實證迴歸模型

一、相關係數矩陣

下列敘述為根據表 12 得知台灣地區總用水量與用水變數之相關分析：

1. 台灣地區總人口:人口之增減程度會影響用水需求量的變化。台灣地區的人口歷年 不斷成長，用水量也相對增加。本文蒐集 1996~2009 年之人口數資料(表 12)，經 相關分析結果發現，台灣地區人口數和台灣地區用水量呈顯著正相關，相關係數 為 0.845。顯示台灣人口增加，用水量相對增加。

2. 消費者物價指數：與居民生活有關之產品及勞務價格統計出來的物價變動指標。最 終端消費者的物價，加權之後與基期相比較的結果。指數是依據台灣地區家庭為

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消費需要，所購買商品及消費之價格，分為食物、衣著、居住、交通通訊、醫藥 保健、教養娛樂及其它等七大類，反應的是消費者實際上買東西有沒有變貴。經 相關分析結果發現，消費者物價指數和台灣地區用水量呈顯著正相關，相關係數 為 0.821。

3. 台灣工業生產指數：衡量製造業、礦業及公共事業的實質總產出。工業生產所調查 實質產出包括最終財、中間財與原物料在內。最終財是只供消費者、企業與政府 機構使用的財貨；中間財是僅供建築業、農業與服務業使用的中間投入物料；原 物料則只需要被各產業在加工處理過的上游產業產出。這些產業的生產總值占總 體經濟比重不輕，且對經濟的變化反應十分敏感，因此工業生產指數與 GNP 之間 存在高度相關性。本研究不採用國民生產毛額及國內生產毛額之影響變數，因本 文採用月資料進行探討，而 GNP 只存在季或年資料，時間上不符合本文之分析，

故採用工業生產指數代替。經相關分析結果發現，台灣工業生產指數和台灣地區 用水量呈顯著正相關，相關係數為 0.819。

表 12 台灣地區總用水量與用水變數之相關矩陣表

用水量 台灣地區總人口 消費者物價指數 工業生產指數 用水量 1 .845** .821** .819**

台灣地區總人口 .845** 1 .865** .841**

消費者物價指數 .821** .865** 1 .812**

工業生產指數 .819** .841** .812** 1 註：^＊＊＊表示 p 值<0.01、^＊＊表示 p 值<0.05、^＊表示 p 值<0.1

二、建立多元線性迴歸模型

本研究利用所有可能迴歸搜尋程序之方式，建立可能多元線性迴歸模型，並根據 迴歸模型的假設檢定，以找出最適本研究採用的實證模型。

我們設定 16 類迴歸方程式，並且歸納在表 13 資料。表 13 的第一列代表自變數

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的迴歸方程式；第二列至第五列式包含一個自變數(分別為總人口 X₁、消費者物價指 數 X₂、前一期用水量 X₃、工業生產指數 X₄)的迴歸方程式，第六列至第十一列是包 含兩個自變數(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂，總人口 X₁和前一期用水量 X₃，總人 口 X₁和工業生產指數 X₄，消費者物價指數 X₂和前一期用水量 X₃，消費者物價指數 X2 和工業生產指數 X₄)的迴歸方程式，第十二列至第十五列式包含三個變數(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂和前一期用水量 X₃，總人口 X₁、消費者物價指數 X₂和工業 生產指數 X₄，總人口 X₁、前一期用水量 X₃和工業生產指數 X₄，消費者物價指數 X₂、 前一期用水量 X₃和工業生產指數 X₄)，最後第十六列為包含四個自變數的迴歸方程式 (總人口 X1、消費者物價指數 X₂、前一期用水量 X₃、工業生產指數 X₄)。

本研究透過模型的假設檢定及R_P²來決定最適模型。先以 VIF 來看，值頇低於 10 以下才表示沒有共線性的問題，由表 13 發現皆都沒有共線性之問題。其次以 DW 值 來看，發現其中兩個自變數中(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂，總人口 X₁、工業生 產指數 X4，消費者物價指數 X2、工業生產指數 X4，前一期用水量 X3、工業生產指 數 X₄)及三個自變數中(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂和工業生產指數 X₄)，DW 皆 存在自我相關問題。最後以R_P²做為選擇模型之依據，發現模型(消費者物價指數 X₂、 前一期用水量 X₃和工業生產指數 X₄)及(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂、前一期用水 量 X3和工業生產指數 X4)較為合適，但其中(消費者物價指數 X2、前一期用水量 X3

和工業生產指數 X₄)解釋力比(總人口 X₁、消費者物價指數 X₂、前一期用水量 X₃和工 業生產指數 X4)差異不大，考慮到成本及時間因素下，本研究以(消費者物價指數 X2、 前一期用水量 X₃和工業生產指數 X₄)為最適模型。另外本研究檢視不同模型所使用之 解釋變數發現，不含前一期用水量之變數模型，其 DW 皆低於 1.8，顯示當模型不含 前一期用水量時，其模型皆存在自我相關的問題。

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表 13 所有可能回歸模式的R_P²、MSE _P

模式中的自變數 P df SSE R ² MSE VIF DW None 1 165 2.79510¹⁶ 0 1.69410¹⁴

X1 2 164 5.04210¹³ 0.704 3.07410¹¹ X2 2 164 5.73310¹³ 0.664 3.49610¹¹ X3 2 164 3.60510¹³ 0.788 2.19810¹¹ X4 2 164 5.79310¹³ 0.660 3.53210¹¹ X1

3 163 _4.50210¹³ 0.734 _2.76210¹¹ 3.831

0.782

X2 3.831

X₁

3 163 _3.11610¹³ 0.816 _1.91210¹¹ 3.384

2.005

X3 3.384

X1

3 163 4.36710¹³ 0.742 2.67910¹¹ 3.307

0.97

X4 3.307

X2

3 163 _3.06710¹³ 0.819 _1.88810¹¹ 2.701

2.021

X₃ 2.701

X2

3 163 4.54910¹³ 0.731 2.79110¹¹ 2.797

0.879

X4 2.797

X3

3 163 _3.03710¹³ 0.821 _1.86310¹¹ 2.613

2.294

X₄ 2.613

X1

4 162 2.96910¹³ 0.825 1.83310¹¹

5.147

1.956

X2 4.108

X₃ 3.628

X₁

4 162 4.11210¹³ 0.757 2.53810¹¹

4.969

0.932

X2 4.203

X4 3.628

X1

4 162 _2.9210¹³ 0.828 _1.80310¹¹

4.656

2.125

X₃ 3.679

X₄ 3.595

X2

4 162 2.86410¹³ 0.831 1.76810¹¹

3.479

2.106

X3 3.251

X₄ 3.366

X1

5 161 2.84510¹³ 0.832 1.76710¹¹

5.838

2.054

X2 4.363

X3 3.819

X₄ 3.818

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根據表 13 資料可繪出圖 5 的R_P²，對於可能的 p-1 個預測變數(自變數)組的最大

2

RP值以 Max(R_P²)表示，且繪在每一個 P 值對應點的上端，將這些點由點線連結貣來 以顯示模式後，Max(R_P²)稍微較大，我們依循R_P²準則可知消費者物價指數 X₂，前一 期用水量 X₃，工業生產指數 X₄的自變數必頇引進模式中。

注意前一期用水量 X₃自變數有較高的相關性存在，但是(消費者物價指數 X₂，前 一期用水量 X3)，(總人口 X1，前一期用水量 X3)的R_P²值不大，若考慮(總人口 X1，消 費者物價指數 X₂，前一期用水量 X₃)及(總人口 X1，消費者物價指數 X₂，工業生產指 數 X4)的R_P²值則分別為R₄²=0.825，R₄²=0.757，其中以(總人口 X1，消費者物價指數 X2，前一期用水量 X₃)較佳，但是選擇(總人口 X1，前一期用水量 X₃，工業生產指數 X4)時可得R₄²=0.828 為所有R₄²準則中的次佳值，僅次於(消費者物價指數 X2，前一期 用水量 X₃，工業生產指數 X₄)的R₄²=0.831，所有引進前一期用水量 X₃之自變數於模 式中時R_P²值會增加，因此本研究欲保留前一期用水量 X3於模式中可以考慮三個變數 組的(消費者物價指數 X2，前一期用水量 X3，工業生產指數 X4)，其次為(總人口 X1， 前一期用水量 X₃，工業生產指數 X₄)組。

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圖 5 為用水量之R_P²圖

MSE 繪製於圖 6 中，同時繪一條直線將不同 p 時的P MSE 值連接貣來。由圖中_P 可以得知(消費者物價指數 X₂，前一期用水量 X₃，工業生產指數 X₄)為最佳自變數組 合MSE =1.7679，其均方和誤差_P MSE 與(總人口 X_P 1，消費者物價指數 X2，前一期用 水量 X₃，工業生產指數 X₄)的均方和誤差幾乎都相同MSE =1.7671，若為 p=4 時引進_P 自變數工業生產指數 X4，則(總人口 X1，前一期用水量 X3，工業生產指數 X4)自變數 組的均方和誤差MSE =1.8025 只較(消費者物價指數 X₄ 2，前一期用水量 X₃，工業生產 指數 X4)組的均方和誤差MSE =1.7679 稍微較高一點，故為次佳自變數組。 ₄

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圖 6 為用水量之MSE 圖 _P

三、實證迴歸模型

本研究利用所有可能多元線性迴歸選出對台灣地區總用水量之影響變數，依表 15 之實證結果，本文之多元線性迴歸模式如下:

3 2

1 571 167187.152 463

. 645558 8

. 5278200

ˆ X X X

Y    

其中Yˆ=台灣地區總用水量，

X₁=消費者物價指數，

X2=前一期用水量，

X₃=工業生產指數。

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以表 14 的統計資料，比較 F 值與估計參數之顯著性:

(一)F 檢定

F 檢定用來檢定整個模型是否有達到統計上的顯著性，變數分析中(表 14)，可知 F 值為 271.296，p 值為 0.000，小於檢定之顯著水準 0.05，表示此模型適合，即自變 數可以用來解釋依變數。

表 14 一般多元迴歸自變數迴歸係數表

變異來源 自由度 帄方和 均方和 F 值 sig 迴歸 3 _2.3310¹⁶ _7.8010¹⁵ 271.296 0.000 殘差 162 4.6410¹⁵ 2.8610¹³

總 165 2.8010¹⁶

(二)模型檢定

檢視 t 檢定是否顯著、是否存在共線性問題、自變數對依變數之影響，以及與相 關文獻是否相同。

1. 消費者物價指數:消費者物價指數為總體經濟指標，一般來講景氣好消費者物價指 數為正，代表用水量多，景氣好壞可以由消費者物價指數為代表，故消費者物價指 數對台灣地區總用水量之影響為正向。迴歸係數之t檢定，消費者物價指數參數值 為3.295具有顯著水準，故對依變數具有解釋能力。實證結果顯示，當消費者物價 指數增加1單位，則台灣地區總用水量可增加645558.463萬立方公尺。

2. 前一期用水量:本文研究用水量之統計年限為1996年1月~2010年1月，以1995年12月

~2009年12月做為前一期用水量。普遍認為生產者會根據過去市場上的需求來預測 未來的生產量，故前一期用水量對台灣地區總用水量之影響為正向。迴歸係數之t 檢定，前一期用水量參數值為9.843具有顯著水準，故對依變數具有解釋能力。實 證結果顯示，當前一期用水量增加1萬立方公尺，則台灣地區總用水量可增加571 萬立方公尺。

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3. 工業生產指數: 工業生產指數高代表景氣好，讓企業對未來抱持著樂觀的態度故會 利用多餘的產能生產產品，以因應未來的需求。故工業生產指數對台灣地區總用水 量之影響為正向。迴歸係數之t檢定，消費者物價指數參數值為3.547具有顯著水準，

故對依變數具有解釋能力。實證結果顯示，當工業生產指數增加一單位，則台灣地 區總用水量可增加167187萬立方公尺。

由以上各檢定及分析結果，可得知消費者生產指數、工業生產指數及前一期用水 量此三項變數具有解釋能力，可用來解釋台灣地區總用水量。本研究將以表 15 迴歸 方程式做為預測分析。

表 15 一般多元迴歸自變數迴歸係數表