本章節主要是介紹電性傳輸中的變程跳躍傳輸 以及我們如何利用場效應來取得遷移率
2-1 變程跳躍傳輸(Varible Range Hopping,VRH)
由原子排列的週期性可將晶格區分為有序及無序兩種，因為氧化鋅錫奈米線 的電性傳輸與氧缺陷有關，我們推測 ZTO 應為無序的晶格。有序和無序的的晶格 電子傳播方式不同，有序的晶格，電子以平面波的方式傳遞，無序的晶格因缺陷 導致電子散射，電子的平均自由徑縮短，電子傳播隨距離增加以指數衰減形成一 波包，相當於被侷限在一個範圍之內，此時的電子稱為侷域態
(a) (b)
圖 2.1(a)(左)擴展態的電子平面波 平均自由徑為 L (b)(右)侷域態的電子波函數 侷域長度為ζ
在 1958 年安德森提出安德森侷域化，說明是在有序的晶體中，假設其每個原 子帶一個價電子，則其形成週期性的方形位能井，如圖 2.2(a)，每個原子佔據於 束縛能階上，因原子的波函數交疊形成能帶，寬度為 B，但若在無序的晶格中，位 能井則有不同的深度，原子佔據於不同的束縛能階上，如圖 2.2(b)形成一能帶 V0
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圖 2.2 安德森電子侷域圖(a)理想晶體 (b)無序晶體
當無序程度越高，電子自由徑越短，侷域化的程度也就越高，導電度越低。
當侷域長度ζ遠小於材料尺度 L 時，電子為侷域態，能量分布的範圍很廣，當溫 度大於 0K，電子可因熱能跳躍到另一個位置，此即為變程跳躍傳輸。因能量守恆，
故電子跳躍過程中必須有聲子的吸收或放出。
我們假設兩個侷域態位於 Ri和 Rj，能量分別為ɛi和ɛj，侷域態之間的距離為 R=│Ri-Rj│，侷域化的波函數可以表示為 exp(-2R/ζ)，兩侷域態之間的能量差為
∆W=│Wi-Wj│，因電子的跳躍過程需有聲子的協助，故跳躍的機率取決於跳躍能量 (hopping energy)∆ɛ的熱平衡聲子數目，當∆W 遠大於 KBT，機率可由 exp(-∆W/KBT) 因子決定，KB為波茲曼常數，若同時考慮環境因素和熱能，則跳躍機率 P 可寫成
P ∝ exp( 2𝑅𝜉 𝐾∆𝜀
𝐵𝑇) (式 2-1) 距離 R 與狀態密度 g(ɛ)的關係，N 為載子濃度
R ≈ 𝑁
−1
𝑔(ɛ) (式 2-2)
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考慮某一溫度 T，跳躍長度 R，系統為 d 維，則∆W 為
∆W~𝑅𝑑𝑔(𝜀)1 (式 2-3) 將上(式 2-3)帶代入(2-2 式)
P ∝ exp( 2𝑅𝜁 𝐾 1
𝐵𝑇𝑅𝑑𝑔(𝜀)) (式 2-4) 對 2-4 式微分，可得機率極大值
𝑑
𝑑𝑅[2𝑅𝜉 +𝐾 1
𝐵𝑇𝑅𝑑𝑔(𝜀)]=0 (式 2-5) 可算出跳躍的機率極大值
𝑅0 = [𝑔(𝜀)𝐾𝜉
𝐵𝑇]𝑑+11 (式 2-6) 將 2-6 式代入 2-4，由於跳躍電導正比於跳躍機率，故可得跳躍電導率
P ∝ σ ∝ exp[ (𝑇𝑇0)𝑑+11 ] (式 2-7) 𝑇0 ∝𝐾 1.
𝐵𝑔(𝜀)𝜉𝑑 (式 2-8)
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2-2 固定電壓，電流-閘極偏壓的特徵曲線之物理意義
圖 2. 3 為金屬氧化物半導體的結構圖
從圖 2.3 利用歐姆定律，我們可以知道
𝐽𝑥 = 𝜎𝐸𝑥 (式 2-9) 𝜎為導電度，𝐸𝑥為電場，而
𝜎 = e 𝑛𝑛(𝑦) (式 2-10) 沿著 y 和 z 方向我們可以計算總通道電流 Jx
𝐼𝑥 = ∫𝑦∫𝑧𝐽𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (式 2-11) 或
𝑄′𝑛 = ∫ 𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 (式 2-12)
𝑄′𝑛為單位面積的電荷，在此時為負值，將式 3-9 帶入可得
𝐼𝑥 = 𝑊 𝑛𝑄′𝑛𝐸𝑥 (式 2-13) W 為通道寬度
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圖 2. 4 為金屬氧化物半導體在 n 通道上的電流分布(VGS>VT)
從圖 2.4 我們利用高斯公式可得
∮𝑠𝜖𝐸𝑛𝑑𝑆 = 𝑄𝑇 = 𝜖𝑜𝑥𝐸𝑜𝑥𝑊𝑑𝑥 (式 2-13) 𝜖𝑜𝑥為氧化層的介電常數，總電荷為
𝑄𝑇 = [𝑄′𝑠𝑠+ 𝑄′𝑛+ 𝑄′𝑆𝐷(𝑚𝑎𝑥)]𝑊𝑑𝑥 (式 2-14) 將式 2-14 代入式 2-13 可得
𝜖𝑜𝑥𝐸𝑜𝑥 = 𝑄′𝑠𝑠+ 𝑄′𝑛+ 𝑄′𝑆𝐷(𝑚𝑎𝑥) (式 2-15)
圖 2.5 為金屬氧化物半導體的能帶圖
從圖 2.5 我們可以知道
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19 𝑛為電子遷移率(mobility)
電容值為
𝐶𝑖 = 2𝜋𝜀0𝑘𝑒𝑓𝑓𝐿
𝑐𝑜𝑠ℎ−1(1+𝑡𝑜𝑥𝑟 ) (式 2-26) 𝑡𝑜𝑥為中間氧化層的厚度
圖 2.6 為外加偏壓下 n 行半導體的電流對電壓特性圖
此為在線性區中所用之公式，VT為截止電壓
量測時固定汲極與源極間的電壓，改變閘極偏壓得不同汲極源極間電流，即 可由斜率測得𝑔𝑚(transconductance)，推得遷移率(mobility) 𝑛
參考文獻:
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