第四章 研究結果
第二節 實際施測
在本研究中使用的資料為實際國小施測康軒版數學第八冊第四單元 測驗試卷 30 題（如附錄）共 1041 名學生的結果，。以下為以 matlab 程 式產生的分析數據：
轉移矩陣 A：
由下表可推論出學生作答時的之狀態轉移矩陣，由於本實驗採固定 A 參 數，故下表為所有學生之作答時轉移矩陣
之平均。
表 4-2
轉移矩陣認知作答 猜測作答 未答
認知作答
0.65067 0.24958 0.099747
猜測作答
0.65067 0.24958 0.099747
未答
0.65067 0.24958 0.099747
由表 4-2 可知整份試卷由任何狀態到認知作答的機率為 0.65067，到 猜測作答的機率為 0.24958，到未答的機率為 0.099747。
同理，可再獲得每一試題在每一種狀態的作答機率矩陣，由此矩陣可 分析試題之作答曲線，有曲線可知每一選項之誘答情形與學生的猜測情 形。此曲線可讓教師藉由施測來明瞭學生的作答情形，並可推估學生之學 習情形，以方便未來補救教學之參考指標。
以下為 30 題之試題分析：
表 4-3 符號矩陣第一題
A B C D 未答
認知作答 0.001048 0.000823 0.000904 0.99722 0 猜測作答 0.000285 0.018881 0.009825 0.97101 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.000961 0.002882 0.001921 0.99424
由表 4-3 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.001048，選擇 B 選項之機率為 0.000823，選擇 C 選項之機率為 0.000904，
D 選項之機率為 0.99722，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，選 擇 A 選項之機率為 0.000285，選擇 B 選項之機率為 0.018881，選擇 C 選 項之機率為 0.009825，D 選項之機率為 0.97101，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 一 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-19 第一題之符號矩陣
表 4-4 符號矩陣第二題
A B C D 未答
認知作答 0.008862 0.98634 0.003185 0.001616 0 猜測作答 0.008082 0.95598 0.033227 0.002716 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.008646 0.97791 0.011527 0.001921
由表 4-4 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.008862，選擇 B 選項之機率為 0.98634，選擇 C 選項之機率為 0.003185，
D 選項之機率為 0.001616，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.008082，選擇 B 選項之機率為 0.95598，選擇 C 選 項之機率為 0.033227，D 選項之機率為 0.002716，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 二 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
表 4-5 符號矩陣第三題
A B C D 未答
認知作答 0.008792 0.000456 0.97725 0.013497 0 猜測作答 0.008265 0.019569 0.95539 0.016781 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.008646 0.005764 0.97118 0.014409
由表 4-5 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.008792，選擇 B 選項之機率為 0.000456，選擇 C 選項之機率為 0.97725，
D 選項之機率為 0.013497，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.008265，選擇 B 選項之機率為 0.019569，選擇 C 選項之機率為 0.95539，D 選項之機率為 0.016781，未答之機率為 0。而 在未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 三 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-21 第三題之符號矩陣
表 4-6 符號矩陣第四題
A B C D 未答
認知作答 0.011697 0.02641 0.012773 0.94949 0 猜測作答 0.007738 0.022465 0.022283 0.94751 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.010567 0.024976 0.01537 0.94621
由表 4-6 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.011697，選擇 B 選項之機率為 0.02641，選擇 C 選項之機率為 0.012773，
D 選項之機率為 0.94949，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，選 擇 A 選項之機率為 0.007738，選擇 B 選項之機率為 0.022465，選擇 C 選 項之機率為 0.022283，D 選項之機率為 0.94751，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 四 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-22 第四題之符號矩陣 分析：
以上四題為簡單的乘法問題，因此無法清楚地分辨認知作答與猜測作 答的差異。主要原因為題目過於簡單，而導致猜測人數的資料量過少，因
表 4-7 符號矩陣第五題
A B C D 未答
認知作答 0.01731 0.022209 0.005035 0.95545 0 猜測作答 0.003527 0.070951 0.252 0.67352 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.013449 0.035543 0.073007 0.87416
由表 4-7 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.01731，選擇 B 選項之機率為 0.022209，選擇 C 選項之機率為 0.005035，
D 選項之機率為 0.95545，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，選 擇 A 選項之機率為 0.003527，選擇 B 選項之機率為 0.070951，選擇 C 選 項之機率為 0.252，D 選項之機率為 0.67352，未答之機率為 0。而在未答 的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 五 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-23 第五題之符號矩陣 分析：
由圖可知，在正確選項為第四選項時，認知作答的機率大於猜測作答 的機率，也大於實際選答率。由猜測作答曲線可知第三選項具有誘答力，
是因為有許多學生在乘法的進位上會產生問題。
表 4-8 符號矩陣第六題
A B C D 未答
認知作答 0.77419 0.86063 0.016216 0.04573 0 猜測作答 0.079911 0.65024 0.19428 0.07557 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.07781 0.79923 0.065322 0.053794
由表 4-8 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.77419，選擇 B 選項之機率為 0.86063，選擇 C 選項之機率為 0.016216，
D 選項之機率為 0.04573，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，選 擇 A 選項之機率為 0.079911，選擇 B 選項之機率為 0.65024，選擇 C 選項 之機率為 0.19428，D 選項之機率為 0.07557，未答之機率為 0。而在未答 的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 六 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-24 第六題之符號矩陣 分析：
此題為較艱深的乘法問題，因此許多學生在作答時，在進位上會產生
表 4-9 符號矩陣第七題
A B C D 未答
認知作答 0.08884 0.86626 0.002203 0.0427 0 猜測作答 0.083839 0.6354 0.22725 0.053511 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.086455 0.79347 0.073401 0.045149
由表 4-9 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.08884，選擇 B 選項之機率為 0.86626，選擇 C 選項之機率為 0.002203，
D 選項之機率為 0.0427，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，選 擇 A 選項之機率為 0.083839，選擇 B 選項之機率為 0.6354，選擇 C 選項 之機率為 0.22725，D 選項之機率為 0.053511，未答之機率為 0。而在未 答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 七 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-25 第七題之符號矩陣 分析：
此題也是在測驗學生在乘法上的認知，一樣地因為在進位上有問題發 生，而讓許多學生在答案的選擇上，有猜測作答的情形發生。
表 4-10 符號矩陣第八題
A B C D 未答
認知作答 0.00126 0.000116 0.99829 0.000329 0 猜測作答 0.23691 0.032514 0.66559 0.064987 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.16811 0.023055 0.75889 0.04611
由表 4-10 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.00126，選擇 B 選項之機率為 0.000116，選擇 C 選項之機率為 0.99829，
D 選項之機率為 0.000329，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.23691，選擇 B 選項之機率為 0.032514，選擇 C 選 項之機率為 0.66559，D 選項之機率為 0.064987，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 八 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-26 第八題之符號矩陣 分析：
此題的誘答選項為第一選項，多數的學生回答問題時，若不了解題
表 4-11 符號矩陣第九題
A B C D 未答
認知作答 0.039186 0.052808 0.90815 0.043718 0 猜測作答 0.040449 0.043218 0.86429 0.007827 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.039385 0.049952 0.8732 0.033622
由表 4-11 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.039186，選擇 B 選項之機率為 0.052808，選擇 C 選項之機率為 0.86429，
D 選項之機率為 0.043718，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.040449，選擇 B 選項之機率為 0.043218，選擇 C 選項之機率為 0.90815，D 選項之機率為 0.007827，未答之機率為 0。而 在未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 九 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-27 第九題之符號矩陣 分析：
此題為基本的應用問題加上乘法能力，因此大多數的學生皆能選擇正 確選項，因此，便產生兩種作答模式有相當重疊的情形發生。
表 4-12 符號矩陣第十題
A B C D 未答
認知作答 0.011582 0.023082 0.94601 0.029323 0 猜測作答 0.001158 0.212956 0.8221 0.003676 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.008646 0.020173 0.94428 0.022094
由表 4-12 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.011582，選擇 B 選項之機率為 0.023082，選擇 C 選項之機率為 0.93601，
D 選項之機率為 0.029323，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.001158，選擇 B 選項之機率為 0.212956，選擇 C 選項之機率為 0.8221，D 選項之機率為 0.003676，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1
圖 4-28 第十題之符號矩陣 分析：
此題為乘除互逆之問題，多數的學生皆有此概念。然而仍有一定比例 之學生，對於第二選項仍有迷思，因此教師在教導時，應先解決此項問題
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
表 4-13 符號矩陣第十一題
A B C D 未答
認知作答 0.00277 0.015098 0.97853 0.003599 0 猜測作答 0.022495 0.00228 0.9762 0.001027 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.007685 0.011527 0.97695 0.002882
由表 4-13 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.00277，選擇 B 選項之機率為 0.015098，選擇 C 選項之機率為 0.97853，
D 選項之機率為 0.003599，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.022495，選擇 B 選項之機率為 0.00228，選擇 C 選 項之機率為 0.9762，D 選項之機率為 0.001027，未答之機率為 0。而在未 答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 十 一 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-29 第十一題之符號矩陣
分析：
此題為相當簡單九九乘法的問題，學生在作答上應該沒有問題，故不 會有猜測狀態的產生，因此曲線呈現了重疊的情況。
表 4-14 符號矩陣第十二題
A B C D 未答
認知作答 0.042061 0.92494 0.021552 0.011451 0 猜測作答 0.001506 0.94917 0.047919 0.001408 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.03074 0.92988 0.028818 0.008646
由表 4-14 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.042061，選擇 B 選項之機率為 0.92494，選擇 C 選項之機率為 0.021552，
D 選項之機率為 0.011451，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.001506，選擇 B 選項之機率為 0.94917，選擇 C 選 項之機率為 0.047919，D 選項之機率為 0.001408，未答之機率為 0。而在 未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 十 二 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-30 第十二題之符號矩陣 分析：
此題仍為相當簡單三位數乘以二位數之乘法練習，多數的學生對此問
表 4-15 符號矩陣第十三題
A B C D 未答
認知作答 0.000303 0.005413 0.9925 0.000178 0 猜測作答 0.015889 0.027262 0.92286 0.033993 0
未答 0 0 0 0 1
實際選答 0.011527 0.021134 0.93948 0.025976
由表 4-15 可知，學生在認知作答的情形下，選擇 A 選項之機率為 0.000303，選擇 B 選項之機率為 0.005413，選擇 C 選項之機率為 0.9925，
D 選項之機率為 0.000178，未答之機率為 0。學生在猜測作答的情形下，
選擇 A 選項之機率為 0.015889，選擇 B 選項之機率為 0.027262，選擇 C 選項之機率為 0.92286，D 選項之機率為 0.033993，未答之機率為 0。而 在未答的狀態下，也只有唯一的情形，因此，機率為 1。
第 十 三 題 之 符 號 矩 陣
0 0.5 1 1.5
1 2 3 4 5
選項 機
率 值
認知作答 猜測作答 未答
圖 4-31 第十三題之符號矩陣 分析：
此題為簡單的乘法問題，主要在測驗學生位數對齊的能力，而採用猜
此題為簡單的乘法問題，主要在測驗學生位數對齊的能力，而採用猜