辛
戊 丙 丁 甲
乙 庚 壬
己
的延伸，由【附錄三】可以明顯看出本卷的內容在「測量」部分主要是承襲顧應 祥的《勾股算術》（1609 年）、徐光啟的《測量異同》（1608 年）以及吳敬的《九 章算法比類大全》（1450 年），並融會貫通《九章算術》(劉徽等注，約西元前 100 年) 和《海島算經》(劉徽著，263 年)，《周髀算經》(趙爽等注，約西元前 300 年)中的測量原理與數學思想 ；而其「附法」和「器算」主要是承襲徐光啟的《測 量法義》（1607 年）和李之藻《同文算指》（1613 年）中的「測量三率法」，經筆 者比對兩本算書算題的內容及出書年份之先後，我們有充分的理由去認定李之藻
《同文算指》中的「測量三率法」應是承襲徐光啟的《測量法義》。由於本卷內 容繁多，無法逐題詳細分析，筆者將依本卷的主題，各找一些有代表性的題目來 分析。
3.4.6 測量
方中通將勾股互求法分成九類（如下表 1~9），並發明「勾股互求高深廣遠 圖說」。而最後四題附法，是介紹以矩尺或表為測量工具的測量法。
(1)容方與餘勾求餘股 法
(2)容方與餘股求餘勾法 (3)餘勾餘股求容方法 (4)兩餘勾與股求容方
法
(5)小勾股與大勾求大股 法
(6)兩餘勾兩破股小股求 大勾大股法
(7)測勾破勾兩側股求 大勾大股法
(8)四餘勾兩破股小股破 勾求上勾下勾大股法
(9)兩測股兩破勾測勾求 大勾法
(10)勾股互求高深廣遠 圖說
(11)用矩尺測兩廣法 (12)用矩尺測遠法 (13)用交表測遠法 (14)用表測斜高法
茲舉數例分析如下，為了方便，用現代符號說明如右欄。
（容方與餘股求餘勾法）
（1）測高式：欲測甲乙之高，
去乙二十五尺，立表於丙，為 丁丙高一丈，却後五尺，立戊，
戊己高四尺，使目在己，視表 末，丁與甲為一直線，問甲乙 高幾何？曰：四十尺。
術：以丁丙表高十尺，減戊 己目高四尺，餘丁辛六尺，以 乘庚辛二十五尺（與乙丙等），
得一百五十尺，為實，以丙戊 五尺為法，除實，得甲壬三十 尺，加表高十尺，得四十尺，
為甲乙之高。
今解：
∵ 丁 辛 ： 丙 戊 ＝ 甲 壬：庚辛，
∴5：(10－4)＝25：甲 壬，
即 甲 壬 高 ＝
5
6 25 ×
＝ 30 尺，
故甲乙高＝甲壬高＋
表高＝30＋10
＝40 尺。
以表測高的問題在九章算術＜勾股章＞也有類似的問題，經筆者比對後，
此題應抄錄自《測量異同》第二題以表測高，連數字和圖形都一模一樣，而國 中數學第五冊相似三角形也常出現類似本題的題目。
乙 丙 丁
戊 己
壬
＝45，己庚高＝45＋4＝49。
（四）以目測遠法
°®
240
＝48，己庚高＝己壬＋表高＝48＋4＝52。
「李鑾城測圓圖」（如圖 3.15）是以一個直角三角形及其內切圓為基礎，通過
西
行
行
北
外
外
形 12
月山泛為 太虛勾股
形
泛山
太虛勾 a12＝48 月泛
太虛股 b12＝90 月山
太虛弦 c12＝102
13
山地艮為 小差勾股
形
艮地
小差勾 a13＝80 山艮
小差股 b13＝150 山地
小差弦 c13＝170 14 山川東為
惠勾股形
東川
惠勾 a14＝16 山東
惠股 b14＝30 山川
惠弦 c14＝34 15
川地夕為 下平勾股
形
夕地
下平勾 a15＝64 川夕
下平股 b15＝120 川地
下平弦 c15＝136
二、諸式
以下的題型共分成八十九式，各有名稱，前九式大概就是李冶所說的「洞淵 九容公式」33，除了第 41 式外，其餘都是先給定「測圓圖」中的兩邊長，以求出 圓徑，不過各題答案相同，都是 240。另外，《測圓海鏡》、《測圓海鏡分類釋術》
的算題大多是情境題，而《數度衍》卻大多是給定兩邊長以求圓徑的題目。在【附 錄四】中，為了方便說明這八十九式，以上表所設的數學符號來表示勾股形的邊 長，並設容圓的直徑為 R，半徑為 r。以下茲舉第 41 式為例分析如下：
餘勾半股餘股半勾容圓式：西外八步，外行四百九十五步，北外十五步，外行 三百○八步，求圓徑。
術：以西外八，并北外行二百○八，得二百一十 六為兩勾和；西外行四百九十五，并北外十五，得 五百一十為兩股和；以西外行乘兩勾和，得十萬○
六千九百二十為股乘勾冪；以西外乘兩股和，得四 千○八十為勾乘股冪；兩冪相減，餘十萬○二千八 百四十，為勾股維乘差；自之，得一百○五億七千 六百○六萬五千六百，為三乘方實；西外行四百九 十五內，減去兩回西外共十六，餘四百七十九，與 北外行二百○八相減，餘二百七十一，為股減勾差；
北外行二百○八內，減去兩回北外共三十，餘一百 七十八，與西外行四百九十五相減，餘三百一十七，
為勾減股差；二差相減，餘四十六，以乘勾股維乘差，得四百七十三萬○六百四 十為從方；二差相乘，得八萬五千九百○七，為二差冪；兩勾和與兩股和相乘，
得十一萬○一百六十，為二和冪；倍二和冪，得二十二萬○三百二十，倍勾股維
33參見孔國平著，《測圓海鏡導讀》，頁 12~13。
乘差，得二十萬○五千六百八十，以并二差冪，得五十一萬一千九百○七，為從 一廉；四回兩勾和共八百六十四，兩回股減勾差共五百四十二，相并得一千四百
○六，為從二廉，作帶從方廉開三乘方法，即得半徑。
今解：
∵勾股維乘差（原稱後泛率）＝(208＋8)×495－8×（495＋15）＝102840；
股減勾差（原稱前泛率）＝495－（208＋2×8）＝271；
勾減股差（原稱中泛率）＝495＋2×15－208＝317；
三乘方實＝（勾股維乘差）2＝1028402＝10576065600；
從方＝（勾減股差－股減勾差）×勾股維乘差
＝（317－271）×102840＝4730640；
從一廉＝股減勾差×勾減股差＋2×勾股維乘差＋2×兩勾和×兩股和
＝271×317＋2×102840＋2×（208＋8）×（15＋495）
＝511907；
從二廉＝2×兩股和＋2×兩勾和－（勾減股差－股減勾差）
＝2×（15＋495）＋2×（208＋8）－（317－271）
＝1406。
∴設圓半徑＝r，則
r
4+ 1406 r
3+ 511907 r
2+ 4730640 r = 1057606560 0
， 倍得半徑。本題中方中通創造了三個名詞：「勾股維乘差」、「股減勾差」、「勾減股差」，
取代《測圓海鏡》的「後泛率」、「前泛率」、「中泛率」。