B EDROSIAN 定理

cos sin

t t π2

(instantaneous phase)，可分別由以下公式計算之：

( ) ( ) ( )

根據 Bedrosian 定理[1]，可以只對高頻訊號進行希伯特轉換，此一特性對於系統識別 具有決定性的影響，在系統特性參數變化平緩的假設之下，系統參數之變化可視為低 界，如圖(2.1)所示，兩者之頻譜沒有交錯重疊(overlapping)發生，即：

0 ) ( ω =

F

當^ω _>^ω_c (2.16a)

0

若能證明式(2.18)與式(2.19)之右側相等，則 Bedrosian 定理得證，如下所示：

[ ] [ ^{u ( t ) H f ( t ) g ( t )} ] ^{f ( t ) H} [ ] ^{g ( t )}

顯然式(2.21)與式(2.22)之被積函數相同，其有效積分範圍分別繪於圖(2.2)與圖

(2.3)。由於式(2.22)之積分範圍可再分割如同式(2.21)，因此兩積分式完全相同，故式

(2.20)成立。至此，Bedrosian定理已證明對一含有傅立葉頻譜不重疊之高頻及低頻訊

號乘積的合成訊號進行希伯特轉換時，僅需對高頻訊號作希伯特轉換即可，由於時變 系統參數的頻率內涵遠低於系統反應的頻率內涵，故此一定理有助於時變系統的參數 識別。

ω

c

ω

c

−

( )

F ω

( )

G ω

ω

圖(2.1) 頻譜不重疊之高低頻訊號

2 ω

_c

−

u

c

ω − = ω

u

c

ω − = − ω

u ω

ω

c

ω

c

−

ω

c

− ω

c

2 ω

_c

圖(2.2) 式(2.21)之有效積分範圍

○¹

○²

○³

○⁴

u

c

ω − = ω

u

c

ω − = − ω

u ω

ω

c

ω

c

−

ω

c

− ω

c

圖(2.3) 式(2.22)之有效積分範圍

○¹

○²

第

(elastic-plastic behavior)或雙線性行為(bilinear behavior)模擬之，由於是簡化的分析方

法，因此與真實非線性行為有一定的誤差存在。如果非線性系統改以等值線性時變系

其中u t

^t( )為絕對加速度歷時，u t

^t( )=u t

( )+u t

_g( )。

參數識別結果分別如圖(3.7)及圖(3.8)所示。

系統特性參數均呈線性變化，系統參數歷時分別如圖(3.11)及圖(3.12)所示。

由於進入餘動階段後，受損之結構體可能伴隨重力壓密效應，使整體勁度回升、

阻尼比稍降，故狀況二考慮進入餘動階段後，^{c t}

( )

^m於 7.5 秒內線性降低為初動階段

的 125%、^{k t}

( )

^m線性回升至初動階段的 75%，其歷時如圖(3.13)及圖(3.14)所示。

然而圖(3.1) 中，強動階段之地表加速度並沒有持續增加之趨勢，故狀況三設定 在進入強動階段後，^{c t}

( )

^m於 5 秒內線性上升至初動階段的 150%、^{k t}

( )

^{m線性降低}

至初動階段的 50%，持平 5 秒後因重力壓密效應之故，^{c t}

( )

^m於 5 秒內線性降低為 初動階段的 125%、^{k t}

( )

^m線性回升至初動階段的 75%，其歷時如圖(3.15)及圖(3.16) 所示。

以上三種模擬系統之系統參數識別結果如圖(3.17)至圖(3.22)所示，系統識別之過 程詳見附錄。經過分段希伯特轉換、疊代法與高低頻濾波修正等方式處理後，模擬系 統之系統參數識別之效果尚可接受，惟阻尼項誤差稍大，且在疊代過程中，初動與餘 動階段識別值卻產生不少突然跳動之誤差點，因初動與餘動階段的系統反應較小，使 式(3.6)之分母項趨近於零，因此微小的差量即可能造成識別值相當大的誤差，然而這 些誤差點屬於高頻訊號，在系統特性參數為低頻訊號的前提下，可再利用高頻濾波修 正的方式改善之。

圖(3.23)至圖(3.28)擷取模擬系統在強動階段之系統參數識別值相對誤差，圖中可 以看出，在系統特性參數突然改變之際，其誤差格外顯著，即便經過疊代法改善，轉 折處的誤差依然遠大於其他部分，此即為 Bedrosian 定理適用性所造成的誤差。由於 轉折處屬於較高頻之訊號，因此與系統反應之頻譜重疊的程度較其他部分高，所以

Bedrosian 定理較不適用，造成的誤差自然較高。由於疊代過程中是對系統參數^{k t}

( )

^m

之識別值做高頻濾波修正，再利用修正後之^{k t}

( )

^m帶入式(3.7)，可解得^{c t}

( )

^m，而

為了滿足運動方程式，在此並不再對識別值做修正。

經過模擬系統的驗證，希伯特轉換系統參數識別方法對於時變系統效果尚可接 受，若系統反應由數值積分而來，則系統識別結果如圖(3.29)至圖(3.34)所示，其效果 顯然不若模擬系統好，尤其在餘動階段之識別效果誤差非常大，這部分的誤差可能來 自線性內插法以及數值積分，詳見附錄 A-1。

由於初動階段與餘動階段之識別值一開始就有相當大誤差存在，經疊代後不見得 能改善之，反而可能愈益嚴重，但是疊代法確實可以有效降低強動階段之誤差，因此 如何取捨端看識別之目的為何，本論文主要探討強動階段之系統參數變化，是以初動 與餘動階段之識別效果較差尚可接受。

在文檔中 希伯特轉換於非線性結構系統之損壞診斷(II) (頁 12-20)