實證方法

由於資料使用了工業從 1983 至 2011 年，以及服務業由 1993 至 2011 年的時 間序列(time series)資料，為避免隨機趨勢(stochastic trend)¹⁰使估計結果產生虛假 迴歸(spurious regression)¹¹的問題，在進行迴歸估計前，首先得先確認各變數是否 Ljung-Box 的 Q 統計量(Q statistics)檢定模型的配適度。

ADF 單根檢定的敘述如下：

一、Augmented Dickey-Fuller(ADF)單根檢定

Dickey and Fuller(1979)提出了 Dickey-Fuller(DF)單根檢定，DF 檢定之假設 前提為誤差項必須是白噪音(White Noise)，限制上較嚴格，但實際上的經濟變數 可能具有自我相關或是無相同變異數的問題，因此 Said and Dickey (1984)提出 Augmented Dickey and Fuller(ADF)單根檢定，當殘差項非白噪音時、誤差項存在

10以總體經濟學的解釋來看，係指經濟體系中的外生衝擊(exogenous shocks)，亦指時間序列資料 持續而長期性地隨機移動，出自陳旭昇(1997)，時間序列分析，108 頁。台北：東華書局。

11 由 Granger and Newbold(1974)所提出，他們發現當兩個獨立且定態的時間序列具有隨機趨勢時，

則會有很高的機率拒絕相關性為零的虛無假設，進而估出一個不存在的相關性且判定係數極高。

12 所謂的定態，指的就是時間序列隨著時間演變，具有穩定的結構，現給定𝑦𝑡為定態，其性質 如下：1.每一期平均數相等 2.存在有限變異數 3.自我共變異數為 k 階的函數，與 t 無關；陳旭昇 (1997)，時間序列分析，24 頁。台北：東華書局。

13 序列間若具有共整合關係，則它們會有共同的隨機趨勢(common stochastic trend)。

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自我相關之現象時，應採用 ADF 檢定取代 DF 檢定。ADF 檢定是將迴歸式等號 右邊加入被解釋變數之落後項，藉由增加更多前期觀察值之落後項為解釋變數，

來降低誤差項序列相關之影響，以修正殘差項自我相關的問題，其模型如下：

∆y_t= α + βy_t−1+ γ₁∆y_t−1+ ⋯ ⋯ + γ_p∆y_t−p+ u_t (4-5) 其中γ₁∆y_t−1+ ⋯ ⋯ + γ_p∆y_t−p稱為 ADF 檢定之增廣項(augmented part)，其目的 在於控制殘差項u_t中可能的序列相關。

一般檢定模式可分為三種：

(1) y_t有截距項與時間趨勢項。考慮以下迴歸式

∆y_t = α + βy_t−1+ γ₁∆y_t−1+ ⋯ ⋯ + γ_p∆y_t−p+ δ_t+ u_t

檢定H₀ ∶ β = 0(有單根) (4-6) H₁ ∶ β < 0(無單根)

(2) y_t有截距項。考慮以下迴歸式

∆y_t = α + βy_t−1+ γ₁∆y_t−1+ ⋯ ⋯ + γ_p∆y_t−p+ u_t

檢定H₀ ∶ β = 0(有單根) (4-7) H₁ ∶ β < 0(無單根)

(3) y_t不具截距項與時間趨勢項。考慮以下迴歸式

∆y_t = βy_t−1+ γ₁∆y_t−1+ ⋯ ⋯ + γ_p∆y_t−p+ u_t

檢定H₀ ∶ β = 0(有單根) (4-8) H₁ ∶ β < 0(無單根)

在 ADF 檢定裡，檢定H₀ ∶ β = 0的 t 統計量又稱作 ADF-t 統計量，在虛無假設下，

ADF-t 統計量之實際抽樣分配並非 t 分配，其極限分配也非標準常態分配，而是 一個非常態的特殊分配。而 ADF-t 檢定的對立假設為β < 0，因此其拒絕區在左 尾，當 ADF-t 值越小，越能提供足夠的證據拒絕虛無假設(有單根)，若原始數列 無法拒絕虛無假設，則需進行差分直到其成為定態的時間序列；另外，若將 ADF 迴歸式中的增廣項移除形成∆𝑦_𝑡 = α + 𝛽𝑦_𝑡−1+ 𝑢_𝑡，則為 DF 檢定之概念。

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二、模型之估計

當各個變數檢定結果皆為定態時，便可直接以 OLS 法進行迴歸估計，但若 變數中有些為定態、有些為非定態時，除了利用變數差分使其成為定態序列，也 可設法在變數間找出一組定態的線性關係，意即變數共整合。當非定態的變數具 有共整合關係時，隱含了這些變數長期而言，會有相同的隨機趨勢，而往均衡方 向調整的特性。

檢定變數間是否具有共整合關係，有以下兩種方法：

(1) Engle and Granger(1987)兩階段共整合檢定

其假設變數之間最多只會存在一個共整合關係，令𝑌_𝑡為k × 1的向量序列，若其 整合階次為 1，可表示為𝑌_𝑡~𝐼(1)，現存在一個k × 1矩陣β使得𝛽^´𝑌_𝑡~𝐼(0)，則稱𝑌_𝑡中 的 k 個序列具共整合關係，而矩陣β就稱作共整合向量。因此先決條件是變數之 整合階次須相同，之後採取兩階段程序，先以 OLS 法估計變數間的長期關係，

再以 ADF 檢定其殘差𝜀_𝑡是否為定態，若拒絕虛無假設，表示變數間具有共整合 現象。

此檢定方法的優點是簡單明瞭，但由於最多僅有一組共整合向量，使得兩階段 程序之效率性可能會受到影響，因在第一階段估計時所產生的誤差會被帶到下一 階段，使所得出的參數估計值欠缺不偏性及有效性，故在處理多變數的分析時，

較不考慮此做法。

(2) Johansen(1988)共整合檢定

此方法同樣假設現有一𝑌_𝑡為k × 1的向量序列，整合階次為 1 即𝑌_𝑡~𝐼(1)，其落 後 p 期的 VAR(Vector Autoregressions)模型可表示為：

𝑌_𝑡 = Φ₁𝑦_𝑡−1+ Φ₂𝑦_𝑡−2+ ⋯ + Φ_𝑝𝑦_𝑡−𝑝+ 𝜀_𝑡 (4-9) 令t = 1, 2, ⋯ , T，而𝜀_𝑡為殘差項，Φ_𝑖表示為 k × k的係數矩陣，同時根據 Granger Representation 定理，Johansen 提出了完全資訊最大概似法 (Full-Information Maximum likelihood，FIML)，將 VAR(p)轉成向量誤差修正模型 (vector error correction model，VECM)，轉換後可改寫為：

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∆𝑌_𝑡= Π𝑦_𝑡−1+ Π₁∆𝑦_𝑡−1+ Π₂∆𝑦_𝑡−1+ ⋯ + Π_𝑝−1∆𝑦_{𝑡−𝑝+1}+ 𝜀_𝑡 (4-10) 其中Π=−Φ(1) = −(I − Φ₁− Φ₂− ⋯ − Φ_𝑝)，Π_𝑖 = ∑^𝑝_𝑠=𝑗+1Φ_𝑠，而矩陣Π的秩(rank) 則決定了存在𝑌_𝑡間共整合向量的數目，關於矩陣Π有以下三種可能性：

1.若 rank(Π)=0，表示𝑌_𝑡~𝐼(1)，意指沒有任何𝑌_𝑡的線性組合為 I(0)，則𝑌_𝑡間 不存在共整合關係，變數間無長期均衡關係。

2.若 rank(Π)=k，表示所有𝑌_𝑡~𝐼(0)，此為一全秩(full rank)矩陣，意指所有𝑌_𝑡的 線性組合為 I(0)，𝑌_𝑡為定態。

3.若 rank(Π)=r < k，表示𝑌_𝑡中有 r 個共整合向量，𝑌_𝑡存在共整合關係。

因此，透過矩陣Π的秩可檢定變數間是否存在共整合關係，其優點在於它是基於 最大概似法所建立的，具有良好且不變的極限分配；此外若給定Π = 𝛼𝛽^´的條件，

其中𝛼與𝛽皆為k × r的矩陣，𝛼為誤差修正調整速度，此係數越大表示變數在失衡 的狀態下，往均衡水準的調整速度就會越快，而𝛽則是代表共整合向量矩陣，透 過最大概似法便可將𝛼與𝛽給估計出來。

Johansen(1988)的最大概似法比較適合用於觀察值多的資料，本文受限於資 料為年資料，期間不夠長，故採用 Engle and Granger(1987)兩階段共整合檢定 另外在 OLS 估計的處理上，考慮到自我相關(autocorrelation)會對係數估計標 準誤的正確性產生影響，因此本研究採用 Newey－West¹⁴方法去計算係數估計量 的標準誤，使估計出來的的係數標準誤具有一致性。

三、模型配適度之檢定─Ljung-Box Q 統計量

為了解設定模型是否合適，本文利用殘差數列之分配特性，檢定殘差的分配 與白噪音之假設是否相符，若不符合時，則必須對原始設定的模型作必要的修正，

本研究採用 Ljung-Box 的 Q 統計量檢驗模型的配適性，其適用於樣本數較小的 變數，此理論是由 Ljung-Box(1978)所提出，他利用漸近(asymptotic)卡方分配的

14 由 Newey and West(1987)所提出，此估計式考量了模型中隨機干擾項具有自我相關情形，可修 正估計式的標準誤，使 t 值具有一致性。

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Ljung-Box 公式，來取代 Box-Pierce 的 Q 統計量，其假設與公式如下：

檢定H₀ ∶ 𝜌₁ = 𝜌₂ = ⋯ ⋯ = 𝜌_𝑘 = 0(無自我相關) (4-11) H₁ ∶ not H₀(有自我相關)

檢定統計量：Q(k) = T(T + 2) ∑^𝑘_𝑗=1^{[𝜌̂(𝑗)]}_𝑇−𝑗²~^𝐴𝜒²(𝑘)

其中 T 為期數、k 表階數，𝜌̂(𝑗)表相距 j 階的自我相關係數，其漸進分配為自由 度 k 之卡方分配，若Q > 𝜒_0.05(𝜈)² (一般使用 α=0.05)，則拒絕虛無假設，表示殘 差項有自我相關現象的存在，模型非最適配置，需調整模型重新估計；另外也可 參照 P-value 作檢定，若其機率大於顯著水準，則表示殘差項不具有自我相關現 象存在，意即接受虛無假設。

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