第三章、 實證分析
一. 奇異值分解在影像壓縮的應用
同時評估三個矩陣的效果，定義下列總壓縮率(Full Compression Ratio)，
𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 =𝑘𝑘𝑅𝑅(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 1) + 𝑘𝑘𝐺𝐺(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 1) + 𝑘𝑘𝐵𝐵(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 1)
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16，壓縮率為 6.11%，與原圖的藍色矩陣的平均平方誤差為 0.006；總壓縮率為 6.88%，低階近似後的訊號影像與原始影像的平均平方誤差為 0.005。壓縮率比 奇異值比重為 30％時略微增加，但總平均壓縮率還不到 7%，表示只要使用原‧
104，壓縮率為 39.74%，與原圖的綠色矩陣的平均平方誤差為 0.00079；藍色矩 陣的 k 值為 102，壓縮率為 38.97%，與原圖的藍色矩陣的平均平方誤差為 0.00086；總壓縮率為 40.50%，雖然總壓縮率增加許多，但是低階近似後的訊號 影像與原始影像的平均平方誤差為 0.00076，較之前 30%、50%比重水準的成像 品質大幅提升。‧
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表 3-2、三色堇(pansy)在各奇異值比重水準 w0下所分解出的訊號影像與雜訊影 像
奇異值比 重水準 w0
(%)
訊號影像 雜訊影像
30
50
80
16
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148，壓縮率為 25.53%，與原圖的綠色矩陣的平均平方誤差為 0.00039；藍色矩 陣的 k 值為 163，壓縮率為 28.12%，與原圖的藍色矩陣的平均平方誤差為 0.00034；總壓縮率為 26.45%，雖然總壓縮率增加許多，但是低階近似後的訊號 影像與原始影像的平均平方誤差為 0.00037，大約是奇異值比重為 50%時總平均 平方誤差的 10%，較之前 30%、50%比重水準的成像誤差大幅降低。當奇異值比重 w0達到 80%的時候，訊號影像品質大幅提升，受到壓縮的影
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像與原圖已經非常相近，縱向或橫向的線條也已經消失了，原本小孩臉上的藍 綠色色塊變的較細小，推測可能受到背後的綠色草地的影響，但是訊號影像的 效果還是可以被接受的。雜訊影像幾乎呈現黑色，影像的數值表現幾乎為 0。
在這張小孩騎腳踏車的圖片中，不論奇異值比重為何，在奇異值比重相同 的情況下，藍色矩陣的所選取的 k 值都是最大的，而綠色矩陣的 k 值都是最小 的，可能是由於這張圖片很大的面積是綠色，所以綠色矩陣的前面幾個較大的 奇異值便包含較多的資訊，而這張照片中僅有腳踏車有藍色以及小孩衣服上有 部分的藍色，藍色在這圖片中是三個矩陣中最次要的顏色，所以在同樣的奇異 值比重下，需要較大的 k 值，才能達到相同的資訊量。
圖 3-2、腳踏車(bike)原圖
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表 3-3、腳踏車(bike)在各奇異值比重水準 w0下，壓縮率及平均平方誤差 奇異值比重水準 w0 (%) 30 50 80
R K 3 20 149
Compression Rate (%) 0.52 3.45 25.70 R-MSE 0.013 0.0038 0.00038
√R − MSE 0.12 0.061 0.020
G K 2 19 148
Compression Rate (%) 0.35 3.28 25.53 G-MSE 0.016 0.0039 0.00039
√G − MSE 0.13 0.063 0.020
B K 3 24 163
Compression Rate (%) 0.52 4.14 28.12 B-MSE 0.012 0.0032 0.00034
√B − MSE 0.11 0.057 0.019 Full Compression Rate (%) 0.46 3.62 26.45 Full-MSE 0.014 0.0036 0.00037
√Full − MSE 0.12 0.060 0.019
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表 3-4、腳踏車(bike)在各奇異值比重水準 w0下所分解出的訊號影像與雜訊影像 各奇異值
比重水準 w0 (%)
訊號影像 雜訊影像
30
50
80
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0.92%，低階近似後的訊號影像與原始影像的平均平方誤差為 0.011。壓縮率比 奇異值比重為 30％時增加近八倍，但總平均壓縮率還不到 4%，表示只要使用 53，壓縮率為 14.68%，與原圖的綠色矩陣的平均平方誤差為 0.00078；藍色矩 陣的 k 值為 53，壓縮率為 14.68%，與原圖的藍色矩陣的平均平方誤差為0.00076；總壓縮率為 14.68%，雖然總壓縮率增加許多，但是低階近似後的訊號
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影像與原始影像的平均平方誤差為 0.00080，較之前 30%、50%比重水準的成像 誤差大幅降低。
當奇異值比重水準達到 80%的時候，訊號影像與原圖已經非常相近，小女 孩的臉部也非常清晰，白色衣服上仍有細碎的青藍色斑點，表示紅色被低估，
對照表五中的數值結果，當奇異值比為 80%的時候，紅色矩陣的平均平方誤差 為 0.00087，是三個顏色矩陣中最大的，表示紅色的誤差最大，與影像的表現結 果相符。雜訊已經無法傳遞原圖的資訊，影像幾乎呈現黑色，影像的數值表現 幾乎為 0。
在這張小女孩的圖片中，有很大一部分的面積是白色，所以三原色在這張 圖片的表現算是非常平均，奇異值比重在各水準之下，三原色的 k 值都非常相 近甚至相同。然而，由於白色相對應於紅、綠、藍三個顏色同時都接近上限 1，屬於邊界極端值，所以處理後容易出現低估的狀況，低階近似後圖片品質較 難掌控。
根據上述三個實驗可知，圖片的色調與奇異值的選取個數(k)有很大的關 係，若圖片中顏色變異越小，則在同樣的奇異值比重水準下，選取的奇異向量 個數可較少。平均而言，當奇異值比重選取到 80%，訊號影像的成像效果都與 原圖相當接近，資料的壓縮率介於 14%-40%之間。
圖 3-3、女孩(girl)原圖
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表 3-5、女孩(girl)在各奇異值比重水準 w0下，壓縮率及平均平方誤差 奇異值比重水準 w0 (%) 30 50 80
R K 1 4 53
Compression Rate (%) 0.28 1.11 14.68 R-MSE 0.066 0.012 0.00087
√R − MSE 0.26 0.11 0.029
G K 1 3 53
Compression Rate (%) 0.28 0.83 14.68 G-MSE 0.057 0.012 0.00078
√G − MSE 0.24 0.11 0.028
B K 1 3 53
Compression Rate (%) 0.28 0.83 14.68 B-MSE 0.050 0.010 0.00076
√B − MSE 0.22 0.10 0.028 Full Compression Rate (%) 0.28 0.92 14.68 Full-MSE 0.058 0.011 0.00080
√Full − MSE 0.24 0.11 0.028
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表 3-6、女孩(girl)影像在各奇異值比重水準 w0下所分解出的訊號影像與雜訊影 像
奇異值比 重水準 w0
(%)
訊號影像 雜訊影像
30
50
80
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