定理 2： 使α-Ball 平面滾動角度最小的原子，一定是表面原子

假設n個原子的蛋白質P = { (a_i， r_i) | a_i∈R³， 0≤ i ≤ (n-1) ， a_i表示蛋白質第i個 原子的球心座標， ri表示ai 原子之凡德瓦半徑}中，已經存在一個半徑為α、球心為o0

的α-Ball B(o0，α)及表面原子 a0=(x0，y0，z0)，使得| a0o0 |= r0+α，且| aio0 |≥ (ri+ α)，for 1≤ i ≤ (n-1)，即存在 a0屬於α-Surface of P且α-Ball B(o0，α)接觸 a0。以α

-Ball B(o0，α)之球心 o0，表面原子 a0及每個相鄰原子(兩個原子表面的最小距離小 於、等於 2α)之球心 aj形成的各個平面來滾動α-Ball，則在與 a0相鄰的原子 aj=(xj， y_j，z_j)中，假設α-Ball滾動後可同時接觸 a₀、a_j的新球心為 o_j，則在所有 a_j中，使α -Ball滾動後形成之夾角∠o₀a₀o_j最小的原子a_j，一定屬於α-Surface of P。

證明：

假設在表面原子 a0的表面上滾動α-Ball B(o0，α)，在與 a0原子之球心至測試 原子之球心的距離(長度)- a0原子之半徑(r0)-測試原子之半徑(rj)小於、等於 2α 的所有相鄰原子 aj =(xj，yj，zj)、且與 a0、aj接觸時的新探測球球心 oj中，接觸 到點a1時形成的夾角∠o0a0o1的角度最小，如圖4-9 所示。

圖 4-9 使α-Ball 以平面滾動的角度最小的原子一定是表面原子 假設 a0、a1、a2在「同一平面上」，依此平面旋轉 α-Ball，分別與 a1、a2

接觸時的新球心為 o1及 o2，∠o0a0o1≤ ∠o0a0o2且∠o0a0o1是在所有利用三 點形成之平面滾動α-Ball、可能產生接觸時所形成的夾角中最小的角度。

圖中綠色虛線代表以 a0 為基準旋轉α-Ball 可能接觸到之相鄰原子的範 圍，包含在此範圍內的原子為可能接觸到的相鄰原子

因為∠o0a0o1是在所有可能接觸時所形成的夾角中最小的角度 所以∠o0a0o1≤ ∠o0a0o2

且∠o0a0o2=∠o0a0o1+∠o1a0o2

可得知∠o1a0o2=∠o0a0o2-∠o0a0o1≥ 0

因此

當∠o1a0o2=0 時，o1及o2是相同的點，則o1、o2兩點距離|o1o2|=0 當∠o1a0o20 > 0 時，o1及o2是不同的兩點，則o1、o2兩點距離|o1o2| > 0 由以上兩點可得知當∠o1a0o2=∠o0a0o2-∠o0a0o1≥ 0 時， |o1o2|≥ 0

當|o1o2|=0，則|o1a2|=|o2a2|=(α+ r2)

但當|o1o2|> 0 時，o1o2 a2三個不同的球心形成三角形，且α-Ball o1無法接觸到 原子a2，所以|o1a2|>|o2a2|

由以上說明可得知|o1a2|≥ |o2a2|，因為|o2a2|=(α+ r2) ，所以|o1a2|≥ (α+ r2)，

因此o1接觸到a1，∠o0a0o1≤ ∠o0a0o2時，可得|o1a2|≥ (α+ r2)，因此可得知

|o1a0|=(α+ r0)，|o1a1|=(α+ r1)，B(o1，α)接觸到 a0、a1，且不會與a2重疊。

換句話說，在∠o0a0o1≤ ∠o0a0o2的情況下我們可推知|o1a2|≥ |o2a2|=(α+ r2)，

所以o1頂多接觸到a2，不可能重疊a2，因為不存在|o1a2|- r2<α的情形。

同理可證，滾動原來α-Ball 的球心 o0並與其他可能接觸到的原子 aj形成接觸時 的新α-Ball 球心 oj所形成的夾角∠o0a0oj中，只要形成的夾角

∠o0a0oj≥ ∠o0a0o1(最小的夾角)，則 |o1oj|≥ 0，|o1aj|≥ |ojaj| =(α+ rj)，

|o1aj|- rj≥ α，因此可得 B(o1，α)可接觸到 a0、a1，且不會與其他原子 aj 重疊 (|o1aj|- rj≥ α)，所以 B(o1，α)符合α-Ball 的定義，a0、a1屬於α-Surface of P。

所以我們可以得到在「同一平面」上時，以 a0為軸並滾動 α-Ball，在 a0原子之 相鄰原子(兩個原子表面的距離小於、等於 2α)aj =(xj，yj，zj)且與 a0、aj接觸時

的 α-Ball 球心 oj中，如果α-Ball o1接觸到原子 a1時形成的夾角∠o0a0o1的角度 最小，一定符合下列的關係：

|o1a0|=(α+ r0)，|o1a1|=(α+ r1)，B(o1，α)接觸到 a0、a1， 且|o1aj|- rj≥ α，for any j>1

因此可得知a1也一定屬於α-Surface of P。

此處我們並沒有特別證明當形成最小旋轉角度與非最小旋轉角度的相鄰原子

「不在同一平面上」的情況，但很明確的，當在同一平面的狀況時都沒有重疊 的情況，如果在不同平面時又多了一個位移量，更不會有重疊的問題了。

所以當滾動「最小角度」使得α-Ball 同時接觸原子 a0、a1時，必定存在一個新 α-Ball 的球心 o1使得|o1a0|=(α+ r0)，|o1a1|=(α+ r1)且|o1aj|- rj≥ α，for any j>1，

因此依據定義 2，a1 一定屬於α-Surface of P。換言之，如果已知 a0 屬於α-Surface of P，則與 a0原子相鄰(兩個原子表面的距離小於、等於 2α)的原子中，

以α-Ball 球心，表面原子及相鄰原子之球心形成的各個平面來滾動α-Ball，使 滾動α-Ball 至產生接觸時的旋轉角度∠o0a0oj 最小的原子 aj ，一定屬於α-Surface of P。故得證。