：如何密鋪整個平面

數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位相同，也就是一個多 邊形的數學骨架可以經 裁 與拼貼，變 一個看似更有趣平移單位 但要如何 裁 與拼貼才能密鋪又不失生動活潑呢？接 來延續 一節的例子繼往探究

一 平移

以 E049 兩隻魚 為例 圖 3.2.1 的黃色平行四邊形為兩隻魚的數學 骨架，也就是 平形四邊形可以經 裁貼變 兩隻魚的鑲嵌圖案 圖3.2.2 為平行四邊形裡的裁 線及拼貼 的輪廓線，裁 部 需剪掉3 小塊，再 拼貼至 確的位置，以大寫英文 母表示需裁 的部 ，小寫英文 母表 示拼貼的 確位置 在拼貼的過程中可以發現規 裁右 邊拼貼至左 邊 裁左 邊拼貼至右 邊 裁右 邊拼貼至左 邊 這與密鋪的方式有 這很大的關係，這也是為什麼如 裁貼出的兩隻魚可以密鋪平面

圖3.2.1 黃色平行四邊形的數學骨架 圖3.2.2 切割、拼貼後的輪廓線 先將平行四邊形密鋪於平面，並留 裁 線，如圖3.2.3 將裁 線及 輪廓畫至與 相鄰的平行四邊形，仔細觀察可以發現搬動裁 區塊相當於 搬動整塊平行四邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如 便能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案 將一個平行四邊形的裁貼經 想像 擴大到無窮多的平行四邊形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術

圖3.2.3 密鋪於平面的平行四邊形及其輪廓 二 旋轉

以 E037 蟲 為例 圖3.2.4 的紅色 方形為 蟲的數學骨架，也 就是 方形可以經 裁貼變 蟲的鑲嵌圖案 圖3.2.5 為 方形裡的裁 線及拼貼 的輪廓線，裁 部 需剪掉8 小塊，再拼貼至 確的位置，

以大寫英文 母表示需裁 的部 ，小寫英文 母表示拼貼的 確位置 在拼貼的過程中可以發現 A B C D E F G H 以 方形四邊中 點為旋轉點旋轉180 度拼貼至 a b c d e f g h 這與平移單位的 密鋪方式有很大的關係，這也是為什麼如 裁貼出的 蟲可以密鋪平面

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圖3.2.4 紅色正方形的數學骨架 圖3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線 先將 方形密鋪於平面，並且留 裁 線，如圖3.2.6 將裁 線及輪 廓線畫至與 相鄰的 方形，仔細觀察可以發現搬動裁 區塊相當於搬動 整塊 方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如 便能裁貼 出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案 將一個 方形的裁貼經 想像擴大到無窮

多的 方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術

圖3.2.6 密鋪於平面的正方形及其輪廓 滑行鏡射

以 E077 爬行動物 為例 圖 3.2.7 的黃色矩形為爬行動物的數學骨 架，也就是 矩形可以經 裁貼變 爬行動物的鑲嵌圖案 圖3.2.8 為矩形 裡的裁 線及拼貼 的輪廓線，裁 部 需剪掉9 小塊，再拼貼至 確位 置，以大寫英文 母表示需裁 的部 ，小寫英文 母表示拼貼的 確位 置 在拼貼的過程中可以發現 A B C D E I 以矩形該邊中點為旋 轉點，旋轉180 度拼貼至 a b c d e i，而 F G H 都是以鉛直線為 鏡射軸鏡射 滑行拼貼至f g h 這與平移單位的密鋪方式有這很大的關 係，這也是為什麼如 裁貼出的爬行動物可以密鋪平面

圖3.2.7 黃色矩形的數學骨架 圖3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線

先將矩形密鋪於平面，並且留 裁 線，如圖3.2.9 將裁 線及輪廓 線畫至與 相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁 區塊相當於搬動整塊 矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如 便能裁貼出可以 密鋪於平面的鑲嵌圖案 將一個矩形的裁貼經 想像擴大到無窮多的矩形 一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術

圖3.2.9 密鋪於平面的矩形及其輪廓 四 鏡射

以 E081 蝙蝠 鳥 蜜蜂和蝴蝶 為例 圖 3.2.10 的紫色 方形為蝙 蝠 鳥 蜜蜂和蝴蝶各半隻的的數學骨架，也就是 方形可以經 裁貼 複製變 展開為蝙蝠 鳥 蜜蜂和蝴蝶各一隻的鑲嵌圖案 圖3.2.11 為 方形裡的裁 線及拼貼 的輪廓線，裁 部 需將 方形 割為4 小塊，

再將 複製鏡射至 確位置，以大寫英文 母表示需裁 的部 ，小寫英 文 母表示拼貼的 確位置 在拼貼的過程中可以發現 A B C D

以它們所對應的 方形的四邊為對稱軸，將自身複製鏡射到另一邊去而 得到a b c d 這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什 麼如 裁貼出的蝙蝠 鳥 蜜蜂和蝴蝶可以密鋪平面

圖3.2.10 紫色正方形的數學骨架 圖3.2.11 切割、複製、拼貼後的輪廓線 先將 方形密鋪於平面，並且留 割線，如圖3.2.12 將 割線及 輪廓線畫至與 相鄰的 方形，仔細觀察可以發現搬動裁 區塊相當於搬 動 中各半隻蝙蝠 鳥 蜜蜂和蝴蝶的整塊 方形，而搬動的方式就是平 移單位密鋪平面的方式，如 便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案 將 一個 方形的裁貼經 想像擴大到無窮多的 方形一起裁貼，便更能意會 鑲嵌圖形的藝術

圖3.2.12 密鋪於平面的正方形及其輪廓