艾薛爾幾何鑲嵌藝術之數學教學動畫設計

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 艾薛爾幾何鑲嵌藝術之數學教學動畫設計. 研究生：黃國書中華民國一百零四年一月.

(2) 致謝歷經了. 個暑假教學碩士班在職進修的再次學習，以及一. 力，終於來到了書寫. 謝的時刻，也意味. 自己碩士生涯劃. 多來學業工作與家庭的多方負擔，仍然堅持最後的時刻更讓. 文. 的潤飾，讓文句的呈現不. 教授許志農老師，於論文產生過程的指的想法與啟. ，以及面. 於. ，讓彼此猶如家人一般，共最後感謝 M.C. Escher，其. 與建議，並提供了很多. 情的專心和專業的態度. 感謝所有艾薛爾夢幻工廠團隊的學長姐與的一. 走完自己最初的決定，而來到. 贅詞太多. 感謝指在中學教學. 兩. 的妻子思慧，在製作動畫的過程中的陪伴與. 打氣，而在最後階段的書寫論文，也給予話. 了句點回想. 點滴心頭，心存無限感激. 感謝家人默默的支持，尤其是. 太過. 多研究論文的努. 完. 學們，互相督處互相交流砥礪. 項龐大的任務. 面幾何鑲嵌的藝術作品，讓. 的結合有了深刻的認識，也欣賞了. 完美的呈現. III. 們. 數學與藝術.

(3) 摘要現今中學數學的幾何學習，從. 學的直觀. 操作轉入國中的幾何推理. 與證明，而以抽象為主的高中數學學習則轉變為解析幾何，也因此原先較易學習較有趣的幾何學習單元也在學生心中消失殆盡，進而面枯燥乏味的幾何在代數以荷蘭. 的操作為找回. 的只有. 直觀有趣的幾何學習，本研究. 畫家艾薛爾(M. C. Escher, 1898-1972) 137 幅鑲嵌. 畫當作題材，觀. 察出其幾何骨架並進行解析，讓學生在欣賞鑲嵌藝術的. 時，也學習了幾. 何數學的知識，更讓一般大眾也體會藝術與數學結合的奧秘為了呈現 10 幅鑲嵌. 述的想法，本研究利用設計軟體 Flash CS 6，並挑選艾薛爾. 畫，製作由基礎幾何圖形轉變. 藝術作品的. 面鑲嵌教學影. ，. 再搭配拼貼的遊戲以及工作單的回饋，提供教師生動的教學資源，以期提升學生欣賞鑲嵌藝術中的幾何知識關鍵. ：艾薛爾(M. C. Escher). 畫. 鑲嵌. IV. 中學數學. Flash CS6.

(4) 目錄單----------------------------------------------------------. I. 電子授權書----------------------------------------------------------------. II. 謝-------------------------------------------------------------------------. III. 摘要-------------------------------------------------------------------------. IV. 目錄-------------------------------------------------------------------------. V. 論文. 過簽. 第一章：緒論第一節：研究動機與背景-------------------------------------------. 1. 第. 節：研究目的----------------------------------------------------. 3. 第. 節：研究範圍與後續-------------------------------------------. 4. 第. 章：文獻探討. 第一節：鑲嵌圖案----------------------------------------------------. 5. 第. 節：鑲嵌圖案的類與規則----------------------------------. 7. 第. 節：鑲嵌大師艾薛爾的創作背景----------------------------. 10. 第四節：艾薛爾的第. 面鑲嵌. 畫----------------------------------. 12. 章：從數學觀點看艾薛爾的面鑲嵌畫-. 第一節：尋找數學骨架----------------------------------------------. 18. 第. 27. 節：如何密鋪整個面----------------------------------------. V.

(5) 第四章：教材內容說明第一節：數位教材說明----------------------------------------------. 32. 第. 36. 節：工作單內容說明--------------------------------------------------------------------------------------. 37. E047 兩隻鳥. ---------------------------------------. 44. E048 魚與鳥. --------------------------------------------. 50. E049 兩隻魚. --------------------------------------------. 56. E050 魚和青蛙. -----------------------------------------. 62. E060 兩隻蜥蜴. -----------------------------------------. 68. ------------------------------------. 75. ------------------------------------------. 82. ---------------------------. 89. ------------------------------------------. 95. E037 甲蟲. E069 魚、鴨與蜥蜴 E077 爬行動物. E081 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶 E115 魚與飛鳥. 參考文獻中文文獻--------------------------------------------------------------------. 102. 英文文獻--------------------------------------------------------------------. 102. 網路資源--------------------------------------------------------------------. 103. VI.

(6) 第一章：緒論第一節：研究動機與背景據教育部於 97 修科目數學課程解. 所頒布的國民中. 學九. 一貫課程. 要及普. 要，知現今中學數學教育的幾何部，於. 動手操作幾何圖形中萌芽，紮. 高級中學必. 學課程的直觀理. 於國中階段透過幾何性質來解題推理. 證. 明的單元，茁壯於高中課程中的解析幾何，亦即直接將幾何透過直角座標系的架設，將幾何問題轉為代數化由. 觀之，幾何概念由原本直觀的有趣的學習，循. 序漸進轉為略較抽象的代數操作，因法，甚至磨滅了. 枯燥. 於幾何課程的學習. 然而日常生活中的幾何圖形所建構而. 味即. 謂是觸目. 及，凡各類設計建築等，均由幾何中一類，也是最基本的幾何學習. 現，們回顧教育部(2008)所頒布的國民中. 性質. 方. 些. 要中，數學 IV／第學習. 章. 面幾何的. 面幾何的學習在. 的個別性質矩. 移. 在普. ／第四節. 旋轉. 面. 蘭. 的能力及. 學生要能將數學. 都以黑板. 高級中學必修科目的線性變換. 一貫課. 及電腦數. 所強調帶. 用在日常生活中，學習欣賞數學傳統. 的作品融入了眾多的幾何元素，利用如. 化的鑽研，呈現出一幅幅. 有數理秩序的 1. 二階. 的講述以及考試的目的為主要方. 畫藝術家艾薛爾(M. C. Escher)的作品中，了本身. 現範疇外，更有一大部. 角形四邊形多. 鏡射等. 方向，樣的呈現總感覺比較單調，亦不易顯示出九走. 學童認. 心概念是畢氏. 們傳統的教學，了使用幾何模型教. 學軟體呈現基本的幾何圖形外，幾式. 國中階段的幾何課程的. 稱，並將之應用於常見的幾何圖形如. 等，而得到許多特殊圖形. ，利用矩. 要，數學領域的. 幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何. 國中階段的說明有. 定理全等相似. 數學課程. 一貫課程. 學的幾何教學，以參考幾何歷史發展的軌跡. 知發展階段，儘量讓學童發揮拓展. 邊形. 學九. 呈. 階段的說明有幾何形體的理解包含察覺操作構造推. 理證明等諸面向. 形體. 代數操作的看. 趣. 面幾何是幾何範疇的. 面幾何部，國. 了多數學生. 畫藝術. 而荷. 畫藝術作品的表多變性. 多樣.

(7) 人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的形或幾何直覺，遠比一般人所想像要豐富堅實因，本研究希望能經由欣賞艾薛爾的媒體動畫的設計及利用. 路. 資源共享的概念，傳所開發的作品，使需求者. 載使用，並建立起交流討論的管道，透過修提升大眾. 幾何知識的了解. 畫作品，透過多. 改進使作品臻於完美，更藉. 欣賞，亦能增添傳統教學. 2. 的活潑化. 多元性.

(8) 第二節：研究目的從課. 中有關. 現今大部態. 面幾何的發展，以及呈現於學校教學. 的學生而言，依然是越學習越感到無趣. 善. 教材的課程規劃，陳，缺. 了視覺. 動. 多媒體數位教材的刺激從九. 一貫課剛開始強調資訊科技融入教學，期許教師將資訊科技中. 學所用的各項優勢資源至教育部在高中端建立了. 媒體，適. 學過程的各個環節中，甚. 高中學科資訊科技融入教學資源. 中各學科資訊融入教學教材，藉由材，促進教學資源. 的置入各科教. ，系統化發展高. 工規劃共同發展符合高中教學現場需求之教. 享及資訊融入教學. 本研究經由多媒體設計軟體 Adobe Flash Professional CS6 ，利用，視覺效果好互動性強的優點，設計何之美. 提升國人. 荷蘭. 重組圖形的. 面幾何鑲嵌的動畫教材，藉. 檔案體積享幾. 面幾何素養. 畫藝術家艾薛爾，將. 物，一幅幅的. 供教. 面幾何的鑲嵌. 藝術結合地唯妙唯肖的靈魂人. 面鑲嵌藝術作品，勾勒出富含數學幾何元素，利用圖形的移旋轉. 鏡射等，呈現出. 協調. 割. 衡感，富含變化且生生. 不息的意境綜. 所述，本研究主要目的包含以. 1.. 解析艾薛爾鑲嵌藝術作品中所隱含的數學幾何結構. 2.. 使用 Flash 製作教學動畫影. 3.. 搭配教學動畫影. ，將每幅作品撰寫工作單，以利教學工作者使用. 4.. 將所有製作置於. 路. 拼圖. 戲. ，享於普羅大眾，欣賞. 美. 3. 面幾何鑲嵌的優.

(9) 第三節：研究範圍與後續重於艾薛爾 137 幅. 本研究. 解析過程由基礎幾何圖形轉變的教學動畫影拼圖. 戲. 拼圖. 面鑲嵌作品中的 10 幅，進行幾何解析，並將藝術作品的. 戲，並撰寫搭配. 影. 面鑲嵌，製作. 鐘不等. 的回饋工作單所製作的影. 工作單檔案目前均已公開放置於許師志農所主編的非想非非想. 站( http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/ ) 的科普由教學工作者利用影的概況. 到五. 並. 析，期望使用者. 區/艾薛爾鑲嵌藝術. 載搭配回饋工作單的使用引於本數位動畫影. 完美的教學教材呈現. 4. 屆時. 學生學習，教學完後. 工作單能有所建議，藉. 提升更.

(10) 第二章：文獻探討第一節：鑲嵌圖案鑲嵌或密鋪(Tessellation)是指不重疊，也不留空隙的形式在. 面. 有獨立封閉外形的圖形展開. 論文 The Regular Division of the Plane 中，鑲嵌圖案或密鋪規則分割. ，並解釋為. 一塊. 有無限的邊際，可. 的空間. ，而. 種. 反覆且. 的意思. 畫家艾薛爾(Maurits Cornelius Escher, 1898-1972)在1958. 荷蘭. 被想. 連續. 時的一篇. 面稱為. 面. 面(歐氏幾何)或龐加萊圓盤(非歐幾何)，它應是. 之填滿或被分割. 無數類似的幾何圖案，不留任何虛. 有限的數量表現出無窮盡的特徵，則為艾薛爾想強調的設. 計手法鑲嵌圖案的分類可條直線所組的鑲嵌. 是多邊形，也可. 的有界的封閉. 多邊形組. 理，非多邊形組. 是非多邊形而多邊形是指. 到多. 面形狀，因，多邊形組合的鑲嵌，即為直線所構的鑲嵌，即為非直線所構. 的鑲嵌圖案，一般來說還是. 多邊形所組. 的鑲嵌但即使是非. 的鑲嵌為數學骨架(lattice). 發展而來再研究鑲嵌圖案的密鋪中，多邊形組為. 種. 則鑲嵌圖案列四張圖是. 圖形，. 半. 的鑲嵌圖案又可. 則鑲嵌圖案和不完. 組. 幾何圖形分類. 則鑲嵌圖案. 自日常生活中的鑲嵌圖案，單一種多邊形所組. 些磁磚的形狀分別為矩形. 角形. 圖2.1.1 矩形面磚. 的建築及. 五邊形及六邊形. 圖2.1.2三角形磁磚鋪設的牆壁 http://www.cmdtile.com.tw/. 圖片來源：http://www.hxdxdgjg.com. 5.

(11) 圖2.1.3 五邊形地磚. 圖2.1.4 鎮安宮的六角形面磚. 圖片來源：http://www.tess-elation.co.uk/cairo-tiling/colouration. 列. 張圖是. 自日常生活中. 2.1.6 的地磚包含了飛. 形. 圖片來源：http://blog.xuite.net/ile05g2202687/wretch/113554008. 種. 多邊形所組. 的磁磚鑲嵌圖案，圖. 風箏形. 圖2.1.5佩娜皇宮牆壁. 圖2.1.6居家地磚. 圖片來源：http://blog.xuite.net/lannyi/twblog1/. 圖片來源：http://163.21.6.4/lt/post/8/1147. 圖 2.1.8 的窗戶. 圖是. 多個小圖形拼. 花朵狀所組. 的，屬非多邊形鑲嵌. 圖案所組. 圖2.1.7台北. 政府前廣場. 圖2.1.8自家窗戶貼圖. 圖片來源：沈玟妤(2012). 6.

(12) 第二節：鑲嵌圖案的分類與規則鑲嵌圖案的形. 是. 有限封閉圖案種類，經過重複的排列和組合，且沒有空. 隙或重疊而組，而在組組. (一). 的基本圖案. 的過程中必須依照一定的規則鋪滿整個. 及有怎樣的規則就. 為. 面也因. 們能分類說明的方向. 鑲嵌的基本圖案討論如. 一節所述，鑲嵌圖案的分類可. 而多邊形所組. 的鑲嵌圖案又可. 圖案. 半. 則鑲嵌圖案和不完. (1). 則鑲嵌圖案. 組. 的幾何圖形分類為. 是非多邊形種. 則鑲嵌. 則鑲嵌圖案. 類型的鑲嵌恰有 3 種，如. 圖2.2.1 (3,3,3,3,3,3)鑲嵌. 是多邊形，也可. 圖所示. 圖2.2.2 (4,4,4,4)鑲嵌. 圖2.2.3 (6,6,6)鑲嵌. 圖片來源：http://en.wikipedia.org/wiki/Tiling_by_regular_polygons. 類鑲嵌方式的命. 原則為. 依圖中每一頂點所接相. 形邊數，再依序看每一頂點所接觸相. 的. 幾個邊數值作為命. (2) 半. 則鑲嵌圖案類型的鑲嵌恰有 8 種，如. 7. 圖所示. 的. 多邊. 多邊形個數，有幾個就寫.

(13) 圖2.2.4 (3,12,12)鑲嵌. 圖2.2.5 (4,6,12)鑲嵌. 圖2.2.6 (4,8,8)鑲嵌. 圖2.2.7 (3,4,6,4)鑲嵌. 圖2.2.8 (3,6,3,6)鑲嵌. 圖2.2.9 (3,3,3,3,6)鑲嵌. 圖2.2.10 (3,3,3,4,4)鑲嵌. 圖2.2.11 (3,3,4,3,4)鑲嵌. 圖片來源：http://en.wikipedia.org/wiki/Tiling_by_regular_polygons. 類鑲嵌方式的的命樣組合. 次序的. 原則為. 每一頂點所接都有. 多邊形，再依每一頂點所接的. 種. ，. 多邊形的邊數，. 邊數少的開始，依序寫出邊數值作為命. (3) 不完. 則鑲嵌圖案類型的鑲嵌是. 任意的多邊形所組. 定的情況. ，. 組合種類也是不可數的. 規則亦. 多邊形的基本形式所. ，因. 8. 伸出來. 雖為非. 在組. 如. 單位無法限. 多邊形所組圖所示. ，.

(14) 圖2.2.12 單一四邊形鑲嵌. 圖2.2.13 兩種多邊形鑲嵌. 圖2.2.14兩種多邊形鑲嵌. 圖片來源：https://zh.wikipedia.org/zh-tw/非均勻半正鑲嵌圖. (二). 鑲嵌的規則方式討論在鑲嵌藝術中，可的鑲嵌. 方式. 單一固定形狀. 來分類. (translation) 旋轉(rotation). 作為基本單位，並對. 一般來說，鑲嵌的規則方式主要有四種射(refllection). 對於單一任意形狀的鑲嵌方式組合，最早是羅夫(E. S. Fedorov, 1853-1919 )在 1891 Regular Systems of Figures. 滑. 於. 移. 射(glide refllection). 俄國的數學. 所發表的. 中，證實有. 種鑲嵌規則之間的結合所創作而廣泛流傳，直到 1924. 可能達. 晶體學家. 德. The Symmetry of. 七種實質不. 的方式，藉. 四. 德羅夫僅在俄國發表，故未能. 的波利亞教授(G. Pólya，1877-1985)發表的一篇文. 章. Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene ，給予了. 不. 對稱群所繪製的鑲嵌圖案，才使. 9. 眾人周知. 17 種.

(15) 第三節：鑲嵌大師艾薛爾的創作背景艾薛爾1922. 在西班牙旅行時，對第一次造訪了格拉納達的阿爾罕布拉宮. (Alhambra Palace and Garden)印象深刻，宮殿裡的地板四世紀時摩爾人用許多的複雜幾何圖案狀相. 的花飾陶. 拼在一起，且陶. 豐富的圖案呈現，. 圖2.3.1 阿爾罕. 並. 最後並完. 拉宮的壁飾. 學技. 研究創作，也因. 他的. 圖2.3.2 艾薛爾在1922年仿製的圖. 及. 畫風格. 的. 面鑲嵌. 些鑲嵌作品為基礎所. 到他. 早期寫實轉變為. 趣且於創作. 磚. 在的抽象思維，數學元素. 數. 畫在他一生中共創作了 137 幅鑲嵌作品，. 伸出的數. 幅畫作到阿拉布罕宮摩爾鑲嵌圖案的啟發外，. 父異母的哥哥貝爾(B. G. Escher, 1885-1967)的影響，貝爾. 研究結構晶體學，因感到. 簿中收集而來的多邊形. 面幾何的線性變換變形循環等)的多幅鑲. 艾薛爾對鑲嵌藝術的創作來源，除了一部分. 鑲嵌圖案的草稿，. 面規則分割的藝術呈現過程中創作了加入. 為主軸(如基本幾何圖形. 嵌藝術作品，而最有. 來的宮殿裝飾，. 圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p.9. 艾薛爾第二次造訪阿爾罕布拉，複製了大量壁飾. 迷於. 顏色多樣，但形. 艾薛爾嘆為觀. 自數學文獻和圖案書籍的插圖，及自身素. 圖案去進. 天花板都是. 及重覆性圖案，一. 間沒有任何空隙，所遺留. 圖片來源 http://construction.com/CE/CE_images/2010 /Jun_CeilingPlus_SS/slide.asp?slide=6. 1936. 壁. 長於. 供了許多參考資料給艾薛爾，並讓艾薛爾開始對晶體學面規則分割. 益良多. 外，波利亞教授(G. Pólya，1877-1985) 於 1924 Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene 中，給予了 10. 所發表的文章 Über die 17 種不. 對稱群所繪.

(16) 製的鑲嵌圖案，亦啟發了艾薛爾在. 面鑲嵌作品的發展. 圖2.3.3 波利亞教授繪製的17個鑲嵌圖案圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p.23. 些對於艾薛爾創作的影響靈感來源. 啟發，都. 基礎. 11. 為他日後創作. 面鑲嵌藝術的重要.

(17) 第四節：艾薛爾的平面鑲嵌版畫艾薛爾在. 面規則分割裡有. 到主題元素(motif). 移單位(sliding cell). 及數學骨架(lattice)等概念. 一. 主題元素(motif) 在鑲嵌. 畫. 所看到的圖案，如. 魚. 鳥. 青蛙. 蟲. 蜥蜴或. 純幾何圖案等，皆為主題元素，而數學家則稱之為磁磚(tile). 二. 移單位(sliding cell) 一個圖案能夠. 重複排列的方式密鋪整個. 圖 2.4.1 艾薛爾編號. E037. 蟲. 為例，. 面，稱為. 移單位是一隻. 為例，. 移單位是一隻魚配一隻青蛙，但. 據魚和青蛙的相對位置可. 有魚. 青蛙. 蟲，. 圖 2.4.2 E050. 但根據主題元素設計的不，移單位可能不只一種魚和青蛙. 移單位. 移單位會根. 魚前青蛙後青蛙. 魚，. 共有 3 種組合. 圖2.4.1. E037 甲蟲. 圖2.4.2. E050 魚和青蛙. 數學骨架(lattice latticelattice) 一個多邊形如果恰好包含個一式密鋪整面，稱為數學骨架，茲架. 12. 移單位，且能夠. 重複的排列方. 列 4 張圖表示 4 種不. 的數學骨.

(18) E047 兩隻鳥. 圖2.4.3. 圖2.4.5. 隻鳥的數學骨架為紅框. 四邊形裡的. 移後能拼. 圖 2.4.7 可. 隻鳥. E037 甲蟲. 圖2.4.6. 圖 2.4.3 E047. 移單位─ 個. E069 魚、鴨與蜥蜴. 塊. E115 魚與飛鳥. 圖2.4.4. 四邊形，仔細觀察可. 隻鳥，也就是看出. 四邊形. 四邊形能. 看出. 恰包含一個. 重複的排列方式密鋪整. 面圖 2.4.4 E115 魚. 塊旋轉. 移能拼. 圖 2.4.8 可. 飛鳥的數學骨架為黃框矩形，可. 魚. 看出. 飛鳥，也就是. 矩形能. 圖 2.4.5 E069 魚鴨轉能拼. 魚. 鴨. 圖 2.4.9 可. 而圖 2.4.6 E037 可. 拼. 可. 看出. 一隻. 移單位─魚. 飛鳥. 菱形能. 蜥蜴的數學骨架為黃框菱形，菱形裡的. 塊旋. 菱形. 恰包含一個. 方形. 方形，. 恰包含一個. 重複的排列方式密鋪整個. 13. 面. 面. 移單位─魚. 重複的排列方式密鋪整個. 蟲的數學骨架為紅框. 蟲，也就是. 方形能. 恰包含一個. 重複的排列方式密鋪整個. 蜥蜴，也就是. 看出. 矩形. 觀察出矩形裡的. 鴨. 蜥蜴. 面方裡的. 移單位─. 蟲. 塊旋轉後圖 2.4.10.

(19) 述可知，數學骨架的面積等於一個. E047 兩隻鳥. 圖2.4.7. 圖2.4.9. 角形包含. 對於如何密鋪 (axes)及滑為. 移移. 角形及. 六個. 移. 角形組個相. 面的問題，艾薛爾整理出. 射(glide reflection)，軸向為. 旋轉. 大系統. 四邊形鳶形及. 射(reflection)的合射及滑. E037 甲蟲. 圖2.4.10. 數學骨架主要分. 角形銳角. 方形矩形菱形. E115 魚與飛鳥. 圖2.4.8. E069 魚、鴨與蜥蜴. 艾薛爾在他的筆記中. 含. 移單位的面積. 角形及四邊形，中的. 六邊形，四邊形包. 五邊形所組. 種規則. 一個點為軸心發展圖案，滑. 射來說明如何密鋪. 滑 14. 中. 射. 四種規則. 面. 射. 方形. 移(translation) 軸向. 本研究用旋轉表示軸向，並用. 旋轉. 的. 射.

(20) 中使用滑. 射時，. 射軸. 滑. 方向. 常是. 的若. 射軸. 滑. 方向恰好垂直，就像是翻書般的翻面，便無法符合艾薛爾所設計出的任意一組完整數學骨架的移動，但對於有. 右對稱的圖形，有些可. 用半個數學骨架完. 類鑲嵌方式. 本研究. 艾薛爾的. 數學骨架鋪滿整個. 隻鳥的數學骨架為. 形邊的方向. 種方式密舖於. 右. 移，再. 使用密鋪於圖 2.4.9. 右後腿. 移，再. E069 魚. 形邊. 移重複. 魚鰭的交接點旋轉 180 度一次. 水. 線. 種方式的交替. 鴨. 蜥蜴. 密鋪方式為. 的數學骨架為菱形，四個. 角分別為. 魚嘴的端點位置為旋轉點旋轉 120° ，共旋. 蜥蜴頭的端點位置為旋轉點旋轉 120° ，共旋轉 3 次重複. 種. 面. E037. 右前腿. 蟲. 的數學骨架為. 方形，. 為旋轉點一次旋轉 180 度，再接. 旋轉點一次旋轉 180 度. 圖2.4.11. 四邊形另一組. 面. 方式交替使用密鋪於圖 2.4.10. 及. 四邊形，密鋪方式為沿. 飛鳥的數學骨架為矩形，密鋪方式為沿. 鳥翅. 60°,120°,60°,120° ，. 轉 3 次，再. 數學骨架為哪一種系統. 面. 圖 2.4.8 E115 魚向. 畫為例，分別說明. 面的方式. 圖 2.4.7 E047 四邊形一組. 幅. 密鋪方式為蟲. 組方式的交替使用密鋪於. E050 魚和青蛙. 圖2.4.12. 15. 前腿. 分別後腿. 面. E077 爬行動物. 蟲為.

(21) 圖2.4.13. E048 魚與鳥. 圖2.4.15. E049 兩隻魚. 圖2.4.16. 圖 2.4.11 E050 魚和青蛙四邊形一組. 四邊形，. 密鋪方式為. 四邊形另一組. 動物. 的數學骨架為矩形，. 右腳. 向，再. 矩形鉛直中線為. 排列方法密鋪於. 射軸. 鳥. 形邊的方向. 種方式密舖於 E060. 沿. 移重複. 右翻面，再沿. 爬. 動. 密鋪矩形水. 方. 鉛直線方向. 移，重複. 面. E048 魚. 四邊形一組. 形邊. 密鋪方式為. 為旋轉點旋轉一次 180 度，依序且持續操作先. 物的. 圖 2.4.14. 移，再. E081 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶. 面. 圖 2.4.12， E077 爬. 圖 2.4.13. 的數學骨架為. 形邊的方向. 種方式密舖於. E060 兩隻蜥蜴. 圖2.4.14. 的數學骨架為移，再. 四邊形，四邊形另一組. 密鋪方式為形邊. 沿. 移重複. 面隻蜥蜴. 的數學骨架為矩形， 16. 密鋪方式為. 深綠色.

(22) 蜥蜴的尾部. 為旋轉點旋轉一次 180 度，再. 矩形長邊的方向圖 2.4.15. 移，重複. E049. 四邊形一組. 圖 2.4.16 鋪方式為沿. 射軸. 種方式交替使用密舖於. 隻魚. 的數學骨架為. 形邊的方向. 種方式密舖於. 鉛直線為. 移，再. 四邊形，四邊形另一組. 右翻面，再沿. 面密鋪方式為形邊. 沿. 移重複. 面. E081 蝙蝠. 鳥. 方形的邊為. 蜜蜂和蝴蝶射軸做. 方式重複的使用即可密鋪於整個. 面. 17. 的半個數學骨架為. 射，完. 方形，. 一完整的數學骨架. 密樣的.

(23) 第三章：從數學觀點看艾薛爾的平面鑲嵌版畫第一節：尋找數學骨架單一數學骨架可以是. 角形四邊形五邊形或六邊形，但要如何. 鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形呢？. 們可以. 一般密鋪平面的幾種. 主要方式平移旋轉滑行鏡射與鏡射的概念來尋找線索說明如何一. 密鋪方式尋找. 斷一個. 面依各種類. 數學骨架. 平移以 E049 兩隻魚為例先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？兩隻魚，們以圖 3.1.2 藍框的兩隻魚作為兩隻魚的數學骨架平移單位與. 鑲嵌版畫是如何以. 圖3.1.1. 平移單位密鋪整個平面？觀察. 相鄰平移單位的關係，綠框為藍框左. 紅框為藍框的右四邊形中的. 鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找. 方形. 與左. 平移，可以用. 與右. 的平移，而. 密鋪方式來密鋪平面的多邊形為. 矩形或平行四邊形. E049 兩隻魚. 圖3.1.2 兩隻魚的外框. 這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位如圖 3.1.3 當畫了. 面那一條黃色的線時，對邊必須是紫色. 的線之一，另一對邊則將黃線與紫線端點相連，如圖 3.1.4 的黃色平行四邊形. 平行四邊形即為兩隻魚的數學骨架，檢查是否只包含一個平移單位. 並仔細觀察. 平行四邊形的四個頂點有什麼特點，可以發現. 平行四邊形. 不僅只包含一個平移單位，且四個頂點皆為兩隻魚的尖嘴或尾巴. 18.

(24) 圖3.1.3. 圖3.1.4. 除了尋找共同點，還需探索有無邊形沿. 左. 到右. 他可能性？圖 3.1.5 是將黃色平行四. 的底邊，將頂點推移一段距離到黃魚側鰭. ，如圖. 3.1.6 的紫色虛線，再檢查是否滿足數學骨架的定義. 圖3.1.5 述可以得到. 圖3.1.6 面結論. 尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平. 移單位可以選四個共同點相連，如圖 3.1.7 的位是一隻魚與一隻青蛙，選. E050 魚和青蛙. 中一隻魚頭尖端為共同點，則. 紅色平行四. 邊形即為魚和青蛙的數學骨架而如圖 3.1.8 將紅色平行四邊形左平行邊向平行自己的方向平移仍是魚和青蛙的數學骨架的頂點不同，就會有不同的數學骨架，. 19. 因. 的平移單. 右. 的. 每個人所選. 可知數學骨架不唯一.

(25) 圖3.1.7 二. 圖3.1.8. 旋轉 E069 魚. 以一隻魚. 鴨與蜥蜴. 一隻鴨與一隻蜥蜴，. 為例. 先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？. 們以一隻魚. 嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找一隻魚架. 一隻鴨與一隻蜥蜴的數學骨. 相鄰的平移單位的關係，紅框為黃框以蜥蜴尾巴端點. 為旋轉點，一次旋轉 120 度轉 120 度. 紅框為藍框以鴨尾巴端點為旋轉點，一次旋. 再觀察圖 3.1.11 綠框與黃框的平移單位與. 相鄰的平移單位的. 關係，紅框為綠框以魚嘴端點為旋轉點，一次旋轉 120 度蜥蜴頭端點為旋轉點，一次旋轉 120 度學骨架的. 圖3.1.9. 鑲. 平移單位密鋪整個平面？觀察圖 3.1.10 黃框與. 鑲嵌版畫是如何以. 藍框的平移單位與. 一隻鴨與一隻蜥蜴作為. 紅框為黃框以. 可以推測這四個旋轉點為數. 中四個頂點，滿足這種特性的數學骨架會是哪個多邊形呢？. E069 魚、鴨與蜥蜴. 圖3.1.10 魚、鴨與蜥蜴的外框. 20.

(26) 將四個旋轉點連接起來，則. 數學骨架為菱形，四個內角. 為. 60° − 120° − 60° − 120° ，檢查菱形是否滿足數學骨架定義？魚鴨與蜥蜴的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 為將原本的菱形選擇數學骨架的. 六邊形是否滿足數學骨架定義. 圖3.1.11. 圖3.1.12. 述可以得到. 面結論. 尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在平. 挑出旋轉點，如圖 3.1.13 E085 蜥蜴魚與蝙蝠的平移單位是. 移單位一隻蜥蜴. 一隻魚與一隻蝙蝠，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇四個. 旋轉點為數學骨架的頂點，連接頂點形本四個頂點選擇蜥蜴. 六邊形，如 3.1.12. 個頂點，再依密鋪方式選擇數學骨架為. 的紫色虛線，再檢查. 中. 圖 3.1.14 將原. ，再依密鋪方式刻劃出數學骨架，圖中的. 魚與蝙蝠另一種數學骨架. 同的數學骨架，. 數學骨架為菱形. 因. 每個人選的旋轉點不同，就會有不. 可知數學骨架不唯一. 21. 六邊形是.

(27) 圖3.1.13. 圖3.1.14. 滑行鏡射以 E077 爬行動物為例先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什麼？一隻爬行動物，. 們以圖 3.1.16 紅框的爬行動物作為. 鑲嵌版畫的平移單位，. 並說明如何尋找爬行動物的數學骨架. 鑲嵌版畫是如何以. 鋪整個平面呢？觀察紅框的平移單位與. 相鄰的平移單位的關係，綠框為. 紅框以爬行動物的左. 右腳關節處為旋轉點，一次旋轉 180 度，橘框為紅. 框先以鉛直線為鏡射軸鏡射，再. 圖3.1.15. 滑行. E077 爬行動物. 可以用. 平移單位密. 貼齊. 圖3.1.16 爬行動物的外框. 密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的. 平行四邊形或鳶形，因為左右的部. 為旋轉，試. 示旋轉點連接(紫框)，或將旋轉點當作多邊形邊 22. 方形. 矩形. 依旋轉密鋪的結論，標的中點去架構骨架(黃框)，.

(28) 如圖 3.1.17，檢查所選的數學骨架是否滿足. 定義，檢查. 可以知道. 黃. 紫框矩形即為爬行動物的數學骨架如果旋轉點依然在多邊形的邊中點，再依密鋪方式刻劃出數學骨架，如圖 3.1.18，數學骨架變為不規則四邊形，檢查. 可以發現. 滿足數學骨架的定義，也能依爬行動物密鋪方式密鋪平. 面. 圖3.1.17. 圖3.1.18. 述可以得到在旋轉單位. 面的結論尋找密鋪方式為滑行鏡射的數學骨架時，. 標出旋轉點相連，如圖 3.1.20 E060 兩隻蜥蜴的平移單位旋轉點為兩綠色蜥蜴前腳關節的交接處，所以圖 3.1.20. 是兩隻蜥蜴，取的數學骨架為矩形. 圖 3.1.21 的旋轉點一樣取兩綠色蜥蜴前腳關節的交接. 處，卻能有不同形狀的數學骨架同的數學骨架，. 因. 每個人選的旋轉點不同，就會有不. 可知數學骨架不唯一. 圖3.1.20. 圖3.1.21 23.

(29) 四. 鏡射以 E081 蝙蝠鳥蜜蜂和蝴蝶為例先觀察圖 3.1.22 的平移單位是什麼？蝙蝠. 鳥. 蜜蜂和蝴蝶各一隻. 們在圖 3.1.23 將這四隻動物描繪出來. 都是有對稱軸的對稱圖形，每隻動物繪而. 他們的對稱軸，將會發現這四條對稱軸恰為. 方形內部恰有四隻動物各半隻. 的平移單位，並將以. 圖3.1.22. 再仔細觀察，這四隻動物每一隻. 說明如何尋找蝙蝠. E081蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶. 鳥. 方形就是. 鑲嵌版畫. 蜜蜂和蝴蝶的數學骨架. 圖3.1.25. 鑲嵌版畫是如何以. 平移單位密鋪整個平面呢？觀察圖 3.1.25 中央. 相鄰的平移單位的關係，藍框為黑框對左. 鏡射，橘框為黑框對左邊的直接鏡射，紫框為黑框對右綠框為黑框對右. 方形，. 圖3.1.23 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶的外框. 圖3.1.24. 黑框的平移單位與. 圖 3.1.24 這個. 一個. ，對. 邊的直接鏡射用. 24. 邊的直接. 邊的直接鏡射，. 密鋪方式的必要條件是四個軸對稱，.

(30) 因. 方形與矩形如圖 3.1.26，. 只有多邊形為四邊形中四個角皆為直角的. 以原先. 方形所推移出的平行四邊形不是蝙蝠. 鳥. 蜜蜂和蝴蝶各半隻的. 數學骨架，因為它無法包含四種動物恰好各半隻. 圖3.1.26. 圖3.1.27. 除了尋找共同點，還需探索有無. 他可能性？圖 3.1.27 原本的. 數學骨架對中心放大 2 倍並旋轉 45 度所. ，是包含了蝙蝠. 鳥. 方形蜜蜂和. 密鋪方式則改為對四邊中點做 180 度的旋. 蝴蝶各一隻的數學骨架，而轉. 圖3.1.28 述可以得到對稱軸的連接可以連蜴. 圖3.1.29 面結論一. 的平移單位是一. 與蜥蜴的. 尋找密鋪方式為純鏡射的數學骨架時，依. 方形，或者如圖 3.1.28 的. 條對稱軸所圍. 角形，. 角形是. ，則. 隻. E069 魚，鴨與蜥有對稱性的魚，鴨. 角形即為魚，鴨與蜥蜴各半隻的數 25.

(31) 個頂點做 60 度的旋轉而如圖 3.1.29 將. 學骨架，密鋪方式為對形的. 邊向外擴張為面積兩倍大小的. 的的數學骨架，而. 六邊形，則是魚，鴨與蜥蜴各一隻. 密鋪方式則改為對. 個頂點做 120 度的旋轉. 中. 每個人所選的方式不同，就會有不同的數學骨架，唯一，但在選擇最小的數學骨架時，只有兩種足純鏡射的方式. 也因. 角. 因. 可知數學骨架不角形與. ，使用純鏡射作為密鋪方式時，. 方形可以滿中所用的平移. 單位不能只有一個，且每一個都不能是完整的一個，需要每一個都各取一半來完. 角形或. 方形. 26.

(32) 第二節：如何密鋪整個平面數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位相同，也就是一個多邊形的數學骨架可以經裁. 一. 裁. 與拼貼，變. 一個看似更有趣平移單位但要如何. 與拼貼才能密鋪又不失生動活潑呢？接. 來延續. 一節的例子繼往探究. 平移 E049 兩隻魚. 以. 骨架，也就是. 為例. 平形四邊形可以經. 為平行四邊形裡的裁拼貼至. 圖 3.2.1 的黃色平行四邊形為兩隻魚的數學. 線及拼貼. 裁貼變. 的輪廓線，裁. 確的位置，以大寫英文. 示拼貼的. 確位置. 邊. 邊拼貼至右. 裁左. 需剪掉 3 小塊，再. 母表示需裁. 部的部. ，小寫英文. 在拼貼的過程中可以發現規邊. 裁右. 這很大的關係，這也是為什麼如. 邊拼貼至左. 裁右邊. 母表. 邊拼貼至左. 這與密鋪的方式有. 裁貼出的兩隻魚可以密鋪平面. 圖3.2.1 黃色平行四邊形的數學骨架. 圖3.2.2 切割、拼貼後的輪廓線. 先將平行四邊形密鋪於平面，並留輪廓畫至與. 兩隻魚的鑲嵌圖案圖 3.2.2. 裁. 線，如圖 3.2.3 將裁. 相鄰的平行四邊形，仔細觀察可以發現搬動裁. 線及. 區塊相當於. 搬動整塊平行四邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如便能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案. 將一個平行四邊形的裁貼經. 擴大到無窮多的平行四邊形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術. 27. 想像.

(33) 圖3.2.3 密鋪於平面的平行四邊形及其輪廓二. 旋轉 E037. 以就是. 蟲. 方形可以經. 線及拼貼. 圖 3.2.4 的紅色. 為例. 裁貼變. 的輪廓線，裁. 以大寫英文. 母表示需裁. 在拼貼的過程中可以發現. 部的部. 方形裡的裁. 需剪掉 8 小塊，再拼貼至. 確的位置，. ，小寫英文. A B C. D E c d. 密鋪方式有很大的關係，這也是為什麼如. 方形密鋪於平面，並且留. 整塊. 相鄰的. e. 母表示拼貼的 F G H以 f g h. 裁貼出的. 方形四邊中. 這與平移單位的蟲可以密鋪平面. 裁. 線，如圖 3.2.6 將裁. 方形，仔細觀察可以發現搬動裁. 將一個 28. 方形的裁貼經. 線及輪. 區塊相當於搬動. 方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如. 出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案. 確位置. -+ 圖3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線. 圖3.2.4 紅色正方形的數學骨架. 廓線畫至與. 蟲的數學骨架，也. 蟲的鑲嵌圖案圖 3.2.5 為. 點為旋轉點旋轉 180 度拼貼至 a b. 先將. 方形為. 便能裁貼. 想像擴大到無窮.

(34) 多的. 方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術. 圖3.2.6 密鋪於平面的正方形及其輪廓滑行鏡射以. E077 爬行動物. 架，也就是裡的裁. 矩形可以經. 線及拼貼. 置，以大寫英文置. 為例. 圖 3.2.7 的黃色矩形為爬行動物的數學骨. 裁貼變. 爬行動物的鑲嵌圖案圖 3.2.8 為矩形. 的輪廓線，裁母表示需裁. 在拼貼的過程中可以發現. 需剪掉 9 小塊，再拼貼至. 的部. 部. ，小寫英文. A B C. D. E. 母表示拼貼的. 確位確位. I 以矩形該邊中點為旋. 轉點，旋轉 180 度拼貼至 a b c d e i，而 F G H 都是以鉛直線為鏡射軸鏡射. 滑行拼貼至 f g h 這與平移單位的密鋪方式有這很大的關. 係，這也是為什麼如. 裁貼出的爬行動物可以密鋪平面. 圖3.2.7 黃色矩形的數學骨架. 圖3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線 29.

(35) 先將矩形密鋪於平面，並且留線畫至與. 裁. 線，如圖 3.2.9 將裁. 相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁. 區塊相當於搬動整塊. 矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如密鋪於平面的鑲嵌圖案. 將一個矩形的裁貼經. 線及輪廓. 便能裁貼出可以. 想像擴大到無窮多的矩形. 一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術. 圖3.2.9 密鋪於平面的矩形及其輪廓四. 鏡射以 E081 蝙蝠鳥蜜蜂和蝴蝶為例圖 3.2.10 的紫色蝠鳥蜜蜂和蝴蝶各半隻的的數學骨架，也就是複製變. 展開為蝙蝠. 方形裡的裁再將文. 線及拼貼. 複製鏡射至. 以它們所對應的. 麼如. 方形可以經. 蜜蜂和蝴蝶各一隻的鑲嵌圖案. 的輪廓線，裁. 部. 確位置，以大寫英文. 母表示拼貼的. 得到 a b. 鳥. 確位置. 需將. 方形為蝙. 在拼貼的過程中可以發現. 圖 3.2.11 為割為 4 小塊，. 方形. 母表示需裁. 裁貼. 的部. ，小寫英. A B C. D. 方形的四邊為對稱軸，將自身複製鏡射到另一邊去而. c d 這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什. 裁貼出的蝙蝠. 鳥. 蜜蜂和蝴蝶可以密鋪平面. 30.

(36) 圖3.2.10 紫色正方形的數學骨架先將. 方形密鋪於平面，並且留. 輪廓線畫至與動. 相鄰的. 中各半隻蝙蝠. 鳥. 方形的裁貼經. 割線，如圖 3.2.12. 方形，仔細觀察可以發現搬動裁蜜蜂和蝴蝶的整塊. 移單位密鋪平面的方式，如一個. 圖3.2.11 切割、複製、拼貼後的輪廓線將. 割線及. 區塊相當於搬. 方形，而搬動的方式就是平. 便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案. 想像擴大到無窮多的. 方形一起裁貼，便更能意會. 鑲嵌圖形的藝術. 圖3.2.12 密鋪於平面的正方形及其輪廓. 31. 將.

(37) 第四章：教材內容說明第一節：數位教材說明數位教材不僅讓內容更加活潑，還能讓更多人欣賞到鑲嵌藝術進而欣賞經數學的. 移旋轉鏡射所形. 的美麗世界本研究將艾薛爾鑲嵌. 位教材，開發出的數位教材包含鑲嵌教學影拼圖，在. 一. E077 爬行動物. 以編號. 鑲嵌圖型. 畫開發. 數. 色，以及鑲嵌圖型. 一一介紹所開發出的兩種數位教材. 鑲嵌教學影為讓使用者欣賞鑲嵌圖案的形. 過程及鋪滿方式，研究並開發教學影. 並分為四段，第一段如圖4.1.1將數個數學骨架依重複的整個. 面即為數學舞. ，. 數學舞. 中的. 鋪方式密鋪於. 方的藍色矩形為密鋪. 面的. 起始，以矩形的長邊中點為旋轉點，旋轉180度後的藍色矩形變為綠色，連續幾次相. 的動作後，再以鉛直線為鏡射軸鏡射後依鉛直方向. 行並再次變換顏色，之後依 E077 爬行動物. 述的密鋪方式構. 的密鋪方式. 數學舞. 滑. ，觀察圖4.1.2中. 以發現第一段數學骨架的密鋪方式就是. 爬行動物鑲嵌圖案的密鋪方式. 圖4.1.1 密鋪平面的矩形第二段. 第一段數學舞. 圖4.1.2 密鋪平面的爬行動物的一個矩形變大拉開序幕，. 為爬行動物的一個數學骨架，這裡依圖4.1.2 32. 變大的矩形即. 方藍色爬行動物的骨架為.

(38) 例，將數學骨架內藍色爬行動物身體一部份的九個區塊編號A B C D E F G H. I，並將這六小塊依數學原理的鏡射貼到. 確的位置，如圖. 4.1.3與圖4.1.4，即裁貼出藍色爬行動物. 圖4.1.3 左右側的旋轉與水平方向的滑行鏡射裁貼第. 圖4.1.4 右側的旋轉與水平方向的滑行鏡射裁貼. 段先將第二段所裁貼出的爬行動物. 顏色，並將. 色好的爬行. 動物進行藝術表演，表演內容為爬行動物展示出其主要的密合方式，中兩隻不. 顏色的爬行動物表演主要的四種密合方式，如圖4.1.5. (1) 左上半部分腳與頭的密合. (2) 左下半部分腳與尾的密合. (3) 右下半部分腳與尾的密合. (4) 右上半部分腳與頭的密合. 圖4.1.5 33. 其.

(39) 第四段銜接第一段的數學舞. ，並留. 數學舞. 的虛線邊，將爬行動. 物依第一段數學骨架的密鋪方式一隻隻放到數學骨架，如圖 4.1.6，放的時候除了需注意爬行動物在數學骨架. 的. 確位置外，仍須依照第. 段的. 表演，也就是主要的四種密合方式，這樣才能與相鄰的爬行動物互相貼合，如圖 4.1.7. 圖4.1.6 在數學骨架上的位置教學影. 圖4.1.7 四種方式密鋪平面. 還搭配了背景音樂，除了讓使用者帶. 藝術外，部分教學影在播放影. 還會配合主題播放適合的音樂. 時的. 邊有一個小標題. 標題除了讓大家知道這一幅鑲嵌. 艾薛爾鑲嵌藝術─爬行動物，. 畫的. 是爬行動物外，其實. 是一個暫停按鈕，是為了方便讓使用者停在未開始播放影. 圖，或是與本作品相. 排列. 畫相關的，例如編號. E077 爬行動物. ，其與. 來欣賞或思考. 畫作品，或是. 密鋪的作品圖，且影. 爬行動物. 影. 艾薛爾畫. 按一. 影. 右. 們美封面圖是與. 的密鋪與排列方式相. 鑲嵌. 鈕，會如圖4.1.9在第二張的原圖. ，. 畫的原圖，再按一次右畫. 34. 鑲嵌. ，如圖4.1.8，. E077 爬行動物. 角的隱藏按鈕會進入第二張圖. E077 爬行動物. 之後的彩. 的封面圖是艾薛爾另一作品. 細封面圖的介紹會在本研究的第四章第二節的說明. 標題還. 的封面除了一開始看到的封面圖外，還隱藏了兩個. 畫面，第一張封面圖是艾薛爾其他的. E036 蛇. 舒適的心情欣賞鑲嵌. 數學骨架. 圖. 作單為當. 角的隱藏按.

(40) 圖4.1.8 爬行動物的封面圖. 二. 圖4.1.9 畫上數學骨架的原圖. 鑲嵌圖形拼圖對於廣大的使用者. 們亦開發了拼圖，以圖4.1.10. 拼圖為例. 除了增加趣味性外，也. 戲規則為. 相鄰兩隻爬行動物顏色不相. 不. 重疊，即完. 薛爾鑲嵌拼圖. 圖. 外，按. 以讓使用者更了解爬行動物鑲嵌，遊且所有爬行動物必須在紅色框內. 拼圖在拼圖畫面的. 按鈕回到主畫面，按. 數學骨架，讓初學者. 邊隱藏了兩個按鈕，按. 爬行動物. 以按爬行動物在數學骨架. 主畫面右. E077 爬行動物. 按鈕會在紅框內增加的. 確位置協助完. 方的隱藏按鈕會出現圖4.1.11的解答畫面. 圖4.1.10 爬行動物拼圖. 圖4.1.11 拼圖解答. 35. 艾. 拼.

(41) 第二節：工作單內容說明為讓使用者更有效率的使用這兩種數位教材，本研究亦開發出作單，希望藉. 作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌藝術中的幾何數. 學作單內容包含顧之數學與藝術. 引言之鑲嵌. 細說影. 演欣賞之主要密合方式本研究為鳥. E049 兩隻魚. 鴨與蜥蜴魚與飛鳥. 第二段之如何密鋪. 述 10 幅. 面之形. 畫 E037. 影. 數學骨架裁貼出鑲嵌圖案. 總回表. 鑲嵌圖，以及回饋單 E047 兩隻鳥. 蟲. E050 魚和青蛙. E077 爬行動物製作. 畫創作背景與封面圖說明. E060 兩隻蜥蜴. E048 魚與 E069 魚. E081 蝙蝠鳥蜜蜂和蝴蝶以及 E115. 作單，並依鑲嵌. 36. 畫編號. 小到大一一排序.

(42) E037. 蟲工作單. 撰稿：黃國書引言： E037 蟲是荷蘭版畫家艾薛爾在1941年7月繪製的一幅作品，作品中每隻蟲的身體使用單一色調―黃色及白色著色，主要繪畫工具為鉛筆及水彩影片中的封面圖為艾薛爾以蟲為主題的版畫作品，如下圖二所示；而艾薛爾的另一幅蟲鑲嵌作品 E091 蟲，則如下圖一所示：. 圖一. 圖二. 艾薛爾對於自然界微小生物的觀察相當仔細，特別是昆蟲類，其中也包含了蟲 1941年創作的 E037 蟲在艾薛爾系統ⅢD*中是第一個以鉛直中心軸為對稱的外觀；也是第一個以蟲為主題的畫作，作品中的蟲以上下相反方向緊鄰排列，且這些緊鄰排列的蟲皆能藉以前後腳為主的中心點旋轉180度而互換而艾薛爾在1953年再度創作的 E091 蟲中，蟲改以同一方向緊鄰排列，且利用平移即可互換位置艾薛爾在兩個作品中，運用同主題卻使用了不同的鑲嵌技巧，在此可相互對照細細品味其中趣味就讓我們趕快來看看 E037 蟲到底是如何形成與變化的吧！請在電腦上點選. 一. E037. 蟲.exe 進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放. 蟲的數學與藝術我們可以把蟲的影片分成如下的四：第一：影片正方形鋪滿構成數學舞台拉開序，而這正方形正是蟲的數學骨架第二：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下八小塊後，依數學原理的旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蟲第三：將蟲外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蟲們互相密合第四：銜接第一的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蟲一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊無空隙反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪 1. 第一. 的數學骨架是哪一個多邊形呢？. 37.

(43) □ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的蟲？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的蟲們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形一樣大二. 如何從數學骨架裁貼出蟲綜合下面兩個方式即可裁貼出蟲，方式如下：將正方形剪下八個小區塊 A , B , C , D , E , F , G , H，並將這八個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f； G → g；H → h. 乙. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉： (1) A → a：將 A 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 a (2) B → b：將 B 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 b (3) C → c ：將 C 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 c (4) D → d：將 D 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 d (5) E → e ：將 E 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 e (6) F → f ：將 F 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 f (7) G → g：將 G 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 g (8) H → h：將 H 區塊以該邊中點為中心，旋轉180度到 h. 38.

(44) 裁貼出蟲後可以發現：正方形的四個頂點分別落在蟲的頭頂兩側第二對腳的關節處及尾巴這就是蟲在數學骨架上的正確位置三. 真的是蟲磁磚嗎經數學原理裁貼後的蟲有什麼人驚艷的地方呢？我們可以第三的藝術表演觀察到經數學原理形成的蟲可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式： (1) 左上半部分腳的密合 (2) 左下半部分腳的密合. (3) 左右腳的相互密合. 這種可以互相密合無交疊且無空隙的蟲圖案，我們稱之為蟲磁磚有了這三種密合方式後，就可以用將很多個蟲磁磚密鋪在平面上了. 四. 蟲的鑲嵌圖透過了解蟲在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出蟲鑲嵌圖，左下圖是先將蟲放在數學骨架上的正確位置，其他的蟲除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪. 39.

(45) 關於艾薛爾的. E037. 蟲. 原圖，如下圖所示：. 從圖中的鑲嵌方式可以較輕易地看出正方形數學骨架的部分，並且作品中也可以很清楚的看到兩種顏色的蟲皆對稱於正方形鉛直的對角線. E037. 蟲回饋單. 1. 仔細想想，你在哪個地方見過正方形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻蟲周遭圍繞著幾隻蟲呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 蟲的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣呢？ □ 是 □ 否 □ 不一定 4. 下圖的蟲們表著有幾個正方形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 □ 7個. 40.

(46) 5. 在 E037 □ 2種. 蟲. 的影片中，有幾種密合的方式？ □ 3種 □ 4種 □ 5種. 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅作品 E013 蜻蜓，這作品也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜻蜓. 7. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 41. 4. 3. 0分) 2. 1. 0.

(47) ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 42. □. 社會人士.

(48) E037. 蟲工作單. 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 平行四邊形 ■ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的蟲？ ■ 兩種 □ 三種 □ 一種 4. 鋪滿數學舞台的蟲們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形一樣大. E037. 蟲回饋單. 1. 仔細想想，你在哪個地方見過正方形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻蟲周遭圍繞著幾隻蟲呢？ ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 □ 3隻 3. 蟲的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣呢？ ■ 是 □ 否 □ 不一定 4. 下圖的蟲們表著有幾個正方形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 ■ 7個. 5. 在 E037 蟲的影片中，有幾種密合的方式？ ■ 3種 □ 4種 □ 5種 □ 2種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅作品 E013 蜻蜓，這作品也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜻蜓. 43.

(49) E047 兩隻鳥工作單撰稿：黃國書引言： E047 兩隻鳥是荷蘭版畫家艾薛爾在1942年7月繪製的一幅作品，作品中每隻鳥的身體使用單一色調―深綠色和淺橙色，主要繪畫工具為水墨及水彩影片中的封面圖是艾薛爾在1940年所創作的一幅壁紙的樣式，如下圖二所示：. 圖一. 圖二. 圖一所示為艾薛爾1942年7月創作的一幅正六邊形的版畫太初（地，天與水) (Verbum)，艾薛爾合併了自己編號47到52的六幅不同版畫在此作品中，而 E047 兩隻鳥也是這一系列的第一幅創作，位在此作品正上方的部份，表達之意境是兩隻鳥在日出的飛翔畫面慢慢過渡到日落夜晚的飛翔畫面圖二所示艾薛爾創作的壁紙樣式中也展現了太初 (Verbum)的意境，一種鳥在白天與一種鳥在黑夜的飛翔，兩者均呼應了"天"的呈現艾薛爾在這壁紙上的創作，細節內涵及張力方面細膩地表達了太初（地，天與水) (Verbum)中"天"的轉變現在就讓我們趕快來看看 E047 兩隻鳥到底是如何形成與變化的吧！請在電腦上點選. 一. E047 兩隻鳥.exe 進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放. 兩隻鳥的數學與藝術我們可以把兩隻鳥的影片分成如下的四：第一：影片平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序，而這平行四邊形正是兩隻鳥的數學骨架第二：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下五小塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，再畫上分界線，即裁貼出兩隻鳥第三：將兩隻鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的兩隻鳥們互相密合第四：銜接第一的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將兩隻鳥一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊無空隙反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 44.

(50) 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的兩隻鳥們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形二. 一樣大. 如何從數學骨架裁貼出兩隻鳥綜合下面兩個方式即可裁貼出兩隻鳥，方式如下：將平行四邊形剪下五個小區塊 A , B , C , D , E，並將這五個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d ；E → e. 乙. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移： (1) A → a：將 A 區塊向右上平移到 a (2) B → b：將 B 區塊向左下平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊向右下平移到 c (4) D → d：將 D 區塊向左上平移到 d (5) E → e ：將 E 區塊向右上平移到 e. 裁貼出兩隻鳥後可以發現：平行四邊形的四個頂點，左側頂點順時針觀察，分別落在左側鳥翅的尖端；上方頂點剛好位於左側鳥頭頂和右側鳥翅尖端的交接點；右側頂點落在右側鳥嘴的尖端；而下方頂點恰落於左側鳥尾翅和右側鳥尾翅尖端的交接點這就是兩隻鳥在數學骨架上的正確位置三. 真的是兩隻鳥磁磚嗎經數學原理裁貼後的兩隻鳥有什麼人驚艷的地方呢？我們可以第三的藝術表演觀察到經數學原理形成的兩隻鳥可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式：. 45.

(51) (1) 左鳥整個右側與右鳥翅與尾的密合. (2) 左鳥翅與尾與右鳥頭與翅的密合. (3) 左鳥頭與翅與右鳥下半部整體的密合. 這種可以互相密合無交疊且無空隙的兩隻鳥圖案，我們稱之為兩隻鳥磁磚有了這三種密合方式後，就可以用將很多個兩隻鳥磁磚密鋪在平面上了四. 兩隻鳥的鑲嵌圖透過了解兩隻鳥在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出兩隻鳥鑲嵌圖，左下圖是先將兩隻鳥放在數學骨架上的正確位置，其他的兩隻鳥除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪. 46.

(52) 關於艾薛爾的. E047 兩隻鳥. 原圖，如下圖所示：. 從圖中的鑲嵌方式可以較輕易地看出平行四邊形數學骨架的部分，因為艾薛爾將 E047 兩隻鳥和後一號作品 E048 魚與鳥畫於同一頁中，兩者相比對之後不難發現，其使用的結構是相同並且一致的. E047 兩隻鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻不同的鳥呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 兩隻鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ □ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ □ 兩隻不同的鳥 □ 兩隻相同的鳥 □ 一隻魚及一隻鳥 4. 下圖的兩隻鳥們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 □ 7個. 5. 在 E047 兩隻鳥的影片中，有幾種密合的方式？ □ 2種 □ 3種 □ 4種 □ 5種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E048 魚與鳥，與兩隻魚有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架， 47.

(53) 並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚與鳥. 7. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 0分) 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 48. □. 社會人士.

(54) E047 兩隻鳥工作單 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ ■ 兩種 □ 三種 □ 一種 4. 鋪滿數學舞台的兩隻鳥們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形一樣大. E047 兩隻鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著不同的鳥呢？ ■ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 兩隻鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ ■ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ ■ 兩隻不同的鳥 □ 兩隻相同的鳥 □ 一隻魚及一隻鳥 4. 下圖的兩隻鳥們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 ■ 7個. 5. 在 E047 兩隻鳥的影片中，有幾種密合的方式？ ■ 3種 □ 4種 □ 5種 □ 2種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E048 魚與鳥，與兩隻魚有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚與鳥. 49.

(55) E048 魚與鳥工作單撰稿：黃國書引言： E048 魚與鳥是荷蘭版畫家艾薛爾在1942年7月繪製的一幅作品，作品中鳥與魚的身體使用單一色調―綠色和白色，主要繪畫工具為水墨和水彩影片中的封面圖是艾薛爾在 1942年所創作的一幅版畫，如下圖所示：. 上圖所示為艾薛爾1942年7月創作的一幅正六邊形的版畫太初（地，天與水) (Verbum)，他合併了自己編號47到52的六幅不同版畫在此作品中， E048 魚與鳥正位於此作品左上方的部份，也是這一系列的第二幅創作編號48中的魚與鳥連接了太初（地，天與水) (Verbum) 中"天"與"水"的重要呈現，我們可以觀察到從此作品正上方編號47的兩隻鳥，慢慢漸變成左上方的鳥與魚，雖然標號48中鳥的形態沒有很明確，但在此承襲了 E047 兩隻鳥的"天"之意境，艾薛爾繼而再接續使用飛翔的鳥兒轉變為悠遊魚群的畫面表達出 "天"轉移到"水"的過程，無形中為作品中將進入"水"的意境前提供了一個過渡橋樑艾薛爾創作中的安排設計，精彩地表達了太初（地，天與水) (Verbum)的深奧意境現在就讓我們趕快來看看 E048 魚與鳥到底是如何形成與變化的吧！請在電腦上點選. 一. E048 魚與鳥.exe 進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放. 魚與鳥的數學與藝術我們可以把魚與鳥的影片分成如下的四：第一：影片平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序，而這平行四邊形正是魚與鳥的數學骨架第二：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下四小塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，再畫上分界線，即裁貼出魚與鳥第三：將魚與鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚與鳥們互相密合第四：銜接第一的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將魚與鳥一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊無空隙反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ 50.

(56) □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的魚？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的魚與鳥們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形一樣大二. 如何從數學骨架裁貼出魚與鳥綜合下面兩個方式即可裁貼出魚與鳥，方式如下：將平行四邊形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d. 乙. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移： (1) A → a：將 A 區塊向右上平移到 a (2) B → b：將 B 區塊向左下平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊向右下平移到 c (4) D → d：將 D 區塊向左上平移到 d. 裁貼出魚與鳥後可以發現：平行四邊形的四個頂點，左側頂點順時針觀察，分別落在魚的腹鰭尖端；上方頂點剛好位於魚尾鰭和翅尖端的交接點；右側頂點落在鳥翅的尖端；而下方頂點恰落於魚嘴和鳥尾翅尖端的交接點這就是魚與鳥在數學骨架上的正確位置三. 真的是魚與鳥磁磚嗎經數學原理裁貼後的魚與鳥有什麼人驚艷的地方呢？我們可以第三的藝術表演觀察到經數學原理形成的魚與鳥可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式：. 51.

(57) (1) 魚整個右側與鳥翅與尾的密合. (2) 魚尾. 左鰭與鳥頭. 腹部的密合. (3) 魚頭與鳥翅的密合. 這種可以互相密合無交疊且無空隙的魚與鳥圖案，我們稱之為魚與鳥磁磚有了這三種密合方式後，就可以用將很多個魚與鳥磁磚密鋪在平面上了四. 魚與鳥的鑲嵌圖透過了解魚與鳥在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出魚與鳥鑲嵌圖，左下圖是先將魚與鳥放在數學骨架上的正確位置，其他的魚與鳥除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪. 52.

(58) 關於艾薛爾的. E048 魚與鳥. 原圖，如下圖所示：. 從圖中的鑲嵌方式可以較輕易地看出平行四邊形數學骨架的部分，因為艾薛爾將 E048 魚與鳥和前一號作品 E047 兩隻鳥畫於同一頁中，兩者相比對之後不難發現，其使用的結構是相同並且一致的. E048 魚與鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻不同的魚呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 魚與鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ □ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ □ 兩隻鳥 □ 兩隻魚 □ 一隻魚及一隻鳥 4. 下圖的魚與鳥們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 □ 7個. 5. 在 E048 魚與鳥的影片中，有幾種密合的方式？ □ 2種 □ 3種 □ 4種 □ 5種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E050 魚和青蛙，與魚與鳥有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚和青蛙. 53.

(59) 7. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 0分) 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 54. □. 社會人士.

(60) E048 魚與鳥工作單 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的魚？ ■ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的兩隻鳥們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形一樣大. E048 魚與鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著不同的魚呢？ ■ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 魚與鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ ■ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ □ 兩隻鳥 □ 兩隻魚 ■ 一隻魚及一隻鳥 4. 下圖的魚與鳥們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 ■ 7個. 5. 在 E048 魚與鳥的影片中，有幾種密合的方式？ ■ 3種 □ 4種 □ 5種 □ 2種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E050 魚和青蛙，與魚與鳥有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚和青蛙. 55.

(61) E049 兩隻魚工作單撰稿：黃國書引言： E049 兩隻魚是荷蘭版畫家艾薛爾在1942年7月繪製的一幅作品，作品中兩隻魚的身體使用單一色調―深綠色和淺橙色，主要繪畫工具為墨水和水彩影片中的封面圖是艾薛爾在 1942年所創作的一幅版畫，如下圖所示：. 上圖所示為艾薛爾1942年7月創作的一幅正六邊形的版畫太初（地，天與水) (Verbum)，他合併了自己編號47到52的六幅不同版畫在此作品中， E049 兩隻魚正位於此作品右下方的部份，也是這一系列的第三幅創作編號49中的兩隻魚呈現了太初（地，天與水) (Verbum) 中的"水"，而且是在日光照明的魚過渡轉化成在漆黑深處的魚，這樣的呈現有如 E047 兩隻鳥作品中對"天"之意境的轉換艾薛爾在這壁紙上的創作，細節內涵及張力方面細膩地表達了太初（地，天與水) (Verbum)中"水"的轉變現在就讓我們趕快來看看 E049 兩隻魚到底是如何形成與變化的吧！請在電腦上點選. 一. E049 兩隻魚.exe 進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放. 兩隻魚的數學與藝術我們可以把兩隻魚的影片分成如下的四：第一：影片平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序，而這平行四邊形正是兩隻魚的數學骨架第二：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下三小塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，再畫上分界線，即裁貼出兩隻魚第三：將兩隻魚外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的兩隻魚們互相密合第四：銜接第一的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將兩隻魚一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊無空隙反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？. 56.

(62) □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的魚？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的兩隻魚們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形一樣大二. 如何從數學骨架裁貼出兩隻魚綜合下面兩個方式即可裁貼出兩隻魚，方式如下：將平行四邊形剪下三個小區塊 A , B , C ，並將這三個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c. 乙. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移： (1) A → a：將 A 區塊向左下平移到 a (2) B → b：將 B 區塊向右下平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊向左上平移到 c. 裁貼出兩隻魚後可以發現：平行四邊形的四個頂點，左側頂點順時針觀察，分別落在左魚的腹鰭尖端；上方頂點剛好位於兩隻魚尾鰭的交接點；右側頂點落在右魚的腹鰭尖端；而下方頂點恰落於兩隻魚嘴的交接點這就是兩隻魚在數學骨架上的正確位置三. 真的是兩隻魚磁磚嗎經數學原理裁貼後的兩隻魚有什麼人驚艷的地方呢？我們可以第三的藝術表演觀察到經數學原理形成的兩隻魚可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式：. 57.

(63) (1) 兩隻魚整個一側的相互密合. (3) 左魚尾. 右鰭與右魚頭. (2) 右魚尾. 左鰭與左魚頭. 右鰭的密合. 左鰭的密合. 這種可以互相密合無交疊且無空隙的兩隻魚圖案，我們稱之為兩隻魚磁磚有了這三種密合方式後，就可以用將很多個兩隻魚磁磚密鋪在平面上了四. 兩隻魚的鑲嵌圖透過了解兩隻魚在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出兩隻魚鑲嵌圖，左下圖是先將兩隻魚放在數學骨架上的正確位置，其他的兩隻魚除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪. 58.

(64) 關於艾薛爾的. E049 兩隻魚. 原圖，如下圖所示：. 從圖中的鑲嵌方式可以較輕易地看出平行四邊形數學骨架的部分，因為艾薛爾將 E049 兩隻魚和後一號作品 E050 魚與青蛙畫於同一頁中，兩者相比對之後不難發現，其使用的結構是相同並且一致的. E049 兩隻魚回饋單 1. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻不同的魚呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 兩隻魚的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ □ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ □ 兩隻鳥 □ 兩隻魚 □ 一隻魚及一隻鳥 4. 下圖的兩隻魚們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 □ 7個. 5. 在 E049 兩隻魚的影片中，有幾種密合的方式？ □ 2種 □ 3種 □ 4種 □ 5種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E048 魚與鳥，與兩隻魚有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，. 59.

(65) 並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚與鳥. 7. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 0分) 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 60. □. 社會人士.

(66) E049 兩隻魚工作單 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的魚？ ■ 兩種 □ 三種 □ 一種 4. 鋪滿數學舞台的兩隻魚們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形一樣大. E049 兩隻魚回饋單 1. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻不同的魚呢？ ■ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 兩隻魚的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣呢？ ■ 是 □ 否 □ 不一定 3. 一個數學骨架包含了哪些生物？ ■ 兩隻魚 □ 一隻魚及一隻鳥 □ 兩隻鳥 4. 下圖的兩隻魚們表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 4個 □ 5個 □ 6個 ■ 7個. 5. 在 E049 兩隻魚的影片中，有幾種密合的方式？ ■ 3種 □ 4種 □ 5種 □ 2種 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中同一頁的另一幅作品 E048 魚與鳥，與兩隻魚有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出魚與鳥. 61.

(67) E050 魚和青蛙工作單撰稿：黃國書引言： E050 魚和青蛙是荷蘭版畫家艾薛爾在1942年7月繪製的一幅作品，作品中每隻魚和青蛙的身體使用單一色調―淺黃色及深綠色著色，主要繪畫工具為墨水及水彩影片中的封面圖 Fish and Frogs 是艾薛爾在1949年10月所創作的一幅版畫，如下圖二所示：. 圖一. 圖二. 圖一所示為艾薛爾1942年創作的一幅正六邊形的版畫太初（地，天與水 (Verbum)，作品中表現了水中生物轉變到陸地上的生物的漸變過程，艾薛爾合併了自己編號47到52的六幅不同版畫在此作品中， E050 魚和青蛙正是位在其下方部份圖二所示的版畫中我們從青蛙的部分觀看，可以發現作品中的青蛙型態並不優美，其前後腿長度不成比例，且擁有一條現實中青蛙沒有的尾巴，而圖案編排上也顛倒了一般的描繪，將水裡悠游的魚兒放在上方天空，另增添小魚彰顯水中環境，下方才安置轉變成陸地的青蛙艾薛爾在 Fish and Frogs 作品中，細節內涵及張力方面細膩地表達了太初（地，天與水 (Verbum)的轉變就讓我們趕快來看看 E050 魚和青蛙到底是如何形成與變化的吧！請在電腦上點選. 一. E050 魚和青蛙.exe 進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放. 魚和青蛙的數學與藝術我們可以把魚和青蛙的影片分成如下的四：第一：影片平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序，而這平行四邊形正是魚和青蛙的數學骨架第二：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下四小塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，再畫上分界線，即裁貼出魚和青蛙第三：將魚和青蛙外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚和青蛙們互相密合第四：銜接第一的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將魚和青蛙一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊無空隙反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪 1. 第一的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 平行四邊形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ 62.

(68) □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放 3. 影片中有幾種顏色的青蛙？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的魚和青蛙們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形一樣大二. 如何從數學骨架裁貼出魚和青蛙綜合下面兩個方式即可裁貼出魚和青蛙，方式如下：將平行四邊形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d. 乙. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移： (1) A → a：將 A 區塊向右下平移到 a (2) B → b：將 B 區塊向右上平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊向右上平移到 c (4) D → d：將 D 區塊向左下平移到 d. 裁貼出魚和青蛙後可以發現：平行四邊形的四個頂點，左側頂點順時針觀察，分別落在青蛙右前腳的尖端；上方頂點剛好位於魚的尾鰭和青蛙右後腳的交接點；右側頂點落在魚腹鰭上的尖端；而下方頂點也恰落於魚嘴和青蛙左前腳的交接點這就是魚和青蛙在數學骨架上的正確位置三. 真的是魚和青蛙磁磚嗎經數學原理裁貼後的魚和青蛙有什麼人驚艷的地方呢？我們可以第三的藝術表演觀察到經數學原理形成的魚和青蛙可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式： 63.