第三章、《數度衍》的內容分析（一）
在本論文的內容分析中，筆者將重點地介紹各冊各卷的數學知識，因《數度 衍》內容繁多，受本論文篇幅限制，無法逐題詳細分析，只能從各類型題目中，
找出一些比較有代表性或有特色的題目作比較和討論，希望能因此而突顯其精華 與價值。
3.1 乾一冊分析
本冊共有三卷，分別是「數原」 、 「律衍」 、 「幾何約」 ，茲略述如下。
3.1.1 數原
通曰： 「九數出於勾股，勾股出於河圖，故河圖為數之原。」此數學起源之 說，並非方中通首創。秦九韶《書數九章》序（1247 年）、朱世杰《四元玉鑑》
莫若序（1303 年）、王文素《數學寶鑑》（1522 年）以及程大位的《算法統宗》
（1592 年）等都有類似的記載。而勾股何以出於河圖，方氏自有一番說法「周 髀曰，勾廣三，股修四，徑隅五，天數二十有五，弦之開方也。河圖之數，五十 有五，中五不用，用其五十，合勾自之，股自之，弦自之，之數也。勾三陽數也，
居左和弦而為八，故八與三同位。股四，陰數也，居右，和弦而為九，故九與四 同位。弦五，勾股所求之數也，居中，勾弦較，得二。居上，股弦較，得一。居 下，勾弦較與弦和為七。故七與二同位。股弦較與弦和為六，故六與一同位。弦 居中，倍為十而倍之之數不可用。」勾股岀於河圖，乃依據勾三、股四、弦五與 河圖和洛書中的數，剛好構成巧妙的關係而來的。
除此之外， 「不用十而用九，河圖變為洛書，加減乘除之數皆從洛生，而九 數之用備焉。」而有「加減乘除原圖」 ； 「周髀獨明勾股，不及九章，何哉？偃矩 以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，勾股自為用也。」而有「九章皆勾股說」 ； 「乘 莫善於籌，除莫善於筆，加減莫善於珠，比例莫善於尺。」而有「四算說」 ； 「商 高曰：圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。」而有「九九圖說」 ； 「易曰：
參天兩地而倚數，無倚不生，則無數也。」而有「倚數圖說」 ； 「家語黃帝設五量，
曰權衡、曰升斛、曰尺丈、曰里步、曰十百，不以升斛，獨為量也。」而有「今 之五量用數圖說」。其中值得一提的，是「九九圖說」後附縱橫圖十四種，縱橫 圖之名稱最早始於宋楊輝所著《續古摘奇算法》 。
1《數度衍》應是出自於《算法 統宗》 ，而五五圖已有改正，如下圖 3.1。
1
西方人稱之為幻方（magic square）。
5 23 16 4 25 15 14 7 18 11 24 17 13 9 2 20 8 19 12 6 1 3 10 22 21
5 3 10 22 25 15 14 7 18 11 24 17 13 9 2 20 8 19 12 6
1 23 16 4 21
圖 3.1
3.1.2 律衍
中國古代早就有五音十二律，它們是兩種不同的音階。其中五音指的是宮、
商、角、徵、羽，十二律指的是黃鍾、太簇、姑洗、蕤賓、夷則、無射、林鍾、
南呂、應鍾、大呂、夾鍾、中呂。前六律為陽，後六呂為陰。本卷首論「隔八相 生圖說」 ， 「隔八相生圖」 （如圖 3.2） ，顯然是出自《算法統宗》的「律呂相生圖」
（如圖 3.3）。而隔八二字應是從算法統宗之律呂相生歌而來，如下：
「律呂相生識者稀，黃鐘九寸是根基，隔八生陰三損一，陰率生陽益一奇，黃林 大簇皆全寸，餘者通之更不疑，具用九分乘見積，四時氣候配攸宜。」
「隔八相生」之意乃指從黃鍾之位開始數，按順時針方向數到八即是下一位起 始數，依此類推，可以數完全部十二律。而相互間的推算方法是用 「三分損益法」
（即「陽生陰三分損一隔八生陰，陰生陽三分益一隔八生陽」 ） ，茲說明如下：
以黃鍾律管長九寸，其中各律之管長數據早在東漢末周禮注釋中就有記載，
給出了以寸為單位的十二律管長，其數據為：
黃鐘： 9 寸 應鐘：
27
4 20 寸 無射：
6561
4 6524 寸 南呂：
3 5 1 寸
夷則： 729
5 451 寸 林鐘： 6 寸 蕤賓：
81
6 26 寸 仲呂：
19683 12974
6 寸
姑洗： 9
7 1 寸 夾鐘：
2187
7 1075 寸 大簇： 8 寸 大呂：
243 8 104 寸
其計算方法如：黃鐘為 9 寸且屬性為陽，則「隔八相生」得林鐘即 6 3
9 × 2 = ；由
林鐘起「隔八相生」得大簇 8 3
6 × 4 = ，以此類推，可得到各律管長。除此之外，
還有十二律推算中「陽生陰九之六，陰生陽為九之十二」的「比例圖」和「約李 瞿經緯說」 ；由五音十二律組成六十律而有「旋相為宮圖」 、 「京房六十律」 、 「七 調圖」 、 「簫笛七調升降圖說」和「橫調直調說」 ，這些內容都和數學的比例運算 和分數運算有關。
圖 3.2 隔八相生圖 圖 3.3
3.2 兌二冊分析
本冊原有二卷，分別是《幾何約》和《重學解》 ，前者是《幾何原本》前六 卷（徐光啟、利瑪竇合譯，1607 年）的縮編和改寫本，而後者已經亡佚，而其 內容為何就不得而知。
3.2.1 幾何約
在《幾何約》的最末，方中通說： 「西學莫精於象數，象數莫精於幾何。余 初讀三過不解，忽秉燭玩之，竟夜而悟。明日質諸穆師，極蒙許可。凡制器尚象，
開物成務，以前民用，以利岀入，盡乎此矣。故約而紀之於此。」 ，可見《幾何 約》是方氏寫於南京與慕尼閣接觸時，以自己對《幾何原本》內容的理解去徵詢 慕尼閣，而得到肯定的答案。
《幾何原本》是用公理的方法，建立演繹數學體系的最早典範。自從它問世以 來，一直是世界各地教科書的經典，大家都認為它是學習幾何知識、培養邏輯思 維能力的範本教材。而國內現行國、高中的幾何教本，大部分也都以《幾何原本》
為基礎編輯而成的。 《幾何原本》前六卷
2是明末最早翻譯的西方數學著作，內容 是論述平面幾何學，基本上可以自成體系。由於方氏所寫的《幾何約》是《幾何 原本》前六卷的縮編本。因此筆者先介紹後者，以方便與前者作比對。該書各卷 之首均注明其內容和題數，茲照錄如下：
第一卷之 首
界說三十六，求作四，公論十 九。
第一 卷
論三角，計四十八題。
第二卷之 首
界說二則。 第二
卷
論線，計十四題。
第三卷之 首
界說十則。 第三
卷
論圓，計三十七題。
第四卷之 首
界說七則。 第四
卷
論圓內外形，計十六題。
第五卷之 首
界說十九則。 第五
卷
論比例，計三十四題。
第六卷之 首
界說六則。 第六
卷
論線面之比例，計三十三 題。
接著，簡述各卷的內容以見其體例及內容之大概：卷一包括幾何概念的定 義、公設（關於幾何的基本規定） 、公理（關於量的基本規定）和命題（包括三 角形、垂直、平行、直線形的面積相等等關係） ；卷二討論的是面積的變換和畢 氏學派的幾何式代數；卷三討論圓、弦、割線、切線及有關圓周角、圓心角、弦
2
《幾何原本》總共有十三卷，1607 年明朝期間，傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）和徐光啟合譯完
成的前六卷稱為「明本」 。其餘則由清朝的李善蘭與英國人偉列（Alexander Wylie）於 1857 年共
同編譯完成，稱為「清本」 。
切角等角的度量的定理；卷四討論用直尺和圓規作三角形、正方形、正五、六和 十五邊形，以及在給定圓內（外）作這些內接（外切）正多邊形；卷五是比例論；
卷六把比例論用於平面圖形，處理相似直線形中的各種比例的線段等。至於《幾 何約》則分成十二部分，其與《幾何原本》前六卷的關係如下表。
編
號 《幾何約》 《幾何原本》前六卷
1 名目六列 卷一界說三十六、卷二界說二則、卷三界說七則、卷四 界說七則、卷五界說十九則、卷六界說六則。
2 度說十六 卷一公論十九。
3 線說六 卷一公論十九、卷三界說第四界、卷六界說第六界。
4 角說二 卷一公論十九。
5 比例說十四 卷五界說第三、五、六、十、十一界，卷六界說第五界。
6 論三角形四十 八
第一卷論三角，計四十八題。
7 論線十四 第二卷論線，計十四題。
8 論圜三十七 第三卷論圓，計三十七題。
9 論圜內外形十 六
第四卷論圓內外形，計十六題。
10 論比例三十四 第五卷論比例，計三十四題。
11 論線面之比例 三十三
第六卷論線面之比例，計三十三題。
12 增題十六 第六卷增題。
《幾何約》雖是《幾何原本》前六卷的改寫本，不過兩者在體例上並不相同。
《幾何原本》前六卷的體例有「解曰」 、 「法曰」 、 「論曰」 、 「注曰」 ，在《幾何約》
大部分的命題中只保留「解曰」 、 「法曰」的部分，但改以「如」代替「解曰」或
「法曰」 ，而「論曰」部分則將其盡數刪去，這一轉變頗值得我們注意。不過有 些命題，會在「通曰」部分作補充說明。這種情況共出現二十次，分別是比例說 兩次、論三角形四次、論線四次、論圜一次、論圜內外形三次、論比例一次、論 線面之比例三次、增題兩次。
3.3 離三冊分析
本冊共有五卷，主題都與算器有關，分別為一卷的珠算，二、三卷的筆算，
四卷的籌算，五卷的尺算，方中通把珠算、筆算、籌算、籌算合稱為「四算」 。 這裡的籌指的是納皮爾算籌，與我國傳統算籌完全不同，尺算即比例規。 《數度 衍》把「四算」之法，列於九章之前。這是清代第一次對算器的大展示，顯示到 了清時，算器已不再單一，種類增多了。
33
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》（石家庄：河北科學技
3.3.1 珠算
中國人長期用籌算來作計算的工具。可是隨著生產和商業交換活動的發展，
籌算逐漸不能適應生活的需要，特別是商賈買賣，需要快速計算。籌算擺放速度 慢，佔用的面積大，很不方便。因此當珠算盤產生之後，籌算很快就煙消雲散了，
從歷史的舞台上退出。本卷大致上是以《算法統宗》 （程大位著，1592 年）為底 本而編寫成的，內容有加、減、乘、除和乘除定位法。乘法用留頭乘，除法採用 歸除和商除。另有「定身乘除法」 、 「金蟬脫殼法」和「流法」三種乘除簡捷法。
卷末附錄方正珠（方中通之子）的＜乘除新法＞二則：一是「以減代乘法」 ，今 稱「補數乘法」 ；二是「以加代除法」 ，今稱「補數除法」 。以下就各個主題分述 如下：
一、加法（一曰上法）
珠算的加減口訣，即「上法訣」和「退法訣」 ， 首先見於明代吳敬《九章詳注比類算法大全》的「起
五訣」 、 「成十訣」 、 「破五訣」 、 「破十訣」。到明代徐 圖 3.4 珠算盤
4心魯訂正《盤珠算法》始綜合成全套的「上法訣」和「
退法訣」
5，本卷的「加法口訣」與程大位《算法統宗》卷一（1592 年） ，稱為「九 九八十一」大致相同。
【加法口訣】
一上一 一下五去四 一退九進一十； 二上二 二下五去三 二退八進一十 三上三 三下五去二 三退七進一十； 四上四 四下五去一 四退六進一十 五上五
6五退五進一十； 六上六 六上一、去五進一十 六退四進一十 七上七 七上二、去五進一十 七退三進一十
八上八 八上三、去五進一十 八退二進一十 九上九 九上四、去五進一十 九退一進一十 二、減法（一曰退法）
【減法口訣】
一退一 一退十還九 一上四退五； 二退二 二退十還八 二上三退五；
三退三 三退十還七 三上二退五； 四退四 四退十還六 四上一退五；
五退五 五退十還五； 六退六 六退十還四；
七退七 七退十還三； 八退八 八退十還二；
九退九 九退十還一
術出版社，2000 年），頁 99。
4
圖片來源： http://www.cma.com.tw/history/muc3.asp
5
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 116。
三、因乘法
珠算乘法應用「九九合數」歌訣，與上古之「九九」完全相同，並以「小數 在上，大數在下」 ；但以一一為始迄於九九，則宋金元時代已如此矣。就以下之
「六七四十二」 ，不作「七六四十二」 ，所謂「小數在上，大數在下」 ，以別於九 歸歌之「大數在上，小數在下」 。
7【乘法口訣】
一一如一
一二如二 二二如四
一三如三 二三如六 三三如九
一四如四 二四如八 三四一十二 四四一十六
一五如五 二五一十 三五一十五 四五二十 五五二十五
一六如六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六三十 六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二
七七四十九
一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一
珠算的乘法同籌算乘法類似，區分為「上乘」 （前乘法）和「下乘」 （後乘法）
兩類。下乘又有留頭乘、破頭乘、掉尾乘和隔位乘四種，
8方中通著作《數度衍》
時，已有鼠尾乘（即掉尾乘） 、破頭乘、留頭乘和隔位乘，但方中通只推崇「留 頭乘」 ，留頭乘的演算順序是，每乘一位，先以法之次位乘起，順乘至法尾位止，
然後以法首位破實本位。一位乘法叫做因，多位乘法者叫做乘。茲舉下兩例說明。
（一）因式：有三百六十五人，每人八兩，問共若干？曰：二千九百二十兩。
如右表，說明如下：
五八得四十 六八四十八 三八二十四
6
更正《算法統宗》卷一之五下五。
7
參見李人言著，王雲五、傅緯平主編《中國算學史》 （台北：台灣商務印書館發行，1990 年），
頁 176。
8
詳見梅榮照、李兆華， 《算法統宗校釋》 （台北：九章出版社，1992 年），頁 216。
子 丑 寅 卯 甲 三 六 五 八
4 ○
4 8 五 二
2 4
二 九
二 九 二 ○
圖 3.5
（二）因乘式： 有三百六十五人，每人一十二兩，問共若干？曰：四千三百八 十兩。
如右表，說明如下：
二五一十 一五如五 二六一十二
一六如六 二三如六 一三如三
四、因乘定位法
珠算乘除定位法始見於吳敬《算法大全》 （1450 年），程大位《算法統宗》
（1592 年）有所發展。古今珠算乘除定位法，方法繁多。明代定位法大體可分 為「盤上定位」 、 「懸空定位」 、 「掌中定位」三大類。
9以下是從算盤上因乘運算 的結果去判斷得數位數的方法。本卷提供兩種因乘定位法，都是屬於「盤上定位 法」 。茲舉下例說明。
式：三百六十五人，每人一十二兩，共得四三八，問 四為何數？曰：千數。
如圖 3.5，因乘定位法如下：
＜方法一＞以實數的個位相當於得數的百位可知，438 的首位 4 對應實數的十位，應相當於得數的千位。
＜方法二＞以得數的位置在實數的位數，再升乘數的位 數即為所求位數。所以 438 首位 4 在實數十位，再加兩 位，就是千位了。
五、定身因乘法
定身乘古代稱「身外添幾」和「身外加法」 ，是一種特殊乘法。凡是乘數首 位是 1 的，首位 1 省卻不乘，只把次位以下各位乘被乘數，乘積加在被乘數本 身裡，就得全部乘積。定身乘首見於《夏侯陽算經》 （783 年） 。明代諸多珠算書 都著錄定身乘。所舉例題多數是加一位、加二位、加隔位、加三位，內容雷同。
9
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 144。
子 丑 寅 卯 辰 甲 乙
三 六 五 一 二
1 ○
5 六
1 2 八
6 七
6 一 三
3 四
四 三 八 ○
子 丑 寅 卯 三 六 五
後 變 四 三 八 甲 乙
一 二
○ 千 百
在加乘多位數時，都用留頭乘法。
10茲舉下例說明。
式：有三百六十五人，每人一十二兩，問共若干？曰：四千三百八十兩。
如右表，說明如下：
二五一十 二六一十二 二三如六
六、歸除法
歸除法用口訣試商，歸除法的前身是增成法。
11一位除法稱為歸，共九個除 數，故稱九歸。這一歌訣是籌算除法簡化之產物，出現在北宋。
12而本卷與《算 法統宗》一樣沒有一歸。
【九歸口訣】
一
二一添作五 逢二進一十
三一三餘一 三二六餘二 逢三進一十
四一二餘二 四二添作五 四三七餘二 逢四進一十
五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六 五四倍作八 逢五進一十
六一下加四 六二三餘二 六三添作五 六四六餘四 六五八餘二 逢六進一 十
七一下加三 七二下加六 七三四餘二 七四五餘五 七五七餘一 七六八餘四 逢七進一十
八一下加二 八二下加四 八三下加六 八四添作五 八五六餘二 八六七餘 四 八七八餘六 逢八進一十
九一下加一 九二下加二 九三下加三 九四下加四 九五下加五 九六下加 六 九七下加七 九八下加八 逢九進一十
一位除法叫歸，多位除法叫歸除。歸除中，以法（除數）之首位歸實（被除 數）之首位得商，以商乘法之其它位以減實叫除。如下兩例說明。
（一）歸式：有銀二千九百二十兩，八人分之，問各若干？曰：三百六十五兩
10
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 141。
11
同上，頁 135。
12
詳見梅榮照、李兆華， 《算法統宗校釋》 （台北：九章出版社，1992 年），頁 108。
子 丑 寅 卯 甲 乙
三 六 五 一 二 1 ○
六
1 2
七 八
6 一 三
四
四 三 八 ○
如右表，說明如下：
八二下加四 四下五去一 逢八進一十 二上加一 八五六餘二 二上加二 八四添作五
（二）歸除式：有銀四千三百八十兩，三百六十五人分之，問各若干？曰：一十 二兩
如右表，說明如下：
逢三進一十，丑減三存一 一六如六，六退十還四 一五如五，卯八除五存三 逢六進二十，寅減六存一 二六一十二，寅除一，卯除二 二五一十，卯除一 七、無除法
無除法是指歸除中，當除數首位歸除實數首位後，立商過大，實數下位無數 可除時所採取的算法。其口訣為「一歸起一還一 二歸起一還二 至九歸起一還 九」即「起一法」 。起一還原口訣的出現較九歸、撞歸晚，約在明初，見吳敬《九 章詳註算法比類大全》起例。
13茲舉下例說明。
式： 有銀一百零八兩，二十七人分之，問各若干？曰：四兩。
如右表，說明如下：
二一添作五 五七三十五，丑位無實可除 起一還二 四七二十八，丑除二十，寅除八
八、撞歸法
在歸除中，法實同頭無除時用撞歸，即將被除數首位撞凑成九，次位加餘數。
14
其口訣為「見一無除作九一，見二無除作九二，…至見九無除作九九」 。茲舉
13
參見梅榮照、李兆華， 《算法統宗校釋》 ，頁 217。
14
同上。
子 丑 寅 卯 甲
二 九 二 ○ 八 二 4
13 1 5
三
六 2
四 五 三 六 五
子 丑 寅 卯 辰 甲 乙 丙
四 三 八 ○ 三 六 五 一 一
七 三 二 一
一 1 一 二
子 丑 寅 甲 乙
一 ○ 八 二 七 五
3 5 四 二 八
2 8
四
下例說明。
式： 有銀二百一十六兩，二十四人分之，問各若干？曰：九兩。
如右表，說明如下：
見二無除作九二 四九三十六，丑除三十寅除六 九、歸除定位法
從算盤上歸除運算的結果去判斷得數位數的方法。本卷提供兩種歸除定位 法，是屬於「盤上定位法」 。茲舉下例說明。
式：三百六十五人，分四千三百八十兩，得一二，問一為何數？曰：十數。
如圖 3.6，歸除定位法如下：
＜方法一＞將法數列於實數左側，法的首位以實數最高位 當位數，如此往下降位就可知得數的位數。∵12 的首位 1 正好是法首 3 的下兩位，而法首 3 對應位數為千位∴應降 二位為十位。
＜方法二＞以得數的位置在實數的位數，再降除數的位數 即為所求位數。所以 12 首位 1 在實數萬位，再降三位，就 是十位了。
十、定身歸除式
定身除古稱「身外減幾」和「身外減法」 ，是定身乘的逆運算，也是還原。
凡除數首位是 1 的除算，首位 1 省卻不除，只是把除數次位的以下各位乘以商數，
乘積從被除數相應的位上減去。定身除的運算，像商除法一樣需要估商，估得確 商後，才可把商數同除數次位以下各位相乘，進行乘減。
15茲舉下例說明。
式：有銀九十一兩，一十三人分之，問各若干？曰：七兩。
如右表，說明如下：
實首九內存身減之，當存七 三七二十一 十一、商除法
以法與實商議而得商，用商乘法以減實，稱為商除。其步驟與籌算及今之筆 算除法相同。
16茲舉下例說明。
式： 有銀三千零一十五兩，六十七人分之，問各若干？曰：四十五。
15
詳見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 143。
16
參見梅榮照、李兆華， 《算法統宗校釋》 ，頁 108。
子 丑 寅 甲 乙
二 一 六 二 四 九 三 六
3 6 九
子 丑 寅 卯 四 變 一 二 甲 乙 丙 三 六 五 千 百 ○ 十
子 丑 甲 乙
九 一 一 三 七
二 一 2 1 七
圖 3.6
如右表，說明如下：
今商四十，四六二十四 四退十還六 四七二十八 丑除二，寅除八，八退十還二
今商五，五六三十 乙法七乘次商五為三十五，實盡
十二、折半法
當除數為偶數可用此算法，當法實俱折半至除數為一時，所得的存實就是所 求商。茲以下題說明。
式：有銀六十四兩，八人分之，問各若干？曰：八兩。
如右表，說明如下：
以法八，折半為四。實六十四，折半為三十二 又以法折半為二，實折半為一十六 再以法折半為一，實折半為八 十三、乘除捷法（即金蟬脫殼）
金蟬脫殼即「凑倍乘除法」 ，是古代民間的「簡易乘除法」 。最早錄這種算法 的，是吳敬《九章比類算法大全》 （見第五章） 。其口訣如下：
【因乘訣曰】起雙下加倍，見一只還原，倍一挨其身，餘皆隔為遷。
【歸除訣曰】加雙下除倍，加一下除原，倍一挨身除，餘皆隔為遷。
如下兩例說明。
（一）乘式：有米三石五斗，每斗價銀七分，問共銀若干？曰：二兩四錢五分。
如右表，說明如下：
起雙下加倍，起去二斗，挨身上一錢四分 再起二斗，挨身上一錢四分 呼見一只還原，起去一斗，隔位上七分 起雙下加倍，起二石，挨身上一兩四錢
呼見一只還原，起一石，隔位上七錢
（二）除式 ：有錢二千二百五十文，給九十人，
問每人若干？曰：二十五文。
如右表，說明如下：
子 丑 寅 卯
三 ○ 一 五 2 4
六 一 五 2 8 三 三 五
3 0 三 五 甲 乙 六 七
子 丑 甲
六 四 八 3 2 4 1 6 2 8 1 得 八兩
子 丑 甲 乙
○ 七 原數 三 五
一 四 倍數 三 1 4 一 1 4
○ 7
一 1 4
○ 7
共 2 兩 4 錢 5 分
十四、流法
流法分「乘流」 、 「除流」兩類。乘流是將被乘數編成 1~9 倍的倍數，撥乘數入 盤，從末位起以加代乘計算。除流是將除數的倒數編成 1~9 倍的倍數，撥被除數 入盤，也從末位起以加代除計算。這兩種流法對於大批同實乘法和大批同法除法 是一種簡捷方法，如下兩例說明。
（一）乘式：有田九百八十一畝，每畝一分八釐九毫，問共若干？曰：一十八兩 五錢四分零九毫。
如右表，說明如下：
遇一，曰一八九 遇八，曰一十五一二 遇九，曰一十七零一
（二）除式：有銀一十八兩五錢四分零九毫，派在九百八十一畝，問每畝若干？
曰：一分八釐八毫九絲九不盡。如下表，說明如下：
（1）遇九，曰九一七四三一一； （2）遇四，曰四零七七四七一； （3）遇五，曰 五零九六八三九； （4）遇八，曰八一五四九四三； （5）遇一，曰一零一九三六 七。
子 丑 寅 卯 甲 乙 丙
九 ○ 原數 二 二 五 ○
一 八 ○ 倍數
○ 2 1 8 0 四 五 ○
○ 2 1 8 0 二 七 ○
○ 2 1 8 0 九 ○
○ 1 9 0
得 二 五文 ○
子 丑 寅 卯 辰 巳 甲 乙 丙
九 八 一 一 八 九
1 8 9 1 5 1 2 1 7 0 1 共 一 八 兩 五 錢 四 分 ○ 厘 九 毫
子 丑 寅 卯 辰 巳 甲 乙 丙
一 八 五 四 ○ 九 九 八 一
（1） 9 1 7 4 3 1 1
（2） 4 0 7 7 4 7 1
（3） 5 0 9 6 8 3 9
（4） 8 1 5 4 9 4 3
（5） 1 0 1 9 3 6 7 得 一分 八厘 八毫 九絲 九 九 八 九 ○ 四 一 一
(1)挨身呼加雙下除倍，
除一千八百
(2)挨身呼加雙下除倍，
除實一百八十 (3)又呼加雙下除倍，
除實一百八十 (4)再呼加一下除原，
隔位除九十
十五、乘除新法
一般在使用乘除新法前必須熟背「歸除訣曰」和「因乘訣曰」 ，如下：
歸除訣曰：進一空除原，進二空除倍，進二隨除倍，進五空除半，進五隨除半。
使用時機： （1）進一空除原（實首多等于原數及少于半數者用此）
（2）進二空除倍（實首多等于倍數及少于半數者用此）
（3）進二隨除倍（實首少于半數而倍數首一者用此）
（4）進五空除半（實首有餘而原數首一者用此）
（5）進五隨除半（實首多等于半數者用此）
因乘訣曰：除一空加原，除二空加倍，除二隨加倍，除五空加半，除五隨加半。
使用時機： （1）除一空加原（實尾止一數者用此，有時隔一位加原數）
（2）除二空加倍（實尾二三四數者用此，有時隔一位加倍數）
（3）除二隨加倍（實尾二三四數而倍數首一者用此）
（4）除五空加半（實尾五六七八數而原數首一者用此）
（5）除五隨加半（實尾五六七八數者用此）
茲舉因式，及其還原歸式說明。
（一）除式 如右表，說明如下：
用現在的符號表示即「87242÷4＝（80000＋4000＋2000＋400＋800＋40＋2）
÷4＝20000＋1000＋500＋100＋200＋10＋0.5＝21810.5」。
（二）乘還原式
子 丑 寅 卯 辰 巳 甲
八 七 二 四 二 四 原數
○ 2 七 八 倍數
○ 1 三 二 半數
○ 5 一 二
○ 1 八
○ 2 四
○ 1 二
○ 5 二 一兩 八錢 一分 ○厘 五毫
（1）進二空除倍，實左空一位 上二，於實首除倍數八
（2）進一空除原，實左空一位 上一，於餘實首除原數四
（3）進五隨除半，實左位上五，
不須空位，於餘實首除半數二
（4）進一空除原，於實左位上一
，不須空位
（5）進二空除倍
（6）進一空除原
（7）進五隨除半
如右表，說明如下：
用現在的符號表示即「218105×4＝5×4＋100×4＋（5000＋2000＋1000）×4
＋10000×4＋200000×4＝20＋400＋20000＋8000＋4000＋40000＋800000＝
872420」 。
十六、附正珠乘除新法
方正珠是方中通的第二個兒子，也是清初的算學家，他所寫的「乘除新法」
民間稱之為「撞十數法」 ，其內容是對「撞十數法」的第一次全面論述。
17「乘 除新法」指的是「以減代乘法」和「以加代除法」 。方正珠說此法須先求法數（乘 數）的「變數」 ，所謂「變數」指的是：若法數一位數以十減之的餘數；若法數 兩位數以百減之的餘數，以此類推。作乘法時， 「乃將變法與實呼減之」 ， 作除 法時， 「乃將歸實與變法呼加之」 ，茲說明如下：
（一）以減代乘法
「以減代乘法」是以減法計算的乘法，古稱「損乘」 ，今名「補數乘法」 。這種乘 法在《九章算術－劉徽注》中已經出現，唐代《夏侯陽算經》和南宋《楊輝算法》
有詳述。王文素《算學寶鑒》中則發展了這種方法。
18茲舉因式說明之。
因式：有一百二十人，每人二兩，問共若干？曰：二百四十兩。
如右表，說明如下：
以變法八呼丑實二，二八除一十六 以變法八呼子實一， 一八除八
17
參見汪亞森、郁祖權編著《珠算撞十數新編》 （黃山：安徽教育出版社，1992 年），頁 95。
18
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 278。
子 丑 寅 卯 辰 巳 甲 二 一 八 一 ○ 五 四 原數
○ 2 八 倍數
○ 4 二 半數 三 ○ 2
一 ○ 8
一 ○ 4
二 ○ 4
○ 8
共 八 七兩 二錢 四分 二厘
子 丑 寅 法
一 二 二 1 6 變 一 ○ 四 八
8 二 四
（1）除五隨加半，於實尾去五，
隨下位加半數二，不須空位
（2）除一空加原，於餘實尾去一，
空一位加原數四
（3）除五隨加半，於餘實尾去五，
隨下位加半數二
（4）除二空加倍，於餘實尾去二，
空一位加倍數八
（5）除一空加原，於餘實尾去一，
空一位加原數四
（6）除一空加原，於餘實尾去一，
空一位加原數四
（7）除二空加倍，於餘實尾去二，
空一位加倍數八
用現在的符號表示即「120×2＝120×（10－8）＝1200－120×8＝1200－20×8－
100×8＝1200－160－800＝240」。
（二）以加代除法
「以加代除法」今稱「補數除法」 ，是「以減代乘法」的逆運算，也是還原。
古算書對此法沒有專門的名稱。清代以後稱此法為「以加代除法」 ，簡稱「加法」 。 補數除法萌芽於宋代的「增乘法」 ，南宋楊輝和明代王文素都對此都有發展。
19茲 舉歸式說明之。
歸式：有銀一百二十兩，二人分之，問各若干？曰：六十兩。
如右表，說明如下：
變法八呼子暗數五，曰五八得四十 子實一上加四為五 變法八入呼丑暗數一，曰一八如八 丑實二上加八，數已滿十 子位五進一為六，即所求之分數
用現在的符號表示即「120÷2＝12×(2＋8)÷2＝12＋（10＋2）×8÷2＝
12＋（10÷2）×8＋（2÷2）×8＝12＋5×8＋1×8＝12＋40＋8＝60」。
3.3.2 筆算（上）
本卷的內容出自《同文算指》 （利瑪竇和李之藻編譯，1613 年）一書， 《同文 算指》是介紹歐洲筆算的第一部著作。
20筆算是採用位值制記數，從右向左，常 用十進制，記為個、十、百、千、萬等。未採用阿拉伯數碼，而是用○、一、二、
三、四、五、六、七、八、九之類的漢字來記數並計算。並且在介紹加減乘除的 筆算算法的同時，還加入「驗算」的方法，關於驗算部分是中算古籍所缺乏的，
除了「以減試加」 、 「以加試減」 、 「以除試乘」 、 「以乘試除」外，還有所謂的「九 減」 、 「七減」的驗算方法，所謂「九減」法，也就是所謂的「棄九法」 ， 「棄九法」
最早見於公元十世紀的印度算書之中， 《同文算指》第一次把它介紹到中國來。
21
，卷末並介紹「命分法」 ，以下就各個主題分述如下：
一、加法
四則運算首論「加法」 ，其運算規則如文中所言「列散數，各橫置以類相從，
大左小右，自右倂起，零數紀本位下，十進一位，百進二位，無零，本位紀○，
19
參見勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 283。
20
參見吳文俊主編《中國數學史大系—第七卷明末到清中期》，頁 37。
子 丑 法
一 二 二 4 0 變
五 八
8 一
六
諸位至左倂畢，既下紀數為所求總數也。」它們都是由最後一位算起，由右至左，
由小位至大位地逐位進行，和現在通常所用的筆算加法完全相同，所差的僅僅是 用的數碼不同和沒有加法「＋」這個符號
22。茲舉「進
一位式」說明如下。
（一）加法運算
【進一位式】如右圖，和現今加法一致。
（二）試加差法（加法驗算）
加法運算的驗算方法，本卷以「九減」 、 「七減」
兩種方法驗算，其驗算方法如下所述。
（1）九減式：此以見數為主，不論千百位也。
散數：去○與九不入減，倂四七、五八八、六七八、
八六、一五，共為七十三，九減餘一【減去八 九七十二】 ，列×左。
總數：倂總數三二七七，共為一十九，九減餘一【減去二九一十八】，
列×右。
驗算結果：左右相比，數同無差。
（2）七減式
散數：首行之左一○，作一十，七減餘三，次 作三十六，七減餘一【減五七三十五】，
次作一十五，七減餘一【減二七一十 四】 ，次作一十四，七
減無餘，右下紀○，次行左八九作八十九，七 減餘五，次作五十，七減餘一，次作一 十七，七減餘三，右下紀三，三行依法 減餘五，四行依法減餘五，俱紀右下，
再以各行紀餘○三五 五，倂為十三，七減餘 六。
總數：乃以總數依法減之，餘 六。
驗算結果：左右列比無差。
21
參考黃武雄編， 《中西數學簡史》 （台北：萬人出版社，1994 年），頁 415。
22
加號「＋」和減號「－」是德國人維德曼（J. Widman）於 1489 年首先使用的，當時他用來分 別表示過剩和不足。1514 年荷蘭人赫克（Hoecke）正式把它們作為代數運算符號使用。引自張 奠宙主編《數學史選講》 （常熟：上海科學技術出版社，2000 年），頁 142。
萬 千 百 十 單
一 ○ 六 五 四 八 九 ○ 七 五 六 七 八 九 八 八 ○
〡 〣 〢 〢 七 七 二 三 ○ 一 ○ 六 五 四 八 九 ○ 七 五 六 七 八 九 八 八 ○ 總 數 七 七 二 三 ○
一 一
散 數 首 行
一 ○
三六
一五
一四
○○
次 行
八
一九
五○
一七
三三
三 行
五 六
○七
○八
一九
五五
四 行
八
一八
四○
五五
總 數
七
○七
○二 三
二○
六六 六
二、減法
《同文算指》在介紹減法的運算前，首先必須辨別減數與被減數的大小關係「多 者列上為原數，少者列下為減數，所求數為減餘。」 ，其運算規則如文中所言「從 類列位，自右減起，下紀其餘也，下數多於上數者，為不足減，上○而下有數者，
為無可減，二者用借法。」其中除了「右減式」和「用借式」 ，和現在通常所用 的筆算減法大致相同外， 「用借用還式」和「左減式」卻是迥然不同的算法， 《同 文算指》中也並未提及。接著，我們來看看下列四種減法的運算方式。
（一）減法運算
（1）右減式：如右表，此法是從原數的右側減至左側的 方法，和現今的減法一致。
（2）用借式：如右表，此法用在當原數某一位不夠減 時向左一位借一，而在左一位相減時，在原數減 一的方法，和現今的減法一致。
（3）用借用還式：如右表，此法用在當原數某一位不 夠減時向左一位借一， 而在左一位相減時，不 在原數減一卻是在減數加一的方法。
（4）左減式：如右表，此法是從原數的左側減至右側的 方法。
雖然減法有左減和右減，方中通認為「舊法自右起，
今易自左起，此法較慢。」
（二）試減差法（減法驗算）
減法運算的驗算方法，本卷有下列如下三種驗算的法則：
（i）一用加法試之，以減數倂減餘，得原數。
（ii）或以減餘減其原數，應與所減數合。
（iii）又有九減七減二法，如試加然，但以減數及減餘合為一處，又如加之散 數，首行次行耳。
這裡的驗算方法和《同文算指》大致相同，本卷以 第一題為例，驗算如下：
（1）用加法式：用 402＋2313 檢驗。
（2）用減法式：用 2715－2313 檢驗
（3）九減式
減數及減餘：先倂減數四○二，及減餘二三一三，共為一十五，九減餘六。
千 百 十 單 二 七 一 五 四 ○ 二 二 三 一 三
千 百 十 單 四 八七 四三 ○ 二 五 九 二 二 二 四 八 千 百 十 單
四 八 四 ○ 二 五
六九
十二 二 二 四 八
千 百 十 單 二 四 二 三 五 八 肆 捌 肆 ○ 貳 伍 玖 貳
減 數 四 ○ 二
減 餘
二 三 一 三
原 數
二 七 一 五
原數：次倂原數二七一五，為一十五，九減餘六。
驗算結果：左右列比無差。
（4）七減式
減數及減餘：先以減數之左四○，作四十，七減餘五，次作五十二，七減餘三。
又以減餘之左二三，作二十三，七減餘二，次坐二十一，七減無餘，次三，不足 減，仍餘三，俱紀右下。乃以各數紀餘之三，二倂為六，不足減，乃作六。
原數：再以原數之左二七，作二十七，七減餘六，次 作六十一，七減餘五，次作五十五，七減餘六。
驗算結果：左右列比無差。
三、乘法
這裡所介紹的筆算乘法和現在的大同小異，同樣是從法（乘數）尾乘實（被乘 數）尾開始，由右向左，由小位至大位地逐位進行，也就是所謂的「下乘」 （後 乘法） 。不同的是，法的任一位乘實時，除了第一次得積橫排外，其餘各次均以
「十位左上，個位右下」的方式放置，最後再以筆算加法上下對齊加總。
（一）乘法運算
《同文算指》在介紹乘法的運算前，首先介紹「九九相乘圖」及「九九相乘歌」
以方便乘法的運算，但本卷卻省略了，只提到「十因」 ，如文中所言「乘即因也，
用九因法，上列原數【即實數】 ，下列乘數【即法數】 ，齊於右尾，算即始右，將 下一位，遍乘上諸位，向左逐位紀所乘數於下，盡下數乃止，諸所紀為散數，用 加法，得所求總數，若定總首為何數，從乘數左首，推至總數左首，即知。」接 著，先以「十因」的算法，舉兩例說明如下。
（1）十因
（i）式：8×8＝64。如右圖，先列 2（8 的補數）於右，用（8－2）
＝6 為得數十位數，加 4（2×2），所以得數為 64。
（ii）又式：7×6＝42。如右圖，先列 3（7 的補數）、4（6 的補 數）於右，此式有二法，用「 （7－4）＝（6－3）＝3 為得數十 位數，加 12（3×4） ，故得數為 30＋12＝42」 ；或「先算 3×4＝12，
進 1 於左，左數變成 8、7，用（8－4）＝4 或（7－3）＝4 為得 數十位數，加個位數 2，所以得數為 42。」
六 六
減 數 四 ○ ○
五二 ○
三三 減 餘 二 三 ○
二一 ○
○三 ○
三三 原 數 二 七 ○
六一 ○
五五 ○
六六 六
八○
六二 八○
六二 六 四
八
七○
四三
七
六○
四四
四○
一二
（2）諸式 茲舉二例說明之。
（i）多位乘而原數中有○式
和現今的乘法一致，如右圖，法 325 的任一位乘實 4608 時，除了第一次得積 橫排外，其餘各次均以「十位左上，個 位右下」的方式放置，最後再以筆算加 法上下對齊加總。
（ii）乘數尾有○式
和現今的乘法一致，如右圖，法 60 的個位 0 雖不必 乘，但須空位，以下乘法同上。由於當時中國人的寫字習 慣是直寫，方中通也強調算式可以易橫為直。
（二）試乘差法（乘法驗算）
乘法運算的驗算方法，本卷以「九減」 、 「七減」兩種方法驗算，其驗算方式 如文中所言「九減七減，如前，但左右列數，多一互乘，得數，又減之，餘列上，
總數減餘，列下，上下相比也，不用散數。」接者，就以上二題為例，驗算如下：
（1）九減式
原數及乘數：除○九外，倂原數四六八為一十八，九減無餘，列○於×左；倂乘 數三二五為一十，九減餘一，列×右。以左右一與
○乘，曰一○如○，無數，列○於×上。
總數：倂總數一四七六為一十 八，九減無餘，列○於×
下。
驗算結果：上下相比無差。
（2）七減式
原數及乘數：原數如法減之，餘三，列×左；乘數 如法減之，餘四，列×右。於左右
三四乘得一十二，七減餘五，列 上。
總數：總數如法減之，餘五，列下。
驗算結果：上下相比無差。
四、除法
《數度衍》所介紹的筆算除法相當於 16 世紀英國之「消去法」（scratch method），即「帆船法」 （galley method）。
23其思維相同，但是表示法稍不同。
24所
23
稱為「帆船法」的主要原因，是筆算將運算的每一步驟都紀錄下來，所以，當運算完成之後，
所有數字組成的圖形就像一艘帆船（vessel）。
四 六 ○ 八 三 二 五 二 三 ○ 四 ○
○ ○ ○
○ 一 ○ 一 六 八 二 ○ 一 一 ○ 二 四
二 八 ○
一 四 九 七 六 ○ ○ 四 五 六 ○ 二 三 ○
四
二 七 ○ ○
原 數
四 六 ○ 八 乘 數
三 二 五 總 數
一 四 九 七 六
○
○ 一
○
原 數 四 五 ○
三乘 數 六 ○ ○
四總 數 二 七 ○
六○ ○
四○ ○
五五
三 四
五
介紹的筆算除法和現在比較起來，顯得較為笨拙。
（一）除法運算
除法中為了分辨原數（被除數）與除數，其原數皆以「壹、貳、參、肆、伍、
陸、柒、捌、玖、○」表示；而除數皆以「一、二、三、四、五、六、七、八、
九、○」表示。
（1）定列位（退位法）
退位法有五種情形，分別為（i）不退位； （ii）同首同尾不退； （iii）異首退位；
（iv）同首退位；（v）同首異尾退位。這些的分法與《同文算指》大致相同。
（2）諸式 茲舉二例說明之。
（i）退位式：有三百四十二兩，九人分之，問各若干？曰：三十八兩。
算法：如右圖，先看 9 除 34 得幾？轉以乘法除之，9
×3＝27，34－27＝7，減餘 7 置 4 上方。9 右移一位 置 2 下，再看 9 除 72 得幾？轉以乘法除之，9×8＝72，
72－72＝0，除盡。
（ii）實不盡式：有六百五十三兩，五十八人分之，問各若干？曰：一十一兩【餘 實一十五兩未分】 ，又各二錢五分【餘實五錢未分】 。
算法：
＜步驟一＞如右圖，先看 58 除 65 得幾？轉以乘法 除之，58×1＝58，65－58＝7，減餘 7 置 5 上方。
58 右移一位，再看 58 除 73 得幾？轉以乘法除之，
58×1＝58，73－58＝15，減餘 15。
＜步驟二＞如右圖，58 右移一位，先看 58 除 150 得幾？轉以乘法除之，58×2＝
116，150－116＝34，減餘 3 置 5 上方，4 置 右方。58 右移一位，再看 58 除 340 得幾？轉 以乘法除之，58×5＝290，340－290＝50，減 餘 50。5 在實數 653 次位，648 表兩數，5 當 為錢數，所以，餘實五錢未分。
（二）試除差法（除法驗算）
除法運算的驗算方法，本卷以「九減」 、 「七減」兩種方法分別就「除無餘」
及「除有餘」兩種情況作驗算，其驗算方式如文中所言「亦用九減七減，其除畢 無餘實者，將除數減餘列左，用數減餘列右，左右相乘，減餘列上，原數減餘列
24
詳見陳敏晧， 《同文算指之內容分析》 （台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2002 年） ，頁 43~52。
七
參 肆 貳 三 八 九 九
一 二 一 七 五 陸 伍 參
一 一 兩 五 八
五 八
五 三 九 壹 伍 四 五 八
二 錢
五
分
五 八
下相比；其未盡實者，於左右乘後，倂入餘實，減餘列上，原數減餘列下比之。」
接者，就前二題為例驗算如下：
（1）除無餘九減式
除數及用數：除數九，九減無餘，左列○；倂 用數三八為一十一，九減餘二，又列二。乘無 數，列○於×上。
原數：倂原數三四二為九，九減無餘，列○於
×下。
驗算結果：上下相比無差。
（2）除有餘九減式
除數、用數及餘實：倂除數五八為一十三，九減餘四，左列四；
倂用數一一為二，不足九減，右即列二，乘得八。又倂餘實一 五，為一十四，九減餘五，列上。
原數：倂原數六五三為一十四，九減餘五，列 下。
驗算結果：上下相比無差。
（3）除無餘七減式
除數及用數：除數九，作九，七減餘二，列左；用數三八，
作三十八，七減餘三，列右。乘得六，不足七減，即列六 於上。
原數：原數三四，作三十四，七減餘六，
次作六十二，七減餘六，列下。
驗算結果：上下相比無差。
（4）除有餘七減式
除數、用數及餘實：除數五八，作五十八，七減餘二，列 左；用數一一，作一十一，七減餘四，列右，乘得八。又 以餘實一五，作一十五，七減餘一。以此餘一倂左右所乘 八，為九，七減餘二，列上。
原數：原數六五，作六十五，七減餘二，
次作二十三，七減餘二，列下。
驗算結果：上下相比無差。
除 數 九 用 數
三 八 原 數 三 四 二
○
○ 二
○
除 數 五 八 用 數
一 一 餘 實
一 五 原 數 六 五 三 五
四 二
五
除 數 九 ○
二用 數 三 八 ○
三原 數 三 四 ○
六二 ○
六六
二 三
六
除 數 五 八 ○
二用 數 一 一 ○
四餘 實 一 五 ○
一原 數 六 五 ○
二三 ○
二二
二 四
二
（5）半除式差式
只看除法的前半部，利用「九減」 、 「七減」
兩種方法驗算，如文中所言「若除實至半者，
亦以除數減餘列左，用數減餘列右，相乘，又 取本位以前餘實，減餘以倂左右乘數，再減餘 列上，以抹過原數，減餘列下，相比也。」
式：除數六五，用數一三，原數八六六三，餘實二一三。其半除式為「除數六五，
用數一三，原數八六六，餘實二一。」
（i）用九減
除數、用數及前餘實：倂除數六五為一十一，九減餘二，列左；又 倂用數一三為四，不足九減，右即列四，乘得八。乃倂法尾止處以 前之餘實二一為三，不足九減，即以此三倂左右所乘八，為一十一，
九減餘二，列上。
原數：倂原數抹去三位之八六六為二十，九減餘二，列下。
驗算結果：上下相比無差。
（ii）用七減
除數、用數及前餘實：除數六五，作六十五，七減餘二，列左；用 數一三，作一十三，七減餘六，列右，乘得一十二。乃以法尾止處 以前之餘實二一，作二十一，七減無餘，與左右所乘數相倂，仍是 一十二，七減餘五，列上。
原數：原數抹去之八六，作八十六，七減餘二，次作二十六，七減 餘五，列下。驗算結果：上下相比無差。
五、命分法
命分法是以除法運算中「除有餘」的情況來說明分數的意義，如下所述：
（i）命分者，一大幾何，已分幾何，命餘者為幾何分之幾何也。
（ii）所餘之小幾何，再分幾何，命此得者為幾何分之幾何也。
例如：法數為母，餘數為子，如實數八萬七千二百四十八，法數三百七十四，法 尾已齊實尾，用數已得二三三，尚有餘實一○六，當命為三百七十四分之一百零 六也。依題意即 87248÷374＝233 餘 106，得分數
374 106 。
又如：得數為子，得數前位為母，得數一位為十，二位為百，三位為千也，如右 式除實一○六，先於六右加一○，依法再除之，得二，又加一○，再除之，得八，
又加一○，再除之，得三，凡三位，乃千也，當命為千分之二百八十三也。
依題意即 106÷374＝ + + + ⋅ ⋅⋅
1000 3 100
8 10
2 ＝ + ⋅ ⋅⋅
1000
283 ，得分數
1000 283 。
二 三 二 一 一
捌 陸 陸 參 一 三 六 五
六 五
九 減 二 二 四
二
七 減 五 二 六
五
3.3.3 筆算（下）
本卷的內容與《同文算指》前編下卷大致相同，都是談論「奇零運算」的 部分， 「奇零運算」就是分數的運算，而分數的筆算寫法和現在的表示法正好相 反，是「分母在上，分子在下」 ，例如：
7
4 表示為 4
7 。全文共分成十一部分，後 附「鋪地錦」 、 「洛書算」兩種算法。
一、奇零列位法
「奇零者，不盡數也，加減乘除，皆有奇零，惟除為多耳，以法命之曰，幾分 之幾，除數為母，列上，零數為子，列下。」奇零以除法除有餘的情況來看，即 現在所謂的「分數」 ，只是表示法不同而已，如下題。
式：有實四十六，法七，用數六，除四十二，尚實四，命之曰七之四，
七列上，四列下。
二、奇零別多寡法
「母同子異，別在子，子同母異，別在母，俱異者，別在子母也。」以下就分 子、分母的異同，分成三種情況來說明分數的比較大小。
（一）母同式：分數同分母時之大小比較，如下題。
式：奇零有二，一曰七之三，一曰七之四。
術： 「辨其孰多孰寡，今母數等矣，但據子數別之，子多者為多，
子少者為少耳。」分母相同分子越大，其值越大，故「
7 3 7 4 > 」 。
（二）子同式：分數同分子時之大小比較，如下題。
式：如二分十之一，得五，三分十之一，止得三三耳，當以母 數少者為多。
術： 「若子數相等，母數不等者，其母數小，子數反大；母數大，
子數反小。」分子相同分母越大，其值越小，故「
2 1 1 < 3 」。
（三）子母俱異式：分子和分母都不同的分數之大小比較，如下題。
七 四
七 七 四 三 此 多 此 少
三 二 一 一 半 為 少 子 數 不 及 母 之 為 多 子 數 得 母 之 半
稍 差 四一 二 二○ 一
二乘二十得四十為少 一乘四十一得四十一為多
差 遠
八 三 六 二 十 八 為 多 三 六 乘 得 十 六 為 少 二 八 乘 得
相 同 一六 四 一二 三
三乘十六四乘十二皆四十八
