第四章 多維度拉丁方陣相關方法論
4.2 多維度拉丁方陣結構分析
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
以 3 個拉丁方陣來表達，其中拉丁方陣 B 是取自 L4的第 0 柱第 0 層，拉丁 方陣 C 則由 L4第 0 柱每一層第 x 列（如第 0 列）組合而成，拉丁方陣 D 則是由 L4每柱的第 0 層第 y 行(如第 0 行)逆時鐘旋轉後組合而成(如圖 4.3)。如同第三章一樣，拉丁方陣 C 可以反映出第 0 柱第 0 層各數字，於 第 0 柱其它各層的變化，而拉丁方陣 D 則可反映出第 0 柱各數字於其它柱 的變化，我們亦可透過拉丁方陣 B、C、D，完整的把 4 維拉丁方陣 L4表 達出來(如圖 4.3)。也就是說，我們可以上述方法找出一組拉丁方陣 B、C、
D，將完整的 4 維拉丁方陣 L4推導出來(如圖 4.4，先由拉丁方陣 B、C 推 導出第 0 柱，再由第 0 柱搭配拉丁方陣 D 導出 L4)，這也代表只要知道拉 丁方陣 B、C、 D，就可推導出完整的 4 維拉丁方陣 L4。
圖 4.3 以 B,C,D 表示 4 維度拉丁方陣示意
我們也可運用拉丁立體方陣指數式表示法來表示 L4，我們先以拉丁方陣
第 0 柱 第 1 柱 第 2 柱 第 3 柱
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
D(我們記做 SD)建構完整的 L4，即 L4=SD（如圖 4.4），也就是說，4 維拉 方陣 L4，可以前述方法找出一組拉丁方陣 B、拉丁方陣 C 及拉丁方陣 D，
使得 S=BC，= L4=SD，一旦我們知道 4 維拉方陣 L4 對應之拉丁方陣 B、
拉丁方陣 C 及拉丁方陣 D，我們便可以 BC求出 S，再以 SD反推出 L4（如 圖 4.4），相關數學表示式請參考 4.2.2 章節中的數學式 4.2。
圖 4.4 以 B,C,D 反推出 4 維拉方陣 L4
(x=0,y=0)示意
同理，如圖 4.5 所示，以 n 階 5 維拉方陣 L5為例，我們也可以以 4 個拉丁方陣來表達，方法如下:我們把 L5的第 0 片第 0 柱第 0 層當作拉丁 方陣 B，拉丁方陣 C 則由 L5的第 0 片第 0 柱每一層第 x 列（如第 0 列）組 合而成，拉丁方陣 D 則是由 L5的第 0 片每柱的第 0 層第 y 行(如第 0 行) 逆時鐘旋轉後組合而成，拉丁方陣Ｅ則由拉丁立體方陣 L5每一片第 0 柱 第 0 層第 x 列（如第 0 列）組合而成，其中拉丁方陣 C 可以反映出第 0 片 第 0 柱第 0 層各數字，於第 0 片第 0 柱其它各層的變化，拉丁方陣 D 則可S=BC
L
4=S
D第 3 柱 第 2 柱
第 1 柱 第 0 柱
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
反映出第 0 片第 0 柱各數字於第 0 片其它柱的變化，拉丁方陣 E 則可反映 出第 0 片各數字於其它片的變化，一樣的，我們可以上述方法找出的拉丁 方陣 B、C、D、Ｅ完整的把 5 維拉丁方陣 L5推導出來(如圖 4.5，先由拉 丁方陣 B、C 推導出第 0 片第 0 柱，再由第 0 片第 0 柱搭配拉丁方陣 D 導 出完整的第 0 片，最後由完整的第 0 片搭配拉丁方陣 E 導出完整 L5)。若 以拉丁立體方陣指數式表示法來表示，則先以 BC 來產生 L5第 0 柱，我們 令其為 S，再以 S 搭配 D(我們記做 SD)建構完整的第 0 片 S2，最後以 S2
搭配 E(我們記做 S2E)求出完整的 L5 (詳圖 4.5)，也就是說，L5，可以上 述方法找出一組拉丁方陣 B、拉丁方陣 C 及拉丁方陣 D，使得 BC＝S，
SD= S2 ，S2E＝L5，相關數學表示式請參考 4.2.2 節中的數學式 4.3。
S=BC
S2=S
DL
5=S
2EL5
第 1 柱 第 2 柱 第 0 柱
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
經觀察多維度拉丁方陣的樣態(圖 4.7)發現，對於一個已知 k 維拉丁方陣 Lk，其長成方式，會依維度而有所不同，當維度為 3 維、5 維、6 維，其往 下長(垂直方向成長)，當維度為 4 維、7 維、10 維…時，其往左長(水平方 向成長)，我們發現，當維度越變越大，那些可以用來表示 Lk的拉丁方陣 的 C2 ,C3, C4……Ck，與多維度拉丁方陣的樣態一樣，是有一定的規律可循，
假設拉丁方陣 C3, C4……Ck以 Ci來表示(i=3 to k)，在 3 維、5 維、6 維 (i=3,5,6,8.9…即(i-1)mod3≠0))….，時 Ci皆由 Lk某 1 固定的列(我們設 其為 x， 0 ≤ x ≤ n-1) 所組成，在 4 維、7 維、10 維…. (i=2,7.10…即 (i-1)mod 3=0)時，則是由 Lk某 1 固定的行(我們設其為 y，y 值介於 0~n-1 之間) 所組成。(如圖 4.6)。
圖 4.7 多維度拉丁方陣各維度的樣態