第二章 文獻探討
第一節 多光譜分色原理及應用
第二章 文獻探討
本章節主要以「多光譜分色原理及應用」、「物體反射譜的估計法」、「影像中 光源估計法」三大主軸來做探討。首先介紹多光譜分色的原理及其應用的相關研 究。接著，說明估計物體反射譜的演算方法。最後，針對影像中光源估計的方法 進一步的探討。
第一節 多光譜分色原理及應用
分光光度計是由能夠分解單色光的單色器和光接收器所組成，它能測量光源 的光譜分佈與物體的光譜反射率，因而能夠計算出色度值[4]，當單色器被取代 為多色器時，便能進行多色的分析。
一、複製系統
多光譜複製系統如圖2-1，在此系統中主要包含五部份：
1. 模擬物體特徵的多光譜相機。
2. 光譜函數的重建。
3. 多光譜資料的編碼。
4. 系統介面。
5. 多色顯示器的控制。
經由上述部分的處理過程，能夠將實物經由系統的拍攝，成像於另一顯示器中，
這樣的技術能夠使得實物與虛像間幾乎無法區別，如圖2-2 左邊為實際物體，右 邊則為陰極射線管所投射出的影像[6]。
圖2-1 多光譜複製系統示意圖[6] 圖 2-2 多光譜複製結果[6]
1
2 3 4
5
實際物體 投射影像
6
二、醫學影像
多光譜影像應用於醫學影像中有兩大主要貢獻，一為明確地在形態學上診斷 更有效於藉由人眼的判斷，在罕見疾病上能有詳細的觀察；二為提供診斷時可靠 的數位彩色影像。膚色由黑色素、綜合血紅素、酸化血紅素三大色素所構成，經 由多光譜影像技術的應用，圖2-3，可藉由這三大色素的組成分佈情況來預防疾 病發生的可能性，如糖尿病患者在發病前會有局部低酸素的狀況出現，在多光譜 影像中即可判斷出，因此，這樣的診斷方法可成為預防發病的關鍵因素。
(a)原始影像 (b)黑色素 (c)綜和血紅素 (d)酸化血紅素 圖2-3 食指第二關節上綁著布的色素分佈變化[7]
多光譜影像於實物色影像的醫學應用中，可以將再現影像更接近實物情況，
由於拍攝與顯示裝置的差異與光源條件的影響著再現影像與實物色影像的色彩 差異，假設得知光譜反射率的情況下，光源的改變也能夠正確計算出色彩，但是 藉由三原色的記錄方式是有限的，有時也會有無法表現出與實物色相同的色彩情 況，如圖 2-4(上圖)，但經由多光譜紀錄方式及能夠確實地呈現與物體色相同的 色彩，如圖2-4(下圖)。
圖 2-4 運用多光譜紀錄的影像變化示意圖[7]
7
三、數位典藏
文化遺產保存傳續給下一代了解這些古物的歷史是人類的共同義務，將文化 遺產好好地保存是最理想的方式，但是土地的開發、天然災害的發生都將可能破 壞這些文化遺產，因此，必須預防這樣的破壞使文化遺產免於永久消失，可運用 多光譜的再生技術將這些資料保存下來，利用多角度的拍攝建立3D 影像，如圖 2-5，在這系統中須具備高解析多頻帶的相機進行物體光譜資訊的紀錄，3D 形狀 則需要雷射投影掃描器的紀錄，與多方向的照明，經由光譜資訊的推定即可再現 彩色影像，在質感方面的處理可分為兩部分，一為物體表面與空氣層接觸的反射 為表面反射光，二為穿過物體表面因色素粒子而散射的內部反射光，如圖2-6，
經由單一表面反射光的影像及單一內部反射光的影像合成後，即可得到符合人眼 所看到的影像[8]。
圖2-5 偏角光譜數位資料庫影像系統示意圖[8]
(a)表面反射光 (b)內部反射光 (c)表面與內部的合成 圖2-6 物體質感處理[8]
第二
nstein 多項式
到1 之間，
nstein 多項式
)
=co (
1 h−)
9
二、主成份分析估計法[9] [10][11][12][13]
影像中畫素值是由入射光強度與光譜分佈所影響的，因此，假設使用黑白數 位相機，拍攝物體時通過 i 個的多頻率濾鏡，對應 CCD 單元的入射光光譜分佈 的像素位置(x, y)，其像素值為t
i ( ) ( ) ( λ
Eλ
r x, y;λ )
，r(
x, y;λ )
為像素座標(x, y)的物 體光譜反射率，E( ) λ
為光源分佈，ti ( ) λ
為 i 個多頻率濾鏡的透射率，S( ) λ
為鏡 頭光譜透射率與CCD 光譜感度的總和光譜積，入射光ti ( ) ( ) ( λ
Eλ
r x, y;λ )
與光譜積( ) λ
S 經由每一波長的積分即可求得感應器的相對值v
i ( )
x, ，可由公式(2-4)表y 示，( ) ( ) ( ) ( λ
Eλ
Sλ
r x yλ )
dλ
tv
i i
, ,700 400 ∫
= , i=1,…m (2-4)
其中，m 為多頻率影像中的頻率數，此式中光譜積的波長為 400nm 到 700nm 人 眼可視的範圍，為了簡化公式(2-4)且光譜分佈為離散化，因此使用向量和矩陣來 表示，公式(2-5)，
Fr
v =
(2-5)其中，r 為物體反射率，F 為濾鏡的光譜透射率、光源、相機的光譜感度的乘積。
藉由代表自然界與人造的170 個物體反射譜為樣本[10]，在這 170 樣本中光 譜反射率均為400nm 到 700nm 且間隔距離為 5nm，共有 61 項資料量，由於反射 譜為連續的平滑曲線，因此，這61 項為光譜的部份反射率，但根據主成份分析 光譜反射率，可除去此連續特性，當樣本的離散矩陣有已知解時，即有可行性，
( )( ) i t t K
i i
t
rr r r r r b b
C ∑
=
=
−
−
=
1
λ (2-6)
其中，
r
為樣本的光譜反射率平均值， 為樣本的相關平均數，λ i
、b 分別為第i
i 個的已知值和已知向量，已知向量b 稱之為第 i 個主成分向量，為了將計算簡i
10
單使
r
為零向量，全部樣本符號經由反轉後加回原本的樣本矩陣，主成分向量與 基底正交展開後即可的得到任意光譜反射率，公式(2-7)，
K i
i w i b r ∑
=
=
1
(2-7)
其中，w 為各主成分向量的權重，少量的基底可近似於整體基底，公式(2-8)，
i
這樣少量基底的向量近似於低次線性的表示，因此，特別的基底量與多光譜影像 的頻帶數量有相符合，Bw b w r
r K i
i i =
=
≅ ∑
=1
ˆ
(2-8)[
b b b bm ]
B=
1
,2
,3
,K[
w w w wm ] t
w=
1
,2
,3
,K (2-9)其中，近似誤差可由公式(2-10)計算得知，
∑
∑
=
= K = i
i m i
i
X m
1 1
λ λ
(2-10)
為了使低次項也可表現出較高準確性的光譜反射率，將公式(2-8)代入公式(2-5) 可得公式(2-11)，
v≅FBw
(2-11)
其中，FB 為方陣且矩陣 F 具有獨立性，故可逆向求得 w，公式(2-12)，
w ≅ ( ) FB − 1 v
(2-12)11
最後，將公式(2-12)代入公式(2-8)即可求得光譜反射率的模擬值
r~
，r ~ ≅ B ( ) FB − 1 v
(2-13)與樣本的實際光譜反射率相比，由於F 和空間 B 無法一致，所以模擬出的
r~
比 rˆ
誤差值大，若F 和 B 越趨向正交則誤差值就越大，圖 2-8。圖2-8 模擬反射譜誤差示意圖[14]
12
三、Wiener 模擬法[15][16]
樣本的光譜反射率
r
和模擬的光譜反射率r~
兩者間的平方差為E，( r r )( r r ) t
E = − ~ − ~
(2-14)表示為樣本光譜反射率對於整體樣本的平均，公式(2-15)表示感應器的光譜反 射率反應向量以G 表示，
Gv r =
~ (2-15)
藉由公式(2-14)最小平方差可表示出矩陣 G
，
G = R rv R vv − 1
(2-16)其中，R 、
rv
R 分別為樣本中 r 和 v 的相關矩陣與 v 的相關矩陣，另外，r 的相vv
關矩陣R ，rr
R rv = rv t
R vv = vv t
(2-17)R rr = rr t
將公式(2-5)代入公式(2-16)，可得公式(2-18)，
=
( rr t ) − 1
t
rr
F FR FR
G (2-18)
由於感應器的反應中包含著雜訊n，加入公式(2-5)中，
v = Fr + n
(2-19)13
其中，假設輸入向量和雜訊向量無關聯性，最小平方差的估計矩陣可由公式(2-20) 得到，
= ( t + nn ) − 1
rr t
rr F FR F R
R
G
(2-20)其中，R 為雜訊的相關矩陣，
nn
R nn = nn t
(2-21)根據 Wiener 模擬法，信號和雜訊的統計量由簡單的線性運算找出最小平方差，
進而計算公式(2-15)獲得模擬去除雜訊的反射譜
r~
。14
四、多次回歸分析模擬法[14]
從多數樣本顏色中，使用回歸分析法找出色彩的轉換矩陣，同理也可從感應 器的資訊利用回歸分析法找出光譜反射率的轉換矩陣，由公式(2-5)可得感應器的 反應向量，V 為自變數，R 為應變數，
R=[r
1
,r2
,r3
Lrn
] (2-22) V =[v1
,v2
,v3
Lvn
] (2-23)藉由V 和 R 之間的關係找出回歸係數矩陣 G：
G=RV
t ( )
VVt − 1
(2-24) 將公式(2-24)代入公式(2-5)可得公式公式(2-25)：G=R
( )
FRt (
FR( )
FRt ) − 1
( )
( ) 1
1
−
−
=
=
t rr t rr
t t t t
F FR F R
F FRR F
RR
(2-25)可由最後推算結果發現與公式(2-18)相同，但是多元回歸分析法可提高自變數提 高次方，使自變數與應變數之間成為非線性關係，提高其準確度，相對地計算時 間也提高了。
15
行TRC(Tone Reproduction Cure)轉換修正，公式(2-27)、公式(2-28)，透過 sRGB 線性轉換矩陣轉換到三刺激值 XYZ[17]，公式(2-29)，再轉換 CIE 所公布的 CIEL*a*b*均等色彩空間[4]，公式(2-30)：255.0
sRGB bit sRGB bit sRGB bit
B
sRGB sRGB sRGB sRGB sRGB sRGB
B
sRGB sRGB sRGB sRGB sRGB sRGB
B
16
標準下R、G、B、C、M、Y、K、RIT Munsell Lab 14 喜好色，共 20 色)的最短 距離計算，圖2-9，將最短距離所對應到參考色點的色溫，進一步的處理，最後W 五 Reference G
sRGB 色域下 amut Extrem
下高彩度G
18
二、雙色反射模型( Dichromatic Reflection Model )[20][21]
每 一 色 彩 向 量
( R , G , B ) T
可 藉 由 表 面 反 射 顏 色(
Rs
,Gs
,Bs ) T
與 物 體 顏 色 式(2-32)簡化為公式(2-33)，⎟⎟
19
將公式(2-36)代入公式(2-33)可得公式(3-37)，
'
20
不相同的物體於同一光源下時，每一物體會產生不同的色線(color line)交集 於rg diagram 的座標位置
( ) r , g = ( p r , p g )
，即為光源所呈現的顏色，圖2-14。
B G R
R
r
s s sp s
+
= +
,
R G B
G
g
s s sp s
+
= +
(2-39)
圖2-14 光源所呈現的顏色[23]
21
三、蒲朗克輻射定律( Planck’s law of radiation ) [24][25]
數位影像中每一像素皆由數位相機的偵測器反應來描述，可由公式(2-40)所 示：
( ) ( ) ( )
∫
=
ω
Eλ
Sλ
Rλ
dλ
p
k k
, (k = R, G, B) (2-40)其中，λ為波長，p 為偵測器反應且 k 代表紅、綠、藍三色，E 為光源，S 為表
k
面反射率，R 為相機反應函數，ω則為人眼可視頻譜範圍。此時，我們假定k
( ) ( k )
R
k λ
=δ λ
−λ
，δ ( λ
−λ k )
為狄拉克δ函數( Dirac delta function )，將公式(2-40) 改寫為公式(2-41)：( ) ( ) ( )
∫
−=
ω
Eλ
Sλ δ λ λ
dλ
p
k k
(2-41)光源的部分則使用蒲朗克輻射定律，如公式2-42 所示：
( )
,1 5
exp2
11
−
−
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟−
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
λ λ
λ
Tc c T
E (2-42)
其中，λ為波長，T 為色溫，
c 1
、c 2
則為常數，分別代入3.74183×10− 16
Wm2
、2
mK 10 4388 .1 ×
−
。由於，公式(2-42)並未考量不同光源的強度量，因此，此研究 中加入強度常數I，將公式(2-42)改寫為公式(2-43)：( )
,1 − 5
exp2
1⎥− 1
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟−
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
λ λ
λ
TIc c T
E (2-43)
22
因此，可從公式(2-41)找出與公式(2-44)的關係如公式(2-45)：
( ) ( ) ( )
將公式(2-45)取自然對數後可得公式(2-46)：
[ ( ) ]
將馬
h color chec 圖2-15：
24
根據幾何學原理，將座標軸轉換為(a b)軸上且為正交於光源變化的向量，
則可得到公式(2-50)求取新座標x,' y'：
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎥ +
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− '
' y x c mx
x a b
b a
(2-50)
將圖 2-15 的座標位置轉換至新座標，圖 2-16，即可看出表面反射率與光源的變 化關係，x 軸為表面反射率、y 軸為光源。
圖2-16 表面反射率與光源關係圖[25]
25
四、光源演色性 (Color Rendering Property)
根據不同的光源，物體呈現不同的色外貌特性則稱之為光源演色性，當人造 光源的演色性越接近日光時，則其演色性也越佳，因此，在演色性評價方式中，
可分兩種方法：一為基於光譜分布的差別；二為基於標準物體色與其差別。目前 於演色性評價上多採用第二種方法，CIE 將測試光源下物體色外貌和參照光下物 體色外貌進行比較，將兩者一致性程度以數值表示，稱之為演色指數(Color Rendering Index)[4]。JIS 則採用試驗色進行演色評價，圖 2-17，試驗色 No.1~ No.8 為多種物體色的平均代表樣本，是用於計算一般光源演色指數，稱之為平均演色 評價數(Ra)；試驗色 No.9~ No.15 為重要的物體色代表樣本，其稱之為特殊演色 評價數數(Ri)[26]。
平均演色評價用
No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6 No.7 No.8
特殊演色評價用
No.9 No.10 No.11 No.12 No.13 No.14 No.15
紅 黃 綠 藍 西洋人
膚色
樹葉色 日本人
膚色
圖2-17 演色評價用試驗色
近年來，LED 市場逐漸取代傳統螢光燈，由於 LED 的放射光譜方式不同於 螢光燈，導致演色指數(CRI)與實際人眼知覺演色性(Visual colour rendering)有所 差異，因此，在LED 演色評價上應採用不同於判斷傳統螢光燈所使用的演色指 數，運用實際人眼觀察實驗，發現加入CIECAM02 色外貌模式或是以 CIECAM02 為基礎的色差公式，能夠增加在LED 演色評價與人眼知覺演色性之相關性，能 夠透過演色評價計算得到相對的色外貌差異值[27]。