面對資料量龐大的矩陣資料，奇異值分解(Singular Value Decomposition，簡 稱 SVD)具備許多良好性質，是一個重要且被廣為運用的矩陣分解方法。奇異值 分解是一個穩健而且可靠的正交化矩陣分解法，奇異值分解能將原始矩陣對角 化，並且使原始矩陣分解為多個正交化的矩陣相加，因此透過奇異值分解能幫 助矩陣在計算上達到簡化的效果。奇異值分解可以運用在解線性方程組、求最 小平方法解、求僞逆矩陣和資料壓縮等多項用途(Sadek, 2012)。
在現今大數據(big data)的年代，人們接收到的資訊量非常龐大且資料的形 式多元，相較於文字型態的資料，影像資料可以提供更多的資訊，因此影像資 料扮演舉足輕重的角色。在地理學中，常透過衛星遙測影像等工具了解一個地 區水文、地形等地理環境(Aronoff，1989)；在醫學上，醫師們利用 X 光、超音 波、電腦斷層掃描等技術，幫助診斷病人的病情(Menze 等人，2015)；在生活 中，人們也常透過照片紀錄生活。 誘因進行資料壓縮，減少多餘資訊，將儲存空間作最有效的利用(Karadimitriou 和 Fenstermacher，1997)。
在影像被存取的過程中也時常遭到汙染，例如在醫學影像中，常會有 X 光 或超音波等影像因為機器未被校正妥當，因而在產生影像得過程中可能產生雜
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訊(Sanches,等人，2008)。模糊的影像被稱為退化影像(image degradation)，其 中，退化影像又分為失焦、動態模糊、低解析度以及外加雜訊。失焦通常發生 影像的過程稱之為影像還原(image restoration) (Banham 和 Katsaggelos，1997)。
影像還原主要有兩個目標，一個是影像重建，另一個是移除雜訊。若影像 在產生的過程品質不佳，需要靠影像重建的技術，將影像還原，最常見的是動 態模糊的影像，透過分析移動的方向做修正，改善影像中的拖影。若影像受到 雜訊汙染，則需要透過雜訊過濾的技術，將雜訊過濾出來，保留原始影像，達 到影像還原的效果(Banham 和 Katsaggelos，1997)。
近年來奇異值分解常被用於解決影像處理問題，對於影像資料也有充分的 解釋能力(Sadek, 2012)。影像經過奇異值分解後，對於影像資料而言，每個正 交化的矩陣代表每個圖層，對角線上的奇異值代表每個圖層的亮度(Ganic 等 人，2003)，全部的圖層相加後可以還原為原始影像。在固定維度下，奇異值分 解能提供最大的資訊量，此性質通常用於資料壓縮的工作(Yang 和 Lu，1995)。
奇異值分解的低階近似性質能在固定的儲存空間裡，儲存最大的資訊量，得到 與原始影像最接近的壓縮影像。奇異值分解也能將影像資料劃分為兩個子空 間，一個是能夠傳遞資料中重要資訊的訊號子空間，另一個是資料內容較次要 的雜訊子空間(Konstantinides 等人，1997)。若影像資料受到雜訊汙染，透過奇 異值分解可以利用此性質將影像的重要資訊與雜訊分離，故此性質常用於過濾 雜訊，提高影像品質，或是用於浮水印的應用，在亮度較低的圖層加入浮水
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印，以保護原始影像(Gorodetski 等人，2001)。奇異值分解在影像上有許多運 用，在對於影像訊號處理領域中也是近年來越來越盛行的處理方法(Kamm，
1998)。
本論文將在第二章介紹奇異值分解的基本特性與奇異值分解的低階近似性 質，說明奇異值分解對影像壓縮處理與去除影像雜訊的方法，並提出選取 k 值 的方法以並評估奇異值分解對影像處理的效果。第三章則是驗證前面章節所提 出的方法，針對資料壓縮和去除影像雜訊兩部分做實驗，將前章節提出的方法 套用在我們任意選取出來的圖片影像上，並觀察其實驗結果。第四章為總結，
其中包括研究方法的限制與未來的研究目標。
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