實現波動性之選取

在進行樣本內與樣本外預測能力的比較之前，需先了解時間序列資料之實際波動性，

然而實際波動性一般難以藉由市場交易資料觀察而得，因此需要尋找用以代替實際波動性 的代理變數。Andersen 和 Bollerslev (1998)曾指出採用每日報酬率之平方項做為實際波動性 之代理變數將會導致模型之預測結果不理想，其原因主要是每日報酬率平方項本身便是一 個具干擾(noisy)特性且不適當的代理變數。Lopez (2001)亦指出，即便每日報酬率平方項為 實際波動性的不偏估計式，其服從不對稱分配的特性依然使它成為一不準確的估計式。

Hansen 和 Lunde (2003)指出，採用每日報酬率平方項做為實際波動性之代理變數，將嚴重 扭曲實證結果，意即實證結果對模型優劣的排序將與真實情況不符，且伴隨樣本數量增 加，選取一個不適當的模型做為最佳模型的機率將接近於一。

因此 Andersen 和 Bollerslev (1998)提出了利用高頻率(high frequency)的日內報酬率 (intraday return)所計算出來的實現波動性(realized volatility)做為實際波動性之代理變數。而 且隨著日內報酬率所取的頻率愈高，正確性也將跟著提升。Hansen 和 Lunde (2005)也曾利 用實證分析證實 Andersen 和 Bollerslev (1998)的論點，因此本文擬採用實現波動性做為實 際波動性之代理變數。

然而，Alizadeh, Brandt 和 Deibold (2002)曾指出，市場微結構(market microstructure)，

如買賣差價(bid-ask spread)，將對高頻率價格或報酬率的計算造成嚴重影響。市場中所觀察 到的價格通常等於實際價格加上或減去一半差價，而買賣價差反彈(bid-ask bounce)將會增 加高頻率報酬的波動性。而實現波動性為高頻率日內報酬率的總和，因此伴隨頻率愈高，

實現波動性將會產生愈嚴重的向上偏誤(upward bias)。

因此對於報酬頻率的選取上，以下幾位學者提供多方面看法。Hansen 和 Lunde (2005) 曾在其研究中分別採用一分鐘至五分鐘不同頻率的實現波動性做為波動性代理變數，且在 模型預測能力的比較中發現選用不同頻率的實現波動性並不影響預測結果。然而 Andersen 和 Bollerslev (1998)在其研究中採用了五分鐘做為頻率單位。Hol 和 Koopman (2002)指出，

採取五分鐘做為基本頻率單位，主因為五分鐘頻率是最能夠規避市場微結構偏誤，如買賣

價差反彈所造成的負面衝擊之較適當頻率，因此本文決定採用五分鐘頻率之實現波動性做 為實際波動性之代理變數。

在實現波動性的計算上，Hol 和 Koopman (2002)提出兩種計算方法，在說明計算方法 前，先針對日內報酬率與隔夜報酬率(overnight return)進行定義。

( )

, 100 , , 1 ,

t d t d t d

r

=

P

−

P

₋ (7)

( )

, 100 , 1, ,

t N t o t D

r

=

P

−

P

₋ (8)

r 代表在第 t 日內第

_{t d,} d筆五分鐘之日內報酬率，而

r 則代表第 t 日之隔夜報酬率，其

_t,N 中

P

_t,o代表第 t 日取對數後之開盤價，

P

_t−1,D則代表第t−1日取對數後之收盤價，或是第 D 筆 五分鐘之價格。以 Nasdaq 100 Futures 為例，一天之中有 78 筆日內報酬率，因此D=78。

接著我們定義實現波動性：

2 2

,1 , ^D1 , ,

t t N d t d

RV =r +

∑

₌ r (9)

( )

²

(

^{2 2}

)

^{2 2}

,2 1 ^D1 , ^D1 , / ,

t d t d OC CO d t d OC

RV = +c

∑

₌ r =

σ

+

σ ∑

₌ r

σ

(10)

(9)式之實現波動性將日內報酬率之平方項總和與隔夜報酬率之平方項做直接加總，然 而股票市場並非像外匯市場 24 小時皆有交易在進行，因此股票市場之隔夜報酬率將可能 比日內報酬率更具波動，所以將兩者直接加總也許不是一個最適當的計算方式。(10)式則 利用參數調整的方式計算出一天中可觀察與不可觀察波動性之綜合實現波動性，相較於(9) 式更為客觀。其中

^σ

^{OC2 =var}

( ^∑

^{Dd=1rt d,}

)

，代表日內報酬率總和之變異數，而

σ

_CO² =var

( ) r

_{t N}, ， 代表隔夜報酬率之變異數。本文於後續實證分析部分將採用(10)式作為實現波動性之計算 方式。

此外 Hansen 和 Lunde (2005)曾對(10)式中的調整參數提出解釋。假設開放交易的時間 數為D=78，而一天中總時間數為M =288，則當1+c≠M /D=3.69時，可能有以下幾種 原因。第一，抽樣誤差。然而當樣本數非常大時，抽樣誤差的可能性便大幅降低；第二，

日內報酬率具正向的自我相關性，而此自我相關性則可能來自於市場微結構的影響；第

三，報酬率之波動程度在收盤至開盤期間，比開盤至收盤期間來得劇烈。然而這樣的推論 必須建立在市場收盤之後，湧入了比市場開盤期間更多的資訊這項前提下；第四，條件期 望報酬率

E r (

_{t d},

I

_t−1

)

,

d

=1,...,

M

在計算上的疏忽。假設交易期間的條件期望報酬率等於 0，

即

E r (

_{t d},

I

_t−1

)

=0,

d

=1,...,

D

，但在非交易期間的條件期望報酬率卻大於 0，則當日的報酬率 平方項

R 平均而言便可能大於

_t²

(

/

)

^D1 _{t d}²,

M D

∑

d₌ r ，即便日內報酬率具獨立及變異數同質性。

然而，不論1+c≠M/D的原因為上述何者，調整參數均有其存在的必要性，且調整參數的 修正並不會影響模型優劣的判斷。

在文檔中 考量內分位數變幅的CARR 模型之實證分析 (頁 20-23)