(1) 壓電係數d₁₅於反算過程中會發散，對於試片軸向共振頻率的影響小， 因此不適合利用本文提出的反算方法求之。 (2) 不考慮壓電係數d₁₅參與反算，反算係數s 、₁₁E s 、₁₂E s 、₄₄E εT₃₃的收斂值與 等效模型所建立的參考值誤差約為5%以內。

(3) 反算係數對於試片軸向共振頻率的影響依序為εT₃₃   。s₁₁E s₁₂E s₄₄E

5.2 未來展望

目前量測出的側向應變值較不均勻，推測是應變規覆蓋到試片壓電纖 維排列不整齊處所致，將來可製作與目前研究試片纖維長度小於試片長度 的寬扁型試片，如圖 5.1 所示，並利用較長應變規量測出較均勻且平均的 側向應變，以改善壓電纖維複材側向的材料性質。在材料係數討論方面， 曾以超音波脈波回音法(Pulse echo)量測厚度方向的材料參數，但是壓電纖 維複材試片的厚度太薄，壓電纖維太粗，組成複雜，反射訊號無法辨識。 另外，壓電係數d15於反算過程中會出現發散情況，將來自行製作極化方向 與電場方向垂直的試片，如圖 5.2 所示，以厚度方向剪切振動(thickness shear) 配合 IEEE standard(1987)提出的共振法，求得壓電係數d₁₅。在其他應用方 面，目前已有發明將壓電纖維複材置於網球拍或滑雪板的結構中，利用壓 電效應減緩激烈的振動，也可將其應用於靴子的鞋墊，發揮保暖的功用。

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