多自由度系統之識別

多自由度系統之系統參數識別可視為單自由度系統的延伸，若每個自由度都能得

到系統反應的完全量測值，則每個自由度都可以列出如同式(3.3a)之運動方程式，並

1 2 2

ˆ ˆ

1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

400 400

2 2 2 2 2 2

0 20 40 60 80 Time (sec)

-200 -100 0 100 200 300

Acceleration (gal)

圖(3.1) 地表加速度歷時

0 20 40 60 80

Time (sec) -800

-400 0 400 800

Acceleration (gal)

圖(3.2) 線性非時變模擬系統之絕對加速度歷時

0 20 40 60 80 Time (sec)

-30 -20 -10 0 10 20 30

Velocity (cm/s)

圖(3.3) 線性非時變模擬系統之相對速度歷時

0 20 40 60 80

Time (sec) -2

-1 0 1 2

Displacement (cm)

圖(3.4) 線性非時變模擬系統之相對位移歷時

0 20 40 60 80 Time (sec)

0.9 1 1.1

ture identified

圖(3.5) 線性非時變模擬系統^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 399.2

399.6 400 400.4

400.8 ture

identified

圖(3.6) 線性非時變模擬系統^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

0 0.4 0.8 1.2 1.6

ture identified

圖(3.7) 相對速度與相對位移為數值積分之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 360

380 400 420 440

ture identified

圖(3.8) 相對速度與相對位移為數值積分之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

-120 -80 -40 0 40

Error (%)

圖(3.9) c t( )

m 識別值之相對誤差

0 20 40 60 80

Time (sec) -12

-8 -4 0 4 8

Error (%)

圖(3.10) k t( )

m 識別值之相對誤差

0 20 40 60 80 Time (sec)

1 1.2 1.4 1.6

圖(3.11) 線性時變系統狀況一之^{c t}^{( )}

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

300 400

圖(3.12) 線性時變系統狀況一之^{k t}^{( )}

0 20 40 60 80 Time (sec)

1 1.2 1.4 1.6

圖(3.13) 線性時變系統狀況二之^{c t}^{( )}

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

300 400

圖(3.14) 線性時變系統狀況二之^{k t}^{( )}

0 20 40 60 80 Time (sec)

1 1.2 1.4 1.6

圖(3.15) 線性時變系統狀況三之^{c t}^{( )}

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

300 400

圖(3.16) 線性時變系統狀況三之^{k t}^{( )}

0 20 40 60 80 Time (sec)

1 1.2 1.4 1.6

ture identified

圖(3.17) 線性時變系統狀況一之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

250 300 350 400

ture identified

圖(3.18) 線性時變系統狀況一之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

1 1.2 1.4 1.6

ture identified

圖(3.19) 線性時變系統狀況二之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

300

400 ture

identified

圖(3.20) 線性時變系統狀況二之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

0.8 1.2 1.6 2

ture identified

圖(3.21) 線性時變系統狀況三之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 200

300 400

ture identified

圖(3.22) 線性時變系統狀況三之^{k t}^{( )}

m 識別值

15 17 19 21 Time (sec)

-4 -2 0 2 4

Error (%)

圖(3.23) 線性時變系統狀況一強動階段^{c t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

15 17 19 21

Time (sec) -0.4

-0.2 0 0.2 0.4

Error (%)

圖(3.24) 線性時變系統狀況一強動階段^{k t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

15 19 23 27 Time (sec)

-4 -2 0 2 4 6

Error (%)

圖(3.25) 線性時變系統狀況二強動階段^{c t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

15 19 23 27

Time (sec) -0.4

-0.2 0 0.2 0.4

Error (%)

圖(3.26) 線性時變系統狀況二強動階段^{k t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

15 19 23 27 Time (sec)

-100 -50 0 50 100 150

Error (%)

圖(3.27) 線性時變系統狀況三強動階段^{c t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

15 19 23 27

Time (sec) -8

-4 0 4

Error (%)

圖(3.28) 線性時變系統狀況三強動階段^{k t}^{( )}

m 識別值之相對誤差

0 20 40 60 80 Time (sec)

0 1 2 3

ture identified

圖(3.29) 線性時變系統狀況一相對速度與相對位移為數值積分之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 100

200 300 400 500

ture identified

圖(3.30) 線性時變系統狀況一相對速度與相對位移為數值積分之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

-4 0 4

8 ture

identified

圖(3.31) 線性時變系統狀況二相對速度與相對位移為數值積分之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 0

200 400 600

ture identified

圖(3.32) 線性時變系統狀況二相對速度與相對位移為數值積分之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

-4 -2 0 2 4 6

ture identified

圖(3.33) 線性時變系統狀況三相對速度與相對位移為數值積分之^{c t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 0

200 400 600 800

ture identified

圖(3.34) 線性時變系統狀況三相對速度與相對位移為數值積分之^{k t}^{( )}

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

2.827 2.828 2.829 2.83

Exact Identified

圖(3.35) 雙自由度線性非時變系統 ¹

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 1.412

1.413 1.414 1.415 1.416

Exact Identified

圖(3.36) 雙自由度線性非時變系統 ²

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

399.2 399.6 400 400.4

400.8 Exact

Identified

圖(3.37) 雙自由度線性非時變系統 ¹

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 199.2

199.6 200 200.4

200.8 Exact

Identified

圖(3.38) 雙自由度線性非時變系統 ²

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

2 3 4 5

ture identified

圖(3.39) 雙自由度線性時變系統狀況一 ¹

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 1.2

1.6 2 2.4

2.8 ture

identified

圖(3.40) 雙自由度線性時變系統狀況一 ²

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

150 200 250 300 350 400 450

ture identified

圖(3.41) 雙自由度線性時變系統狀況一 ¹

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 80

120 160

200 ture

identified

圖(3.42) 雙自由度線性時變系統狀況一 ²

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

2.8 3.2 3.6 4 4.4

ture identified

圖(3.43) 雙自由度線性時變系統狀況二 ¹

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 1.2

1.6 2 2.4

ture identified

圖(3.44) 雙自由度線性時變系統狀況二 ²

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

200 250 300 350 400

ture identified

圖(3.45) 雙自由度線性時變系統狀況二 ¹

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 80

120 160

200 ture

identified

圖(3.46) 雙自由度線性時變系統狀況二 ²

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

2 3 4 5 6

ture identified

圖(3.47) 雙自由度線性時變系統狀況三 ¹

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 1.2

1.6 2 2.4 2.8

ture identified

圖(3.48) 雙自由度線性時變系統狀況三 ²

( ) c t

m 識別值

0 20 40 60 80 Time (sec)

150 200 250 300 350 400 450

ture identified

圖(3.49) 雙自由度線性時變系統狀況三 ¹

( ) k t

m 識別值

0 20 40 60 80

Time (sec) 80

120 160

200 ture

identified

圖(3.50) 雙自由度線性時變系統狀況三 ²

( ) k t

m 識別值

第第

第第4章章章章標竿結構之標竿結構之標竿結構之標竿結構之識別識別識別識別

4.1 標竿結構標竿結構標竿結構標竿結構

本文之標竿結構為國家地震工程研究中心於民國93 年6月所完成之模型和一系列振動台試驗。試驗結構由型鋼搭接並考慮不同斜撐，而有不同的標竿結構代號。

所有標竿結構試驗依基底最大加速度（仍稱為PGA）之大小分為線性試驗（PGA

為50gal或100gal）和非線性試驗（PGA一定超過100gal）兩種。在線性試驗中，基

底加速度有四種，依序分別為寬頻隨機、El Centro NS、ChiChi/TCU076 NS 和

ChiChi/TCU082 NS，每種基底加速度又分PGA=50gal和PGA=100gal兩組。在非線

性試驗中，基底加速度可能是El Centro NS（標竿結構A）或ChiChi/TCU082 NS（標竿結構 B和 Dn），PGA 可能由小而大（標竿結構A）或由小而大再變小（標竿結構 B和Dn）。每次非線性試驗後，再施以PGA為50gal的寬頻隨機基底加速度。每組試驗時，皆於三個樓版長、短向兩側量測加速度和位移反應。

4.2 標竿結構標竿結構標竿結構標竿結構 D

標竿結構D為三層樓單跨結構，長向3公尺，短向2公尺，層高3.5公尺，如圖

(4.1)所示之模型結構。每層樓之剛性樓版由25mm厚鋼板焊接於四支H150×150×7×10

型鋼而組成，其上配置 14 組 250 公斤鉛塊，共重 3500 公斤。每層樓版之支撐為四支 H150×150×7×10 型鋼柱，感應器設置於梁柱接頭中心，分別紀錄兩側之加速度和位移，另提供振動台質心之加速度和位移紀錄。本文以振動台質心的加速度紀錄為輸入歷時，各樓版兩側的反應紀錄（視為質心紀錄）為輸出歷時，進行結構系統識別。

選用紀錄為標竿結構 D 的最後一組長向線性試驗，即 PGA=100gal 的

ChiChi/TCU082 NS向紀錄為基底加速度所量測的各樓版反應，基底和各樓版質心的

加速度如圖(4.2)所示。將質心的加速度經線性基線修正和兩次梯形數值積分所得的位移歷時減去質心位移量測紀錄，示於圖(4.3)，顯示梯形積分無法精確求算位移或是量測加速度和量測位移並未完全一致。

4.3 分段參數識別分段參數識別分段參數識別分段參數識別

由於無法取得樓版的速度反應，且樓板加速度和位移紀錄可能不完全一致，故先進行以樓版質心量測加速度和預測加速度誤差平方總和最小化的分段識別，以推定線性試驗時，標竿結構D的樓版勁度和阻尼項，系統識別過程詳[10]。

樓板勁度和阻尼項的識別結果如圖(4.4)和圖(4.5)所示，識別結果略有起伏可能是量測誤差的影響，也可能是標竿結構些微非線性振動所致。此外，為了配合希伯特轉換系統識別剪力屋和阻尼參數等於樓層數的假設，圖(4.4)和圖(4.5)的識別結果乃基於

比例阻尼的假設。所識別的樓層質量比（m m 和₁ ₂ m m₁ ₃）如圖(4.6)所示，與理論值 1 稍有出入。若將樓層質量比固定為m m₁ ₂ =m m₁ ₃ = ，重新識別，則識別結果如圖1

(4.7)和圖(4.8)所示。變化或固定樓層質量比的預測樓板質心加速度與量測值的誤差比

較示於圖(4.9)，因樓層質量比固定之故，誤差變大。

4.4 希伯特系統識別希伯特系統識別希伯特系統識別希伯特系統識別

接著進行希伯特系統識別，首先選用質量比固定為1之分段參數識別的樓版預測反應（加速度、速度和位移）為輸出歷時，識別結果如圖(4.7)和圖(4.8)之水平折線。

比較圖(4.7)和圖(4.8)之黑點與水平線，顯示希伯特系統識別方法之正確。

如果將樓板質心的量測加速度反應取為輸出歷時，但輸出速度和位移仍取固定質量比的樓版預測速度和位移，重新進行希伯特系統識別，結果如圖(4.10)和圖(4.11) 所示，識別效果不佳。主要理由有二：其一為固定質量比，另一為量測加速度不同於預測加速度，此差異來自於量測誤差（雜訊干擾）和些微的非線性振動行為。

如果再將樓版質心的量測加速度和位移反應取為輸出歷時，僅取固定質量比的樓版預測速度為輸出速度，重新進行希伯特系統識別，結果如圖(4.12)和圖(4.13)所示，

識別效果更差，仍由於量測位移之誤差（雜訊干擾）所致。

0 20 40 60 80 time (sec)

-4 -2 0 2 4

Absolute Acceleration (m/s2)

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -4

-2 0 2 4

Absolute Acceleration (m/s2)

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -4

-2 0 2 4

Absolute Acceleration (m/s2)

0 20 40 60 80

time (sec) -1

Absolute Acceleration (m/s2)

(d) 基底加速度

圖(4.2) 基底和樓版之質心加速度

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

absolute error (m)

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.3

-0.2 -0.1 0 0.1

absolute error (m)

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.25

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

absolute error (m)

圖(4.3) 數值計算和量測質心位移之誤差

0 20 40 60 80 time (sec)

240 280 320 360 400

K3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) 300

320 340 360 380 400

K2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) 200

220 240 260 280 300

K1/M1

圖(4.4) 樓層勁度項之識別結果

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

C3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C1/M1

圖(4.5) 樓層阻尼項之識別結果

0 20 40 60 80 time (sec)

1 1.2 1.4 1.6 1.8

M3/M1

(a) ³

m m

0 20 40 60 80

time (sec) 0.8

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

M2/M1

(b) ²

m m

圖(4.6) 樓層質量比之識別結果

0 20 40 60 80 time (sec)

250 300 350 400 450 500

K3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) 200

240 280 320 360 400

K2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) 100

150 200 250 300

K1/M1

圖(4.7) 樓層勁度項之識別結果（質量比固定為 1）

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

C3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C1/M1

圖(4.8) 樓層阻尼項之識別結果（質量比固定為 1）

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8

Error (m)

variable mass ratio

0 20 40 60 80

time (sec) -0.8

-0.4 0 0.4 0.8

Error (m)

fixed mass ratio

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.6

Error (m)

0 20 40 60 80

time (sec) -0.6

Error (m)

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.8

-0.4 0 0.4 0.8

Error (m)

0 20 40 60 80

time (sec) 0

Error (m)

圖(4.9) 樓版加速度誤差之比較

0 20 40 60 80 time (sec)

250 300 350 400 450 500

K3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) 200

240 280 320 360 400

K2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) 100

150 200 250 300

K1/M1

圖(4.10) 樓層勁度項之識別結果（量測加速度）

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

C3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C1/M1

圖(4.11) 樓層阻尼項之識別結果（量測加速度）

0 20 40 60 80 time (sec)

250 300 350 400 450 500

K3/M1

(a) 三樓

0 20 40 60 80

time (sec) 200

240 280 320 360 400

K2/M1

(b) 二樓

0 20 40 60 80

time (sec) 100

150 200 250 300

K1/M1

圖(4.12) 樓層勁度項之識別結果（量測加速度）

0 20 40 60 80 time (sec)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

C3/M1

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C2/M1

0 20 40 60 80

time (sec) -0.1

-0.05 0 0.05 0.1

C1/M1

圖(4.13) 樓層阻尼項之識別結果（量測加速度和位移）

第第

第第5章章章章結論結論結論結論

本年度計畫目前之結論列舉於下：

1. 本文之識別對象乃是受損之結構物，在沒有嚴重破壞的情況下，系統特性參數並不會劇烈變化，故Bedrosian定理尚可適用，惟識別結果需經過疊代法等技巧改善之。

2. 經過第三章之測試，無論是線性非時變系統或是線性時變系統，希伯特轉換系統參數識別方法於模擬系統都能得到相當不錯的識別結果，儘管線性時變系統在系統參數改變之際的識別精度仍有待改善，但若能精確地識別出結構物受損前後之系統參數，則僅需比較系統參數之趨勢是否前後一致，亦能達到結構物非破壞性檢測的效果。

3. 若系統反應是由加速度歷時數值積分所得，其識別效果已不若模擬系統那麼精準，此一現象之討論詳見附錄A-1。

4. 第四章利用希伯特轉換系統參數識別方法於實測資料之識別時，其識別效果顯然不及模擬系統。主要原因如下：(1)量測加速度和量測位移受雜訊干擾，無法保證為二次積分關係，而希伯特系統識別由單一時間點之反應求算該時間點之系統性質，而非其他系統識別方法推定某時段之近似平均系統性質，故希伯特系統識別方法對雜訊非常敏感。(2)欠缺量測速度反應。(3)由於希伯特轉換運動方程組之後，僅加倍了已知條件，故限制樓層勁度和阻尼的個數需各等於樓層數，以便在固定質量比時，求算任一時間點的系統性質，這些限制使的輸出反應和輸入振動之間的結構模型無法正確模擬。

因應雜訊的干擾、樓板速度和位移反應的缺乏，以及識別參數的增加，下一年度的希伯特系統識別方法將不再侷限於任一時間點系統參數的識別，而以某一時段（愈短愈好）的平均系統參數為識別對象。

參考文獻參考文獻參考文獻參考文獻

[1] Hahn, S. L. “Hilbert Transforms”, Chapter 7 in The Transforms and Applications Handbook, Ed. Poularikas A. D., CRC Press, Inc., 463-629, 1996

[2] Norden E. Huang, Zheng Shen, Steven R. Long, Manli C. Wu, Hsing H. Shih, Quanan Zheng, Nai-Chyung Yen, Chi Chao Tung and Henry H. Liu, “The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis,” Proceedings of Royal Society for London. Series A 454, pp. 903-995(1998).

[3] 王亮元，「希伯特轉換於時變系統識別之應用」，國立成功大學土木工程研究所碩士論文，台南(2003)。

[4] 許茂雄、廖文義、杜怡萱、許士昱，「三分之一縮尺二層樓 RC 校舍模型振動台試驗」，國家地震工程研究中心報告編號：NCREE-02-001，台北(2002)。

[5] 畢德成，「希爾伯特頻譜於地震資料之應用」，國立中央大學土木工程研究所碩士論文，中壢(2000)。

[6] 顏嘉德，「希伯特轉換於時變頻率內涵之應用」，國立成功大學土木工程研究所碩士論文，台南(2001)。

[7] 陳宏南，「希爾伯特頻譜於橋樑非破壞檢測之應用」，國立中央大學土木工程研究所碩士論文，中壢(2001)。

[8] 吳政憲，「希爾伯特阻尼頻譜於高樓損傷評估之應用」，國立中央大學土木工程研究所碩士論文，中壢(2001)。

[9] 黃百誼，「希伯特轉換系統識別方法之研究」，國立成功大學土木工程研究所碩士

在文檔中希伯特轉換於非線性結構系統之損壞診斷(II) (頁 20-0)

第 第

第 第4章 章 章 章 標竿結構之 標竿結構之 標竿結構之 標竿結構之識別 識別 識別 識別

4.1 標竿結構 標竿結構 標竿結構 標竿結構

4.2 標竿結構 標竿結構 標竿結構 標竿結構 D

4.3 分段參數識別 分段參數識別 分段參數識別 分段參數識別

4.4 希伯特系統識別 希伯特系統識別 希伯特系統識別 希伯特系統識別

第 第

第 第5章 章 章 章 結論 結論 結論 結論

參考文獻 參考文獻 參考文獻 參考文獻

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第第4章章章章標竿結構之標竿結構之標竿結構之標竿結構之識別識別識別識別

4.1 標竿結構標竿結構標竿結構標竿結構

4.2 標竿結構標竿結構標竿結構標竿結構 D

4.3 分段參數識別分段參數識別分段參數識別分段參數識別

4.4 希伯特系統識別希伯特系統識別希伯特系統識別希伯特系統識別

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