第二章 實驗原理
2-1 衝擊波的流體動力學理論
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衝擊波流體動力學理論的發展歷史在 1808 年 Poisson1指出在壓力擾動後氣體的流動速度u，能夠用 u = f⌊x − (a + u)t⌋來表示，在這裡f是壓力擾動氣體流動速度u的函數，
x是距離，t是時間，而a代表的是聲速。而後在 1848 年 Challis2和 Stokes3 利用這個方程式推導出：小而不斷的壓力干擾，最終能夠形成壓力的 不連續性。這是因為每一個連續的壓縮波都以稍大的流動速度在介質 中傳播。1860 年 Earnshaw4提出在真實流體中，熱傳導性和黏滯性可 防止不連續的發生。Riemann5也在同時以數學式將一維空間流體的運 動清楚的表示出來，他的推論為理解衝擊波的形成提供了數學基礎。
但非常遺憾的是 Riemann5犯了一個錯誤，他認為衝擊波的形成是一 個等熵過程（isentropic process）。在 1870 年，Rankine6以質量、動量 及能量守恆定律為恆定速度的一維衝擊波推算出衝擊波的數學式。後 來 Hugoniot7提出了在 Riemann5的錯誤假定下所推導的能量守恆的數 學處理。Taylor8是第一個試圖對衝擊波過渡區域厚度計算的學者。
Hadamard9、Zemplen10、Rayleigh11和 Becker12介紹了衝擊波流體動力
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學理論的回顧。Becker 在 1922 年，以 Navier-Stokes 方程式推算出衝 擊波過渡區域的厚度，他也嘗試在液體中計算衝擊波的性質。第二次 世界大戰對衝擊波理論的發展提供了極大推力，物理學家和化學家意 識到衝擊波是對物理及化學現象研究很有用的方法。當時，Courant 和 Friedrich13對超聲速流體和衝擊波的數學理論方面已有很深入的研 究。衝擊波理論的論述在 Jost14、Cole15、Lewis 及 von Elbe16、
Hirschfelder、Curtiss 及 Bird17、Patterson18、Wright19和 Bradley20等人 的著作都有詳細的探討。
由通過衝擊波之前及之後氣體的壓力、密度、溫度、能量和流動 速度等五個變量的描述，證明了衝擊波的不連續性。質量、動量和能 量守恆定律提供了這五個變量的計算所需要的關係式，另外兩個關係 式是壓力方程式P = P(ρ, T)和一個與溫度和壓力相關狀態的能量方 程式E = E(P, T)。
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一維空間流體的守恒方程式吾人可以透過兩個不同方法來表達流體動力學的方程式。第一個 方法，我們稱之為 Lagrange 方程式。Lagrange 提議可以用粒子的運 動的座標來描述粒子的運動。第二個方法為 Euler 所提出，是在一個 固定的座標中研究流體運動的狀態，這似乎是較合適的。Lagrange 及 Euler 方程式，我們可以藉助於下面的微分方程式完成轉換。
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10 的相應方程式，我們稱之為 Navier-Stokes 方程式。當在速度及溫度 改變時，氣體的平均自由徑發生變化，則在pxx和qx的項裡更高階的 設，為穩定流動的流體提供了 Navier-Stokes 方程式：
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12 Rankine-Hugoniot 方程式組：
ρ1μ1 = ρ2μ2 = ϕm 式 (2-17)
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從 Rankine-Hugoniot 方程組式 (2-17)及式 (2-18)，我們可以獲得 流體力學變量的數學式：
14 的軌跡，有時我們亦稱作 Rayleigh 線。Hugoniot 曲線為由初始條件在 衝擊波通過後達到最終壯態的唯一路徑。而在很微弱的衝擊波壓縮下，
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值是可以精確測量的，而γ卻會隨著不同氣體而有不同的數值。對於 一個單原子理想氣體，γ值等於 1.67；而對僅考慮轉動自由度對熱容 量的貢獻之雙原子分子氣體的γ值是 1.40。隨著分子中原子的數目增 加，分子的熱容量也會隨著增加，因此γ值會隨著原子的數目增加而 趨近於一。然而真實氣體的γ值並非一成不變，也會隨著溫度的改變 而有些許差異。對單原子氣體而言，在好幾千度溫度範圍內分子的熱 容量不會發生變化，以氬氣為例子，在室溫至 8000 K 的範圍內，熱 容量是幾乎不變的；而對於雙原子分子氣體，可忽略熱容量變化的溫 度範圍相對就小許多，以氮氣為例子，在室溫至 450 K 的範圍內，熱 容量可視為不變，一但溫度高於 450 K 以上，部份分子會被激發到激 發態，γ值便會發生變化；對於多原子分子氣體，γ值不變的假設，適 用溫度範圍很小，大約只有 50 度的範圍。
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在固定熱容量的理想氣體中反射衝擊波守恆方程式解如果在一維空間前進的衝擊波遇到一個障礙物，此時衝擊波便會 反射回來。但如果表面的障礙物與衝擊波交互作用的截面積很小，則 衝擊波很可能僅是越過障礙物，之後再形成一個穩定的衝擊波，這樣 的架構是對二維或三維尺度空氣動力學(aerodynamic)有興趣的範圍，
因為他們在障礙物和超聲速氣流(supersonic flow)的相互作用上提供 了許多資訊。一般來說這樣的相互作用是非常複雜的，因此二維或三
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維尺度的衝擊波並沒有廣泛用於化學反應的研究上。如果障礙物是垂 直於衝擊波運動方向的平面，衝擊波不可能越過它，這樣的現象所得 的結果，就是一維尺度的衝擊波反射回來。當在密閉管子中運動的衝 擊波前進到管子的末端，氣體分子便會開始堆積在這哩，最後衝擊波 會反轉它的運動方向，形成反射衝擊波。在反射衝擊波後面的氣體分 子，其邊界條件(u1− u2 = 0，末端平面處)之運動狀態可視為靜止。
可以把 Rankine-Hugoniot 方程式直接應用於反射衝擊波性質的探 討，並且從 Rankine-Hugoniot 方程式得到的關係式，在反射衝擊波通 過後仍保持成立。沒有需要對反射衝擊波作另外的測量，因為在末端 平面與反射衝擊波之間氣體的流動速度一定是零。在密閉圓管中，在 入射反射衝擊波後方和反射衝擊波前方的熱力學狀態是相同的，我們 不需對反射衝擊波前方的氣體之熱力學狀態作測量。三個
Rankine-Hugoniot 方程式(式 (2-17)、式 (2-18)和式 (2-19))和末端平 面的邊界條件(u1− u2 = 0)，提供了足夠的等式來求得衝擊波座標系 統中反射衝擊波的運動狀態。一旦已經對這些等式得到了解，我們很 容易轉換成實驗室座標，進而求出反射衝擊波的速度及反射衝擊波通 過後的氣體熱力熱力學狀態。
我們可以很方便地以下列方程式來表達衝擊波管問題中的末端 平面條件：
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(2) Challis, J. Lond.Edinb.Dubl.Phil.Mag. & J. Sci. 1848, 32, 494.
(3) Stokes, G. G. Phil. Mag. 1848, 33, 349.
(4) Earnshaw, S. Philos Trans. R. Soc. Lond. 1860, 150, 133.
(5) Riemann, B. Abhandl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse
1860, 8, 43.
(6) Rankine, W. J. M. Philos Trans. R. Soc. Lond. 1870, 160, 277.
(7) Hugoniot, H. Paris 1887, 38, 39.
(8) Taylor, G. Proc. R. Soc. London, Ser. A 1910, 84, 371.
(9) Hadamard, J. Leçons sur la propagation des ondes et les équations de
l'hydrodynamique; A. Hermann, 1903.
(10) Zemplen, G. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften;
Band IV, Art. 19 Teubner, Leipzig, 1901-1908.
(11) Rayleigh, L. Proc. R. Soc. London, Ser. A 1910, 84, 247.
(12) Becker, R. ZPhyA 1922, 8, 321. (13) Courant, R.; Friedrichs, K. O.
Supersonic flow and shock waves; Springer, 1976; Vol. 21.
(14) Jost, W.; Croft, H. O. Explosion and combustion processes in gases;
McGraw-Hill New York-London, 1946.
(15) Cole, R. H.; Weller, R. Physics Today 1948, 1, 35.
(16) Lewis, B.; Von Elbe, G. Combustion, flames and explosions of gases;
The University press, 1938.
(17) Hirschfelder, J. O.; Curtiss, C. F.; Bird, R. B.; Laboratory, U. o. W. T.
C. Molecular theory of gases and liquids; Wiley, 1954.
(18) Patterson, G. N. Molecular flow of gases; Wiley, 1956.
(19) Wright, J. K. Shock Tubes; Methuen, 1961.
(20) Bradley, J. N. Shock waves in chemistry and physics; Methuen, 1962.
(21) Lamb, H.; Dover, New York, NY: 1945, p 574.
(22) Greene, E.; Toennies, J.; New York: 1964.
(23) Laitone, E. V. J. Aero. Sci. 1956, 23, 846.
(24) Marshak, R. Physics of Fluids 1958, 1, 24.
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圖 (2-1):在衝擊波作用下氣體流動的時間與距離關係圖以及衝擊波 作用後熱力學性質變化示意圖。(a)實驗室座標；(b)衝擊波座標
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圖 (2-2):入射衝擊波、反射衝擊波與位置(x)、時間(t)相對應的關係圖。
T5,P5
Incident Shock Wave T1, P1 T3, P3
Contact Surface T2, P2
Reflected Shock Wave
T4, P4
Diaphragm (piston) High Pressure
Section
Low Pressure
Section Detection
(ARAS) x t
Duration time at constant T5 and P5 Expansion Wave
Expansion Wave
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圖 (2-3):在衝擊波系統中，單原子氣體分子的 Hugoniot 曲線及 Rayleigh 線(ρ = 1.67，T1 = 300K)。
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